Theorem gsummptfzsplitl 18333

Description: Split a group sum expressed as mapping with a finite set of sequential integers as domain into two parts, , extracting a singleton from the left. (Contributed by AV, 7-Nov-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
gsummptfzsplit.b	|- B = ( Base ` G )
gsummptfzsplit.p	|- .+ = ( +g ` G )
gsummptfzsplit.g	|- ( ph -> G e. CMnd )
gsummptfzsplit.n	|- ( ph -> N e. NN0 )
gsummptfzsplitl.y	|- ( ( ph /\ k e. ( 0 ... N ) ) -> Y e. B )

Assertion

Ref	Expression
gsummptfzsplitl	|- ( ph -> ( G gsumg ( k e. ( 0 ... N ) |-> Y ) ) = ( ( G gsumg ( k e. ( 1 ... N ) |-> Y ) ) .+ ( G gsumg ( k e. { 0 } |-> Y ) ) ) )

Distinct variable groups:   B, k   k, N   ph, k

Allowed substitution hints:   .+ ( k)   G( k)   Y( k)

Proof of Theorem gsummptfzsplitl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		gsummptfzsplit.b	. 2 |- B = ( Base ` G )
2		gsummptfzsplit.p	. 2 |- .+ = ( +g ` G )
3		gsummptfzsplit.g	. 2 |- ( ph -> G e. CMnd )
4		fzfid 12772	. 2 |- ( ph -> ( 0 ... N ) e. Fin )
5		gsummptfzsplitl.y	. 2 |- ( ( ph /\ k e. ( 0 ... N ) ) -> Y e. B )
6		incom 3805	. . . 4 |- ( ( 1 ... N ) i^i { 0 } ) = ( { 0 } i^i ( 1 ... N ) )
7	6	a1i 11	. . 3 |- ( ph -> ( ( 1 ... N ) i^i { 0 } ) = ( { 0 } i^i ( 1 ... N ) ) )
8		1e0p1 11552	. . . . . 6 |- 1 = ( 0 + 1 )
9	8	oveq1i 6660	. . . . 5 |- ( 1 ... N ) = ( ( 0 + 1 ) ... N )
10	9	a1i 11	. . . 4 |- ( ph -> ( 1 ... N ) = ( ( 0 + 1 ) ... N ) )
11	10	ineq2d 3814	. . 3 |- ( ph -> ( { 0 } i^i ( 1 ... N ) ) = ( { 0 } i^i ( ( 0 + 1 ) ... N ) ) )
12		gsummptfzsplit.n	. . . 4 |- ( ph -> N e. NN0 )
13		elnn0uz 11725	. . . . 5 |- ( N e. NN0 <-> N e. ( ZZ>= ` 0 ) )
14	13	biimpi 206	. . . 4 |- ( N e. NN0 -> N e. ( ZZ>= ` 0 ) )
15		fzpreddisj 12390	. . . 4 |- ( N e. ( ZZ>= ` 0 ) -> ( { 0 } i^i ( ( 0 + 1 ) ... N ) ) = (/) )
16	12, 14, 15	3syl 18	. . 3 |- ( ph -> ( { 0 } i^i ( ( 0 + 1 ) ... N ) ) = (/) )
17	7, 11, 16	3eqtrd 2660	. 2 |- ( ph -> ( ( 1 ... N ) i^i { 0 } ) = (/) )
18		fzpred 12389	. . . 4 |- ( N e. ( ZZ>= ` 0 ) -> ( 0 ... N ) = ( { 0 } u. ( ( 0 + 1 ) ... N ) ) )
19	12, 14, 18	3syl 18	. . 3 |- ( ph -> ( 0 ... N ) = ( { 0 } u. ( ( 0 + 1 ) ... N ) ) )
20		uncom 3757	. . . 4 |- ( { 0 } u. ( ( 0 + 1 ) ... N ) ) = ( ( ( 0 + 1 ) ... N ) u. { 0 } )
21		0p1e1 11132	. . . . . 6 |- ( 0 + 1 ) = 1
22	21	oveq1i 6660	. . . . 5 |- ( ( 0 + 1 ) ... N ) = ( 1 ... N )
23	22	uneq1i 3763	. . . 4 |- ( ( ( 0 + 1 ) ... N ) u. { 0 } ) = ( ( 1 ... N ) u. { 0 } )
24	20, 23	eqtri 2644	. . 3 |- ( { 0 } u. ( ( 0 + 1 ) ... N ) ) = ( ( 1 ... N ) u. { 0 } )
25	19, 24	syl6eq 2672	. 2 |- ( ph -> ( 0 ... N ) = ( ( 1 ... N ) u. { 0 } ) )
26	1, 2, 3, 4, 5, 17, 25	gsummptfidmsplit 18330	1 |- ( ph -> ( G gsumg ( k e. ( 0 ... N ) |-> Y ) ) = ( ( G gsumg ( k e. ( 1 ... N ) |-> Y ) ) .+ ( G gsumg ( k e. { 0 } |-> Y ) ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   u. cun 3572   i^i cin 3573   (/)c0 3915   {csn 4177   |-> cmpt 4729   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   0cc0 9936   1c1 9937   + caddc 9939   NN0cn0 11292   ZZ>=cuz 11687   ...cfz 12326   Basecbs 15857   +g cplusg 15941   gsum_g cgsu 16101  CMndccmn 18193

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-iin 4523  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-of 6897  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-supp 7296  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-oadd 7564  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-fsupp 8276  df-oi 8415  df-card 8765  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-nn 11021  df-2 11079  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-seq 12802  df-hash 13118  df-ndx 15860  df-slot 15861  df-base 15863  df-sets 15864  df-ress 15865  df-plusg 15954  df-0g 16102  df-gsum 16103  df-mre 16246  df-mrc 16247  df-acs 16249  df-mgm 17242  df-sgrp 17284  df-mnd 17295  df-submnd 17336  df-cntz 17750  df-cmn 18195

This theorem is referenced by:  srgbinomlem4  18543  chfacfscmulgsum  20665  chfacfpmmulgsum  20669  cpmadugsumlemF  20681