opnmbllem - Metamath Proof Explorer

	Metamath Proof Explorer		< Previous Next > Nearby theorems
Mirrors > Home > MPE Home > Th. List > opnmbllem		Structured version Visualization version Unicode version

Theorem opnmbllem 23369

Description: Lemma for opnmbl 23370. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Mar-2015.)

**Hypothesis**
Ref	Expression
dyadmbl.1

**Assertion**
Ref	Expression
opnmbllem

Distinct variable groups:

Proof of Theorem opnmbllem Dummy variables

are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fveq2 6191	. . . . . . . . 9
2	1	sseq1d 3632	. . . . . . . 8
3	2	elrab 3363	. . . . . . 7 $/\$
4		simprr 796	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$
5		fvex 6201	. . . . . . . . 9
6	5	elpw 4164	. . . . . . . 8
7	4, 6	sylibr 224	. . . . . . 7 $/\$ $/\$
8	3, 7	sylan2b 492	. . . . . 6 $/\$
9	8	ralrimiva 2966	. . . . 5
10		iccf 12272	. . . . . . 7
11		ffun 6048	. . . . . . 7
12	10, 11	ax-mp 5	. . . . . 6
13		ssrab2 3687	. . . . . . . 8
14		dyadmbl.1	. . . . . . . . . . 11
15	14	dyadf 23359	. . . . . . . . . 10
16		frn 6053	. . . . . . . . . 10
17	15, 16	ax-mp 5	. . . . . . . . 9
18		inss2 3834	. . . . . . . . . 10
19		rexpssxrxp 10084	. . . . . . . . . 10
20	18, 19	sstri 3612	. . . . . . . . 9
21	17, 20	sstri 3612	. . . . . . . 8
22	13, 21	sstri 3612	. . . . . . 7
23	10	fdmi 6052	. . . . . . 7
24	22, 23	sseqtr4i 3638	. . . . . 6
25		funimass4 6247	. . . . . 6 $/\$
26	12, 24, 25	mp2an 708	. . . . 5
27	9, 26	sylibr 224	. . . 4
28		sspwuni 4611	. . . 4
29	27, 28	sylib 208	. . 3
30		eqid 2622	. . . . . . . 8
31	30	rexmet 22594	. . . . . . 7
32		eqid 2622	. . . . . . . . 9
33	30, 32	tgioo 22599	. . . . . . . 8
34	33	mopni2 22298	. . . . . . 7 $/\$ $/\$
35	31, 34	mp3an1 1411	. . . . . 6 $/\$
36		elssuni 4467	. . . . . . . . . . . 12
37		uniretop 22566	. . . . . . . . . . . 12
38	36, 37	syl6sseqr 3652	. . . . . . . . . . 11
39	38	sselda 3603	. . . . . . . . . 10 $/\$
40		rpre 11839	. . . . . . . . . 10
41	30	bl2ioo 22595	. . . . . . . . . 10 $/\$
42	39, 40, 41	syl2an 494	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$
43	42	sseq1d 3632	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$
44		2re 11090	. . . . . . . . . . . 12
45		1lt2 11194	. . . . . . . . . . . 12
46		expnlbnd 12994	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$
47	44, 45, 46	mp3an23 1416	. . . . . . . . . . 11
48	47	ad2antrl 764	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ $/\$
49	39	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
50		2nn 11185	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
51		nnnn0 11299	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
52	51	ad2antrl 764	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
53		nnexpcl 12873	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$
54	50, 52, 53	sylancr 695	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
55	54	nnred 11035	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
56	49, 55	remulcld 10070	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
57		fllelt 12598	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$
58	56, 57	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
59	58	simpld 475	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
60		reflcl 12597	. . . . . . . . . . . . . . . 16
61	56, 60	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
62	54	nngt0d 11064	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
63		ledivmul2 10902	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$
64	61, 49, 55, 62, 63	syl112anc 1330	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
65	59, 64	mpbird 247	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
66		peano2re 10209	. . . . . . . . . . . . . . . 16
67	61, 66	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
68	67, 54	nndivred 11069	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
69	58	simprd 479	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
70		ltmuldiv 10896	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$ $/\$
71	49, 67, 55, 62, 70	syl112anc 1330	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
72	69, 71	mpbid 222	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
73	49, 68, 72	ltled 10185	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
74	61, 54	nndivred 11069	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
75		elicc2 12238	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$
76	74, 68, 75	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
77	49, 65, 73, 76	mpbir3and 1245	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
78	56	flcld 12599	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
79	14	dyadval 23360	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$
80	78, 52, 79	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
81	80	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
82		df-ov 6653	. . . . . . . . . . . . 13
83	81, 82	syl6eqr 2674	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
84	77, 83	eleqtrrd 2704	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
85		ffn 6045	. . . . . . . . . . . . . . . 16
86	15, 85	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . 15
87		fnovrn 6809	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$
88	86, 87	mp3an1 1411	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$
89	78, 52, 88	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
90		simplrl 800	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
91	90	rpred 11872	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
92	49, 91	resubcld 10458	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
93	92	rexrd 10089	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
94	49, 91	readdcld 10069	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
95	94	rexrd 10089	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
96	74, 91	readdcld 10069	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
97	61	recnd 10068	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
98		1cnd 10056	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
99	55	recnd 10068	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
100	54	nnne0d 11065	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
101	97, 98, 99, 100	divdird 10839	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
102	54	nnrecred 11066	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
103		simprr 796	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
104	102, 91, 74, 103	ltadd2dd 10196	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
105	101, 104	eqbrtrd 4675	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
106	49, 68, 96, 72, 105	lttrd 10198	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
107	49, 91, 74	ltsubaddd 10623	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
108	106, 107	mpbird 247	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
109	49, 102	readdcld 10069	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
110	74, 49, 102, 65	leadd1dd 10641	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
111	101, 110	eqbrtrd 4675	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
112	102, 91, 49, 103	ltadd2dd 10196	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
113	68, 109, 94, 111, 112	lelttrd 10195	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
114		iccssioo 12242	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$ $/\$
115	93, 95, 108, 113, 114	syl22anc 1327	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
116	83, 115	eqsstrd 3639	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
117		simplrr 801	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
118	116, 117	sstrd 3613	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
119		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . . . . 15
120	119	sseq1d 3632	. . . . . . . . . . . . . 14
121	120	elrab 3363	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
122	89, 118, 121	sylanbrc 698	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
123		funfvima2 6493	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
124	12, 24, 123	mp2an 708	. . . . . . . . . . . 12
125	122, 124	syl 17	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
126		elunii 4441	. . . . . . . . . . 11 $/\$
127	84, 125, 126	syl2anc 693	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
128	48, 127	rexlimddv 3035	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$
129	128	expr 643	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$
130	43, 129	sylbid 230	. . . . . . 7 $/\$ $/\$
131	130	rexlimdva 3031	. . . . . 6 $/\$
132	35, 131	mpd 15	. . . . 5 $/\$
133	132	ex 450	. . . 4
134	133	ssrdv 3609	. . 3
135	29, 134	eqssd 3620	. 2
136		fveq2 6191	. . . . . . 7
137	136	sseq1d 3632	. . . . . 6
138		equequ1 1952	. . . . . 6
139	137, 138	imbi12d 334	. . . . 5
140	139	ralbidv 2986	. . . 4
141	140	cbvrabv 3199	. . 3
142	13	a1i 11	. . 3
143	14, 141, 142	dyadmbl 23368	. 2
144	135, 143	eqeltrrd 2702	1

Colors of variables: wff setvar class

Syntax hints:

wi 4

wb 196 $/\$ wa 384 $/\$ w3a 1037

wceq 1483

wcel 1990

wral 2912

wrex 2913

crab 2916

cin 3573

wss 3574

cpw 4158

cop 4183

cuni 4436 class class class wbr 4653

cxp 5112

cdm 5114

crn 5115

cres 5116

cima 5117

ccom 5118

wfun 5882

wfn 5883

wf 5884

cfv 5888 (class class class)co 6650

cmpt2 6652

cr 9935

cc0 9936

c1 9937

caddc 9939

cmul 9941

cxr 10073

clt 10074

cle 10075

cmin 10266

cdiv 10684

cn 11020

c2 11070

cn0 11292

cz 11377

crp 11832

cioo 12175

cicc 12178

cfl 12591

cexp 12860

cabs 13974

ctg 16098

cxmt 19731

cbl 19733

cmopn 19736

cvol 23232

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1722 ax-4 1737 ax-5 1839 ax-6 1888 ax-7 1935 ax-8 1992 ax-9 1999 ax-10 2019 ax-11 2034 ax-12 2047 ax-13 2246 ax-ext 2602 ax-rep 4771 ax-sep 4781 ax-nul 4789 ax-pow 4843 ax-pr 4906 ax-un 6949 ax-inf2 8538 ax-cnex 9992 ax-resscn 9993 ax-1cn 9994 ax-icn 9995 ax-addcl 9996 ax-addrcl 9997 ax-mulcl 9998 ax-mulrcl 9999 ax-mulcom 10000 ax-addass 10001 ax-mulass 10002 ax-distr 10003 ax-i2m1 10004 ax-1ne0 10005 ax-1rid 10006 ax-rnegex 10007 ax-rrecex 10008 ax-cnre 10009 ax-pre-lttri 10010 ax-pre-lttrn 10011 ax-pre-ltadd 10012 ax-pre-mulgt0 10013 ax-pre-sup 10014

This theorem depends on definitions: df-bi 197 df-or 385 df-an 386 df-3or 1038 df-3an 1039 df-tru 1486 df-fal 1489 df-ex 1705 df-nf 1710 df-sb 1881 df-eu 2474 df-mo 2475 df-clab 2609 df-cleq 2615 df-clel 2618 df-nfc 2753 df-ne 2795 df-nel 2898 df-ral 2917 df-rex 2918 df-reu 2919 df-rmo 2920 df-rab 2921 df-v 3202 df-sbc 3436 df-csb 3534 df-dif 3577 df-un 3579 df-in 3581 df-ss 3588 df-pss 3590 df-nul 3916 df-if 4087 df-pw 4160 df-sn 4178 df-pr 4180 df-tp 4182 df-op 4184 df-uni 4437 df-int 4476 df-iun 4522 df-disj 4621 df-br 4654 df-opab 4713 df-mpt 4730 df-tr 4753 df-id 5024 df-eprel 5029 df-po 5035 df-so 5036 df-fr 5073 df-se 5074 df-we 5075 df-xp 5120 df-rel 5121 df-cnv 5122 df-co 5123 df-dm 5124 df-rn 5125 df-res 5126 df-ima 5127 df-pred 5680 df-ord 5726 df-on 5727 df-lim 5728 df-suc 5729 df-iota 5851 df-fun 5890 df-fn 5891 df-f 5892 df-f1 5893 df-fo 5894 df-f1o 5895 df-fv 5896 df-isom 5897 df-riota 6611 df-ov 6653 df-oprab 6654 df-mpt2 6655 df-of 6897 df-om 7066 df-1st 7168 df-2nd 7169 df-wrecs 7407 df-recs 7468 df-rdg 7506 df-1o 7560 df-2o 7561 df-oadd 7564 df-omul 7565 df-er 7742 df-map 7859 df-pm 7860 df-en 7956 df-dom 7957 df-sdom 7958 df-fin 7959 df-fi 8317 df-sup 8348 df-inf 8349 df-oi 8415 df-card 8765 df-acn 8768 df-cda 8990 df-pnf 10076 df-mnf 10077 df-xr 10078 df-ltxr 10079 df-le 10080 df-sub 10268 df-neg 10269 df-div 10685 df-nn 11021 df-2 11079 df-3 11080 df-4 11081 df-n0 11293 df-z 11378 df-uz 11688 df-q 11789 df-rp 11833 df-xneg 11946 df-xadd 11947 df-xmul 11948 df-ioo 12179 df-ico 12181 df-icc 12182 df-fz 12327 df-fzo 12466 df-fl 12593 df-seq 12802 df-exp 12861 df-hash 13118 df-cj 13839 df-re 13840 df-im 13841 df-sqrt 13975 df-abs 13976 df-clim 14219 df-rlim 14220 df-sum 14417 df-rest 16083 df-topgen 16104 df-psmet 19738 df-xmet 19739 df-met 19740 df-bl 19741 df-mopn 19742 df-top 20699 df-topon 20716 df-bases 20750 df-cmp 21190 df-ovol 23233 df-vol 23234

This theorem is referenced by: opnmbl 23370

W3C validator