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Theorem fllog2 42362
Description: The floor of the binary logarithm of 2 to the power of an element of a half-open integer interval bounded by powers of 2 is equal to the integer. (Contributed by AV, 31-May-2020.)
Assertion
Ref Expression
fllog2 |- ( ( I e. NN0 /\ N e. ( ( 2 ^ I )..^ ( 2 ^ ( I + 1 ) ) ) ) -> ( |_ ` ( 2 logb N ) ) = I )
Proof of Theorem fllog2
StepHypRef Expression
1 nn0z 11400 . . . 4 |- ( I e. NN0 -> I e. ZZ )
21adantr 481 . . 3 |- ( ( I e. NN0 /\ N e. ( ( 2 ^ I )..^ ( 2 ^ ( I + 1 ) ) ) ) -> I e. ZZ )
3 2rp 11837 . . . . . 6 |- 2 e. RR+
43a1i 11 . . . . 5 |- ( ( I e. NN0 /\ N e. ( ( 2 ^ I )..^ ( 2 ^ ( I + 1 ) ) ) ) -> 2 e. RR+ )
5 elfzoelz 12470 . . . . . . . 8 |- ( N e. ( ( 2 ^ I )..^ ( 2 ^ ( I + 1 ) ) ) -> N e. ZZ )
65zred 11482 . . . . . . 7 |- ( N e. ( ( 2 ^ I )..^ ( 2 ^ ( I + 1 ) ) ) -> N e. RR )
76adantl 482 . . . . . 6 |- ( ( I e. NN0 /\ N e. ( ( 2 ^ I )..^ ( 2 ^ ( I + 1 ) ) ) ) -> N e. RR )
8 elfzo2 12473 . . . . . . . 8 |- ( N e. ( ( 2 ^ I )..^ ( 2 ^ ( I + 1 ) ) ) <-> ( N e. ( ZZ>= ` ( 2 ^ I ) ) /\ ( 2 ^ ( I + 1 ) ) e. ZZ /\ N < ( 2 ^ ( I + 1 ) ) ) )
9 eluz2 11693 . . . . . . . . . 10 |- ( N e. ( ZZ>= ` ( 2 ^ I ) ) <-> ( ( 2 ^ I ) e. ZZ /\ N e. ZZ /\ ( 2 ^ I ) <_ N ) )
10 2re 11090 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- 2 e. RR
1110a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( I e. NN0 -> 2 e. RR )
12 2pos 11112 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- 0 < 2
1312a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( I e. NN0 -> 0 < 2 )
14 expgt0 12893 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( 2 e. RR /\ I e. ZZ /\ 0 < 2 ) -> 0 < ( 2 ^ I ) )
1511, 1, 13, 14syl3anc 1326 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( I e. NN0 -> 0 < ( 2 ^ I ) )
1615adantl 482 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( 2 ^ I ) e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ I e. NN0 ) -> 0 < ( 2 ^ I ) )
17 0red 10041 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( 2 ^ I ) e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ I e. NN0 ) -> 0 e. RR )
18 zre 11381 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( 2 ^ I ) e. ZZ -> ( 2 ^ I ) e. RR )
1918adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( 2 ^ I ) e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( 2 ^ I ) e. RR )
2019adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( 2 ^ I ) e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ I e. NN0 ) -> ( 2 ^ I ) e. RR )
21 zre 11381 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( N e. ZZ -> N e. RR )
2221ad2antlr 763 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( 2 ^ I ) e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ I e. NN0 ) -> N e. RR )
23 ltletr 10129 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( 0 e. RR /\ ( 2 ^ I ) e. RR /\ N e. RR ) -> ( ( 0 < ( 2 ^ I ) /\ ( 2 ^ I ) <_ N ) -> 0 < N ) )
2417, 20, 22, 23syl3anc 1326 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( 2 ^ I ) e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ I e. NN0 ) -> ( ( 0 < ( 2 ^ I ) /\ ( 2 ^ I ) <_ N ) -> 0 < N ) )
2516, 24mpand 711 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( 2 ^ I ) e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ I e. NN0 ) -> ( ( 2 ^ I ) <_ N -> 0 < N ) )
2625ex 450 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( 2 ^ I ) e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( I e. NN0 -> ( ( 2 ^ I ) <_ N -> 0 < N ) ) )
2726com23 86 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( 2 ^ I ) e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( ( 2 ^ I ) <_ N -> ( I e. NN0 -> 0 < N ) ) )
28273impia 1261 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( 2 ^ I ) e. ZZ /\ N e. ZZ /\ ( 2 ^ I ) <_ N ) -> ( I e. NN0 -> 0 < N ) )
299, 28sylbi 207 . . . . . . . . 9 |- ( N e. ( ZZ>= ` ( 2 ^ I ) ) -> ( I e. NN0 -> 0 < N ) )
30293ad2ant1 1082 . . . . . . . 8 |- ( ( N e. ( ZZ>= ` ( 2 ^ I ) ) /\ ( 2 ^ ( I + 1 ) ) e. ZZ /\ N < ( 2 ^ ( I + 1 ) ) ) -> ( I e. NN0 -> 0 < N ) )
318, 30sylbi 207 . . . . . . 7 |- ( N e. ( ( 2 ^ I )..^ ( 2 ^ ( I + 1 ) ) ) -> ( I e. NN0 -> 0 < N ) )
3231impcom 446 . . . . . 6 |- ( ( I e. NN0 /\ N e. ( ( 2 ^ I )..^ ( 2 ^ ( I + 1 ) ) ) ) -> 0 < N )
337, 32elrpd 11869 . . . . 5 |- ( ( I e. NN0 /\ N e. ( ( 2 ^ I )..^ ( 2 ^ ( I + 1 ) ) ) ) -> N e. RR+ )
34 1ne2 11240 . . . . . . 7 |- 1 =/= 2
3534necomi 2848 . . . . . 6 |- 2 =/= 1
3635a1i 11 . . . . 5 |- ( ( I e. NN0 /\ N e. ( ( 2 ^ I )..^ ( 2 ^ ( I + 1 ) ) ) ) -> 2 =/= 1 )
37 relogbcl 24511 . . . . 5 |- ( ( 2 e. RR+ /\ N e. RR+ /\ 2 =/= 1 ) -> ( 2 logb N ) e. RR )
384, 33, 36, 37syl3anc 1326 . . . 4 |- ( ( I e. NN0 /\ N e. ( ( 2 ^ I )..^ ( 2 ^ ( I + 1 ) ) ) ) -> ( 2 logb N ) e. RR )
3938flcld 12599 . . 3 |- ( ( I e. NN0 /\ N e. ( ( 2 ^ I )..^ ( 2 ^ ( I + 1 ) ) ) ) -> ( |_ ` ( 2 logb N ) ) e. ZZ )
40 eluzelz 11697 . . . . . . . 8 |- ( N e. ( ZZ>= ` ( 2 ^ I ) ) -> N e. ZZ )
41 zltlem1 11430 . . . . . . . 8 |- ( ( N e. ZZ /\ ( 2 ^ ( I + 1 ) ) e. ZZ ) -> ( N < ( 2 ^ ( I + 1 ) ) <-> N <_ ( ( 2 ^ ( I + 1 ) ) - 1 ) ) )
4240, 41sylan 488 . . . . . . 7 |- ( ( N e. ( ZZ>= ` ( 2 ^ I ) ) /\ ( 2 ^ ( I + 1 ) ) e. ZZ ) -> ( N < ( 2 ^ ( I + 1 ) ) <-> N <_ ( ( 2 ^ ( I + 1 ) ) - 1 ) ) )
43 2z 11409 . . . . . . . . . . . . 13 |- 2 e. ZZ
44 uzid 11702 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( 2 e. ZZ -> 2 e. ( ZZ>= ` 2 ) )
4543, 44ax-mp 5 . . . . . . . . . . . 12 |- 2 e. ( ZZ>= ` 2 )
4645a1i 11 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( N e. ( ZZ>= ` ( 2 ^ I ) ) /\ ( 2 ^ ( I + 1 ) ) e. ZZ ) /\ I e. NN0 ) -> 2 e. ( ZZ>= ` 2 ) )
47 eluzelre 11698 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( N e. ( ZZ>= ` ( 2 ^ I ) ) -> N e. RR )
4847adantr 481 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( N e. ( ZZ>= ` ( 2 ^ I ) ) /\ I e. NN0 ) -> N e. RR )
4911, 1, 133jca 1242 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( I e. NN0 -> ( 2 e. RR /\ I e. ZZ /\ 0 < 2 ) )
50493ad2ant3 1084 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( 2 ^ I ) e. ZZ /\ N e. ZZ /\ I e. NN0 ) -> ( 2 e. RR /\ I e. ZZ /\ 0 < 2 ) )
5150, 14syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( 2 ^ I ) e. ZZ /\ N e. ZZ /\ I e. NN0 ) -> 0 < ( 2 ^ I ) )
52 0red 10041 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( 2 ^ I ) e. ZZ /\ N e. ZZ /\ I e. NN0 ) -> 0 e. RR )
53183ad2ant1 1082 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( 2 ^ I ) e. ZZ /\ N e. ZZ /\ I e. NN0 ) -> ( 2 ^ I ) e. RR )
54213ad2ant2 1083 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( 2 ^ I ) e. ZZ /\ N e. ZZ /\ I e. NN0 ) -> N e. RR )
5552, 53, 54, 23syl3anc 1326 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( 2 ^ I ) e. ZZ /\ N e. ZZ /\ I e. NN0 ) -> ( ( 0 < ( 2 ^ I ) /\ ( 2 ^ I ) <_ N ) -> 0 < N ) )
5651, 55mpand 711 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( 2 ^ I ) e. ZZ /\ N e. ZZ /\ I e. NN0 ) -> ( ( 2 ^ I ) <_ N -> 0 < N ) )
57563exp 1264 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( 2 ^ I ) e. ZZ -> ( N e. ZZ -> ( I e. NN0 -> ( ( 2 ^ I ) <_ N -> 0 < N ) ) ) )
5857com34 91 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( 2 ^ I ) e. ZZ -> ( N e. ZZ -> ( ( 2 ^ I ) <_ N -> ( I e. NN0 -> 0 < N ) ) ) )
59583imp 1256 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( 2 ^ I ) e. ZZ /\ N e. ZZ /\ ( 2 ^ I ) <_ N ) -> ( I e. NN0 -> 0 < N ) )
609, 59sylbi 207 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( N e. ( ZZ>= ` ( 2 ^ I ) ) -> ( I e. NN0 -> 0 < N ) )
6160imp 445 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( N e. ( ZZ>= ` ( 2 ^ I ) ) /\ I e. NN0 ) -> 0 < N )
6248, 61elrpd 11869 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( N e. ( ZZ>= ` ( 2 ^ I ) ) /\ I e. NN0 ) -> N e. RR+ )
6362adantlr 751 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( N e. ( ZZ>= ` ( 2 ^ I ) ) /\ ( 2 ^ ( I + 1 ) ) e. ZZ ) /\ I e. NN0 ) -> N e. RR+ )
6410a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( N e. ( ZZ>= ` ( 2 ^ I ) ) /\ ( 2 ^ ( I + 1 ) ) e. ZZ ) /\ I e. NN0 ) -> 2 e. RR )
65 peano2nn0 11333 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( I e. NN0 -> ( I + 1 ) e. NN0 )
6665adantl 482 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( N e. ( ZZ>= ` ( 2 ^ I ) ) /\ ( 2 ^ ( I + 1 ) ) e. ZZ ) /\ I e. NN0 ) -> ( I + 1 ) e. NN0 )
6764, 66reexpcld 13025 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( N e. ( ZZ>= ` ( 2 ^ I ) ) /\ ( 2 ^ ( I + 1 ) ) e. ZZ ) /\ I e. NN0 ) -> ( 2 ^ ( I + 1 ) ) e. RR )
68 peano2rem 10348 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( 2 ^ ( I + 1 ) ) e. RR -> ( ( 2 ^ ( I + 1 ) ) - 1 ) e. RR )
6967, 68syl 17 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( N e. ( ZZ>= ` ( 2 ^ I ) ) /\ ( 2 ^ ( I + 1 ) ) e. ZZ ) /\ I e. NN0 ) -> ( ( 2 ^ ( I + 1 ) ) - 1 ) e. RR )
70 nn0p1nn 11332 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( I e. NN0 -> ( I + 1 ) e. NN )
71 1lt2 11194 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- 1 < 2
7271a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( I e. NN0 -> 1 < 2 )
7311, 70, 723jca 1242 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( I e. NN0 -> ( 2 e. RR /\ ( I + 1 ) e. NN /\ 1 < 2 ) )
7473adantl 482 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( N e. ( ZZ>= ` ( 2 ^ I ) ) /\ ( 2 ^ ( I + 1 ) ) e. ZZ ) /\ I e. NN0 ) -> ( 2 e. RR /\ ( I + 1 ) e. NN /\ 1 < 2 ) )
75 expgt1 12898 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( 2 e. RR /\ ( I + 1 ) e. NN /\ 1 < 2 ) -> 1 < ( 2 ^ ( I + 1 ) ) )
7674, 75syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( N e. ( ZZ>= ` ( 2 ^ I ) ) /\ ( 2 ^ ( I + 1 ) ) e. ZZ ) /\ I e. NN0 ) -> 1 < ( 2 ^ ( I + 1 ) ) )
77 1red 10055 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( N e. ( ZZ>= ` ( 2 ^ I ) ) /\ ( 2 ^ ( I + 1 ) ) e. ZZ ) /\ I e. NN0 ) -> 1 e. RR )
78 zre 11381 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( 2 ^ ( I + 1 ) ) e. ZZ -> ( 2 ^ ( I + 1 ) ) e. RR )
7978ad2antlr 763 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( N e. ( ZZ>= ` ( 2 ^ I ) ) /\ ( 2 ^ ( I + 1 ) ) e. ZZ ) /\ I e. NN0 ) -> ( 2 ^ ( I + 1 ) ) e. RR )
8077, 79posdifd 10614 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( N e. ( ZZ>= ` ( 2 ^ I ) ) /\ ( 2 ^ ( I + 1 ) ) e. ZZ ) /\ I e. NN0 ) -> ( 1 < ( 2 ^ ( I + 1 ) ) <-> 0 < ( ( 2 ^ ( I + 1 ) ) - 1 ) ) )
8176, 80mpbid 222 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( N e. ( ZZ>= ` ( 2 ^ I ) ) /\ ( 2 ^ ( I + 1 ) ) e. ZZ ) /\ I e. NN0 ) -> 0 < ( ( 2 ^ ( I + 1 ) ) - 1 ) )
8269, 81elrpd 11869 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( N e. ( ZZ>= ` ( 2 ^ I ) ) /\ ( 2 ^ ( I + 1 ) ) e. ZZ ) /\ I e. NN0 ) -> ( ( 2 ^ ( I + 1 ) ) - 1 ) e. RR+ )
83 logbleb 24521 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( 2 e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. RR+ /\ ( ( 2 ^ ( I + 1 ) ) - 1 ) e. RR+ ) -> ( N <_ ( ( 2 ^ ( I + 1 ) ) - 1 ) <-> ( 2 logb N ) <_ ( 2 logb ( ( 2 ^ ( I + 1 ) ) - 1 ) ) ) )
8446, 63, 82, 83syl3anc 1326 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( N e. ( ZZ>= ` ( 2 ^ I ) ) /\ ( 2 ^ ( I + 1 ) ) e. ZZ ) /\ I e. NN0 ) -> ( N <_ ( ( 2 ^ ( I + 1 ) ) - 1 ) <-> ( 2 logb N ) <_ ( 2 logb ( ( 2 ^ ( I + 1 ) ) - 1 ) ) ) )
853a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( N e. ( ZZ>= ` ( 2 ^ I ) ) /\ ( 2 ^ ( I + 1 ) ) e. ZZ ) /\ I e. NN0 ) -> 2 e. RR+ )
8647adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( N e. ( ZZ>= ` ( 2 ^ I ) ) /\ ( 2 ^ ( I + 1 ) ) e. ZZ ) -> N e. RR )
8786adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( N e. ( ZZ>= ` ( 2 ^ I ) ) /\ ( 2 ^ ( I + 1 ) ) e. ZZ ) /\ I e. NN0 ) -> N e. RR )
8861adantlr 751 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( N e. ( ZZ>= ` ( 2 ^ I ) ) /\ ( 2 ^ ( I + 1 ) ) e. ZZ ) /\ I e. NN0 ) -> 0 < N )
8987, 88elrpd 11869 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( N e. ( ZZ>= ` ( 2 ^ I ) ) /\ ( 2 ^ ( I + 1 ) ) e. ZZ ) /\ I e. NN0 ) -> N e. RR+ )
9035a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( N e. ( ZZ>= ` ( 2 ^ I ) ) /\ ( 2 ^ ( I + 1 ) ) e. ZZ ) /\ I e. NN0 ) -> 2 =/= 1 )
9185, 89, 90, 37syl3anc 1326 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( N e. ( ZZ>= ` ( 2 ^ I ) ) /\ ( 2 ^ ( I + 1 ) ) e. ZZ ) /\ I e. NN0 ) -> ( 2 logb N ) e. RR )
9291adantr 481 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( N e. ( ZZ>= ` ( 2 ^ I ) ) /\ ( 2 ^ ( I + 1 ) ) e. ZZ ) /\ I e. NN0 ) /\ ( 2 logb N ) <_ ( 2 logb ( ( 2 ^ ( I + 1 ) ) - 1 ) ) ) -> ( 2 logb N ) e. RR )
9345a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( I e. NN0 -> 2 e. ( ZZ>= ` 2 ) )
9411, 65reexpcld 13025 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( I e. NN0 -> ( 2 ^ ( I + 1 ) ) e. RR )
9594, 68syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( I e. NN0 -> ( ( 2 ^ ( I + 1 ) ) - 1 ) e. RR )
9611, 70, 72, 75syl3anc 1326 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( I e. NN0 -> 1 < ( 2 ^ ( I + 1 ) ) )
97 1red 10055 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( I e. NN0 -> 1 e. RR )
9897, 94posdifd 10614 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( I e. NN0 -> ( 1 < ( 2 ^ ( I + 1 ) ) <-> 0 < ( ( 2 ^ ( I + 1 ) ) - 1 ) ) )
9996, 98mpbid 222 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( I e. NN0 -> 0 < ( ( 2 ^ ( I + 1 ) ) - 1 ) )
10095, 99elrpd 11869 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( I e. NN0 -> ( ( 2 ^ ( I + 1 ) ) - 1 ) e. RR+ )
10193, 100jca 554 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( I e. NN0 -> ( 2 e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ ( ( 2 ^ ( I + 1 ) ) - 1 ) e. RR+ ) )
102101adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( N e. ( ZZ>= ` ( 2 ^ I ) ) /\ ( 2 ^ ( I + 1 ) ) e. ZZ ) /\ I e. NN0 ) -> ( 2 e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ ( ( 2 ^ ( I + 1 ) ) - 1 ) e. RR+ ) )
103 relogbzcl 24512 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( 2 e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ ( ( 2 ^ ( I + 1 ) ) - 1 ) e. RR+ ) -> ( 2 logb ( ( 2 ^ ( I + 1 ) ) - 1 ) ) e. RR )
104102, 103syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( N e. ( ZZ>= ` ( 2 ^ I ) ) /\ ( 2 ^ ( I + 1 ) ) e. ZZ ) /\ I e. NN0 ) -> ( 2 logb ( ( 2 ^ ( I + 1 ) ) - 1 ) ) e. RR )
105104adantr 481 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( N e. ( ZZ>= ` ( 2 ^ I ) ) /\ ( 2 ^ ( I + 1 ) ) e. ZZ ) /\ I e. NN0 ) /\ ( 2 logb N ) <_ ( 2 logb ( ( 2 ^ ( I + 1 ) ) - 1 ) ) ) -> ( 2 logb ( ( 2 ^ ( I + 1 ) ) - 1 ) ) e. RR )
106 simpr 477 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( N e. ( ZZ>= ` ( 2 ^ I ) ) /\ ( 2 ^ ( I + 1 ) ) e. ZZ ) /\ I e. NN0 ) /\ ( 2 logb N ) <_ ( 2 logb ( ( 2 ^ ( I + 1 ) ) - 1 ) ) ) -> ( 2 logb N ) <_ ( 2 logb ( ( 2 ^ ( I + 1 ) ) - 1 ) ) )
107 flwordi 12613 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( 2 logb N ) e. RR /\ ( 2 logb ( ( 2 ^ ( I + 1 ) ) - 1 ) ) e. RR /\ ( 2 logb N ) <_ ( 2 logb ( ( 2 ^ ( I + 1 ) ) - 1 ) ) ) -> ( |_ ` ( 2 logb N ) ) <_ ( |_ ` ( 2 logb ( ( 2 ^ ( I + 1 ) ) - 1 ) ) ) )
10892, 105, 106, 107syl3anc 1326 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( N e. ( ZZ>= ` ( 2 ^ I ) ) /\ ( 2 ^ ( I + 1 ) ) e. ZZ ) /\ I e. NN0 ) /\ ( 2 logb N ) <_ ( 2 logb ( ( 2 ^ ( I + 1 ) ) - 1 ) ) ) -> ( |_ ` ( 2 logb N ) ) <_ ( |_ ` ( 2 logb ( ( 2 ^ ( I + 1 ) ) - 1 ) ) ) )
109108ex 450 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( N e. ( ZZ>= ` ( 2 ^ I ) ) /\ ( 2 ^ ( I + 1 ) ) e. ZZ ) /\ I e. NN0 ) -> ( ( 2 logb N ) <_ ( 2 logb ( ( 2 ^ ( I + 1 ) ) - 1 ) ) -> ( |_ ` ( 2 logb N ) ) <_ ( |_ ` ( 2 logb ( ( 2 ^ ( I + 1 ) ) - 1 ) ) ) ) )
11070adantl 482 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( N e. ( ZZ>= ` ( 2 ^ I ) ) /\ ( 2 ^ ( I + 1 ) ) e. ZZ ) /\ I e. NN0 ) -> ( I + 1 ) e. NN )
111 logbpw2m1 42361 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( I + 1 ) e. NN -> ( |_ ` ( 2 logb ( ( 2 ^ ( I + 1 ) ) - 1 ) ) ) = ( ( I + 1 ) - 1 ) )
112110, 111syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( N e. ( ZZ>= ` ( 2 ^ I ) ) /\ ( 2 ^ ( I + 1 ) ) e. ZZ ) /\ I e. NN0 ) -> ( |_ ` ( 2 logb ( ( 2 ^ ( I + 1 ) ) - 1 ) ) ) = ( ( I + 1 ) - 1 ) )
113 nn0cn 11302 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( I e. NN0 -> I e. CC )
114 pncan1 10454 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( I e. CC -> ( ( I + 1 ) - 1 ) = I )
115113, 114syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( I e. NN0 -> ( ( I + 1 ) - 1 ) = I )
116115adantl 482 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( N e. ( ZZ>= ` ( 2 ^ I ) ) /\ ( 2 ^ ( I + 1 ) ) e. ZZ ) /\ I e. NN0 ) -> ( ( I + 1 ) - 1 ) = I )
117112, 116eqtrd 2656 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( N e. ( ZZ>= ` ( 2 ^ I ) ) /\ ( 2 ^ ( I + 1 ) ) e. ZZ ) /\ I e. NN0 ) -> ( |_ ` ( 2 logb ( ( 2 ^ ( I + 1 ) ) - 1 ) ) ) = I )
118117breq2d 4665 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( N e. ( ZZ>= ` ( 2 ^ I ) ) /\ ( 2 ^ ( I + 1 ) ) e. ZZ ) /\ I e. NN0 ) -> ( ( |_ ` ( 2 logb N ) ) <_ ( |_ ` ( 2 logb ( ( 2 ^ ( I + 1 ) ) - 1 ) ) ) <-> ( |_ ` ( 2 logb N ) ) <_ I ) )
119109, 118sylibd 229 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( N e. ( ZZ>= ` ( 2 ^ I ) ) /\ ( 2 ^ ( I + 1 ) ) e. ZZ ) /\ I e. NN0 ) -> ( ( 2 logb N ) <_ ( 2 logb ( ( 2 ^ ( I + 1 ) ) - 1 ) ) -> ( |_ ` ( 2 logb N ) ) <_ I ) )
12084, 119sylbid 230 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( N e. ( ZZ>= ` ( 2 ^ I ) ) /\ ( 2 ^ ( I + 1 ) ) e. ZZ ) /\ I e. NN0 ) -> ( N <_ ( ( 2 ^ ( I + 1 ) ) - 1 ) -> ( |_ ` ( 2 logb N ) ) <_ I ) )
121120ex 450 . . . . . . . 8 |- ( ( N e. ( ZZ>= ` ( 2 ^ I ) ) /\ ( 2 ^ ( I + 1 ) ) e. ZZ ) -> ( I e. NN0 -> ( N <_ ( ( 2 ^ ( I + 1 ) ) - 1 ) -> ( |_ ` ( 2 logb N ) ) <_ I ) ) )
122121com23 86 . . . . . . 7 |- ( ( N e. ( ZZ>= ` ( 2 ^ I ) ) /\ ( 2 ^ ( I + 1 ) ) e. ZZ ) -> ( N <_ ( ( 2 ^ ( I + 1 ) ) - 1 ) -> ( I e. NN0 -> ( |_ ` ( 2 logb N ) ) <_ I ) ) )
12342, 122sylbid 230 . . . . . 6 |- ( ( N e. ( ZZ>= ` ( 2 ^ I ) ) /\ ( 2 ^ ( I + 1 ) ) e. ZZ ) -> ( N < ( 2 ^ ( I + 1 ) ) -> ( I e. NN0 -> ( |_ ` ( 2 logb N ) ) <_ I ) ) )
1241233impia 1261 . . . . 5 |- ( ( N e. ( ZZ>= ` ( 2 ^ I ) ) /\ ( 2 ^ ( I + 1 ) ) e. ZZ /\ N < ( 2 ^ ( I + 1 ) ) ) -> ( I e. NN0 -> ( |_ ` ( 2 logb N ) ) <_ I ) )
1258, 124sylbi 207 . . . 4 |- ( N e. ( ( 2 ^ I )..^ ( 2 ^ ( I + 1 ) ) ) -> ( I e. NN0 -> ( |_ ` ( 2 logb N ) ) <_ I ) )
126125impcom 446 . . 3 |- ( ( I e. NN0 /\ N e. ( ( 2 ^ I )..^ ( 2 ^ ( I + 1 ) ) ) ) -> ( |_ ` ( 2 logb N ) ) <_ I )
127 nn0re 11301 . . . . . . . 8 |- ( I e. NN0 -> I e. RR )
128 nn0ge0 11318 . . . . . . . 8 |- ( I e. NN0 -> 0 <_ I )
129 flge0nn0 12621 . . . . . . . 8 |- ( ( I e. RR /\ 0 <_ I ) -> ( |_ ` I ) e. NN0 )
130127, 128, 129syl2anc 693 . . . . . . 7 |- ( I e. NN0 -> ( |_ ` I ) e. NN0 )
131130nn0red 11352 . . . . . 6 |- ( I e. NN0 -> ( |_ ` I ) e. RR )
132131adantr 481 . . . . 5 |- ( ( I e. NN0 /\ N e. ( ( 2 ^ I )..^ ( 2 ^ ( I + 1 ) ) ) ) -> ( |_ ` I ) e. RR )
133127adantr 481 . . . . 5 |- ( ( I e. NN0 /\ N e. ( ( 2 ^ I )..^ ( 2 ^ ( I + 1 ) ) ) ) -> I e. RR )
134 flle 12600 . . . . . . 7 |- ( I e. RR -> ( |_ ` I ) <_ I )
135127, 134syl 17 . . . . . 6 |- ( I e. NN0 -> ( |_ ` I ) <_ I )
136135adantr 481 . . . . 5 |- ( ( I e. NN0 /\ N e. ( ( 2 ^ I )..^ ( 2 ^ ( I + 1 ) ) ) ) -> ( |_ ` I ) <_ I )
1373a1i 11 . . . . . . . 8 |- ( I e. NN0 -> 2 e. RR+ )
138137, 1rpexpcld 13032 . . . . . . . 8 |- ( I e. NN0 -> ( 2 ^ I ) e. RR+ )
13935a1i 11 . . . . . . . 8 |- ( I e. NN0 -> 2 =/= 1 )
140 relogbcl 24511 . . . . . . . 8 |- ( ( 2 e. RR+ /\ ( 2 ^ I ) e. RR+ /\ 2 =/= 1 ) -> ( 2 logb ( 2 ^ I ) ) e. RR )
141137, 138, 139, 140syl3anc 1326 . . . . . . 7 |- ( I e. NN0 -> ( 2 logb ( 2 ^ I ) ) e. RR )
142141adantr 481 . . . . . 6 |- ( ( I e. NN0 /\ N e. ( ( 2 ^ I )..^ ( 2 ^ ( I + 1 ) ) ) ) -> ( 2 logb ( 2 ^ I ) ) e. RR )
143127leidd 10594 . . . . . . . 8 |- ( I e. NN0 -> I <_ I )
144 nnlogbexp 24519 . . . . . . . . 9 |- ( ( 2 e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ I e. ZZ ) -> ( 2 logb ( 2 ^ I ) ) = I )
14593, 1, 144syl2anc 693 . . . . . . . 8 |- ( I e. NN0 -> ( 2 logb ( 2 ^ I ) ) = I )
146143, 145breqtrrd 4681 . . . . . . 7 |- ( I e. NN0 -> I <_ ( 2 logb ( 2 ^ I ) ) )
147146adantr 481 . . . . . 6 |- ( ( I e. NN0 /\ N e. ( ( 2 ^ I )..^ ( 2 ^ ( I + 1 ) ) ) ) -> I <_ ( 2 logb ( 2 ^ I ) ) )
148 elfzole1 12478 . . . . . . . 8 |- ( N e. ( ( 2 ^ I )..^ ( 2 ^ ( I + 1 ) ) ) -> ( 2 ^ I ) <_ N )
149148adantl 482 . . . . . . 7 |- ( ( I e. NN0 /\ N e. ( ( 2 ^ I )..^ ( 2 ^ ( I + 1 ) ) ) ) -> ( 2 ^ I ) <_ N )
15045a1i 11 . . . . . . . 8 |- ( ( I e. NN0 /\ N e. ( ( 2 ^ I )..^ ( 2 ^ ( I + 1 ) ) ) ) -> 2 e. ( ZZ>= ` 2 ) )
151138adantr 481 . . . . . . . 8 |- ( ( I e. NN0 /\ N e. ( ( 2 ^ I )..^ ( 2 ^ ( I + 1 ) ) ) ) -> ( 2 ^ I ) e. RR+ )
152 logbleb 24521 . . . . . . . 8 |- ( ( 2 e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ ( 2 ^ I ) e. RR+ /\ N e. RR+ ) -> ( ( 2 ^ I ) <_ N <-> ( 2 logb ( 2 ^ I ) ) <_ ( 2 logb N ) ) )
153150, 151, 33, 152syl3anc 1326 . . . . . . 7 |- ( ( I e. NN0 /\ N e. ( ( 2 ^ I )..^ ( 2 ^ ( I + 1 ) ) ) ) -> ( ( 2 ^ I ) <_ N <-> ( 2 logb ( 2 ^ I ) ) <_ ( 2 logb N ) ) )
154149, 153mpbid 222 . . . . . 6 |- ( ( I e. NN0 /\ N e. ( ( 2 ^ I )..^ ( 2 ^ ( I + 1 ) ) ) ) -> ( 2 logb ( 2 ^ I ) ) <_ ( 2 logb N ) )
155133, 142, 38, 147, 154letrd 10194 . . . . 5 |- ( ( I e. NN0 /\ N e. ( ( 2 ^ I )..^ ( 2 ^ ( I + 1 ) ) ) ) -> I <_ ( 2 logb N ) )
156132, 133, 38, 136, 155letrd 10194 . . . 4 |- ( ( I e. NN0 /\ N e. ( ( 2 ^ I )..^ ( 2 ^ ( I + 1 ) ) ) ) -> ( |_ ` I ) <_ ( 2 logb N ) )
157 flflp1 12608 . . . . 5 |- ( ( I e. RR /\ ( 2 logb N ) e. RR ) -> ( ( |_ ` I ) <_ ( 2 logb N ) <-> I < ( ( |_ ` ( 2 logb N ) ) + 1 ) ) )
158133, 38, 157syl2anc 693 . . . 4 |- ( ( I e. NN0 /\ N e. ( ( 2 ^ I )..^ ( 2 ^ ( I + 1 ) ) ) ) -> ( ( |_ ` I ) <_ ( 2 logb N ) <-> I < ( ( |_ ` ( 2 logb N ) ) + 1 ) ) )
159156, 158mpbid 222 . . 3 |- ( ( I e. NN0 /\ N e. ( ( 2 ^ I )..^ ( 2 ^ ( I + 1 ) ) ) ) -> I < ( ( |_ ` ( 2 logb N ) ) + 1 ) )
160 zgeltp1eq 41318 . . . 4 |- ( ( I e. ZZ /\ ( |_ ` ( 2 logb N ) ) e. ZZ ) -> ( ( ( |_ ` ( 2 logb N ) ) <_ I /\ I < ( ( |_ ` ( 2 logb N ) ) + 1 ) ) -> I = ( |_ ` ( 2 logb N ) ) ) )
161160imp 445 . . 3 |- ( ( ( I e. ZZ /\ ( |_ ` ( 2 logb N ) ) e. ZZ ) /\ ( ( |_ ` ( 2 logb N ) ) <_ I /\ I < ( ( |_ ` ( 2 logb N ) ) + 1 ) ) ) -> I = ( |_ ` ( 2 logb N ) ) )
1622, 39, 126, 159, 161syl22anc 1327 . 2 |- ( ( I e. NN0 /\ N e. ( ( 2 ^ I )..^ ( 2 ^ ( I + 1 ) ) ) ) -> I = ( |_ ` ( 2 logb N ) ) )
163162eqcomd 2628 1 |- ( ( I e. NN0 /\ N e. ( ( 2 ^ I )..^ ( 2 ^ ( I + 1 ) ) ) ) -> ( |_ ` ( 2 logb N ) ) = I )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   =/= wne 2794   class class class wbr 4653   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   CCcc 9934   RRcr 9935   0cc0 9936   1c1 9937   + caddc 9939   < clt 10074   <_ cle 10075   - cmin 10266   NNcn 11020   2c2 11070   NN0cn0 11292   ZZcz 11377   ZZ>=cuz 11687   RR+crp 11832  ..^cfzo 12465   |_cfl 12591   ^cexp 12860   logb clogb 24502
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014  ax-addf 10015  ax-mulf 10016
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-fal 1489  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-iin 4523  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-of 6897  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-supp 7296  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-2o 7561  df-oadd 7564  df-er 7742  df-map 7859  df-pm 7860  df-ixp 7909  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-fsupp 8276  df-fi 8317  df-sup 8348  df-inf 8349  df-oi 8415  df-card 8765  df-cda 8990  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-4 11081  df-5 11082  df-6 11083  df-7 11084  df-8 11085  df-9 11086  df-n0 11293  df-z 11378  df-dec 11494  df-uz 11688  df-q 11789  df-rp 11833  df-xneg 11946  df-xadd 11947  df-xmul 11948  df-ioo 12179  df-ioc 12180  df-ico 12181  df-icc 12182  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-fl 12593  df-mod 12669  df-seq 12802  df-exp 12861  df-fac 13061  df-bc 13090  df-hash 13118  df-shft 13807  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-limsup 14202  df-clim 14219  df-rlim 14220  df-sum 14417  df-ef 14798  df-sin 14800  df-cos 14801  df-pi 14803  df-struct 15859  df-ndx 15860  df-slot 15861  df-base 15863  df-sets 15864  df-ress 15865  df-plusg 15954  df-mulr 15955  df-starv 15956  df-sca 15957  df-vsca 15958  df-ip 15959  df-tset 15960  df-ple 15961  df-ds 15964  df-unif 15965  df-hom 15966  df-cco 15967  df-rest 16083  df-topn 16084  df-0g 16102  df-gsum 16103  df-topgen 16104  df-pt 16105  df-prds 16108  df-xrs 16162  df-qtop 16167  df-imas 16168  df-xps 16170  df-mre 16246  df-mrc 16247  df-acs 16249  df-mgm 17242  df-sgrp 17284  df-mnd 17295  df-submnd 17336  df-mulg 17541  df-cntz 17750  df-cmn 18195  df-psmet 19738  df-xmet 19739  df-met 19740  df-bl 19741  df-mopn 19742  df-fbas 19743  df-fg 19744  df-cnfld 19747  df-top 20699  df-topon 20716  df-topsp 20737  df-bases 20750  df-cld 20823  df-ntr 20824  df-cls 20825  df-nei 20902  df-lp 20940  df-perf 20941  df-cn 21031  df-cnp 21032  df-haus 21119  df-tx 21365  df-hmeo 21558  df-fil 21650  df-fm 21742  df-flim 21743  df-flf 21744  df-xms 22125  df-ms 22126  df-tms 22127  df-cncf 22681  df-limc 23630  df-dv 23631  df-log 24303  df-cxp 24304  df-logb 24503
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