Theorem fprodle 14727

Description: If all the terms of two finite products are nonnegative and compare, so do the two products. (Contributed by Glauco Siliprandi, 5-Apr-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
fprodle.kph	|- F/ k ph
fprodle.a	|- ( ph -> A e. Fin )
fprodle.b	|- ( ( ph /\ k e. A ) -> B e. RR )
fprodle.0l3b	|- ( ( ph /\ k e. A ) -> 0 <_ B )
fprodle.c	|- ( ( ph /\ k e. A ) -> C e. RR )
fprodle.blec	|- ( ( ph /\ k e. A ) -> B <_ C )

Assertion

Ref	Expression
fprodle	|- ( ph -> prod_ k e. A B <_ prod_ k e. A C )

Distinct variable group:   A, k

Allowed substitution hints:   ph( k)   B( k)   C( k)

Proof of Theorem fprodle

Dummy variable j is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1red 10055	. . . 4 |- ( ( ph /\ A. k e. A B =/= 0 ) -> 1 e. RR )
2		fprodle.kph	. . . . . 6 |- F/ k ph
3		nfra1 2941	. . . . . 6 |- F/ k A. k e. A B =/= 0
4	2, 3	nfan 1828	. . . . 5 |- F/ k ( ph /\ A. k e. A B =/= 0 )
5		fprodle.a	. . . . . 6 |- ( ph -> A e. Fin )
6	5	adantr 481	. . . . 5 |- ( ( ph /\ A. k e. A B =/= 0 ) -> A e. Fin )
7		fprodle.c	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ k e. A ) -> C e. RR )
8	7	adantlr 751	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ A. k e. A B =/= 0 ) /\ k e. A ) -> C e. RR )
9		fprodle.b	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ k e. A ) -> B e. RR )
10	9	adantlr 751	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ A. k e. A B =/= 0 ) /\ k e. A ) -> B e. RR )
11		rspa 2930	. . . . . . 7 |- ( ( A. k e. A B =/= 0 /\ k e. A ) -> B =/= 0 )
12	11	adantll 750	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ A. k e. A B =/= 0 ) /\ k e. A ) -> B =/= 0 )
13	8, 10, 12	redivcld 10853	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ A. k e. A B =/= 0 ) /\ k e. A ) -> ( C / B ) e. RR )
14	4, 6, 13	fprodreclf 14689	. . . 4 |- ( ( ph /\ A. k e. A B =/= 0 ) -> prod_ k e. A ( C / B ) e. RR )
15	2, 5, 9	fprodreclf 14689	. . . . 5 |- ( ph -> prod_ k e. A B e. RR )
16	15	adantr 481	. . . 4 |- ( ( ph /\ A. k e. A B =/= 0 ) -> prod_ k e. A B e. RR )
17		fprodle.0l3b	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ k e. A ) -> 0 <_ B )
18	2, 5, 9, 17	fprodge0 14724	. . . . 5 |- ( ph -> 0 <_ prod_ k e. A B )
19	18	adantr 481	. . . 4 |- ( ( ph /\ A. k e. A B =/= 0 ) -> 0 <_ prod_ k e. A B )
20		0red 10041	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ A. k e. A B =/= 0 ) /\ k e. A ) -> 0 e. RR )
21	17	adantlr 751	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ A. k e. A B =/= 0 ) /\ k e. A ) -> 0 <_ B )
22	20, 10, 21, 12	leneltd 10191	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ A. k e. A B =/= 0 ) /\ k e. A ) -> 0 < B )
23	10, 22	elrpd 11869	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ A. k e. A B =/= 0 ) /\ k e. A ) -> B e. RR+ )
24		fprodle.blec	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ k e. A ) -> B <_ C )
25	24	adantlr 751	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ A. k e. A B =/= 0 ) /\ k e. A ) -> B <_ C )
26		divge1 11898	. . . . . 6 |- ( ( B e. RR+ /\ C e. RR /\ B <_ C ) -> 1 <_ ( C / B ) )
27	23, 8, 25, 26	syl3anc 1326	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ A. k e. A B =/= 0 ) /\ k e. A ) -> 1 <_ ( C / B ) )
28	4, 6, 13, 27	fprodge1 14726	. . . 4 |- ( ( ph /\ A. k e. A B =/= 0 ) -> 1 <_ prod_ k e. A ( C / B ) )
29	1, 14, 16, 19, 28	lemul2ad 10964	. . 3 |- ( ( ph /\ A. k e. A B =/= 0 ) -> ( prod_ k e. A B x. 1 ) <_ ( prod_ k e. A B x. prod_ k e. A ( C / B ) ) )
30	9	recnd 10068	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ k e. A ) -> B e. CC )
31	2, 5, 30	fprodclf 14723	. . . . . 6 |- ( ph -> prod_ k e. A B e. CC )
32	31	mulid1d 10057	. . . . 5 |- ( ph -> ( prod_ k e. A B x. 1 ) = prod_ k e. A B )
33	32	adantr 481	. . . 4 |- ( ( ph /\ A. k e. A B =/= 0 ) -> ( prod_ k e. A B x. 1 ) = prod_ k e. A B )
34	7	recnd 10068	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ k e. A ) -> C e. CC )
35	34	adantlr 751	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ A. k e. A B =/= 0 ) /\ k e. A ) -> C e. CC )
36	30	adantlr 751	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ A. k e. A B =/= 0 ) /\ k e. A ) -> B e. CC )
37	4, 6, 35, 36, 12	fproddivf 14718	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ A. k e. A B =/= 0 ) -> prod_ k e. A ( C / B ) = ( prod_ k e. A C / prod_ k e. A B ) )
38	37	oveq2d 6666	. . . . 5 |- ( ( ph /\ A. k e. A B =/= 0 ) -> ( prod_ k e. A B x. prod_ k e. A ( C / B ) ) = ( prod_ k e. A B x. ( prod_ k e. A C / prod_ k e. A B ) ) )
39	2, 5, 34	fprodclf 14723	. . . . . . 7 |- ( ph -> prod_ k e. A C e. CC )
40	39	adantr 481	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ A. k e. A B =/= 0 ) -> prod_ k e. A C e. CC )
41	31	adantr 481	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ A. k e. A B =/= 0 ) -> prod_ k e. A B e. CC )
42	4, 6, 36, 12	fprodn0f 14722	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ A. k e. A B =/= 0 ) -> prod_ k e. A B =/= 0 )
43	40, 41, 42	divcan2d 10803	. . . . 5 |- ( ( ph /\ A. k e. A B =/= 0 ) -> ( prod_ k e. A B x. ( prod_ k e. A C / prod_ k e. A B ) ) = prod_ k e. A C )
44		eqidd 2623	. . . . 5 |- ( ( ph /\ A. k e. A B =/= 0 ) -> prod_ k e. A C = prod_ k e. A C )
45	38, 43, 44	3eqtrd 2660	. . . 4 |- ( ( ph /\ A. k e. A B =/= 0 ) -> ( prod_ k e. A B x. prod_ k e. A ( C / B ) ) = prod_ k e. A C )
46	33, 45	breq12d 4666	. . 3 |- ( ( ph /\ A. k e. A B =/= 0 ) -> ( ( prod_ k e. A B x. 1 ) <_ ( prod_ k e. A B x. prod_ k e. A ( C / B ) ) <-> prod_ k e. A B <_ prod_ k e. A C ) )
47	29, 46	mpbid 222	. 2 |- ( ( ph /\ A. k e. A B =/= 0 ) -> prod_ k e. A B <_ prod_ k e. A C )
48		simpl 473	. . 3 |- ( ( ph /\ -. A. k e. A B =/= 0 ) -> ph )
49		nne 2798	. . . . . . 7 |- ( -. B =/= 0 <-> B = 0 )
50	49	rexbii 3041	. . . . . 6 |- ( E. k e. A -. B =/= 0 <-> E. k e. A B = 0 )
51		rexnal 2995	. . . . . 6 |- ( E. k e. A -. B =/= 0 <-> -. A. k e. A B =/= 0 )
52		nfv 1843	. . . . . . 7 |- F/ j B = 0
53		nfcsb1v 3549	. . . . . . . 8 |- F/_ k [_ j / k ]_ B
54		nfcv 2764	. . . . . . . 8 |- F/_ k 0
55	53, 54	nfeq 2776	. . . . . . 7 |- F/ k [_ j / k ]_ B = 0
56		csbeq1a 3542	. . . . . . . 8 |- ( k = j -> B = [_ j / k ]_ B )
57	56	eqeq1d 2624	. . . . . . 7 |- ( k = j -> ( B = 0 <-> [_ j / k ]_ B = 0 ) )
58	52, 55, 57	cbvrex 3168	. . . . . 6 |- ( E. k e. A B = 0 <-> E. j e. A [_ j / k ]_ B = 0 )
59	50, 51, 58	3bitr3i 290	. . . . 5 |- ( -. A. k e. A B =/= 0 <-> E. j e. A [_ j / k ]_ B = 0 )
60	59	biimpi 206	. . . 4 |- ( -. A. k e. A B =/= 0 -> E. j e. A [_ j / k ]_ B = 0 )
61	60	adantl 482	. . 3 |- ( ( ph /\ -. A. k e. A B =/= 0 ) -> E. j e. A [_ j / k ]_ B = 0 )
62		nfv 1843	. . . . . 6 |- F/ j ph
63		nfv 1843	. . . . . 6 |- F/ j prod_ k e. A B = 0
64		nfv 1843	. . . . . . . . 9 |- F/ k j e. A
65	2, 64, 55	nf3an 1831	. . . . . . . 8 |- F/ k ( ph /\ j e. A /\ [_ j / k ]_ B = 0 )
66	5	3ad2ant1 1082	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ j e. A /\ [_ j / k ]_ B = 0 ) -> A e. Fin )
67	30	3ad2antl1 1223	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ j e. A /\ [_ j / k ]_ B = 0 ) /\ k e. A ) -> B e. CC )
68		simp2 1062	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ j e. A /\ [_ j / k ]_ B = 0 ) -> j e. A )
69	57	biimparc 504	. . . . . . . . 9 |- ( ( [_ j / k ]_ B = 0 /\ k = j ) -> B = 0 )
70	69	3ad2antl3 1225	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ j e. A /\ [_ j / k ]_ B = 0 ) /\ k = j ) -> B = 0 )
71	65, 66, 67, 68, 70	fprodeq0g 14725	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ j e. A /\ [_ j / k ]_ B = 0 ) -> prod_ k e. A B = 0 )
72	71	3exp 1264	. . . . . 6 |- ( ph -> ( j e. A -> ( [_ j / k ]_ B = 0 -> prod_ k e. A B = 0 ) ) )
73	62, 63, 72	rexlimd 3026	. . . . 5 |- ( ph -> ( E. j e. A [_ j / k ]_ B = 0 -> prod_ k e. A B = 0 ) )
74	73	imp 445	. . . 4 |- ( ( ph /\ E. j e. A [_ j / k ]_ B = 0 ) -> prod_ k e. A B = 0 )
75		0red 10041	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ k e. A ) -> 0 e. RR )
76	75, 9, 7, 17, 24	letrd 10194	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ k e. A ) -> 0 <_ C )
77	2, 5, 7, 76	fprodge0 14724	. . . . 5 |- ( ph -> 0 <_ prod_ k e. A C )
78	77	adantr 481	. . . 4 |- ( ( ph /\ E. j e. A [_ j / k ]_ B = 0 ) -> 0 <_ prod_ k e. A C )
79	74, 78	eqbrtrd 4675	. . 3 |- ( ( ph /\ E. j e. A [_ j / k ]_ B = 0 ) -> prod_ k e. A B <_ prod_ k e. A C )
80	48, 61, 79	syl2anc 693	. 2 |- ( ( ph /\ -. A. k e. A B =/= 0 ) -> prod_ k e. A B <_ prod_ k e. A C )
81	47, 80	pm2.61dan 832	1 |- ( ph -> prod_ k e. A B <_ prod_ k e. A C )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   F/wnf 1708   e. wcel 1990   =/= wne 2794   A.wral 2912   E.wrex 2913   [_csb 3533   class class class wbr 4653  (class class class)co 6650   Fincfn 7955   CCcc 9934   RRcr 9935   0cc0 9936   1c1 9937   x. cmul 9941   <_ cle 10075   / cdiv 10684   RR+crp 11832   prod_cprod 14635

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-fal 1489  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-oadd 7564  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-sup 8348  df-oi 8415  df-card 8765  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-rp 11833  df-ico 12181  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-seq 12802  df-exp 12861  df-hash 13118  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-clim 14219  df-prod 14636

This theorem is referenced by:  prmolefac  15750  etransclem23  40474  hoidifhspdmvle  40834