Theorem flflp1 12608

Description: Move floor function between strict and non-strict inequality. (Contributed by Brendan Leahy, 25-Oct-2017.)

Assertion

Ref	Expression
flflp1	|- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( ( |_ ` A ) <_ B <-> A < ( ( |_ ` B ) + 1 ) ) )

Proof of Theorem flflp1

Dummy variable x is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		flltp1 12601	. . . . . 6 |- ( A e. RR -> A < ( ( |_ ` A ) + 1 ) )
2	1	ad3antrrr 766	. . . . 5 |- ( ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ ( |_ ` A ) <_ B ) /\ B < A ) -> A < ( ( |_ ` A ) + 1 ) )
3		flval 12595	. . . . . . . 8 |- ( B e. RR -> ( |_ ` B ) = ( iota_ x e. ZZ ( x <_ B /\ B < ( x + 1 ) ) ) )
4	3	ad3antlr 767	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ ( |_ ` A ) <_ B ) /\ B < A ) -> ( |_ ` B ) = ( iota_ x e. ZZ ( x <_ B /\ B < ( x + 1 ) ) ) )
5		simplr 792	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ ( |_ ` A ) <_ B ) /\ B < A ) -> ( |_ ` A ) <_ B )
6	1	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> A < ( ( |_ ` A ) + 1 ) )
7		reflcl 12597	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( A e. RR -> ( |_ ` A ) e. RR )
8		peano2re 10209	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( |_ ` A ) e. RR -> ( ( |_ ` A ) + 1 ) e. RR )
9	7, 8	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( A e. RR -> ( ( |_ ` A ) + 1 ) e. RR )
10	9	adantl 482	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( B e. RR /\ A e. RR ) -> ( ( |_ ` A ) + 1 ) e. RR )
11		lttr 10114	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( B e. RR /\ A e. RR /\ ( ( |_ ` A ) + 1 ) e. RR ) -> ( ( B < A /\ A < ( ( |_ ` A ) + 1 ) ) -> B < ( ( |_ ` A ) + 1 ) ) )
12	10, 11	mpd3an3 1425	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( B e. RR /\ A e. RR ) -> ( ( B < A /\ A < ( ( |_ ` A ) + 1 ) ) -> B < ( ( |_ ` A ) + 1 ) ) )
13	12	ancoms 469	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( ( B < A /\ A < ( ( |_ ` A ) + 1 ) ) -> B < ( ( |_ ` A ) + 1 ) ) )
14	6, 13	mpan2d 710	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( B < A -> B < ( ( |_ ` A ) + 1 ) ) )
15	14	imp 445	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ B < A ) -> B < ( ( |_ ` A ) + 1 ) )
16	15	adantlr 751	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ ( |_ ` A ) <_ B ) /\ B < A ) -> B < ( ( |_ ` A ) + 1 ) )
17		flcl 12596	. . . . . . . . . 10 |- ( A e. RR -> ( |_ ` A ) e. ZZ )
18		rebtwnz 11787	. . . . . . . . . 10 |- ( B e. RR -> E! x e. ZZ ( x <_ B /\ B < ( x + 1 ) ) )
19		breq1 4656	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x = ( |_ ` A ) -> ( x <_ B <-> ( |_ ` A ) <_ B ) )
20		oveq1 6657	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x = ( |_ ` A ) -> ( x + 1 ) = ( ( |_ ` A ) + 1 ) )
21	20	breq2d 4665	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x = ( |_ ` A ) -> ( B < ( x + 1 ) <-> B < ( ( |_ ` A ) + 1 ) ) )
22	19, 21	anbi12d 747	. . . . . . . . . . 11 |- ( x = ( |_ ` A ) -> ( ( x <_ B /\ B < ( x + 1 ) ) <-> ( ( |_ ` A ) <_ B /\ B < ( ( |_ ` A ) + 1 ) ) ) )
23	22	riota2 6633	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( |_ ` A ) e. ZZ /\ E! x e. ZZ ( x <_ B /\ B < ( x + 1 ) ) ) -> ( ( ( |_ ` A ) <_ B /\ B < ( ( |_ ` A ) + 1 ) ) <-> ( iota_ x e. ZZ ( x <_ B /\ B < ( x + 1 ) ) ) = ( |_ ` A ) ) )
24	17, 18, 23	syl2an 494	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( ( ( |_ ` A ) <_ B /\ B < ( ( |_ ` A ) + 1 ) ) <-> ( iota_ x e. ZZ ( x <_ B /\ B < ( x + 1 ) ) ) = ( |_ ` A ) ) )
25	24	ad2antrr 762	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ ( |_ ` A ) <_ B ) /\ B < A ) -> ( ( ( |_ ` A ) <_ B /\ B < ( ( |_ ` A ) + 1 ) ) <-> ( iota_ x e. ZZ ( x <_ B /\ B < ( x + 1 ) ) ) = ( |_ ` A ) ) )
26	5, 16, 25	mpbi2and 956	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ ( |_ ` A ) <_ B ) /\ B < A ) -> ( iota_ x e. ZZ ( x <_ B /\ B < ( x + 1 ) ) ) = ( |_ ` A ) )
27	4, 26	eqtrd 2656	. . . . . 6 |- ( ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ ( |_ ` A ) <_ B ) /\ B < A ) -> ( |_ ` B ) = ( |_ ` A ) )
28	27	oveq1d 6665	. . . . 5 |- ( ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ ( |_ ` A ) <_ B ) /\ B < A ) -> ( ( |_ ` B ) + 1 ) = ( ( |_ ` A ) + 1 ) )
29	2, 28	breqtrrd 4681	. . . 4 |- ( ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ ( |_ ` A ) <_ B ) /\ B < A ) -> A < ( ( |_ ` B ) + 1 ) )
30	29	ex 450	. . 3 |- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ ( |_ ` A ) <_ B ) -> ( B < A -> A < ( ( |_ ` B ) + 1 ) ) )
31		lenlt 10116	. . . . 5 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( A <_ B <-> -. B < A ) )
32		flltp1 12601	. . . . . . 7 |- ( B e. RR -> B < ( ( |_ ` B ) + 1 ) )
33	32	adantl 482	. . . . . 6 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> B < ( ( |_ ` B ) + 1 ) )
34		reflcl 12597	. . . . . . . . 9 |- ( B e. RR -> ( |_ ` B ) e. RR )
35		peano2re 10209	. . . . . . . . 9 |- ( ( |_ ` B ) e. RR -> ( ( |_ ` B ) + 1 ) e. RR )
36	34, 35	syl 17	. . . . . . . 8 |- ( B e. RR -> ( ( |_ ` B ) + 1 ) e. RR )
37	36	adantl 482	. . . . . . 7 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( ( |_ ` B ) + 1 ) e. RR )
38		lelttr 10128	. . . . . . 7 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR /\ ( ( |_ ` B ) + 1 ) e. RR ) -> ( ( A <_ B /\ B < ( ( |_ ` B ) + 1 ) ) -> A < ( ( |_ ` B ) + 1 ) ) )
39	37, 38	mpd3an3 1425	. . . . . 6 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( ( A <_ B /\ B < ( ( |_ ` B ) + 1 ) ) -> A < ( ( |_ ` B ) + 1 ) ) )
40	33, 39	mpan2d 710	. . . . 5 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( A <_ B -> A < ( ( |_ ` B ) + 1 ) ) )
41	31, 40	sylbird 250	. . . 4 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( -. B < A -> A < ( ( |_ ` B ) + 1 ) ) )
42	41	adantr 481	. . 3 |- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ ( |_ ` A ) <_ B ) -> ( -. B < A -> A < ( ( |_ ` B ) + 1 ) ) )
43	30, 42	pm2.61d 170	. 2 |- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ ( |_ ` A ) <_ B ) -> A < ( ( |_ ` B ) + 1 ) )
44		flval 12595	. . . . . . 7 |- ( A e. RR -> ( |_ ` A ) = ( iota_ x e. ZZ ( x <_ A /\ A < ( x + 1 ) ) ) )
45	44	ad3antrrr 766	. . . . . 6 |- ( ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ A < ( ( |_ ` B ) + 1 ) ) /\ B < A ) -> ( |_ ` A ) = ( iota_ x e. ZZ ( x <_ A /\ A < ( x + 1 ) ) ) )
46	34	ad2antlr 763	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ B < A ) -> ( |_ ` B ) e. RR )
47		simpll 790	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ B < A ) -> A e. RR )
48		simplr 792	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ B < A ) -> B e. RR )
49		flle 12600	. . . . . . . . . . 11 |- ( B e. RR -> ( |_ ` B ) <_ B )
50	49	ad2antlr 763	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ B < A ) -> ( |_ ` B ) <_ B )
51		simpr 477	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ B < A ) -> B < A )
52	46, 48, 47, 50, 51	lelttrd 10195	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ B < A ) -> ( |_ ` B ) < A )
53	46, 47, 52	ltled 10185	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ B < A ) -> ( |_ ` B ) <_ A )
54	53	adantlr 751	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ A < ( ( |_ ` B ) + 1 ) ) /\ B < A ) -> ( |_ ` B ) <_ A )
55		simplr 792	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ A < ( ( |_ ` B ) + 1 ) ) /\ B < A ) -> A < ( ( |_ ` B ) + 1 ) )
56		flcl 12596	. . . . . . . . 9 |- ( B e. RR -> ( |_ ` B ) e. ZZ )
57		rebtwnz 11787	. . . . . . . . 9 |- ( A e. RR -> E! x e. ZZ ( x <_ A /\ A < ( x + 1 ) ) )
58		breq1 4656	. . . . . . . . . . 11 |- ( x = ( |_ ` B ) -> ( x <_ A <-> ( |_ ` B ) <_ A ) )
59		oveq1 6657	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x = ( |_ ` B ) -> ( x + 1 ) = ( ( |_ ` B ) + 1 ) )
60	59	breq2d 4665	. . . . . . . . . . 11 |- ( x = ( |_ ` B ) -> ( A < ( x + 1 ) <-> A < ( ( |_ ` B ) + 1 ) ) )
61	58, 60	anbi12d 747	. . . . . . . . . 10 |- ( x = ( |_ ` B ) -> ( ( x <_ A /\ A < ( x + 1 ) ) <-> ( ( |_ ` B ) <_ A /\ A < ( ( |_ ` B ) + 1 ) ) ) )
62	61	riota2 6633	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( |_ ` B ) e. ZZ /\ E! x e. ZZ ( x <_ A /\ A < ( x + 1 ) ) ) -> ( ( ( |_ ` B ) <_ A /\ A < ( ( |_ ` B ) + 1 ) ) <-> ( iota_ x e. ZZ ( x <_ A /\ A < ( x + 1 ) ) ) = ( |_ ` B ) ) )
63	56, 57, 62	syl2anr 495	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( ( ( |_ ` B ) <_ A /\ A < ( ( |_ ` B ) + 1 ) ) <-> ( iota_ x e. ZZ ( x <_ A /\ A < ( x + 1 ) ) ) = ( |_ ` B ) ) )
64	63	ad2antrr 762	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ A < ( ( |_ ` B ) + 1 ) ) /\ B < A ) -> ( ( ( |_ ` B ) <_ A /\ A < ( ( |_ ` B ) + 1 ) ) <-> ( iota_ x e. ZZ ( x <_ A /\ A < ( x + 1 ) ) ) = ( |_ ` B ) ) )
65	54, 55, 64	mpbi2and 956	. . . . . 6 |- ( ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ A < ( ( |_ ` B ) + 1 ) ) /\ B < A ) -> ( iota_ x e. ZZ ( x <_ A /\ A < ( x + 1 ) ) ) = ( |_ ` B ) )
66	45, 65	eqtrd 2656	. . . . 5 |- ( ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ A < ( ( |_ ` B ) + 1 ) ) /\ B < A ) -> ( |_ ` A ) = ( |_ ` B ) )
67	49	ad3antlr 767	. . . . 5 |- ( ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ A < ( ( |_ ` B ) + 1 ) ) /\ B < A ) -> ( |_ ` B ) <_ B )
68	66, 67	eqbrtrd 4675	. . . 4 |- ( ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ A < ( ( |_ ` B ) + 1 ) ) /\ B < A ) -> ( |_ ` A ) <_ B )
69	68	ex 450	. . 3 |- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ A < ( ( |_ ` B ) + 1 ) ) -> ( B < A -> ( |_ ` A ) <_ B ) )
70		flle 12600	. . . . . . 7 |- ( A e. RR -> ( |_ ` A ) <_ A )
71	70	adantr 481	. . . . . 6 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( |_ ` A ) <_ A )
72	7	adantr 481	. . . . . . 7 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( |_ ` A ) e. RR )
73		letr 10131	. . . . . . . 8 |- ( ( ( |_ ` A ) e. RR /\ A e. RR /\ B e. RR ) -> ( ( ( |_ ` A ) <_ A /\ A <_ B ) -> ( |_ ` A ) <_ B ) )
74	73	3coml 1272	. . . . . . 7 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR /\ ( |_ ` A ) e. RR ) -> ( ( ( |_ ` A ) <_ A /\ A <_ B ) -> ( |_ ` A ) <_ B ) )
75	72, 74	mpd3an3 1425	. . . . . 6 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( ( ( |_ ` A ) <_ A /\ A <_ B ) -> ( |_ ` A ) <_ B ) )
76	71, 75	mpand 711	. . . . 5 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( A <_ B -> ( |_ ` A ) <_ B ) )
77	31, 76	sylbird 250	. . . 4 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( -. B < A -> ( |_ ` A ) <_ B ) )
78	77	adantr 481	. . 3 |- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ A < ( ( |_ ` B ) + 1 ) ) -> ( -. B < A -> ( |_ ` A ) <_ B ) )
79	69, 78	pm2.61d 170	. 2 |- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ A < ( ( |_ ` B ) + 1 ) ) -> ( |_ ` A ) <_ B )
80	43, 79	impbida 877	1 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( ( |_ ` A ) <_ B <-> A < ( ( |_ ` B ) + 1 ) ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   E!wreu 2914   class class class wbr 4653   ` cfv 5888   iota_crio 6610  (class class class)co 6650   RRcr 9935   1c1 9937   + caddc 9939   < clt 10074   <_ cle 10075   ZZcz 11377   |_cfl 12591

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-sup 8348  df-inf 8349  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-nn 11021  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-fl 12593

This theorem is referenced by:  itg2addnclem2  33462  hashnzfzclim  38521  fllog2  42362