Theorem dyadf 23359

Description: The function F returns the endpoints of a dyadic rational covering of the real line. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Mar-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
dyadmbl.1	|- F = ( x e. ZZ , y e. NN0 |-> <. ( x / ( 2 ^ y ) ) , ( ( x + 1 ) / ( 2 ^ y ) ) >. )

Assertion

Ref	Expression
dyadf	|- F : ( ZZ X. NN0 ) --> ( <_ i^i ( RR X. RR ) )

Distinct variable group:   x, y, F

Proof of Theorem dyadf

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zre 11381	. . . . . . . 8 |- ( x e. ZZ -> x e. RR )
2	1	adantr 481	. . . . . . 7 |- ( ( x e. ZZ /\ y e. NN0 ) -> x e. RR )
3	2	lep1d 10955	. . . . . 6 |- ( ( x e. ZZ /\ y e. NN0 ) -> x <_ ( x + 1 ) )
4		peano2re 10209	. . . . . . . 8 |- ( x e. RR -> ( x + 1 ) e. RR )
5	2, 4	syl 17	. . . . . . 7 |- ( ( x e. ZZ /\ y e. NN0 ) -> ( x + 1 ) e. RR )
6		2nn 11185	. . . . . . . . . 10 |- 2 e. NN
7		nnexpcl 12873	. . . . . . . . . 10 |- ( ( 2 e. NN /\ y e. NN0 ) -> ( 2 ^ y ) e. NN )
8	6, 7	mpan 706	. . . . . . . . 9 |- ( y e. NN0 -> ( 2 ^ y ) e. NN )
9	8	adantl 482	. . . . . . . 8 |- ( ( x e. ZZ /\ y e. NN0 ) -> ( 2 ^ y ) e. NN )
10	9	nnred 11035	. . . . . . 7 |- ( ( x e. ZZ /\ y e. NN0 ) -> ( 2 ^ y ) e. RR )
11	9	nngt0d 11064	. . . . . . 7 |- ( ( x e. ZZ /\ y e. NN0 ) -> 0 < ( 2 ^ y ) )
12		lediv1 10888	. . . . . . 7 |- ( ( x e. RR /\ ( x + 1 ) e. RR /\ ( ( 2 ^ y ) e. RR /\ 0 < ( 2 ^ y ) ) ) -> ( x <_ ( x + 1 ) <-> ( x / ( 2 ^ y ) ) <_ ( ( x + 1 ) / ( 2 ^ y ) ) ) )
13	2, 5, 10, 11, 12	syl112anc 1330	. . . . . 6 |- ( ( x e. ZZ /\ y e. NN0 ) -> ( x <_ ( x + 1 ) <-> ( x / ( 2 ^ y ) ) <_ ( ( x + 1 ) / ( 2 ^ y ) ) ) )
14	3, 13	mpbid 222	. . . . 5 |- ( ( x e. ZZ /\ y e. NN0 ) -> ( x / ( 2 ^ y ) ) <_ ( ( x + 1 ) / ( 2 ^ y ) ) )
15		df-br 4654	. . . . 5 |- ( ( x / ( 2 ^ y ) ) <_ ( ( x + 1 ) / ( 2 ^ y ) ) <-> <. ( x / ( 2 ^ y ) ) , ( ( x + 1 ) / ( 2 ^ y ) ) >. e. <_ )
16	14, 15	sylib 208	. . . 4 |- ( ( x e. ZZ /\ y e. NN0 ) -> <. ( x / ( 2 ^ y ) ) , ( ( x + 1 ) / ( 2 ^ y ) ) >. e. <_ )
17		nndivre 11056	. . . . . 6 |- ( ( x e. RR /\ ( 2 ^ y ) e. NN ) -> ( x / ( 2 ^ y ) ) e. RR )
18	1, 8, 17	syl2an 494	. . . . 5 |- ( ( x e. ZZ /\ y e. NN0 ) -> ( x / ( 2 ^ y ) ) e. RR )
19	1, 4	syl 17	. . . . . 6 |- ( x e. ZZ -> ( x + 1 ) e. RR )
20		nndivre 11056	. . . . . 6 |- ( ( ( x + 1 ) e. RR /\ ( 2 ^ y ) e. NN ) -> ( ( x + 1 ) / ( 2 ^ y ) ) e. RR )
21	19, 8, 20	syl2an 494	. . . . 5 |- ( ( x e. ZZ /\ y e. NN0 ) -> ( ( x + 1 ) / ( 2 ^ y ) ) e. RR )
22		opelxpi 5148	. . . . 5 |- ( ( ( x / ( 2 ^ y ) ) e. RR /\ ( ( x + 1 ) / ( 2 ^ y ) ) e. RR ) -> <. ( x / ( 2 ^ y ) ) , ( ( x + 1 ) / ( 2 ^ y ) ) >. e. ( RR X. RR ) )
23	18, 21, 22	syl2anc 693	. . . 4 |- ( ( x e. ZZ /\ y e. NN0 ) -> <. ( x / ( 2 ^ y ) ) , ( ( x + 1 ) / ( 2 ^ y ) ) >. e. ( RR X. RR ) )
24	16, 23	elind 3798	. . 3 |- ( ( x e. ZZ /\ y e. NN0 ) -> <. ( x / ( 2 ^ y ) ) , ( ( x + 1 ) / ( 2 ^ y ) ) >. e. ( <_ i^i ( RR X. RR ) ) )
25	24	rgen2 2975	. 2 |- A. x e. ZZ A. y e. NN0 <. ( x / ( 2 ^ y ) ) , ( ( x + 1 ) / ( 2 ^ y ) ) >. e. ( <_ i^i ( RR X. RR ) )
26		dyadmbl.1	. . 3 |- F = ( x e. ZZ , y e. NN0 |-> <. ( x / ( 2 ^ y ) ) , ( ( x + 1 ) / ( 2 ^ y ) ) >. )
27	26	fmpt2 7237	. 2 |- ( A. x e. ZZ A. y e. NN0 <. ( x / ( 2 ^ y ) ) , ( ( x + 1 ) / ( 2 ^ y ) ) >. e. ( <_ i^i ( RR X. RR ) ) <-> F : ( ZZ X. NN0 ) --> ( <_ i^i ( RR X. RR ) ) )
28	25, 27	mpbi 220	1 |- F : ( ZZ X. NN0 ) --> ( <_ i^i ( RR X. RR ) )

Syntax hints:   <-> wb 196   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   A.wral 2912   i^i cin 3573   <.cop 4183   class class class wbr 4653   X. cxp 5112   -->wf 5884  (class class class)co 6650   |-> cmpt2 6652   RRcr 9935   0cc0 9936   1c1 9937   + caddc 9939   < clt 10074   <_ cle 10075   / cdiv 10684   NNcn 11020   2c2 11070   NN0cn0 11292   ZZcz 11377   ^cexp 12860

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-seq 12802  df-exp 12861

This theorem is referenced by:  dyaddisj  23364  dyadmax  23366  dyadmbllem  23367  dyadmbl  23368  opnmbllem  23369  opnmbllem0  33445  mblfinlem2  33447