Theorem nghmcn 22549

Description: A normed group homomorphism is a continuous function. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Oct-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
nghmcn.j	|- J = ( TopOpen ` S )
nghmcn.k	|- K = ( TopOpen ` T )

Assertion

Ref	Expression
nghmcn	|- ( F e. ( S NGHom T ) -> F e. ( J Cn K ) )

Proof of Theorem nghmcn

Dummy variables s r x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nghmghm 22538	. . . 4 |- ( F e. ( S NGHom T ) -> F e. ( S GrpHom T ) )
2		eqid 2622	. . . . 5 |- ( Base ` S ) = ( Base ` S )
3		eqid 2622	. . . . 5 |- ( Base ` T ) = ( Base ` T )
4	2, 3	ghmf 17664	. . . 4 |- ( F e. ( S GrpHom T ) -> F : ( Base ` S ) --> ( Base ` T ) )
5	1, 4	syl 17	. . 3 |- ( F e. ( S NGHom T ) -> F : ( Base ` S ) --> ( Base ` T ) )
6		simprr 796	. . . . . 6 |- ( ( F e. ( S NGHom T ) /\ ( x e. ( Base ` S ) /\ r e. RR+ ) ) -> r e. RR+ )
7		eqid 2622	. . . . . . . . 9 |- ( S normOp T ) = ( S normOp T )
8	7	nghmcl 22531	. . . . . . . 8 |- ( F e. ( S NGHom T ) -> ( ( S normOp T ) ` F ) e. RR )
9		nghmrcl1 22536	. . . . . . . . 9 |- ( F e. ( S NGHom T ) -> S e. NrmGrp )
10		nghmrcl2 22537	. . . . . . . . 9 |- ( F e. ( S NGHom T ) -> T e. NrmGrp )
11	7	nmoge0 22525	. . . . . . . . 9 |- ( ( S e. NrmGrp /\ T e. NrmGrp /\ F e. ( S GrpHom T ) ) -> 0 <_ ( ( S normOp T ) ` F ) )
12	9, 10, 1, 11	syl3anc 1326	. . . . . . . 8 |- ( F e. ( S NGHom T ) -> 0 <_ ( ( S normOp T ) ` F ) )
13	8, 12	ge0p1rpd 11902	. . . . . . 7 |- ( F e. ( S NGHom T ) -> ( ( ( S normOp T ) ` F ) + 1 ) e. RR+ )
14	13	adantr 481	. . . . . 6 |- ( ( F e. ( S NGHom T ) /\ ( x e. ( Base ` S ) /\ r e. RR+ ) ) -> ( ( ( S normOp T ) ` F ) + 1 ) e. RR+ )
15	6, 14	rpdivcld 11889	. . . . 5 |- ( ( F e. ( S NGHom T ) /\ ( x e. ( Base ` S ) /\ r e. RR+ ) ) -> ( r / ( ( ( S normOp T ) ` F ) + 1 ) ) e. RR+ )
16		ngpms 22404	. . . . . . . . . . . 12 |- ( S e. NrmGrp -> S e. MetSp )
17	9, 16	syl 17	. . . . . . . . . . 11 |- ( F e. ( S NGHom T ) -> S e. MetSp )
18	17	ad2antrr 762	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( F e. ( S NGHom T ) /\ ( x e. ( Base ` S ) /\ r e. RR+ ) ) /\ y e. ( Base ` S ) ) -> S e. MetSp )
19		simplrl 800	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( F e. ( S NGHom T ) /\ ( x e. ( Base ` S ) /\ r e. RR+ ) ) /\ y e. ( Base ` S ) ) -> x e. ( Base ` S ) )
20		simpr 477	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( F e. ( S NGHom T ) /\ ( x e. ( Base ` S ) /\ r e. RR+ ) ) /\ y e. ( Base ` S ) ) -> y e. ( Base ` S ) )
21		eqid 2622	. . . . . . . . . . 11 |- ( dist ` S ) = ( dist ` S )
22	2, 21	mscl 22266	. . . . . . . . . 10 |- ( ( S e. MetSp /\ x e. ( Base ` S ) /\ y e. ( Base ` S ) ) -> ( x ( dist ` S ) y ) e. RR )
23	18, 19, 20, 22	syl3anc 1326	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( F e. ( S NGHom T ) /\ ( x e. ( Base ` S ) /\ r e. RR+ ) ) /\ y e. ( Base ` S ) ) -> ( x ( dist ` S ) y ) e. RR )
24	6	adantr 481	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( F e. ( S NGHom T ) /\ ( x e. ( Base ` S ) /\ r e. RR+ ) ) /\ y e. ( Base ` S ) ) -> r e. RR+ )
25	24	rpred 11872	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( F e. ( S NGHom T ) /\ ( x e. ( Base ` S ) /\ r e. RR+ ) ) /\ y e. ( Base ` S ) ) -> r e. RR )
26	13	ad2antrr 762	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( F e. ( S NGHom T ) /\ ( x e. ( Base ` S ) /\ r e. RR+ ) ) /\ y e. ( Base ` S ) ) -> ( ( ( S normOp T ) ` F ) + 1 ) e. RR+ )
27	23, 25, 26	ltmuldiv2d 11920	. . . . . . . 8 |- ( ( ( F e. ( S NGHom T ) /\ ( x e. ( Base ` S ) /\ r e. RR+ ) ) /\ y e. ( Base ` S ) ) -> ( ( ( ( ( S normOp T ) ` F ) + 1 ) x. ( x ( dist ` S ) y ) ) < r <-> ( x ( dist ` S ) y ) < ( r / ( ( ( S normOp T ) ` F ) + 1 ) ) ) )
28		ngpms 22404	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( T e. NrmGrp -> T e. MetSp )
29	10, 28	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 |- ( F e. ( S NGHom T ) -> T e. MetSp )
30	29	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( F e. ( S NGHom T ) /\ ( x e. ( Base ` S ) /\ r e. RR+ ) ) /\ y e. ( Base ` S ) ) -> T e. MetSp )
31	5	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( F e. ( S NGHom T ) /\ ( x e. ( Base ` S ) /\ r e. RR+ ) ) /\ y e. ( Base ` S ) ) -> F : ( Base ` S ) --> ( Base ` T ) )
32	31, 19	ffvelrnd 6360	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( F e. ( S NGHom T ) /\ ( x e. ( Base ` S ) /\ r e. RR+ ) ) /\ y e. ( Base ` S ) ) -> ( F ` x ) e. ( Base ` T ) )
33	31, 20	ffvelrnd 6360	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( F e. ( S NGHom T ) /\ ( x e. ( Base ` S ) /\ r e. RR+ ) ) /\ y e. ( Base ` S ) ) -> ( F ` y ) e. ( Base ` T ) )
34		eqid 2622	. . . . . . . . . . . 12 |- ( dist ` T ) = ( dist ` T )
35	3, 34	mscl 22266	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( T e. MetSp /\ ( F ` x ) e. ( Base ` T ) /\ ( F ` y ) e. ( Base ` T ) ) -> ( ( F ` x ) ( dist ` T ) ( F ` y ) ) e. RR )
36	30, 32, 33, 35	syl3anc 1326	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( F e. ( S NGHom T ) /\ ( x e. ( Base ` S ) /\ r e. RR+ ) ) /\ y e. ( Base ` S ) ) -> ( ( F ` x ) ( dist ` T ) ( F ` y ) ) e. RR )
37	8	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( F e. ( S NGHom T ) /\ ( x e. ( Base ` S ) /\ r e. RR+ ) ) /\ y e. ( Base ` S ) ) -> ( ( S normOp T ) ` F ) e. RR )
38	37, 23	remulcld 10070	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( F e. ( S NGHom T ) /\ ( x e. ( Base ` S ) /\ r e. RR+ ) ) /\ y e. ( Base ` S ) ) -> ( ( ( S normOp T ) ` F ) x. ( x ( dist ` S ) y ) ) e. RR )
39	26	rpred 11872	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( F e. ( S NGHom T ) /\ ( x e. ( Base ` S ) /\ r e. RR+ ) ) /\ y e. ( Base ` S ) ) -> ( ( ( S normOp T ) ` F ) + 1 ) e. RR )
40	39, 23	remulcld 10070	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( F e. ( S NGHom T ) /\ ( x e. ( Base ` S ) /\ r e. RR+ ) ) /\ y e. ( Base ` S ) ) -> ( ( ( ( S normOp T ) ` F ) + 1 ) x. ( x ( dist ` S ) y ) ) e. RR )
41	7, 2, 21, 34	nmods 22548	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( F e. ( S NGHom T ) /\ x e. ( Base ` S ) /\ y e. ( Base ` S ) ) -> ( ( F ` x ) ( dist ` T ) ( F ` y ) ) <_ ( ( ( S normOp T ) ` F ) x. ( x ( dist ` S ) y ) ) )
42	41	3expa 1265	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( F e. ( S NGHom T ) /\ x e. ( Base ` S ) ) /\ y e. ( Base ` S ) ) -> ( ( F ` x ) ( dist ` T ) ( F ` y ) ) <_ ( ( ( S normOp T ) ` F ) x. ( x ( dist ` S ) y ) ) )
43	42	adantlrr 757	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( F e. ( S NGHom T ) /\ ( x e. ( Base ` S ) /\ r e. RR+ ) ) /\ y e. ( Base ` S ) ) -> ( ( F ` x ) ( dist ` T ) ( F ` y ) ) <_ ( ( ( S normOp T ) ` F ) x. ( x ( dist ` S ) y ) ) )
44		msxms 22259	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( S e. MetSp -> S e. *MetSp )
45	18, 44	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( F e. ( S NGHom T ) /\ ( x e. ( Base ` S ) /\ r e. RR+ ) ) /\ y e. ( Base ` S ) ) -> S e. *MetSp )
46	2, 21	xmsge0 22268	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( S e. *MetSp /\ x e. ( Base ` S ) /\ y e. ( Base ` S ) ) -> 0 <_ ( x ( dist ` S ) y ) )
47	45, 19, 20, 46	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( F e. ( S NGHom T ) /\ ( x e. ( Base ` S ) /\ r e. RR+ ) ) /\ y e. ( Base ` S ) ) -> 0 <_ ( x ( dist ` S ) y ) )
48	37	lep1d 10955	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( F e. ( S NGHom T ) /\ ( x e. ( Base ` S ) /\ r e. RR+ ) ) /\ y e. ( Base ` S ) ) -> ( ( S normOp T ) ` F ) <_ ( ( ( S normOp T ) ` F ) + 1 ) )
49	37, 39, 23, 47, 48	lemul1ad 10963	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( F e. ( S NGHom T ) /\ ( x e. ( Base ` S ) /\ r e. RR+ ) ) /\ y e. ( Base ` S ) ) -> ( ( ( S normOp T ) ` F ) x. ( x ( dist ` S ) y ) ) <_ ( ( ( ( S normOp T ) ` F ) + 1 ) x. ( x ( dist ` S ) y ) ) )
50	36, 38, 40, 43, 49	letrd 10194	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( F e. ( S NGHom T ) /\ ( x e. ( Base ` S ) /\ r e. RR+ ) ) /\ y e. ( Base ` S ) ) -> ( ( F ` x ) ( dist ` T ) ( F ` y ) ) <_ ( ( ( ( S normOp T ) ` F ) + 1 ) x. ( x ( dist ` S ) y ) ) )
51		lelttr 10128	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( F ` x ) ( dist ` T ) ( F ` y ) ) e. RR /\ ( ( ( ( S normOp T ) ` F ) + 1 ) x. ( x ( dist ` S ) y ) ) e. RR /\ r e. RR ) -> ( ( ( ( F ` x ) ( dist ` T ) ( F ` y ) ) <_ ( ( ( ( S normOp T ) ` F ) + 1 ) x. ( x ( dist ` S ) y ) ) /\ ( ( ( ( S normOp T ) ` F ) + 1 ) x. ( x ( dist ` S ) y ) ) < r ) -> ( ( F ` x ) ( dist ` T ) ( F ` y ) ) < r ) )
52	36, 40, 25, 51	syl3anc 1326	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( F e. ( S NGHom T ) /\ ( x e. ( Base ` S ) /\ r e. RR+ ) ) /\ y e. ( Base ` S ) ) -> ( ( ( ( F ` x ) ( dist ` T ) ( F ` y ) ) <_ ( ( ( ( S normOp T ) ` F ) + 1 ) x. ( x ( dist ` S ) y ) ) /\ ( ( ( ( S normOp T ) ` F ) + 1 ) x. ( x ( dist ` S ) y ) ) < r ) -> ( ( F ` x ) ( dist ` T ) ( F ` y ) ) < r ) )
53	50, 52	mpand 711	. . . . . . . 8 |- ( ( ( F e. ( S NGHom T ) /\ ( x e. ( Base ` S ) /\ r e. RR+ ) ) /\ y e. ( Base ` S ) ) -> ( ( ( ( ( S normOp T ) ` F ) + 1 ) x. ( x ( dist ` S ) y ) ) < r -> ( ( F ` x ) ( dist ` T ) ( F ` y ) ) < r ) )
54	27, 53	sylbird 250	. . . . . . 7 |- ( ( ( F e. ( S NGHom T ) /\ ( x e. ( Base ` S ) /\ r e. RR+ ) ) /\ y e. ( Base ` S ) ) -> ( ( x ( dist ` S ) y ) < ( r / ( ( ( S normOp T ) ` F ) + 1 ) ) -> ( ( F ` x ) ( dist ` T ) ( F ` y ) ) < r ) )
55	19, 20	ovresd 6801	. . . . . . . 8 |- ( ( ( F e. ( S NGHom T ) /\ ( x e. ( Base ` S ) /\ r e. RR+ ) ) /\ y e. ( Base ` S ) ) -> ( x ( ( dist ` S ) |` ( ( Base ` S ) X. ( Base ` S ) ) ) y ) = ( x ( dist ` S ) y ) )
56	55	breq1d 4663	. . . . . . 7 |- ( ( ( F e. ( S NGHom T ) /\ ( x e. ( Base ` S ) /\ r e. RR+ ) ) /\ y e. ( Base ` S ) ) -> ( ( x ( ( dist ` S ) |` ( ( Base ` S ) X. ( Base ` S ) ) ) y ) < ( r / ( ( ( S normOp T ) ` F ) + 1 ) ) <-> ( x ( dist ` S ) y ) < ( r / ( ( ( S normOp T ) ` F ) + 1 ) ) ) )
57	32, 33	ovresd 6801	. . . . . . . 8 |- ( ( ( F e. ( S NGHom T ) /\ ( x e. ( Base ` S ) /\ r e. RR+ ) ) /\ y e. ( Base ` S ) ) -> ( ( F ` x ) ( ( dist ` T ) |` ( ( Base ` T ) X. ( Base ` T ) ) ) ( F ` y ) ) = ( ( F ` x ) ( dist ` T ) ( F ` y ) ) )
58	57	breq1d 4663	. . . . . . 7 |- ( ( ( F e. ( S NGHom T ) /\ ( x e. ( Base ` S ) /\ r e. RR+ ) ) /\ y e. ( Base ` S ) ) -> ( ( ( F ` x ) ( ( dist ` T ) |` ( ( Base ` T ) X. ( Base ` T ) ) ) ( F ` y ) ) < r <-> ( ( F ` x ) ( dist ` T ) ( F ` y ) ) < r ) )
59	54, 56, 58	3imtr4d 283	. . . . . 6 |- ( ( ( F e. ( S NGHom T ) /\ ( x e. ( Base ` S ) /\ r e. RR+ ) ) /\ y e. ( Base ` S ) ) -> ( ( x ( ( dist ` S ) |` ( ( Base ` S ) X. ( Base ` S ) ) ) y ) < ( r / ( ( ( S normOp T ) ` F ) + 1 ) ) -> ( ( F ` x ) ( ( dist ` T ) |` ( ( Base ` T ) X. ( Base ` T ) ) ) ( F ` y ) ) < r ) )
60	59	ralrimiva 2966	. . . . 5 |- ( ( F e. ( S NGHom T ) /\ ( x e. ( Base ` S ) /\ r e. RR+ ) ) -> A. y e. ( Base ` S ) ( ( x ( ( dist ` S ) |` ( ( Base ` S ) X. ( Base ` S ) ) ) y ) < ( r / ( ( ( S normOp T ) ` F ) + 1 ) ) -> ( ( F ` x ) ( ( dist ` T ) |` ( ( Base ` T ) X. ( Base ` T ) ) ) ( F ` y ) ) < r ) )
61		breq2 4657	. . . . . . . 8 |- ( s = ( r / ( ( ( S normOp T ) ` F ) + 1 ) ) -> ( ( x ( ( dist ` S ) |` ( ( Base ` S ) X. ( Base ` S ) ) ) y ) < s <-> ( x ( ( dist ` S ) |` ( ( Base ` S ) X. ( Base ` S ) ) ) y ) < ( r / ( ( ( S normOp T ) ` F ) + 1 ) ) ) )
62	61	imbi1d 331	. . . . . . 7 |- ( s = ( r / ( ( ( S normOp T ) ` F ) + 1 ) ) -> ( ( ( x ( ( dist ` S ) |` ( ( Base ` S ) X. ( Base ` S ) ) ) y ) < s -> ( ( F ` x ) ( ( dist ` T ) |` ( ( Base ` T ) X. ( Base ` T ) ) ) ( F ` y ) ) < r ) <-> ( ( x ( ( dist ` S ) |` ( ( Base ` S ) X. ( Base ` S ) ) ) y ) < ( r / ( ( ( S normOp T ) ` F ) + 1 ) ) -> ( ( F ` x ) ( ( dist ` T ) |` ( ( Base ` T ) X. ( Base ` T ) ) ) ( F ` y ) ) < r ) ) )
63	62	ralbidv 2986	. . . . . 6 |- ( s = ( r / ( ( ( S normOp T ) ` F ) + 1 ) ) -> ( A. y e. ( Base ` S ) ( ( x ( ( dist ` S ) |` ( ( Base ` S ) X. ( Base ` S ) ) ) y ) < s -> ( ( F ` x ) ( ( dist ` T ) |` ( ( Base ` T ) X. ( Base ` T ) ) ) ( F ` y ) ) < r ) <-> A. y e. ( Base ` S ) ( ( x ( ( dist ` S ) |` ( ( Base ` S ) X. ( Base ` S ) ) ) y ) < ( r / ( ( ( S normOp T ) ` F ) + 1 ) ) -> ( ( F ` x ) ( ( dist ` T ) |` ( ( Base ` T ) X. ( Base ` T ) ) ) ( F ` y ) ) < r ) ) )
64	63	rspcev 3309	. . . . 5 |- ( ( ( r / ( ( ( S normOp T ) ` F ) + 1 ) ) e. RR+ /\ A. y e. ( Base ` S ) ( ( x ( ( dist ` S ) |` ( ( Base ` S ) X. ( Base ` S ) ) ) y ) < ( r / ( ( ( S normOp T ) ` F ) + 1 ) ) -> ( ( F ` x ) ( ( dist ` T ) |` ( ( Base ` T ) X. ( Base ` T ) ) ) ( F ` y ) ) < r ) ) -> E. s e. RR+ A. y e. ( Base ` S ) ( ( x ( ( dist ` S ) |` ( ( Base ` S ) X. ( Base ` S ) ) ) y ) < s -> ( ( F ` x ) ( ( dist ` T ) |` ( ( Base ` T ) X. ( Base ` T ) ) ) ( F ` y ) ) < r ) )
65	15, 60, 64	syl2anc 693	. . . 4 |- ( ( F e. ( S NGHom T ) /\ ( x e. ( Base ` S ) /\ r e. RR+ ) ) -> E. s e. RR+ A. y e. ( Base ` S ) ( ( x ( ( dist ` S ) |` ( ( Base ` S ) X. ( Base ` S ) ) ) y ) < s -> ( ( F ` x ) ( ( dist ` T ) |` ( ( Base ` T ) X. ( Base ` T ) ) ) ( F ` y ) ) < r ) )
66	65	ralrimivva 2971	. . 3 |- ( F e. ( S NGHom T ) -> A. x e. ( Base ` S ) A. r e. RR+ E. s e. RR+ A. y e. ( Base ` S ) ( ( x ( ( dist ` S ) |` ( ( Base ` S ) X. ( Base ` S ) ) ) y ) < s -> ( ( F ` x ) ( ( dist ` T ) |` ( ( Base ` T ) X. ( Base ` T ) ) ) ( F ` y ) ) < r ) )
67		eqid 2622	. . . . . 6 |- ( ( dist ` S ) |` ( ( Base ` S ) X. ( Base ` S ) ) ) = ( ( dist ` S ) |` ( ( Base ` S ) X. ( Base ` S ) ) )
68	2, 67	xmsxmet 22261	. . . . 5 |- ( S e. *MetSp -> ( ( dist ` S ) |` ( ( Base ` S ) X. ( Base ` S ) ) ) e. ( *Met ` ( Base ` S ) ) )
69	17, 44, 68	3syl 18	. . . 4 |- ( F e. ( S NGHom T ) -> ( ( dist ` S ) |` ( ( Base ` S ) X. ( Base ` S ) ) ) e. ( *Met ` ( Base ` S ) ) )
70		msxms 22259	. . . . 5 |- ( T e. MetSp -> T e. *MetSp )
71		eqid 2622	. . . . . 6 |- ( ( dist ` T ) |` ( ( Base ` T ) X. ( Base ` T ) ) ) = ( ( dist ` T ) |` ( ( Base ` T ) X. ( Base ` T ) ) )
72	3, 71	xmsxmet 22261	. . . . 5 |- ( T e. *MetSp -> ( ( dist ` T ) |` ( ( Base ` T ) X. ( Base ` T ) ) ) e. ( *Met ` ( Base ` T ) ) )
73	29, 70, 72	3syl 18	. . . 4 |- ( F e. ( S NGHom T ) -> ( ( dist ` T ) |` ( ( Base ` T ) X. ( Base ` T ) ) ) e. ( *Met ` ( Base ` T ) ) )
74		eqid 2622	. . . . 5 |- ( MetOpen ` ( ( dist ` S ) |` ( ( Base ` S ) X. ( Base ` S ) ) ) ) = ( MetOpen ` ( ( dist ` S ) |` ( ( Base ` S ) X. ( Base ` S ) ) ) )
75		eqid 2622	. . . . 5 |- ( MetOpen ` ( ( dist ` T ) |` ( ( Base ` T ) X. ( Base ` T ) ) ) ) = ( MetOpen ` ( ( dist ` T ) |` ( ( Base ` T ) X. ( Base ` T ) ) ) )
76	74, 75	metcn 22348	. . . 4 |- ( ( ( ( dist ` S ) |` ( ( Base ` S ) X. ( Base ` S ) ) ) e. ( *Met ` ( Base ` S ) ) /\ ( ( dist ` T ) |` ( ( Base ` T ) X. ( Base ` T ) ) ) e. ( *Met ` ( Base ` T ) ) ) -> ( F e. ( ( MetOpen ` ( ( dist ` S ) |` ( ( Base ` S ) X. ( Base ` S ) ) ) ) Cn ( MetOpen ` ( ( dist ` T ) |` ( ( Base ` T ) X. ( Base ` T ) ) ) ) ) <-> ( F : ( Base ` S ) --> ( Base ` T ) /\ A. x e. ( Base ` S ) A. r e. RR+ E. s e. RR+ A. y e. ( Base ` S ) ( ( x ( ( dist ` S ) |` ( ( Base ` S ) X. ( Base ` S ) ) ) y ) < s -> ( ( F ` x ) ( ( dist ` T ) |` ( ( Base ` T ) X. ( Base ` T ) ) ) ( F ` y ) ) < r ) ) ) )
77	69, 73, 76	syl2anc 693	. . 3 |- ( F e. ( S NGHom T ) -> ( F e. ( ( MetOpen ` ( ( dist ` S ) |` ( ( Base ` S ) X. ( Base ` S ) ) ) ) Cn ( MetOpen ` ( ( dist ` T ) |` ( ( Base ` T ) X. ( Base ` T ) ) ) ) ) <-> ( F : ( Base ` S ) --> ( Base ` T ) /\ A. x e. ( Base ` S ) A. r e. RR+ E. s e. RR+ A. y e. ( Base ` S ) ( ( x ( ( dist ` S ) |` ( ( Base ` S ) X. ( Base ` S ) ) ) y ) < s -> ( ( F ` x ) ( ( dist ` T ) |` ( ( Base ` T ) X. ( Base ` T ) ) ) ( F ` y ) ) < r ) ) ) )
78	5, 66, 77	mpbir2and 957	. 2 |- ( F e. ( S NGHom T ) -> F e. ( ( MetOpen ` ( ( dist ` S ) |` ( ( Base ` S ) X. ( Base ` S ) ) ) ) Cn ( MetOpen ` ( ( dist ` T ) |` ( ( Base ` T ) X. ( Base ` T ) ) ) ) ) )
79		nghmcn.j	. . . . 5 |- J = ( TopOpen ` S )
80	79, 2, 67	mstopn 22257	. . . 4 |- ( S e. MetSp -> J = ( MetOpen ` ( ( dist ` S ) |` ( ( Base ` S ) X. ( Base ` S ) ) ) ) )
81	17, 80	syl 17	. . 3 |- ( F e. ( S NGHom T ) -> J = ( MetOpen ` ( ( dist ` S ) |` ( ( Base ` S ) X. ( Base ` S ) ) ) ) )
82		nghmcn.k	. . . . 5 |- K = ( TopOpen ` T )
83	82, 3, 71	mstopn 22257	. . . 4 |- ( T e. MetSp -> K = ( MetOpen ` ( ( dist ` T ) |` ( ( Base ` T ) X. ( Base ` T ) ) ) ) )
84	29, 83	syl 17	. . 3 |- ( F e. ( S NGHom T ) -> K = ( MetOpen ` ( ( dist ` T ) |` ( ( Base ` T ) X. ( Base ` T ) ) ) ) )
85	81, 84	oveq12d 6668	. 2 |- ( F e. ( S NGHom T ) -> ( J Cn K ) = ( ( MetOpen ` ( ( dist ` S ) |` ( ( Base ` S ) X. ( Base ` S ) ) ) ) Cn ( MetOpen ` ( ( dist ` T ) |` ( ( Base ` T ) X. ( Base ` T ) ) ) ) ) )
86	78, 85	eleqtrrd 2704	1 |- ( F e. ( S NGHom T ) -> F e. ( J Cn K ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   A.wral 2912   E.wrex 2913   class class class wbr 4653   X. cxp 5112   |` cres 5116   -->wf 5884   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   RRcr 9935   0cc0 9936   1c1 9937   + caddc 9939   x. cmul 9941   < clt 10074   <_ cle 10075   / cdiv 10684   RR+crp 11832   Basecbs 15857   distcds 15950   TopOpenctopn 16082   GrpHom cghm 17657   *Metcxmt 19731   MetOpencmopn 19736   Cn ccn 21028   *MetSpcxme 22122   MetSpcmt 22123  NrmGrpcngp 22382   normOpcnmo 22509   NGHom cnghm 22510

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-er 7742  df-map 7859  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-sup 8348  df-inf 8349  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-q 11789  df-rp 11833  df-xneg 11946  df-xadd 11947  df-xmul 11948  df-ico 12181  df-0g 16102  df-topgen 16104  df-mgm 17242  df-sgrp 17284  df-mnd 17295  df-grp 17425  df-minusg 17426  df-sbg 17427  df-ghm 17658  df-psmet 19738  df-xmet 19739  df-met 19740  df-bl 19741  df-mopn 19742  df-top 20699  df-topon 20716  df-topsp 20737  df-bases 20750  df-cn 21031  df-cnp 21032  df-xms 22125  df-ms 22126  df-nm 22387  df-ngp 22388  df-nmo 22512  df-nghm 22513

This theorem is referenced by:  nmhmcn  22920