Theorem zrhpsgnodpm 19938

Description: The sign of an odd permutation embedded into a ring is the additive inverse of the multiplicative neutral element of the ring. (Contributed by SO, 9-Jul-2018.)

Hypotheses

Ref	Expression
zrhpsgnevpm.y	|- Y = ( ZRHom ` R )
zrhpsgnevpm.s	|- S = (pmSgn ` N )
zrhpsgnevpm.o	|- .1. = ( 1r ` R )
zrhpsgnodpm.p	|- P = ( Base ` ( SymGrp ` N ) )
zrhpsgnodpm.i	|- I = ( invg ` R )

Assertion

Ref	Expression
zrhpsgnodpm	|- ( ( R e. Ring /\ N e. Fin /\ F e. ( P \ (pmEven ` N ) ) ) -> ( ( Y o. S ) ` F ) = ( I ` .1. ) )

Proof of Theorem zrhpsgnodpm

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2622	. . . . . 6 |- ( SymGrp ` N ) = ( SymGrp ` N )
2		zrhpsgnevpm.s	. . . . . 6 |- S = (pmSgn ` N )
3		eqid 2622	. . . . . 6 |- ( (mulGrp ` ℂfld ) ↾s { 1 , -u 1 } ) = ( (mulGrp ` ℂfld ) ↾s { 1 , -u 1 } )
4	1, 2, 3	psgnghm2 19927	. . . . 5 |- ( N e. Fin -> S e. ( ( SymGrp ` N ) GrpHom ( (mulGrp ` ℂfld ) ↾s { 1 , -u 1 } ) ) )
5		zrhpsgnodpm.p	. . . . . 6 |- P = ( Base ` ( SymGrp ` N ) )
6		eqid 2622	. . . . . 6 |- ( Base ` ( (mulGrp ` ℂfld ) ↾s { 1 , -u 1 } ) ) = ( Base ` ( (mulGrp ` ℂfld ) ↾s { 1 , -u 1 } ) )
7	5, 6	ghmf 17664	. . . . 5 |- ( S e. ( ( SymGrp ` N ) GrpHom ( (mulGrp ` ℂfld ) ↾s { 1 , -u 1 } ) ) -> S : P --> ( Base ` ( (mulGrp ` ℂfld ) ↾s { 1 , -u 1 } ) ) )
8	4, 7	syl 17	. . . 4 |- ( N e. Fin -> S : P --> ( Base ` ( (mulGrp ` ℂfld ) ↾s { 1 , -u 1 } ) ) )
9	8	3ad2ant2 1083	. . 3 |- ( ( R e. Ring /\ N e. Fin /\ F e. ( P \ (pmEven ` N ) ) ) -> S : P --> ( Base ` ( (mulGrp ` ℂfld ) ↾s { 1 , -u 1 } ) ) )
10		eldifi 3732	. . . 4 |- ( F e. ( P \ (pmEven ` N ) ) -> F e. P )
11	10	3ad2ant3 1084	. . 3 |- ( ( R e. Ring /\ N e. Fin /\ F e. ( P \ (pmEven ` N ) ) ) -> F e. P )
12		fvco3 6275	. . 3 |- ( ( S : P --> ( Base ` ( (mulGrp ` ℂfld ) ↾s { 1 , -u 1 } ) ) /\ F e. P ) -> ( ( Y o. S ) ` F ) = ( Y ` ( S ` F ) ) )
13	9, 11, 12	syl2anc 693	. 2 |- ( ( R e. Ring /\ N e. Fin /\ F e. ( P \ (pmEven ` N ) ) ) -> ( ( Y o. S ) ` F ) = ( Y ` ( S ` F ) ) )
14	1, 5, 2	psgnodpm 19934	. . . 4 |- ( ( N e. Fin /\ F e. ( P \ (pmEven ` N ) ) ) -> ( S ` F ) = -u 1 )
15	14	3adant1 1079	. . 3 |- ( ( R e. Ring /\ N e. Fin /\ F e. ( P \ (pmEven ` N ) ) ) -> ( S ` F ) = -u 1 )
16	15	fveq2d 6195	. 2 |- ( ( R e. Ring /\ N e. Fin /\ F e. ( P \ (pmEven ` N ) ) ) -> ( Y ` ( S ` F ) ) = ( Y ` -u 1 ) )
17		zrhpsgnevpm.y	. . . . . . 7 |- Y = ( ZRHom ` R )
18	17	zrhrhm 19860	. . . . . 6 |- ( R e. Ring -> Y e. (ℤring RingHom R ) )
19		rhmghm 18725	. . . . . 6 |- ( Y e. (ℤring RingHom R ) -> Y e. (ℤring GrpHom R ) )
20	18, 19	syl 17	. . . . 5 |- ( R e. Ring -> Y e. (ℤring GrpHom R ) )
21		1z 11407	. . . . . 6 |- 1 e. ZZ
22	21	a1i 11	. . . . 5 |- ( R e. Ring -> 1 e. ZZ )
23		zringbas 19824	. . . . . 6 |- ZZ = ( Base ` ℤring )
24		eqid 2622	. . . . . 6 |- ( invg ` ℤring ) = ( invg ` ℤring )
25		zrhpsgnodpm.i	. . . . . 6 |- I = ( invg ` R )
26	23, 24, 25	ghminv 17667	. . . . 5 |- ( ( Y e. (ℤring GrpHom R ) /\ 1 e. ZZ ) -> ( Y ` ( ( invg ` ℤring ) ` 1 ) ) = ( I ` ( Y ` 1 ) ) )
27	20, 22, 26	syl2anc 693	. . . 4 |- ( R e. Ring -> ( Y ` ( ( invg ` ℤring ) ` 1 ) ) = ( I ` ( Y ` 1 ) ) )
28		zringinvg 19835	. . . . . . . 8 |- ( 1 e. ZZ -> -u 1 = ( ( invg ` ℤring ) ` 1 ) )
29	21, 28	ax-mp 5	. . . . . . 7 |- -u 1 = ( ( invg ` ℤring ) ` 1 )
30	29	eqcomi 2631	. . . . . 6 |- ( ( invg ` ℤring ) ` 1 ) = -u 1
31	30	fveq2i 6194	. . . . 5 |- ( Y ` ( ( invg ` ℤring ) ` 1 ) ) = ( Y ` -u 1 )
32	31	a1i 11	. . . 4 |- ( R e. Ring -> ( Y ` ( ( invg ` ℤring ) ` 1 ) ) = ( Y ` -u 1 ) )
33		zrhpsgnevpm.o	. . . . . 6 |- .1. = ( 1r ` R )
34	17, 33	zrh1 19861	. . . . 5 |- ( R e. Ring -> ( Y ` 1 ) = .1. )
35	34	fveq2d 6195	. . . 4 |- ( R e. Ring -> ( I ` ( Y ` 1 ) ) = ( I ` .1. ) )
36	27, 32, 35	3eqtr3d 2664	. . 3 |- ( R e. Ring -> ( Y ` -u 1 ) = ( I ` .1. ) )
37	36	3ad2ant1 1082	. 2 |- ( ( R e. Ring /\ N e. Fin /\ F e. ( P \ (pmEven ` N ) ) ) -> ( Y ` -u 1 ) = ( I ` .1. ) )
38	13, 16, 37	3eqtrd 2660	1 |- ( ( R e. Ring /\ N e. Fin /\ F e. ( P \ (pmEven ` N ) ) ) -> ( ( Y o. S ) ` F ) = ( I ` .1. ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   \ cdif 3571   {cpr 4179   o. ccom 5118   -->wf 5884   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   Fincfn 7955   1c1 9937   -ucneg 10267   ZZcz 11377   Basecbs 15857   ↾_s cress 15858   invgcminusg 17423   GrpHom cghm 17657   SymGrpcsymg 17797  pmSgncpsgn 17909  pmEvencevpm 17910  mulGrpcmgp 18489   1rcur 18501   Ringcrg 18547   RingHom crh 18712  ℂ_fldccnfld 19746  ℤ_ringzring 19818   ZRHomczrh 19848

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-addf 10015  ax-mulf 10016

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-xor 1465  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-ot 4186  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-iin 4523  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-tpos 7352  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-2o 7561  df-oadd 7564  df-er 7742  df-map 7859  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-card 8765  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-4 11081  df-5 11082  df-6 11083  df-7 11084  df-8 11085  df-9 11086  df-n0 11293  df-xnn0 11364  df-z 11378  df-dec 11494  df-uz 11688  df-rp 11833  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-seq 12802  df-exp 12861  df-hash 13118  df-word 13299  df-lsw 13300  df-concat 13301  df-s1 13302  df-substr 13303  df-splice 13304  df-reverse 13305  df-s2 13593  df-struct 15859  df-ndx 15860  df-slot 15861  df-base 15863  df-sets 15864  df-ress 15865  df-plusg 15954  df-mulr 15955  df-starv 15956  df-tset 15960  df-ple 15961  df-ds 15964  df-unif 15965  df-0g 16102  df-gsum 16103  df-mre 16246  df-mrc 16247  df-acs 16249  df-mgm 17242  df-sgrp 17284  df-mnd 17295  df-mhm 17335  df-submnd 17336  df-grp 17425  df-minusg 17426  df-mulg 17541  df-subg 17591  df-ghm 17658  df-gim 17701  df-oppg 17776  df-symg 17798  df-pmtr 17862  df-psgn 17911  df-evpm 17912  df-cmn 18195  df-abl 18196  df-mgp 18490  df-ur 18502  df-ring 18549  df-cring 18550  df-oppr 18623  df-dvdsr 18641  df-unit 18642  df-invr 18672  df-dvr 18683  df-rnghom 18715  df-drng 18749  df-subrg 18778  df-cnfld 19747  df-zring 19819  df-zrh 19852

This theorem is referenced by:  mdetralt  20414  mdetunilem7  20424