Theorem fprodmodd 14728

Description: If all factors of two finite products are equal modulo M, the products are equal modulo M. (Contributed by AV, 7-Jul-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
fprodmodd.a	|- ( ph -> A e. Fin )
fprodmodd.b	|- ( ( ph /\ k e. A ) -> B e. ZZ )
fprodmodd.c	|- ( ( ph /\ k e. A ) -> C e. ZZ )
fprodmodd.m	|- ( ph -> M e. NN )
fprodmodd.p	|- ( ( ph /\ k e. A ) -> ( B mod M ) = ( C mod M ) )

Assertion

Ref	Expression
fprodmodd	|- ( ph -> ( prod_ k e. A B mod M ) = ( prod_ k e. A C mod M ) )

Distinct variable groups:   A, k   k, M   ph, k

Allowed substitution hints:   B( k)   C( k)

Proof of Theorem fprodmodd

Dummy variables i x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		prodeq1 14639	. . . 4 |- ( x = (/) -> prod_ k e. x B = prod_ k e. (/) B )
2	1	oveq1d 6665	. . 3 |- ( x = (/) -> ( prod_ k e. x B mod M ) = ( prod_ k e. (/) B mod M ) )
3		prodeq1 14639	. . . 4 |- ( x = (/) -> prod_ k e. x C = prod_ k e. (/) C )
4	3	oveq1d 6665	. . 3 |- ( x = (/) -> ( prod_ k e. x C mod M ) = ( prod_ k e. (/) C mod M ) )
5	2, 4	eqeq12d 2637	. 2 |- ( x = (/) -> ( ( prod_ k e. x B mod M ) = ( prod_ k e. x C mod M ) <-> ( prod_ k e. (/) B mod M ) = ( prod_ k e. (/) C mod M ) ) )
6		prodeq1 14639	. . . 4 |- ( x = y -> prod_ k e. x B = prod_ k e. y B )
7	6	oveq1d 6665	. . 3 |- ( x = y -> ( prod_ k e. x B mod M ) = ( prod_ k e. y B mod M ) )
8		prodeq1 14639	. . . 4 |- ( x = y -> prod_ k e. x C = prod_ k e. y C )
9	8	oveq1d 6665	. . 3 |- ( x = y -> ( prod_ k e. x C mod M ) = ( prod_ k e. y C mod M ) )
10	7, 9	eqeq12d 2637	. 2 |- ( x = y -> ( ( prod_ k e. x B mod M ) = ( prod_ k e. x C mod M ) <-> ( prod_ k e. y B mod M ) = ( prod_ k e. y C mod M ) ) )
11		prodeq1 14639	. . . 4 |- ( x = ( y u. { i } ) -> prod_ k e. x B = prod_ k e. ( y u. { i } ) B )
12	11	oveq1d 6665	. . 3 |- ( x = ( y u. { i } ) -> ( prod_ k e. x B mod M ) = ( prod_ k e. ( y u. { i } ) B mod M ) )
13		prodeq1 14639	. . . 4 |- ( x = ( y u. { i } ) -> prod_ k e. x C = prod_ k e. ( y u. { i } ) C )
14	13	oveq1d 6665	. . 3 |- ( x = ( y u. { i } ) -> ( prod_ k e. x C mod M ) = ( prod_ k e. ( y u. { i } ) C mod M ) )
15	12, 14	eqeq12d 2637	. 2 |- ( x = ( y u. { i } ) -> ( ( prod_ k e. x B mod M ) = ( prod_ k e. x C mod M ) <-> ( prod_ k e. ( y u. { i } ) B mod M ) = ( prod_ k e. ( y u. { i } ) C mod M ) ) )
16		prodeq1 14639	. . . 4 |- ( x = A -> prod_ k e. x B = prod_ k e. A B )
17	16	oveq1d 6665	. . 3 |- ( x = A -> ( prod_ k e. x B mod M ) = ( prod_ k e. A B mod M ) )
18		prodeq1 14639	. . . 4 |- ( x = A -> prod_ k e. x C = prod_ k e. A C )
19	18	oveq1d 6665	. . 3 |- ( x = A -> ( prod_ k e. x C mod M ) = ( prod_ k e. A C mod M ) )
20	17, 19	eqeq12d 2637	. 2 |- ( x = A -> ( ( prod_ k e. x B mod M ) = ( prod_ k e. x C mod M ) <-> ( prod_ k e. A B mod M ) = ( prod_ k e. A C mod M ) ) )
21		prod0 14673	. . . . 5 |- prod_ k e. (/) B = 1
22	21	a1i 11	. . . 4 |- ( ph -> prod_ k e. (/) B = 1 )
23	22	oveq1d 6665	. . 3 |- ( ph -> ( prod_ k e. (/) B mod M ) = ( 1 mod M ) )
24		prod0 14673	. . . . 5 |- prod_ k e. (/) C = 1
25	24	eqcomi 2631	. . . 4 |- 1 = prod_ k e. (/) C
26	25	oveq1i 6660	. . 3 |- ( 1 mod M ) = ( prod_ k e. (/) C mod M )
27	23, 26	syl6eq 2672	. 2 |- ( ph -> ( prod_ k e. (/) B mod M ) = ( prod_ k e. (/) C mod M ) )
28		nfv 1843	. . . . . . 7 |- F/ k ( ph /\ ( y C_ A /\ i e. ( A \ y ) ) )
29		nfcsb1v 3549	. . . . . . 7 |- F/_ k [_ i / k ]_ B
30		ssfi 8180	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( A e. Fin /\ y C_ A ) -> y e. Fin )
31	30	ex 450	. . . . . . . . . 10 |- ( A e. Fin -> ( y C_ A -> y e. Fin ) )
32		fprodmodd.a	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> A e. Fin )
33	31, 32	syl11 33	. . . . . . . . 9 |- ( y C_ A -> ( ph -> y e. Fin ) )
34	33	adantr 481	. . . . . . . 8 |- ( ( y C_ A /\ i e. ( A \ y ) ) -> ( ph -> y e. Fin ) )
35	34	impcom 446	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( y C_ A /\ i e. ( A \ y ) ) ) -> y e. Fin )
36		simpr 477	. . . . . . . 8 |- ( ( y C_ A /\ i e. ( A \ y ) ) -> i e. ( A \ y ) )
37	36	adantl 482	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( y C_ A /\ i e. ( A \ y ) ) ) -> i e. ( A \ y ) )
38		eldifn 3733	. . . . . . . . 9 |- ( i e. ( A \ y ) -> -. i e. y )
39	38	adantl 482	. . . . . . . 8 |- ( ( y C_ A /\ i e. ( A \ y ) ) -> -. i e. y )
40	39	adantl 482	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( y C_ A /\ i e. ( A \ y ) ) ) -> -. i e. y )
41		simpll 790	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( y C_ A /\ i e. ( A \ y ) ) ) /\ k e. y ) -> ph )
42		ssel 3597	. . . . . . . . . . . 12 |- ( y C_ A -> ( k e. y -> k e. A ) )
43	42	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( y C_ A /\ i e. ( A \ y ) ) -> ( k e. y -> k e. A ) )
44	43	adantl 482	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( y C_ A /\ i e. ( A \ y ) ) ) -> ( k e. y -> k e. A ) )
45	44	imp 445	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( y C_ A /\ i e. ( A \ y ) ) ) /\ k e. y ) -> k e. A )
46		fprodmodd.b	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ k e. A ) -> B e. ZZ )
47	41, 45, 46	syl2anc 693	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ ( y C_ A /\ i e. ( A \ y ) ) ) /\ k e. y ) -> B e. ZZ )
48	47	zcnd 11483	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ ( y C_ A /\ i e. ( A \ y ) ) ) /\ k e. y ) -> B e. CC )
49		csbeq1a 3542	. . . . . . 7 |- ( k = i -> B = [_ i / k ]_ B )
50		eldifi 3732	. . . . . . . . . 10 |- ( i e. ( A \ y ) -> i e. A )
51	50	adantl 482	. . . . . . . . 9 |- ( ( y C_ A /\ i e. ( A \ y ) ) -> i e. A )
52	46	ralrimiva 2966	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> A. k e. A B e. ZZ )
53		rspcsbela 4006	. . . . . . . . 9 |- ( ( i e. A /\ A. k e. A B e. ZZ ) -> [_ i / k ]_ B e. ZZ )
54	51, 52, 53	syl2anr 495	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( y C_ A /\ i e. ( A \ y ) ) ) -> [_ i / k ]_ B e. ZZ )
55	54	zcnd 11483	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( y C_ A /\ i e. ( A \ y ) ) ) -> [_ i / k ]_ B e. CC )
56	28, 29, 35, 37, 40, 48, 49, 55	fprodsplitsn 14720	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( y C_ A /\ i e. ( A \ y ) ) ) -> prod_ k e. ( y u. { i } ) B = ( prod_ k e. y B x. [_ i / k ]_ B ) )
57	56	oveq1d 6665	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( y C_ A /\ i e. ( A \ y ) ) ) -> ( prod_ k e. ( y u. { i } ) B mod M ) = ( ( prod_ k e. y B x. [_ i / k ]_ B ) mod M ) )
58	57	adantr 481	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ ( y C_ A /\ i e. ( A \ y ) ) ) /\ ( prod_ k e. y B mod M ) = ( prod_ k e. y C mod M ) ) -> ( prod_ k e. ( y u. { i } ) B mod M ) = ( ( prod_ k e. y B x. [_ i / k ]_ B ) mod M ) )
59	35, 47	fprodzcl 14684	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( y C_ A /\ i e. ( A \ y ) ) ) -> prod_ k e. y B e. ZZ )
60	59	adantr 481	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ ( y C_ A /\ i e. ( A \ y ) ) ) /\ ( prod_ k e. y B mod M ) = ( prod_ k e. y C mod M ) ) -> prod_ k e. y B e. ZZ )
61		fprodmodd.c	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ k e. A ) -> C e. ZZ )
62	41, 45, 61	syl2anc 693	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ ( y C_ A /\ i e. ( A \ y ) ) ) /\ k e. y ) -> C e. ZZ )
63	35, 62	fprodzcl 14684	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( y C_ A /\ i e. ( A \ y ) ) ) -> prod_ k e. y C e. ZZ )
64	63	adantr 481	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ ( y C_ A /\ i e. ( A \ y ) ) ) /\ ( prod_ k e. y B mod M ) = ( prod_ k e. y C mod M ) ) -> prod_ k e. y C e. ZZ )
65	54	adantr 481	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ ( y C_ A /\ i e. ( A \ y ) ) ) /\ ( prod_ k e. y B mod M ) = ( prod_ k e. y C mod M ) ) -> [_ i / k ]_ B e. ZZ )
66	61	ralrimiva 2966	. . . . . . 7 |- ( ph -> A. k e. A C e. ZZ )
67		rspcsbela 4006	. . . . . . 7 |- ( ( i e. A /\ A. k e. A C e. ZZ ) -> [_ i / k ]_ C e. ZZ )
68	51, 66, 67	syl2anr 495	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( y C_ A /\ i e. ( A \ y ) ) ) -> [_ i / k ]_ C e. ZZ )
69	68	adantr 481	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ ( y C_ A /\ i e. ( A \ y ) ) ) /\ ( prod_ k e. y B mod M ) = ( prod_ k e. y C mod M ) ) -> [_ i / k ]_ C e. ZZ )
70		fprodmodd.m	. . . . . . . 8 |- ( ph -> M e. NN )
71	70	nnrpd 11870	. . . . . . 7 |- ( ph -> M e. RR+ )
72	71	adantr 481	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( y C_ A /\ i e. ( A \ y ) ) ) -> M e. RR+ )
73	72	adantr 481	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ ( y C_ A /\ i e. ( A \ y ) ) ) /\ ( prod_ k e. y B mod M ) = ( prod_ k e. y C mod M ) ) -> M e. RR+ )
74		simpr 477	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ ( y C_ A /\ i e. ( A \ y ) ) ) /\ ( prod_ k e. y B mod M ) = ( prod_ k e. y C mod M ) ) -> ( prod_ k e. y B mod M ) = ( prod_ k e. y C mod M ) )
75		fprodmodd.p	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ k e. A ) -> ( B mod M ) = ( C mod M ) )
76	75	ralrimiva 2966	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> A. k e. A ( B mod M ) = ( C mod M ) )
77		rspsbca 3519	. . . . . . . . 9 |- ( ( i e. A /\ A. k e. A ( B mod M ) = ( C mod M ) ) -> [. i / k ]. ( B mod M ) = ( C mod M ) )
78	51, 76, 77	syl2anr 495	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( y C_ A /\ i e. ( A \ y ) ) ) -> [. i / k ]. ( B mod M ) = ( C mod M ) )
79		vex 3203	. . . . . . . . 9 |- i e. _V
80		sbceqg 3984	. . . . . . . . 9 |- ( i e. _V -> ( [. i / k ]. ( B mod M ) = ( C mod M ) <-> [_ i / k ]_ ( B mod M ) = [_ i / k ]_ ( C mod M ) ) )
81	79, 80	mp1i 13	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( y C_ A /\ i e. ( A \ y ) ) ) -> ( [. i / k ]. ( B mod M ) = ( C mod M ) <-> [_ i / k ]_ ( B mod M ) = [_ i / k ]_ ( C mod M ) ) )
82	78, 81	mpbid 222	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( y C_ A /\ i e. ( A \ y ) ) ) -> [_ i / k ]_ ( B mod M ) = [_ i / k ]_ ( C mod M ) )
83		csbov1g 6690	. . . . . . . 8 |- ( i e. _V -> [_ i / k ]_ ( B mod M ) = ( [_ i / k ]_ B mod M ) )
84	79, 83	ax-mp 5	. . . . . . 7 |- [_ i / k ]_ ( B mod M ) = ( [_ i / k ]_ B mod M )
85		csbov1g 6690	. . . . . . . 8 |- ( i e. _V -> [_ i / k ]_ ( C mod M ) = ( [_ i / k ]_ C mod M ) )
86	79, 85	ax-mp 5	. . . . . . 7 |- [_ i / k ]_ ( C mod M ) = ( [_ i / k ]_ C mod M )
87	82, 84, 86	3eqtr3g 2679	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( y C_ A /\ i e. ( A \ y ) ) ) -> ( [_ i / k ]_ B mod M ) = ( [_ i / k ]_ C mod M ) )
88	87	adantr 481	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ ( y C_ A /\ i e. ( A \ y ) ) ) /\ ( prod_ k e. y B mod M ) = ( prod_ k e. y C mod M ) ) -> ( [_ i / k ]_ B mod M ) = ( [_ i / k ]_ C mod M ) )
89	60, 64, 65, 69, 73, 74, 88	modmul12d 12724	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ ( y C_ A /\ i e. ( A \ y ) ) ) /\ ( prod_ k e. y B mod M ) = ( prod_ k e. y C mod M ) ) -> ( ( prod_ k e. y B x. [_ i / k ]_ B ) mod M ) = ( ( prod_ k e. y C x. [_ i / k ]_ C ) mod M ) )
90		nfcsb1v 3549	. . . . . . . 8 |- F/_ k [_ i / k ]_ C
91	62	zcnd 11483	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ ( y C_ A /\ i e. ( A \ y ) ) ) /\ k e. y ) -> C e. CC )
92		csbeq1a 3542	. . . . . . . 8 |- ( k = i -> C = [_ i / k ]_ C )
93	68	zcnd 11483	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( y C_ A /\ i e. ( A \ y ) ) ) -> [_ i / k ]_ C e. CC )
94	28, 90, 35, 37, 40, 91, 92, 93	fprodsplitsn 14720	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( y C_ A /\ i e. ( A \ y ) ) ) -> prod_ k e. ( y u. { i } ) C = ( prod_ k e. y C x. [_ i / k ]_ C ) )
95	94	oveq1d 6665	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( y C_ A /\ i e. ( A \ y ) ) ) -> ( prod_ k e. ( y u. { i } ) C mod M ) = ( ( prod_ k e. y C x. [_ i / k ]_ C ) mod M ) )
96	95	eqcomd 2628	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( y C_ A /\ i e. ( A \ y ) ) ) -> ( ( prod_ k e. y C x. [_ i / k ]_ C ) mod M ) = ( prod_ k e. ( y u. { i } ) C mod M ) )
97	96	adantr 481	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ ( y C_ A /\ i e. ( A \ y ) ) ) /\ ( prod_ k e. y B mod M ) = ( prod_ k e. y C mod M ) ) -> ( ( prod_ k e. y C x. [_ i / k ]_ C ) mod M ) = ( prod_ k e. ( y u. { i } ) C mod M ) )
98	58, 89, 97	3eqtrd 2660	. . 3 |- ( ( ( ph /\ ( y C_ A /\ i e. ( A \ y ) ) ) /\ ( prod_ k e. y B mod M ) = ( prod_ k e. y C mod M ) ) -> ( prod_ k e. ( y u. { i } ) B mod M ) = ( prod_ k e. ( y u. { i } ) C mod M ) )
99	98	ex 450	. 2 |- ( ( ph /\ ( y C_ A /\ i e. ( A \ y ) ) ) -> ( ( prod_ k e. y B mod M ) = ( prod_ k e. y C mod M ) -> ( prod_ k e. ( y u. { i } ) B mod M ) = ( prod_ k e. ( y u. { i } ) C mod M ) ) )
100	5, 10, 15, 20, 27, 99, 32	findcard2d 8202	1 |- ( ph -> ( prod_ k e. A B mod M ) = ( prod_ k e. A C mod M ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   A.wral 2912   _Vcvv 3200   [.wsbc 3435   [_csb 3533   \ cdif 3571   u. cun 3572   C_ wss 3574   (/)c0 3915   {csn 4177  (class class class)co 6650   Fincfn 7955   1c1 9937   x. cmul 9941   NNcn 11020   ZZcz 11377   RR+crp 11832   mod cmo 12668   prod_cprod 14635

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-fal 1489  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-oadd 7564  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-sup 8348  df-inf 8349  df-oi 8415  df-card 8765  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-rp 11833  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-fl 12593  df-mod 12669  df-seq 12802  df-exp 12861  df-hash 13118  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-clim 14219  df-prod 14636

This theorem is referenced by:  gausslemma2dlem5a  25095