Theorem dya2iocbrsiga 30337

Description: Dyadic intervals are Borel sets of RR. (Contributed by Thierry Arnoux, 22-Sep-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
sxbrsiga.0	|- J = ( topGen ` ran (,) )
dya2ioc.1	|- I = ( x e. ZZ , n e. ZZ |-> ( ( x / ( 2 ^ n ) ) [,) ( ( x + 1 ) / ( 2 ^ n ) ) ) )

Assertion

Ref	Expression
dya2iocbrsiga	|- ( ( N e. ZZ /\ X e. ZZ ) -> ( X I N ) e. 𝔅ℝ )

Distinct variable group:   x, n

Allowed substitution hints:   I( x, n)   J( x, n)   N( x, n)   X( x, n)

Proof of Theorem dya2iocbrsiga

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sxbrsiga.0	. . 3 |- J = ( topGen ` ran (,) )
2		dya2ioc.1	. . 3 |- I = ( x e. ZZ , n e. ZZ |-> ( ( x / ( 2 ^ n ) ) [,) ( ( x + 1 ) / ( 2 ^ n ) ) ) )
3	1, 2	dya2iocival 30335	. 2 |- ( ( N e. ZZ /\ X e. ZZ ) -> ( X I N ) = ( ( X / ( 2 ^ N ) ) [,) ( ( X + 1 ) / ( 2 ^ N ) ) ) )
4		mnfxr 10096	. . . . 5 |- -oo e. RR*
5	4	a1i 11	. . . 4 |- ( ( N e. ZZ /\ X e. ZZ ) -> -oo e. RR* )
6		simpr 477	. . . . . . 7 |- ( ( N e. ZZ /\ X e. ZZ ) -> X e. ZZ )
7	6	zred 11482	. . . . . 6 |- ( ( N e. ZZ /\ X e. ZZ ) -> X e. RR )
8		2rp 11837	. . . . . . . 8 |- 2 e. RR+
9	8	a1i 11	. . . . . . 7 |- ( ( N e. ZZ /\ X e. ZZ ) -> 2 e. RR+ )
10		simpl 473	. . . . . . 7 |- ( ( N e. ZZ /\ X e. ZZ ) -> N e. ZZ )
11	9, 10	rpexpcld 13032	. . . . . 6 |- ( ( N e. ZZ /\ X e. ZZ ) -> ( 2 ^ N ) e. RR+ )
12	7, 11	rerpdivcld 11903	. . . . 5 |- ( ( N e. ZZ /\ X e. ZZ ) -> ( X / ( 2 ^ N ) ) e. RR )
13	12	rexrd 10089	. . . 4 |- ( ( N e. ZZ /\ X e. ZZ ) -> ( X / ( 2 ^ N ) ) e. RR* )
14		1red 10055	. . . . . . 7 |- ( ( N e. ZZ /\ X e. ZZ ) -> 1 e. RR )
15	7, 14	readdcld 10069	. . . . . 6 |- ( ( N e. ZZ /\ X e. ZZ ) -> ( X + 1 ) e. RR )
16	15, 11	rerpdivcld 11903	. . . . 5 |- ( ( N e. ZZ /\ X e. ZZ ) -> ( ( X + 1 ) / ( 2 ^ N ) ) e. RR )
17	16	rexrd 10089	. . . 4 |- ( ( N e. ZZ /\ X e. ZZ ) -> ( ( X + 1 ) / ( 2 ^ N ) ) e. RR* )
18		mnflt 11957	. . . . 5 |- ( ( X / ( 2 ^ N ) ) e. RR -> -oo < ( X / ( 2 ^ N ) ) )
19	12, 18	syl 17	. . . 4 |- ( ( N e. ZZ /\ X e. ZZ ) -> -oo < ( X / ( 2 ^ N ) ) )
20		difioo 29544	. . . 4 |- ( ( ( -oo e. RR* /\ ( X / ( 2 ^ N ) ) e. RR* /\ ( ( X + 1 ) / ( 2 ^ N ) ) e. RR* ) /\ -oo < ( X / ( 2 ^ N ) ) ) -> ( ( -oo (,) ( ( X + 1 ) / ( 2 ^ N ) ) ) \ ( -oo (,) ( X / ( 2 ^ N ) ) ) ) = ( ( X / ( 2 ^ N ) ) [,) ( ( X + 1 ) / ( 2 ^ N ) ) ) )
21	5, 13, 17, 19, 20	syl31anc 1329	. . 3 |- ( ( N e. ZZ /\ X e. ZZ ) -> ( ( -oo (,) ( ( X + 1 ) / ( 2 ^ N ) ) ) \ ( -oo (,) ( X / ( 2 ^ N ) ) ) ) = ( ( X / ( 2 ^ N ) ) [,) ( ( X + 1 ) / ( 2 ^ N ) ) ) )
22		brsigarn 30247	. . . . 5 |- 𝔅ℝ e. (sigAlgebra ` RR )
23		elrnsiga 30189	. . . . 5 |- (𝔅ℝ e. (sigAlgebra ` RR ) -> 𝔅ℝ e. U. ran sigAlgebra )
24	22, 23	ax-mp 5	. . . 4 |- 𝔅ℝ e. U. ran sigAlgebra
25		retop 22565	. . . . . 6 |- ( topGen ` ran (,) ) e. Top
26		iooretop 22569	. . . . . 6 |- ( -oo (,) ( ( X + 1 ) / ( 2 ^ N ) ) ) e. ( topGen ` ran (,) )
27		elsigagen 30210	. . . . . 6 |- ( ( ( topGen ` ran (,) ) e. Top /\ ( -oo (,) ( ( X + 1 ) / ( 2 ^ N ) ) ) e. ( topGen ` ran (,) ) ) -> ( -oo (,) ( ( X + 1 ) / ( 2 ^ N ) ) ) e. (sigaGen ` ( topGen ` ran (,) ) ) )
28	25, 26, 27	mp2an 708	. . . . 5 |- ( -oo (,) ( ( X + 1 ) / ( 2 ^ N ) ) ) e. (sigaGen ` ( topGen ` ran (,) ) )
29		df-brsiga 30245	. . . . 5 |- 𝔅ℝ = (sigaGen ` ( topGen ` ran (,) ) )
30	28, 29	eleqtrri 2700	. . . 4 |- ( -oo (,) ( ( X + 1 ) / ( 2 ^ N ) ) ) e. 𝔅ℝ
31		iooretop 22569	. . . . . 6 |- ( -oo (,) ( X / ( 2 ^ N ) ) ) e. ( topGen ` ran (,) )
32		elsigagen 30210	. . . . . 6 |- ( ( ( topGen ` ran (,) ) e. Top /\ ( -oo (,) ( X / ( 2 ^ N ) ) ) e. ( topGen ` ran (,) ) ) -> ( -oo (,) ( X / ( 2 ^ N ) ) ) e. (sigaGen ` ( topGen ` ran (,) ) ) )
33	25, 31, 32	mp2an 708	. . . . 5 |- ( -oo (,) ( X / ( 2 ^ N ) ) ) e. (sigaGen ` ( topGen ` ran (,) ) )
34	33, 29	eleqtrri 2700	. . . 4 |- ( -oo (,) ( X / ( 2 ^ N ) ) ) e. 𝔅ℝ
35		difelsiga 30196	. . . 4 |- ( (𝔅ℝ e. U. ran sigAlgebra /\ ( -oo (,) ( ( X + 1 ) / ( 2 ^ N ) ) ) e. 𝔅ℝ /\ ( -oo (,) ( X / ( 2 ^ N ) ) ) e. 𝔅ℝ ) -> ( ( -oo (,) ( ( X + 1 ) / ( 2 ^ N ) ) ) \ ( -oo (,) ( X / ( 2 ^ N ) ) ) ) e. 𝔅ℝ )
36	24, 30, 34, 35	mp3an 1424	. . 3 |- ( ( -oo (,) ( ( X + 1 ) / ( 2 ^ N ) ) ) \ ( -oo (,) ( X / ( 2 ^ N ) ) ) ) e. 𝔅ℝ
37	21, 36	syl6eqelr 2710	. 2 |- ( ( N e. ZZ /\ X e. ZZ ) -> ( ( X / ( 2 ^ N ) ) [,) ( ( X + 1 ) / ( 2 ^ N ) ) ) e. 𝔅ℝ )
38	3, 37	eqeltrd 2701	1 |- ( ( N e. ZZ /\ X e. ZZ ) -> ( X I N ) e. 𝔅ℝ )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   \ cdif 3571   U.cuni 4436   class class class wbr 4653   ran crn 5115   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   |-> cmpt2 6652   RRcr 9935   1c1 9937   + caddc 9939   -oocmnf 10072   RR*cxr 10073   < clt 10074   / cdiv 10684   2c2 11070   ZZcz 11377   RR+crp 11832   (,)cioo 12175   [,)cico 12177   ^cexp 12860   topGenctg 16098   Topctop 20698  sigAlgebracsiga 30170  sigaGencsigagen 30201  𝔅_ℝcbrsiga 30244

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538  ax-ac2 9285  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-fal 1489  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-iin 4523  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-2o 7561  df-oadd 7564  df-er 7742  df-map 7859  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-sup 8348  df-inf 8349  df-oi 8415  df-card 8765  df-acn 8768  df-ac 8939  df-cda 8990  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-q 11789  df-rp 11833  df-ioo 12179  df-ico 12181  df-seq 12802  df-exp 12861  df-topgen 16104  df-top 20699  df-bases 20750  df-siga 30171  df-sigagen 30202  df-brsiga 30245

This theorem is referenced by: (None)