Theorem esumc 30113

Description: Convert from the collection form to the class-variable form of a sum. (Contributed by Thierry Arnoux, 10-May-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
esumc.0	|- F/_ k D
esumc.1	|- F/ k ph
esumc.2	|- F/_ k A
esumc.3	|- ( y = C -> D = B )
esumc.4	|- ( ph -> A e. V )
esumc.5	|- ( ph -> Fun `' ( k e. A |-> C ) )
esumc.6	|- ( ( ph /\ k e. A ) -> B e. ( 0 [,] +oo ) )
esumc.7	|- ( ( ph /\ k e. A ) -> C e. W )

Assertion

Ref	Expression
esumc	|- ( ph -> Σ* k e. A B = Σ* y e. { z | E. k e. A z = C } D )

Distinct variable groups:   y, k, z   y, A, z   y, B   y, C, z   ph, y

Allowed substitution hints:   ph( z, k)   A( k)   B( z, k)   C( k)   D( y, z, k)   V( y, z, k)   W( y, z, k)

Proof of Theorem esumc

Step	Hyp	Ref	Expression
1		esumc.1	. . 3 |- F/ k ph
2		esumc.0	. . 3 |- F/_ k D
3		nfcv 2764	. . 3 |- F/_ y B
4		nfre1 3005	. . . 4 |- F/ k E. k e. A z = C
5	4	nfab 2769	. . 3 |- F/_ k { z | E. k e. A z = C }
6		esumc.2	. . 3 |- F/_ k A
7		nfmpt1 4747	. . 3 |- F/_ k ( k e. A |-> C )
8		esumc.3	. . 3 |- ( y = C -> D = B )
9		esumc.4	. . . . 5 |- ( ph -> A e. V )
10		elex 3212	. . . . 5 |- ( A e. V -> A e. _V )
11	9, 10	syl 17	. . . 4 |- ( ph -> A e. _V )
12	6, 11	abrexexd 29347	. . 3 |- ( ph -> { z | E. k e. A z = C } e. _V )
13		esumc.7	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ k e. A ) -> C e. W )
14	13	ex 450	. . . . . 6 |- ( ph -> ( k e. A -> C e. W ) )
15	1, 14	ralrimi 2957	. . . . 5 |- ( ph -> A. k e. A C e. W )
16	6	fnmptf 6016	. . . . 5 |- ( A. k e. A C e. W -> ( k e. A |-> C ) Fn A )
17	15, 16	syl 17	. . . 4 |- ( ph -> ( k e. A |-> C ) Fn A )
18		esumc.5	. . . 4 |- ( ph -> Fun `' ( k e. A |-> C ) )
19		eqid 2622	. . . . . 6 |- ( k e. A |-> C ) = ( k e. A |-> C )
20	19	rnmpt 5371	. . . . 5 |- ran ( k e. A |-> C ) = { z | E. k e. A z = C }
21	20	a1i 11	. . . 4 |- ( ph -> ran ( k e. A |-> C ) = { z | E. k e. A z = C } )
22		dff1o2 6142	. . . 4 |- ( ( k e. A |-> C ) : A -1-1-onto-> { z | E. k e. A z = C } <-> ( ( k e. A |-> C ) Fn A /\ Fun `' ( k e. A |-> C ) /\ ran ( k e. A |-> C ) = { z | E. k e. A z = C } ) )
23	17, 18, 21, 22	syl3anbrc 1246	. . 3 |- ( ph -> ( k e. A |-> C ) : A -1-1-onto-> { z | E. k e. A z = C } )
24		simpr 477	. . . 4 |- ( ( ph /\ k e. A ) -> k e. A )
25	6	fvmpt2f 6283	. . . 4 |- ( ( k e. A /\ C e. W ) -> ( ( k e. A |-> C ) ` k ) = C )
26	24, 13, 25	syl2anc 693	. . 3 |- ( ( ph /\ k e. A ) -> ( ( k e. A |-> C ) ` k ) = C )
27		vex 3203	. . . . . 6 |- y e. _V
28		eqeq1 2626	. . . . . . 7 |- ( z = y -> ( z = C <-> y = C ) )
29	28	rexbidv 3052	. . . . . 6 |- ( z = y -> ( E. k e. A z = C <-> E. k e. A y = C ) )
30	27, 29	elab 3350	. . . . 5 |- ( y e. { z | E. k e. A z = C } <-> E. k e. A y = C )
31	8	reximi 3011	. . . . 5 |- ( E. k e. A y = C -> E. k e. A D = B )
32	30, 31	sylbi 207	. . . 4 |- ( y e. { z | E. k e. A z = C } -> E. k e. A D = B )
33		nfcv 2764	. . . . . . 7 |- F/_ k ( 0 [,] +oo )
34	2, 33	nfel 2777	. . . . . 6 |- F/ k D e. ( 0 [,] +oo )
35		esumc.6	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ k e. A ) -> B e. ( 0 [,] +oo ) )
36		eleq1 2689	. . . . . . . 8 |- ( D = B -> ( D e. ( 0 [,] +oo ) <-> B e. ( 0 [,] +oo ) ) )
37	35, 36	syl5ibrcom 237	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ k e. A ) -> ( D = B -> D e. ( 0 [,] +oo ) ) )
38	37	ex 450	. . . . . 6 |- ( ph -> ( k e. A -> ( D = B -> D e. ( 0 [,] +oo ) ) ) )
39	1, 34, 38	rexlimd 3026	. . . . 5 |- ( ph -> ( E. k e. A D = B -> D e. ( 0 [,] +oo ) ) )
40	39	imp 445	. . . 4 |- ( ( ph /\ E. k e. A D = B ) -> D e. ( 0 [,] +oo ) )
41	32, 40	sylan2 491	. . 3 |- ( ( ph /\ y e. { z | E. k e. A z = C } ) -> D e. ( 0 [,] +oo ) )
42	1, 2, 3, 5, 6, 7, 8, 12, 23, 26, 41	esumf1o 30112	. 2 |- ( ph -> Σ* y e. { z | E. k e. A z = C } D = Σ* k e. A B )
43	42	eqcomd 2628	1 |- ( ph -> Σ* k e. A B = Σ* y e. { z | E. k e. A z = C } D )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 384   = wceq 1483   F/wnf 1708   e. wcel 1990   {cab 2608   F/_wnfc 2751   A.wral 2912   E.wrex 2913   _Vcvv 3200   |-> cmpt 4729   `'ccnv 5113   ran crn 5115   Fun wfun 5882   Fn wfn 5883   -1-1-onto->wf1o 5887   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   0cc0 9936   +oocpnf 10071   [,]cicc 12178  Σ^*cesum 30089

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-fal 1489  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-supp 7296  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-oadd 7564  df-er 7742  df-map 7859  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-fsupp 8276  df-fi 8317  df-oi 8415  df-card 8765  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-4 11081  df-5 11082  df-6 11083  df-7 11084  df-8 11085  df-9 11086  df-n0 11293  df-z 11378  df-dec 11494  df-uz 11688  df-xadd 11947  df-icc 12182  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-seq 12802  df-hash 13118  df-struct 15859  df-ndx 15860  df-slot 15861  df-base 15863  df-sets 15864  df-ress 15865  df-plusg 15954  df-mulr 15955  df-tset 15960  df-ple 15961  df-ds 15964  df-rest 16083  df-topn 16084  df-0g 16102  df-gsum 16103  df-topgen 16104  df-ordt 16161  df-xrs 16162  df-ps 17200  df-tsr 17201  df-mgm 17242  df-sgrp 17284  df-mnd 17295  df-submnd 17336  df-cntz 17750  df-cmn 18195  df-fbas 19743  df-fg 19744  df-top 20699  df-topon 20716  df-topsp 20737  df-bases 20750  df-ntr 20824  df-nei 20902  df-fil 21650  df-fm 21742  df-flim 21743  df-flf 21744  df-tsms 21930  df-esum 30090

This theorem is referenced by:  esumrnmpt  30114  esum2dlem  30154  measvunilem  30275  omssubadd  30362