Theorem measvunilem 30275

Description: Lemma for measvuni 30277. (Contributed by Thierry Arnoux, 7-Feb-2017.) (Revised by Thierry Arnoux, 19-Feb-2017.) (Revised by Thierry Arnoux, 6-Mar-2017.)

Hypothesis

Ref	Expression
measvunilem.1	|- F/_ x A

Assertion

Ref	Expression
measvunilem	|- ( ( M e. (measures ` S ) /\ A. x e. A B e. ( S \ { (/) } ) /\ ( A ~<_ om /\ Disj x e. A B ) ) -> ( M ` U_ x e. A B ) = Σ* x e. A ( M ` B ) )

Distinct variable groups:   x, M   x, S

Allowed substitution hints:   A( x)   B( x)

Proof of Theorem measvunilem

Dummy variables y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp1 1061	. . 3 |- ( ( M e. (measures ` S ) /\ A. x e. A B e. ( S \ { (/) } ) /\ ( A ~<_ om /\ Disj x e. A B ) ) -> M e. (measures ` S ) )
2		simp3l 1089	. . . . . 6 |- ( ( M e. (measures ` S ) /\ A. x e. A B e. ( S \ { (/) } ) /\ ( A ~<_ om /\ Disj x e. A B ) ) -> A ~<_ om )
3		measvunilem.1	. . . . . . 7 |- F/_ x A
4	3	abrexctf 29496	. . . . . 6 |- ( A ~<_ om -> { y | E. x e. A y = B } ~<_ om )
5	2, 4	syl 17	. . . . 5 |- ( ( M e. (measures ` S ) /\ A. x e. A B e. ( S \ { (/) } ) /\ ( A ~<_ om /\ Disj x e. A B ) ) -> { y | E. x e. A y = B } ~<_ om )
6		ctex 7970	. . . . 5 |- ( { y | E. x e. A y = B } ~<_ om -> { y | E. x e. A y = B } e. _V )
7	5, 6	syl 17	. . . 4 |- ( ( M e. (measures ` S ) /\ A. x e. A B e. ( S \ { (/) } ) /\ ( A ~<_ om /\ Disj x e. A B ) ) -> { y | E. x e. A y = B } e. _V )
8		simp2 1062	. . . . 5 |- ( ( M e. (measures ` S ) /\ A. x e. A B e. ( S \ { (/) } ) /\ ( A ~<_ om /\ Disj x e. A B ) ) -> A. x e. A B e. ( S \ { (/) } ) )
9		eldifi 3732	. . . . . . 7 |- ( B e. ( S \ { (/) } ) -> B e. S )
10	9	ralimi 2952	. . . . . 6 |- ( A. x e. A B e. ( S \ { (/) } ) -> A. x e. A B e. S )
11		nfcv 2764	. . . . . . 7 |- F/_ x S
12	11	abrexss 29350	. . . . . 6 |- ( A. x e. A B e. S -> { y | E. x e. A y = B } C_ S )
13	10, 12	syl 17	. . . . 5 |- ( A. x e. A B e. ( S \ { (/) } ) -> { y | E. x e. A y = B } C_ S )
14	8, 13	syl 17	. . . 4 |- ( ( M e. (measures ` S ) /\ A. x e. A B e. ( S \ { (/) } ) /\ ( A ~<_ om /\ Disj x e. A B ) ) -> { y | E. x e. A y = B } C_ S )
15		elpwg 4166	. . . . 5 |- ( { y | E. x e. A y = B } e. _V -> ( { y | E. x e. A y = B } e. ~P S <-> { y | E. x e. A y = B } C_ S ) )
16	15	biimpar 502	. . . 4 |- ( ( { y | E. x e. A y = B } e. _V /\ { y | E. x e. A y = B } C_ S ) -> { y | E. x e. A y = B } e. ~P S )
17	7, 14, 16	syl2anc 693	. . 3 |- ( ( M e. (measures ` S ) /\ A. x e. A B e. ( S \ { (/) } ) /\ ( A ~<_ om /\ Disj x e. A B ) ) -> { y | E. x e. A y = B } e. ~P S )
18		simp3r 1090	. . . 4 |- ( ( M e. (measures ` S ) /\ A. x e. A B e. ( S \ { (/) } ) /\ ( A ~<_ om /\ Disj x e. A B ) ) -> Disj x e. A B )
19	3	disjabrexf 29396	. . . 4 |- (Disj x e. A B -> Disj z e. { y | E. x e. A y = B } z )
20	18, 19	syl 17	. . 3 |- ( ( M e. (measures ` S ) /\ A. x e. A B e. ( S \ { (/) } ) /\ ( A ~<_ om /\ Disj x e. A B ) ) -> Disj z e. { y | E. x e. A y = B } z )
21		measvun 30272	. . 3 |- ( ( M e. (measures ` S ) /\ { y | E. x e. A y = B } e. ~P S /\ ( { y | E. x e. A y = B } ~<_ om /\ Disj z e. { y | E. x e. A y = B } z ) ) -> ( M ` U. { y | E. x e. A y = B } ) = Σ* z e. { y | E. x e. A y = B } ( M ` z ) )
22	1, 17, 5, 20, 21	syl112anc 1330	. 2 |- ( ( M e. (measures ` S ) /\ A. x e. A B e. ( S \ { (/) } ) /\ ( A ~<_ om /\ Disj x e. A B ) ) -> ( M ` U. { y | E. x e. A y = B } ) = Σ* z e. { y | E. x e. A y = B } ( M ` z ) )
23		dfiun2g 4552	. . . 4 |- ( A. x e. A B e. ( S \ { (/) } ) -> U_ x e. A B = U. { y | E. x e. A y = B } )
24	23	fveq2d 6195	. . 3 |- ( A. x e. A B e. ( S \ { (/) } ) -> ( M ` U_ x e. A B ) = ( M ` U. { y | E. x e. A y = B } ) )
25	8, 24	syl 17	. 2 |- ( ( M e. (measures ` S ) /\ A. x e. A B e. ( S \ { (/) } ) /\ ( A ~<_ om /\ Disj x e. A B ) ) -> ( M ` U_ x e. A B ) = ( M ` U. { y | E. x e. A y = B } ) )
26		nfcv 2764	. . 3 |- F/_ x ( M ` z )
27		nfv 1843	. . . 4 |- F/ x M e. (measures ` S )
28		nfra1 2941	. . . 4 |- F/ x A. x e. A B e. ( S \ { (/) } )
29		nfcv 2764	. . . . . 6 |- F/_ x ~<_
30		nfcv 2764	. . . . . 6 |- F/_ x om
31	3, 29, 30	nfbr 4699	. . . . 5 |- F/ x A ~<_ om
32		nfdisj1 4633	. . . . 5 |- F/ xDisj x e. A B
33	31, 32	nfan 1828	. . . 4 |- F/ x ( A ~<_ om /\ Disj x e. A B )
34	27, 28, 33	nf3an 1831	. . 3 |- F/ x ( M e. (measures ` S ) /\ A. x e. A B e. ( S \ { (/) } ) /\ ( A ~<_ om /\ Disj x e. A B ) )
35		fveq2 6191	. . 3 |- ( z = B -> ( M ` z ) = ( M ` B ) )
36		ctex 7970	. . . 4 |- ( A ~<_ om -> A e. _V )
37	2, 36	syl 17	. . 3 |- ( ( M e. (measures ` S ) /\ A. x e. A B e. ( S \ { (/) } ) /\ ( A ~<_ om /\ Disj x e. A B ) ) -> A e. _V )
38	8	r19.21bi 2932	. . . 4 |- ( ( ( M e. (measures ` S ) /\ A. x e. A B e. ( S \ { (/) } ) /\ ( A ~<_ om /\ Disj x e. A B ) ) /\ x e. A ) -> B e. ( S \ { (/) } ) )
39	34, 3, 38, 18	disjdsct 29480	. . 3 |- ( ( M e. (measures ` S ) /\ A. x e. A B e. ( S \ { (/) } ) /\ ( A ~<_ om /\ Disj x e. A B ) ) -> Fun `' ( x e. A |-> B ) )
40		simpl1 1064	. . . 4 |- ( ( ( M e. (measures ` S ) /\ A. x e. A B e. ( S \ { (/) } ) /\ ( A ~<_ om /\ Disj x e. A B ) ) /\ x e. A ) -> M e. (measures ` S ) )
41		measvxrge0 30268	. . . . 5 |- ( ( M e. (measures ` S ) /\ B e. S ) -> ( M ` B ) e. ( 0 [,] +oo ) )
42	9, 41	sylan2 491	. . . 4 |- ( ( M e. (measures ` S ) /\ B e. ( S \ { (/) } ) ) -> ( M ` B ) e. ( 0 [,] +oo ) )
43	40, 38, 42	syl2anc 693	. . 3 |- ( ( ( M e. (measures ` S ) /\ A. x e. A B e. ( S \ { (/) } ) /\ ( A ~<_ om /\ Disj x e. A B ) ) /\ x e. A ) -> ( M ` B ) e. ( 0 [,] +oo ) )
44	26, 34, 3, 35, 37, 39, 43, 38	esumc 30113	. 2 |- ( ( M e. (measures ` S ) /\ A. x e. A B e. ( S \ { (/) } ) /\ ( A ~<_ om /\ Disj x e. A B ) ) -> Σ* x e. A ( M ` B ) = Σ* z e. { y | E. x e. A y = B } ( M ` z ) )
45	22, 25, 44	3eqtr4d 2666	1 |- ( ( M e. (measures ` S ) /\ A. x e. A B e. ( S \ { (/) } ) /\ ( A ~<_ om /\ Disj x e. A B ) ) -> ( M ` U_ x e. A B ) = Σ* x e. A ( M ` B ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   {cab 2608   F/_wnfc 2751   A.wral 2912   E.wrex 2913   _Vcvv 3200   \ cdif 3571   C_ wss 3574   (/)c0 3915   ~Pcpw 4158   {csn 4177   U.cuni 4436   U_ciun 4520  Disj wdisj 4620   class class class wbr 4653   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   omcom 7065   ~<_ cdom 7953   0cc0 9936   +oocpnf 10071   [,]cicc 12178  Σ^*cesum 30089  measurescmeas 30258

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538  ax-ac2 9285  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-fal 1489  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-disj 4621  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-supp 7296  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-oadd 7564  df-er 7742  df-map 7859  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-fsupp 8276  df-fi 8317  df-oi 8415  df-card 8765  df-acn 8768  df-ac 8939  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-4 11081  df-5 11082  df-6 11083  df-7 11084  df-8 11085  df-9 11086  df-n0 11293  df-z 11378  df-dec 11494  df-uz 11688  df-xadd 11947  df-icc 12182  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-seq 12802  df-hash 13118  df-struct 15859  df-ndx 15860  df-slot 15861  df-base 15863  df-sets 15864  df-ress 15865  df-plusg 15954  df-mulr 15955  df-tset 15960  df-ple 15961  df-ds 15964  df-rest 16083  df-topn 16084  df-0g 16102  df-gsum 16103  df-topgen 16104  df-ordt 16161  df-xrs 16162  df-ps 17200  df-tsr 17201  df-mgm 17242  df-sgrp 17284  df-mnd 17295  df-submnd 17336  df-cntz 17750  df-cmn 18195  df-fbas 19743  df-fg 19744  df-top 20699  df-topon 20716  df-topsp 20737  df-bases 20750  df-ntr 20824  df-nei 20902  df-fil 21650  df-fm 21742  df-flim 21743  df-flf 21744  df-tsms 21930  df-esum 30090  df-meas 30259

This theorem is referenced by:  measvuni  30277