Theorem esumf1o 30112

Description: Re-index an extended sum using a bijection. (Contributed by Thierry Arnoux, 6-Apr-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
esumf1o.0	|- F/ n ph
esumf1o.b	|- F/_ n B
esumf1o.d	|- F/_ k D
esumf1o.a	|- F/_ n A
esumf1o.c	|- F/_ n C
esumf1o.f	|- F/_ n F
esumf1o.1	|- ( k = G -> B = D )
esumf1o.2	|- ( ph -> A e. V )
esumf1o.3	|- ( ph -> F : C -1-1-onto-> A )
esumf1o.4	|- ( ( ph /\ n e. C ) -> ( F ` n ) = G )
esumf1o.5	|- ( ( ph /\ k e. A ) -> B e. ( 0 [,] +oo ) )

Assertion

Ref	Expression
esumf1o	|- ( ph -> Σ* k e. A B = Σ* n e. C D )

Distinct variable groups:   k, n   A, k   C, k   k, G   ph, k

Allowed substitution hints:   ph( n)   A( n)   B( k, n)   C( n)   D( k, n)   F( k, n)   G( n)   V( k, n)

Proof of Theorem esumf1o

Step	Hyp	Ref	Expression
1		xrge0base 29685	. . . . 5 |- ( 0 [,] +oo ) = ( Base ` ( RR*s ↾s ( 0 [,] +oo ) ) )
2		xrge0cmn 19788	. . . . . 6 |- ( RR*s ↾s ( 0 [,] +oo ) ) e. CMnd
3	2	a1i 11	. . . . 5 |- ( ph -> ( RR*s ↾s ( 0 [,] +oo ) ) e. CMnd )
4		xrge0tps 29988	. . . . . 6 |- ( RR*s ↾s ( 0 [,] +oo ) ) e. TopSp
5	4	a1i 11	. . . . 5 |- ( ph -> ( RR*s ↾s ( 0 [,] +oo ) ) e. TopSp )
6		esumf1o.2	. . . . 5 |- ( ph -> A e. V )
7		esumf1o.5	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ k e. A ) -> B e. ( 0 [,] +oo ) )
8		eqid 2622	. . . . . 6 |- ( k e. A |-> B ) = ( k e. A |-> B )
9	7, 8	fmptd 6385	. . . . 5 |- ( ph -> ( k e. A |-> B ) : A --> ( 0 [,] +oo ) )
10		esumf1o.3	. . . . 5 |- ( ph -> F : C -1-1-onto-> A )
11	1, 3, 5, 6, 9, 10	tsmsf1o 21948	. . . 4 |- ( ph -> ( ( RR*s ↾s ( 0 [,] +oo ) ) tsums ( k e. A |-> B ) ) = ( ( RR*s ↾s ( 0 [,] +oo ) ) tsums ( ( k e. A |-> B ) o. F ) ) )
12		esumf1o.b	. . . . . 6 |- F/_ n B
13		esumf1o.d	. . . . . 6 |- F/_ k D
14		esumf1o.c	. . . . . 6 |- F/_ n C
15		esumf1o.a	. . . . . 6 |- F/_ n A
16		esumf1o.0	. . . . . 6 |- F/ n ph
17		esumf1o.4	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ n e. C ) -> ( F ` n ) = G )
18		f1of 6137	. . . . . . . . . . 11 |- ( F : C -1-1-onto-> A -> F : C --> A )
19	10, 18	syl 17	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> F : C --> A )
20	19	ffvelrnda 6359	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ n e. C ) -> ( F ` n ) e. A )
21	17, 20	eqeltrrd 2702	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ n e. C ) -> G e. A )
22	21	ex 450	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( n e. C -> G e. A ) )
23	16, 22	ralrimi 2957	. . . . . 6 |- ( ph -> A. n e. C G e. A )
24		esumf1o.f	. . . . . . . 8 |- F/_ n F
25	14, 24, 19	feqmptdf 6251	. . . . . . 7 |- ( ph -> F = ( n e. C |-> ( F ` n ) ) )
26	16, 17	mpteq2da 4743	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( n e. C |-> ( F ` n ) ) = ( n e. C |-> G ) )
27	25, 26	eqtrd 2656	. . . . . 6 |- ( ph -> F = ( n e. C |-> G ) )
28		eqidd 2623	. . . . . 6 |- ( ph -> ( k e. A |-> B ) = ( k e. A |-> B ) )
29		esumf1o.1	. . . . . 6 |- ( k = G -> B = D )
30	12, 13, 14, 15, 16, 23, 27, 28, 29	fmptcof2 29457	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( k e. A |-> B ) o. F ) = ( n e. C |-> D ) )
31	30	oveq2d 6666	. . . 4 |- ( ph -> ( ( RR*s ↾s ( 0 [,] +oo ) ) tsums ( ( k e. A |-> B ) o. F ) ) = ( ( RR*s ↾s ( 0 [,] +oo ) ) tsums ( n e. C |-> D ) ) )
32	11, 31	eqtrd 2656	. . 3 |- ( ph -> ( ( RR*s ↾s ( 0 [,] +oo ) ) tsums ( k e. A |-> B ) ) = ( ( RR*s ↾s ( 0 [,] +oo ) ) tsums ( n e. C |-> D ) ) )
33	32	unieqd 4446	. 2 |- ( ph -> U. ( ( RR*s ↾s ( 0 [,] +oo ) ) tsums ( k e. A |-> B ) ) = U. ( ( RR*s ↾s ( 0 [,] +oo ) ) tsums ( n e. C |-> D ) ) )
34		df-esum 30090	. 2 |- Σ* k e. A B = U. ( ( RR*s ↾s ( 0 [,] +oo ) ) tsums ( k e. A |-> B ) )
35		df-esum 30090	. 2 |- Σ* n e. C D = U. ( ( RR*s ↾s ( 0 [,] +oo ) ) tsums ( n e. C |-> D ) )
36	33, 34, 35	3eqtr4g 2681	1 |- ( ph -> Σ* k e. A B = Σ* n e. C D )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 384   = wceq 1483   F/wnf 1708   e. wcel 1990   F/_wnfc 2751   U.cuni 4436   |-> cmpt 4729   o. ccom 5118   -->wf 5884   -1-1-onto->wf1o 5887   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   0cc0 9936   +oocpnf 10071   [,]cicc 12178   ↾_s cress 15858   RR*scxrs 16160  CMndccmn 18193   TopSpctps 20736   tsums ctsu 21929  Σ^*cesum 30089

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-fal 1489  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-supp 7296  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-oadd 7564  df-er 7742  df-map 7859  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-fsupp 8276  df-fi 8317  df-oi 8415  df-card 8765  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-4 11081  df-5 11082  df-6 11083  df-7 11084  df-8 11085  df-9 11086  df-n0 11293  df-z 11378  df-dec 11494  df-uz 11688  df-xadd 11947  df-icc 12182  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-seq 12802  df-hash 13118  df-struct 15859  df-ndx 15860  df-slot 15861  df-base 15863  df-sets 15864  df-ress 15865  df-plusg 15954  df-mulr 15955  df-tset 15960  df-ple 15961  df-ds 15964  df-rest 16083  df-topn 16084  df-0g 16102  df-gsum 16103  df-topgen 16104  df-ordt 16161  df-xrs 16162  df-ps 17200  df-tsr 17201  df-mgm 17242  df-sgrp 17284  df-mnd 17295  df-submnd 17336  df-cntz 17750  df-cmn 18195  df-fbas 19743  df-fg 19744  df-top 20699  df-topon 20716  df-topsp 20737  df-bases 20750  df-ntr 20824  df-nei 20902  df-fil 21650  df-fm 21742  df-flim 21743  df-flf 21744  df-tsms 21930  df-esum 30090

This theorem is referenced by:  esumc  30113  esumiun  30156  volmeas  30294