Theorem srgbinomlem4 18543

Description: Lemma 4 for srgbinomlem 18544. (Contributed by AV, 24-Aug-2019.) (Proof shortened by AV, 19-Nov-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
srgbinom.s	|- S = ( Base ` R )
srgbinom.m	|- .X. = ( .r ` R )
srgbinom.t	|- .x. = (.g ` R )
srgbinom.a	|- .+ = ( +g ` R )
srgbinom.g	|- G = (mulGrp ` R )
srgbinom.e	|- .^ = (.g ` G )
srgbinomlem.r	|- ( ph -> R e. SRing )
srgbinomlem.a	|- ( ph -> A e. S )
srgbinomlem.b	|- ( ph -> B e. S )
srgbinomlem.c	|- ( ph -> ( A .X. B ) = ( B .X. A ) )
srgbinomlem.n	|- ( ph -> N e. NN0 )
srgbinomlem.i	|- ( ps -> ( N .^ ( A .+ B ) ) = ( R gsumg ( k e. ( 0 ... N ) |-> ( ( N _C k ) .x. ( ( ( N - k ) .^ A ) .X. ( k .^ B ) ) ) ) ) )

Assertion

Ref	Expression
srgbinomlem4	|- ( ( ph /\ ps ) -> ( ( N .^ ( A .+ B ) ) .X. B ) = ( R gsumg ( k e. ( 0 ... ( N + 1 ) ) |-> ( ( N _C ( k - 1 ) ) .x. ( ( ( ( N + 1 ) - k ) .^ A ) .X. ( k .^ B ) ) ) ) ) )

Distinct variable groups:   A, k   B, k   k, N   R, k   S, k   .x. , k   .X. , k   .^ , k   ph, k

Allowed substitution hints:   ps( k)   .+ ( k)   G( k)

Proof of Theorem srgbinomlem4

Dummy variable j is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		srgbinomlem.i	. . 3 |- ( ps -> ( N .^ ( A .+ B ) ) = ( R gsumg ( k e. ( 0 ... N ) |-> ( ( N _C k ) .x. ( ( ( N - k ) .^ A ) .X. ( k .^ B ) ) ) ) ) )
2	1	oveq1d 6665	. 2 |- ( ps -> ( ( N .^ ( A .+ B ) ) .X. B ) = ( ( R gsumg ( k e. ( 0 ... N ) |-> ( ( N _C k ) .x. ( ( ( N - k ) .^ A ) .X. ( k .^ B ) ) ) ) ) .X. B ) )
3		srgbinom.s	. . . 4 |- S = ( Base ` R )
4		eqid 2622	. . . 4 |- ( 0g ` R ) = ( 0g ` R )
5		srgbinom.a	. . . 4 |- .+ = ( +g ` R )
6		srgbinom.m	. . . 4 |- .X. = ( .r ` R )
7		srgbinomlem.r	. . . 4 |- ( ph -> R e. SRing )
8		ovexd 6680	. . . 4 |- ( ph -> ( 0 ... N ) e. _V )
9		srgbinomlem.b	. . . 4 |- ( ph -> B e. S )
10		simpl 473	. . . . 5 |- ( ( ph /\ k e. ( 0 ... N ) ) -> ph )
11		srgbinomlem.n	. . . . . 6 |- ( ph -> N e. NN0 )
12		elfzelz 12342	. . . . . 6 |- ( k e. ( 0 ... N ) -> k e. ZZ )
13		bccl 13109	. . . . . 6 |- ( ( N e. NN0 /\ k e. ZZ ) -> ( N _C k ) e. NN0 )
14	11, 12, 13	syl2an 494	. . . . 5 |- ( ( ph /\ k e. ( 0 ... N ) ) -> ( N _C k ) e. NN0 )
15		fznn0sub 12373	. . . . . 6 |- ( k e. ( 0 ... N ) -> ( N - k ) e. NN0 )
16	15	adantl 482	. . . . 5 |- ( ( ph /\ k e. ( 0 ... N ) ) -> ( N - k ) e. NN0 )
17		elfznn0 12433	. . . . . 6 |- ( k e. ( 0 ... N ) -> k e. NN0 )
18	17	adantl 482	. . . . 5 |- ( ( ph /\ k e. ( 0 ... N ) ) -> k e. NN0 )
19		srgbinom.t	. . . . . 6 |- .x. = (.g ` R )
20		srgbinom.g	. . . . . 6 |- G = (mulGrp ` R )
21		srgbinom.e	. . . . . 6 |- .^ = (.g ` G )
22		srgbinomlem.a	. . . . . 6 |- ( ph -> A e. S )
23		srgbinomlem.c	. . . . . 6 |- ( ph -> ( A .X. B ) = ( B .X. A ) )
24	3, 6, 19, 5, 20, 21, 7, 22, 9, 23, 11	srgbinomlem2 18541	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( ( N _C k ) e. NN0 /\ ( N - k ) e. NN0 /\ k e. NN0 ) ) -> ( ( N _C k ) .x. ( ( ( N - k ) .^ A ) .X. ( k .^ B ) ) ) e. S )
25	10, 14, 16, 18, 24	syl13anc 1328	. . . 4 |- ( ( ph /\ k e. ( 0 ... N ) ) -> ( ( N _C k ) .x. ( ( ( N - k ) .^ A ) .X. ( k .^ B ) ) ) e. S )
26		eqid 2622	. . . . 5 |- ( k e. ( 0 ... N ) |-> ( ( N _C k ) .x. ( ( ( N - k ) .^ A ) .X. ( k .^ B ) ) ) ) = ( k e. ( 0 ... N ) |-> ( ( N _C k ) .x. ( ( ( N - k ) .^ A ) .X. ( k .^ B ) ) ) )
27		fzfid 12772	. . . . 5 |- ( ph -> ( 0 ... N ) e. Fin )
28		ovexd 6680	. . . . 5 |- ( ( ph /\ k e. ( 0 ... N ) ) -> ( ( N _C k ) .x. ( ( ( N - k ) .^ A ) .X. ( k .^ B ) ) ) e. _V )
29		fvexd 6203	. . . . 5 |- ( ph -> ( 0g ` R ) e. _V )
30	26, 27, 28, 29	fsuppmptdm 8286	. . . 4 |- ( ph -> ( k e. ( 0 ... N ) |-> ( ( N _C k ) .x. ( ( ( N - k ) .^ A ) .X. ( k .^ B ) ) ) ) finSupp ( 0g ` R ) )
31	3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 25, 30	srgsummulcr 18537	. . 3 |- ( ph -> ( R gsumg ( k e. ( 0 ... N ) |-> ( ( ( N _C k ) .x. ( ( ( N - k ) .^ A ) .X. ( k .^ B ) ) ) .X. B ) ) ) = ( ( R gsumg ( k e. ( 0 ... N ) |-> ( ( N _C k ) .x. ( ( ( N - k ) .^ A ) .X. ( k .^ B ) ) ) ) ) .X. B ) )
32		srgcmn 18508	. . . . . 6 |- ( R e. SRing -> R e. CMnd )
33	7, 32	syl 17	. . . . 5 |- ( ph -> R e. CMnd )
34		1z 11407	. . . . . 6 |- 1 e. ZZ
35	34	a1i 11	. . . . 5 |- ( ph -> 1 e. ZZ )
36		0zd 11389	. . . . 5 |- ( ph -> 0 e. ZZ )
37	11	nn0zd 11480	. . . . 5 |- ( ph -> N e. ZZ )
38	7	adantr 481	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ k e. ( 0 ... N ) ) -> R e. SRing )
39	9	adantr 481	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ k e. ( 0 ... N ) ) -> B e. S )
40	3, 6	srgcl 18512	. . . . . 6 |- ( ( R e. SRing /\ ( ( N _C k ) .x. ( ( ( N - k ) .^ A ) .X. ( k .^ B ) ) ) e. S /\ B e. S ) -> ( ( ( N _C k ) .x. ( ( ( N - k ) .^ A ) .X. ( k .^ B ) ) ) .X. B ) e. S )
41	38, 25, 39, 40	syl3anc 1326	. . . . 5 |- ( ( ph /\ k e. ( 0 ... N ) ) -> ( ( ( N _C k ) .x. ( ( ( N - k ) .^ A ) .X. ( k .^ B ) ) ) .X. B ) e. S )
42		oveq2 6658	. . . . . . 7 |- ( k = ( j - 1 ) -> ( N _C k ) = ( N _C ( j - 1 ) ) )
43		oveq2 6658	. . . . . . . . 9 |- ( k = ( j - 1 ) -> ( N - k ) = ( N - ( j - 1 ) ) )
44	43	oveq1d 6665	. . . . . . . 8 |- ( k = ( j - 1 ) -> ( ( N - k ) .^ A ) = ( ( N - ( j - 1 ) ) .^ A ) )
45		oveq1 6657	. . . . . . . 8 |- ( k = ( j - 1 ) -> ( k .^ B ) = ( ( j - 1 ) .^ B ) )
46	44, 45	oveq12d 6668	. . . . . . 7 |- ( k = ( j - 1 ) -> ( ( ( N - k ) .^ A ) .X. ( k .^ B ) ) = ( ( ( N - ( j - 1 ) ) .^ A ) .X. ( ( j - 1 ) .^ B ) ) )
47	42, 46	oveq12d 6668	. . . . . 6 |- ( k = ( j - 1 ) -> ( ( N _C k ) .x. ( ( ( N - k ) .^ A ) .X. ( k .^ B ) ) ) = ( ( N _C ( j - 1 ) ) .x. ( ( ( N - ( j - 1 ) ) .^ A ) .X. ( ( j - 1 ) .^ B ) ) ) )
48	47	oveq1d 6665	. . . . 5 |- ( k = ( j - 1 ) -> ( ( ( N _C k ) .x. ( ( ( N - k ) .^ A ) .X. ( k .^ B ) ) ) .X. B ) = ( ( ( N _C ( j - 1 ) ) .x. ( ( ( N - ( j - 1 ) ) .^ A ) .X. ( ( j - 1 ) .^ B ) ) ) .X. B ) )
49	3, 4, 33, 35, 36, 37, 41, 48	gsummptshft 18336	. . . 4 |- ( ph -> ( R gsumg ( k e. ( 0 ... N ) |-> ( ( ( N _C k ) .x. ( ( ( N - k ) .^ A ) .X. ( k .^ B ) ) ) .X. B ) ) ) = ( R gsumg ( j e. ( ( 0 + 1 ) ... ( N + 1 ) ) |-> ( ( ( N _C ( j - 1 ) ) .x. ( ( ( N - ( j - 1 ) ) .^ A ) .X. ( ( j - 1 ) .^ B ) ) ) .X. B ) ) ) )
50	11	nn0cnd 11353	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> N e. CC )
51	50	adantr 481	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ j e. ( ( 0 + 1 ) ... ( N + 1 ) ) ) -> N e. CC )
52		elfzelz 12342	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( j e. ( ( 0 + 1 ) ... ( N + 1 ) ) -> j e. ZZ )
53	52	adantl 482	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ j e. ( ( 0 + 1 ) ... ( N + 1 ) ) ) -> j e. ZZ )
54	53	zcnd 11483	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ j e. ( ( 0 + 1 ) ... ( N + 1 ) ) ) -> j e. CC )
55		1cnd 10056	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ j e. ( ( 0 + 1 ) ... ( N + 1 ) ) ) -> 1 e. CC )
56	51, 54, 55	subsub3d 10422	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ j e. ( ( 0 + 1 ) ... ( N + 1 ) ) ) -> ( N - ( j - 1 ) ) = ( ( N + 1 ) - j ) )
57	56	oveq1d 6665	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ j e. ( ( 0 + 1 ) ... ( N + 1 ) ) ) -> ( ( N - ( j - 1 ) ) .^ A ) = ( ( ( N + 1 ) - j ) .^ A ) )
58	57	oveq1d 6665	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ j e. ( ( 0 + 1 ) ... ( N + 1 ) ) ) -> ( ( ( N - ( j - 1 ) ) .^ A ) .X. ( ( j - 1 ) .^ B ) ) = ( ( ( ( N + 1 ) - j ) .^ A ) .X. ( ( j - 1 ) .^ B ) ) )
59	58	oveq2d 6666	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ j e. ( ( 0 + 1 ) ... ( N + 1 ) ) ) -> ( ( N _C ( j - 1 ) ) .x. ( ( ( N - ( j - 1 ) ) .^ A ) .X. ( ( j - 1 ) .^ B ) ) ) = ( ( N _C ( j - 1 ) ) .x. ( ( ( ( N + 1 ) - j ) .^ A ) .X. ( ( j - 1 ) .^ B ) ) ) )
60	59	oveq1d 6665	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ j e. ( ( 0 + 1 ) ... ( N + 1 ) ) ) -> ( ( ( N _C ( j - 1 ) ) .x. ( ( ( N - ( j - 1 ) ) .^ A ) .X. ( ( j - 1 ) .^ B ) ) ) .X. B ) = ( ( ( N _C ( j - 1 ) ) .x. ( ( ( ( N + 1 ) - j ) .^ A ) .X. ( ( j - 1 ) .^ B ) ) ) .X. B ) )
61	7	adantr 481	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ j e. ( ( 0 + 1 ) ... ( N + 1 ) ) ) -> R e. SRing )
62		peano2zm 11420	. . . . . . . . . . . 12 |- ( j e. ZZ -> ( j - 1 ) e. ZZ )
63	52, 62	syl 17	. . . . . . . . . . 11 |- ( j e. ( ( 0 + 1 ) ... ( N + 1 ) ) -> ( j - 1 ) e. ZZ )
64		bccl 13109	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( N e. NN0 /\ ( j - 1 ) e. ZZ ) -> ( N _C ( j - 1 ) ) e. NN0 )
65	11, 63, 64	syl2an 494	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ j e. ( ( 0 + 1 ) ... ( N + 1 ) ) ) -> ( N _C ( j - 1 ) ) e. NN0 )
66	20	srgmgp 18510	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( R e. SRing -> G e. Mnd )
67	7, 66	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> G e. Mnd )
68	67	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ j e. ( ( 0 + 1 ) ... ( N + 1 ) ) ) -> G e. Mnd )
69		0p1e1 11132	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( 0 + 1 ) = 1
70	69	oveq1i 6660	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( 0 + 1 ) ... ( N + 1 ) ) = ( 1 ... ( N + 1 ) )
71	70	eleq2i 2693	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( j e. ( ( 0 + 1 ) ... ( N + 1 ) ) <-> j e. ( 1 ... ( N + 1 ) ) )
72		fznn0sub 12373	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( j e. ( 1 ... ( N + 1 ) ) -> ( ( N + 1 ) - j ) e. NN0 )
73	72	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( j e. ( 1 ... ( N + 1 ) ) -> ( ( N + 1 ) - j ) e. NN0 ) )
74	71, 73	syl5bi 232	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( j e. ( ( 0 + 1 ) ... ( N + 1 ) ) -> ( ( N + 1 ) - j ) e. NN0 ) )
75	74	imp 445	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ j e. ( ( 0 + 1 ) ... ( N + 1 ) ) ) -> ( ( N + 1 ) - j ) e. NN0 )
76	22	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ j e. ( ( 0 + 1 ) ... ( N + 1 ) ) ) -> A e. S )
77	20, 3	mgpbas 18495	. . . . . . . . . . . 12 |- S = ( Base ` G )
78	77, 21	mulgnn0cl 17558	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( G e. Mnd /\ ( ( N + 1 ) - j ) e. NN0 /\ A e. S ) -> ( ( ( N + 1 ) - j ) .^ A ) e. S )
79	68, 75, 76, 78	syl3anc 1326	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ j e. ( ( 0 + 1 ) ... ( N + 1 ) ) ) -> ( ( ( N + 1 ) - j ) .^ A ) e. S )
80		elfznn 12370	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( j e. ( 1 ... ( N + 1 ) ) -> j e. NN )
81		nnm1nn0 11334	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( j e. NN -> ( j - 1 ) e. NN0 )
82	80, 81	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( j e. ( 1 ... ( N + 1 ) ) -> ( j - 1 ) e. NN0 )
83	71, 82	sylbi 207	. . . . . . . . . . . 12 |- ( j e. ( ( 0 + 1 ) ... ( N + 1 ) ) -> ( j - 1 ) e. NN0 )
84	83	adantl 482	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ j e. ( ( 0 + 1 ) ... ( N + 1 ) ) ) -> ( j - 1 ) e. NN0 )
85	9	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ j e. ( ( 0 + 1 ) ... ( N + 1 ) ) ) -> B e. S )
86	77, 21	mulgnn0cl 17558	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( G e. Mnd /\ ( j - 1 ) e. NN0 /\ B e. S ) -> ( ( j - 1 ) .^ B ) e. S )
87	68, 84, 85, 86	syl3anc 1326	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ j e. ( ( 0 + 1 ) ... ( N + 1 ) ) ) -> ( ( j - 1 ) .^ B ) e. S )
88	3, 19, 6	srgmulgass 18531	. . . . . . . . . 10 |- ( ( R e. SRing /\ ( ( N _C ( j - 1 ) ) e. NN0 /\ ( ( ( N + 1 ) - j ) .^ A ) e. S /\ ( ( j - 1 ) .^ B ) e. S ) ) -> ( ( ( N _C ( j - 1 ) ) .x. ( ( ( N + 1 ) - j ) .^ A ) ) .X. ( ( j - 1 ) .^ B ) ) = ( ( N _C ( j - 1 ) ) .x. ( ( ( ( N + 1 ) - j ) .^ A ) .X. ( ( j - 1 ) .^ B ) ) ) )
89	61, 65, 79, 87, 88	syl13anc 1328	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ j e. ( ( 0 + 1 ) ... ( N + 1 ) ) ) -> ( ( ( N _C ( j - 1 ) ) .x. ( ( ( N + 1 ) - j ) .^ A ) ) .X. ( ( j - 1 ) .^ B ) ) = ( ( N _C ( j - 1 ) ) .x. ( ( ( ( N + 1 ) - j ) .^ A ) .X. ( ( j - 1 ) .^ B ) ) ) )
90	89	eqcomd 2628	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ j e. ( ( 0 + 1 ) ... ( N + 1 ) ) ) -> ( ( N _C ( j - 1 ) ) .x. ( ( ( ( N + 1 ) - j ) .^ A ) .X. ( ( j - 1 ) .^ B ) ) ) = ( ( ( N _C ( j - 1 ) ) .x. ( ( ( N + 1 ) - j ) .^ A ) ) .X. ( ( j - 1 ) .^ B ) ) )
91	90	oveq1d 6665	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ j e. ( ( 0 + 1 ) ... ( N + 1 ) ) ) -> ( ( ( N _C ( j - 1 ) ) .x. ( ( ( ( N + 1 ) - j ) .^ A ) .X. ( ( j - 1 ) .^ B ) ) ) .X. B ) = ( ( ( ( N _C ( j - 1 ) ) .x. ( ( ( N + 1 ) - j ) .^ A ) ) .X. ( ( j - 1 ) .^ B ) ) .X. B ) )
92		srgmnd 18509	. . . . . . . . . . . 12 |- ( R e. SRing -> R e. Mnd )
93	7, 92	syl 17	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> R e. Mnd )
94	93	adantr 481	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ j e. ( ( 0 + 1 ) ... ( N + 1 ) ) ) -> R e. Mnd )
95	3, 19	mulgnn0cl 17558	. . . . . . . . . 10 |- ( ( R e. Mnd /\ ( N _C ( j - 1 ) ) e. NN0 /\ ( ( ( N + 1 ) - j ) .^ A ) e. S ) -> ( ( N _C ( j - 1 ) ) .x. ( ( ( N + 1 ) - j ) .^ A ) ) e. S )
96	94, 65, 79, 95	syl3anc 1326	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ j e. ( ( 0 + 1 ) ... ( N + 1 ) ) ) -> ( ( N _C ( j - 1 ) ) .x. ( ( ( N + 1 ) - j ) .^ A ) ) e. S )
97	3, 6	srgass 18513	. . . . . . . . 9 |- ( ( R e. SRing /\ ( ( ( N _C ( j - 1 ) ) .x. ( ( ( N + 1 ) - j ) .^ A ) ) e. S /\ ( ( j - 1 ) .^ B ) e. S /\ B e. S ) ) -> ( ( ( ( N _C ( j - 1 ) ) .x. ( ( ( N + 1 ) - j ) .^ A ) ) .X. ( ( j - 1 ) .^ B ) ) .X. B ) = ( ( ( N _C ( j - 1 ) ) .x. ( ( ( N + 1 ) - j ) .^ A ) ) .X. ( ( ( j - 1 ) .^ B ) .X. B ) ) )
98	61, 96, 87, 85, 97	syl13anc 1328	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ j e. ( ( 0 + 1 ) ... ( N + 1 ) ) ) -> ( ( ( ( N _C ( j - 1 ) ) .x. ( ( ( N + 1 ) - j ) .^ A ) ) .X. ( ( j - 1 ) .^ B ) ) .X. B ) = ( ( ( N _C ( j - 1 ) ) .x. ( ( ( N + 1 ) - j ) .^ A ) ) .X. ( ( ( j - 1 ) .^ B ) .X. B ) ) )
99	20, 6	mgpplusg 18493	. . . . . . . . . . . 12 |- .X. = ( +g ` G )
100	77, 21, 99	mulgnn0p1 17552	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( G e. Mnd /\ ( j - 1 ) e. NN0 /\ B e. S ) -> ( ( ( j - 1 ) + 1 ) .^ B ) = ( ( ( j - 1 ) .^ B ) .X. B ) )
101	100	eqcomd 2628	. . . . . . . . . 10 |- ( ( G e. Mnd /\ ( j - 1 ) e. NN0 /\ B e. S ) -> ( ( ( j - 1 ) .^ B ) .X. B ) = ( ( ( j - 1 ) + 1 ) .^ B ) )
102	68, 84, 85, 101	syl3anc 1326	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ j e. ( ( 0 + 1 ) ... ( N + 1 ) ) ) -> ( ( ( j - 1 ) .^ B ) .X. B ) = ( ( ( j - 1 ) + 1 ) .^ B ) )
103	102	oveq2d 6666	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ j e. ( ( 0 + 1 ) ... ( N + 1 ) ) ) -> ( ( ( N _C ( j - 1 ) ) .x. ( ( ( N + 1 ) - j ) .^ A ) ) .X. ( ( ( j - 1 ) .^ B ) .X. B ) ) = ( ( ( N _C ( j - 1 ) ) .x. ( ( ( N + 1 ) - j ) .^ A ) ) .X. ( ( ( j - 1 ) + 1 ) .^ B ) ) )
104	52	zcnd 11483	. . . . . . . . . . . 12 |- ( j e. ( ( 0 + 1 ) ... ( N + 1 ) ) -> j e. CC )
105		1cnd 10056	. . . . . . . . . . . 12 |- ( j e. ( ( 0 + 1 ) ... ( N + 1 ) ) -> 1 e. CC )
106	104, 105	npcand 10396	. . . . . . . . . . 11 |- ( j e. ( ( 0 + 1 ) ... ( N + 1 ) ) -> ( ( j - 1 ) + 1 ) = j )
107	106	adantl 482	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ j e. ( ( 0 + 1 ) ... ( N + 1 ) ) ) -> ( ( j - 1 ) + 1 ) = j )
108	107	oveq1d 6665	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ j e. ( ( 0 + 1 ) ... ( N + 1 ) ) ) -> ( ( ( j - 1 ) + 1 ) .^ B ) = ( j .^ B ) )
109	108	oveq2d 6666	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ j e. ( ( 0 + 1 ) ... ( N + 1 ) ) ) -> ( ( ( N _C ( j - 1 ) ) .x. ( ( ( N + 1 ) - j ) .^ A ) ) .X. ( ( ( j - 1 ) + 1 ) .^ B ) ) = ( ( ( N _C ( j - 1 ) ) .x. ( ( ( N + 1 ) - j ) .^ A ) ) .X. ( j .^ B ) ) )
110	98, 103, 109	3eqtrd 2660	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ j e. ( ( 0 + 1 ) ... ( N + 1 ) ) ) -> ( ( ( ( N _C ( j - 1 ) ) .x. ( ( ( N + 1 ) - j ) .^ A ) ) .X. ( ( j - 1 ) .^ B ) ) .X. B ) = ( ( ( N _C ( j - 1 ) ) .x. ( ( ( N + 1 ) - j ) .^ A ) ) .X. ( j .^ B ) ) )
111	60, 91, 110	3eqtrd 2660	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ j e. ( ( 0 + 1 ) ... ( N + 1 ) ) ) -> ( ( ( N _C ( j - 1 ) ) .x. ( ( ( N - ( j - 1 ) ) .^ A ) .X. ( ( j - 1 ) .^ B ) ) ) .X. B ) = ( ( ( N _C ( j - 1 ) ) .x. ( ( ( N + 1 ) - j ) .^ A ) ) .X. ( j .^ B ) ) )
112	111	mpteq2dva 4744	. . . . 5 |- ( ph -> ( j e. ( ( 0 + 1 ) ... ( N + 1 ) ) |-> ( ( ( N _C ( j - 1 ) ) .x. ( ( ( N - ( j - 1 ) ) .^ A ) .X. ( ( j - 1 ) .^ B ) ) ) .X. B ) ) = ( j e. ( ( 0 + 1 ) ... ( N + 1 ) ) |-> ( ( ( N _C ( j - 1 ) ) .x. ( ( ( N + 1 ) - j ) .^ A ) ) .X. ( j .^ B ) ) ) )
113	112	oveq2d 6666	. . . 4 |- ( ph -> ( R gsumg ( j e. ( ( 0 + 1 ) ... ( N + 1 ) ) |-> ( ( ( N _C ( j - 1 ) ) .x. ( ( ( N - ( j - 1 ) ) .^ A ) .X. ( ( j - 1 ) .^ B ) ) ) .X. B ) ) ) = ( R gsumg ( j e. ( ( 0 + 1 ) ... ( N + 1 ) ) |-> ( ( ( N _C ( j - 1 ) ) .x. ( ( ( N + 1 ) - j ) .^ A ) ) .X. ( j .^ B ) ) ) ) )
114		mpteq1 4737	. . . . . . . 8 |- ( ( ( 0 + 1 ) ... ( N + 1 ) ) = ( 1 ... ( N + 1 ) ) -> ( j e. ( ( 0 + 1 ) ... ( N + 1 ) ) |-> ( ( ( N _C ( j - 1 ) ) .x. ( ( ( N + 1 ) - j ) .^ A ) ) .X. ( j .^ B ) ) ) = ( j e. ( 1 ... ( N + 1 ) ) |-> ( ( ( N _C ( j - 1 ) ) .x. ( ( ( N + 1 ) - j ) .^ A ) ) .X. ( j .^ B ) ) ) )
115	70, 114	ax-mp 5	. . . . . . 7 |- ( j e. ( ( 0 + 1 ) ... ( N + 1 ) ) |-> ( ( ( N _C ( j - 1 ) ) .x. ( ( ( N + 1 ) - j ) .^ A ) ) .X. ( j .^ B ) ) ) = ( j e. ( 1 ... ( N + 1 ) ) |-> ( ( ( N _C ( j - 1 ) ) .x. ( ( ( N + 1 ) - j ) .^ A ) ) .X. ( j .^ B ) ) )
116		oveq1 6657	. . . . . . . . . . 11 |- ( j = k -> ( j - 1 ) = ( k - 1 ) )
117	116	oveq2d 6666	. . . . . . . . . 10 |- ( j = k -> ( N _C ( j - 1 ) ) = ( N _C ( k - 1 ) ) )
118		oveq2 6658	. . . . . . . . . . 11 |- ( j = k -> ( ( N + 1 ) - j ) = ( ( N + 1 ) - k ) )
119	118	oveq1d 6665	. . . . . . . . . 10 |- ( j = k -> ( ( ( N + 1 ) - j ) .^ A ) = ( ( ( N + 1 ) - k ) .^ A ) )
120	117, 119	oveq12d 6668	. . . . . . . . 9 |- ( j = k -> ( ( N _C ( j - 1 ) ) .x. ( ( ( N + 1 ) - j ) .^ A ) ) = ( ( N _C ( k - 1 ) ) .x. ( ( ( N + 1 ) - k ) .^ A ) ) )
121		oveq1 6657	. . . . . . . . 9 |- ( j = k -> ( j .^ B ) = ( k .^ B ) )
122	120, 121	oveq12d 6668	. . . . . . . 8 |- ( j = k -> ( ( ( N _C ( j - 1 ) ) .x. ( ( ( N + 1 ) - j ) .^ A ) ) .X. ( j .^ B ) ) = ( ( ( N _C ( k - 1 ) ) .x. ( ( ( N + 1 ) - k ) .^ A ) ) .X. ( k .^ B ) ) )
123	122	cbvmptv 4750	. . . . . . 7 |- ( j e. ( 1 ... ( N + 1 ) ) |-> ( ( ( N _C ( j - 1 ) ) .x. ( ( ( N + 1 ) - j ) .^ A ) ) .X. ( j .^ B ) ) ) = ( k e. ( 1 ... ( N + 1 ) ) |-> ( ( ( N _C ( k - 1 ) ) .x. ( ( ( N + 1 ) - k ) .^ A ) ) .X. ( k .^ B ) ) )
124	115, 123	eqtri 2644	. . . . . 6 |- ( j e. ( ( 0 + 1 ) ... ( N + 1 ) ) |-> ( ( ( N _C ( j - 1 ) ) .x. ( ( ( N + 1 ) - j ) .^ A ) ) .X. ( j .^ B ) ) ) = ( k e. ( 1 ... ( N + 1 ) ) |-> ( ( ( N _C ( k - 1 ) ) .x. ( ( ( N + 1 ) - k ) .^ A ) ) .X. ( k .^ B ) ) )
125	124	oveq2i 6661	. . . . 5 |- ( R gsumg ( j e. ( ( 0 + 1 ) ... ( N + 1 ) ) |-> ( ( ( N _C ( j - 1 ) ) .x. ( ( ( N + 1 ) - j ) .^ A ) ) .X. ( j .^ B ) ) ) ) = ( R gsumg ( k e. ( 1 ... ( N + 1 ) ) |-> ( ( ( N _C ( k - 1 ) ) .x. ( ( ( N + 1 ) - k ) .^ A ) ) .X. ( k .^ B ) ) ) )
126		fzfid 12772	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( 1 ... ( N + 1 ) ) e. Fin )
127		simpl 473	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ k e. ( 1 ... ( N + 1 ) ) ) -> ph )
128		elfzelz 12342	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( k e. ( 1 ... ( N + 1 ) ) -> k e. ZZ )
129		peano2zm 11420	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( k e. ZZ -> ( k - 1 ) e. ZZ )
130	128, 129	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 |- ( k e. ( 1 ... ( N + 1 ) ) -> ( k - 1 ) e. ZZ )
131		bccl 13109	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( N e. NN0 /\ ( k - 1 ) e. ZZ ) -> ( N _C ( k - 1 ) ) e. NN0 )
132	11, 130, 131	syl2an 494	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ k e. ( 1 ... ( N + 1 ) ) ) -> ( N _C ( k - 1 ) ) e. NN0 )
133		fznn0sub 12373	. . . . . . . . . . . 12 |- ( k e. ( 1 ... ( N + 1 ) ) -> ( ( N + 1 ) - k ) e. NN0 )
134	133	adantl 482	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ k e. ( 1 ... ( N + 1 ) ) ) -> ( ( N + 1 ) - k ) e. NN0 )
135		elfznn 12370	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( k e. ( 1 ... ( N + 1 ) ) -> k e. NN )
136	135	nnnn0d 11351	. . . . . . . . . . . 12 |- ( k e. ( 1 ... ( N + 1 ) ) -> k e. NN0 )
137	136	adantl 482	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ k e. ( 1 ... ( N + 1 ) ) ) -> k e. NN0 )
138	3, 6, 19, 5, 20, 21, 7, 22, 9, 23, 11	srgbinomlem2 18541	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( ( N _C ( k - 1 ) ) e. NN0 /\ ( ( N + 1 ) - k ) e. NN0 /\ k e. NN0 ) ) -> ( ( N _C ( k - 1 ) ) .x. ( ( ( ( N + 1 ) - k ) .^ A ) .X. ( k .^ B ) ) ) e. S )
139	127, 132, 134, 137, 138	syl13anc 1328	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ k e. ( 1 ... ( N + 1 ) ) ) -> ( ( N _C ( k - 1 ) ) .x. ( ( ( ( N + 1 ) - k ) .^ A ) .X. ( k .^ B ) ) ) e. S )
140	139	ralrimiva 2966	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> A. k e. ( 1 ... ( N + 1 ) ) ( ( N _C ( k - 1 ) ) .x. ( ( ( ( N + 1 ) - k ) .^ A ) .X. ( k .^ B ) ) ) e. S )
141	3, 33, 126, 140	gsummptcl 18366	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( R gsumg ( k e. ( 1 ... ( N + 1 ) ) |-> ( ( N _C ( k - 1 ) ) .x. ( ( ( ( N + 1 ) - k ) .^ A ) .X. ( k .^ B ) ) ) ) ) e. S )
142	3, 5, 4	mndlid 17311	. . . . . . . 8 |- ( ( R e. Mnd /\ ( R gsumg ( k e. ( 1 ... ( N + 1 ) ) |-> ( ( N _C ( k - 1 ) ) .x. ( ( ( ( N + 1 ) - k ) .^ A ) .X. ( k .^ B ) ) ) ) ) e. S ) -> ( ( 0g ` R ) .+ ( R gsumg ( k e. ( 1 ... ( N + 1 ) ) |-> ( ( N _C ( k - 1 ) ) .x. ( ( ( ( N + 1 ) - k ) .^ A ) .X. ( k .^ B ) ) ) ) ) ) = ( R gsumg ( k e. ( 1 ... ( N + 1 ) ) |-> ( ( N _C ( k - 1 ) ) .x. ( ( ( ( N + 1 ) - k ) .^ A ) .X. ( k .^ B ) ) ) ) ) )
143	93, 141, 142	syl2anc 693	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( 0g ` R ) .+ ( R gsumg ( k e. ( 1 ... ( N + 1 ) ) |-> ( ( N _C ( k - 1 ) ) .x. ( ( ( ( N + 1 ) - k ) .^ A ) .X. ( k .^ B ) ) ) ) ) ) = ( R gsumg ( k e. ( 1 ... ( N + 1 ) ) |-> ( ( N _C ( k - 1 ) ) .x. ( ( ( ( N + 1 ) - k ) .^ A ) .X. ( k .^ B ) ) ) ) ) )
144		0nn0 11307	. . . . . . . . . . 11 |- 0 e. NN0
145	144	a1i 11	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> 0 e. NN0 )
146		id 22	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ph )
147		0z 11388	. . . . . . . . . . . . . 14 |- 0 e. ZZ
148	147, 34	pm3.2i 471	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( 0 e. ZZ /\ 1 e. ZZ )
149		zsubcl 11419	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( 0 e. ZZ /\ 1 e. ZZ ) -> ( 0 - 1 ) e. ZZ )
150	148, 149	mp1i 13	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( 0 - 1 ) e. ZZ )
151		bccl 13109	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( N e. NN0 /\ ( 0 - 1 ) e. ZZ ) -> ( N _C ( 0 - 1 ) ) e. NN0 )
152	11, 150, 151	syl2anc 693	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( N _C ( 0 - 1 ) ) e. NN0 )
153		nn0cn 11302	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( N e. NN0 -> N e. CC )
154		peano2cn 10208	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( N e. CC -> ( N + 1 ) e. CC )
155	153, 154	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( N e. NN0 -> ( N + 1 ) e. CC )
156	155	subid1d 10381	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( N e. NN0 -> ( ( N + 1 ) - 0 ) = ( N + 1 ) )
157		peano2nn0 11333	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( N e. NN0 -> ( N + 1 ) e. NN0 )
158	156, 157	eqeltrd 2701	. . . . . . . . . . . 12 |- ( N e. NN0 -> ( ( N + 1 ) - 0 ) e. NN0 )
159	11, 158	syl 17	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( ( N + 1 ) - 0 ) e. NN0 )
160	3, 6, 19, 5, 20, 21, 7, 22, 9, 23, 11	srgbinomlem2 18541	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( ( N _C ( 0 - 1 ) ) e. NN0 /\ ( ( N + 1 ) - 0 ) e. NN0 /\ 0 e. NN0 ) ) -> ( ( N _C ( 0 - 1 ) ) .x. ( ( ( ( N + 1 ) - 0 ) .^ A ) .X. ( 0 .^ B ) ) ) e. S )
161	146, 152, 159, 145, 160	syl13anc 1328	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( ( N _C ( 0 - 1 ) ) .x. ( ( ( ( N + 1 ) - 0 ) .^ A ) .X. ( 0 .^ B ) ) ) e. S )
162		oveq1 6657	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( k = 0 -> ( k - 1 ) = ( 0 - 1 ) )
163	162	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . . 12 |- ( k = 0 -> ( N _C ( k - 1 ) ) = ( N _C ( 0 - 1 ) ) )
164		oveq2 6658	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( k = 0 -> ( ( N + 1 ) - k ) = ( ( N + 1 ) - 0 ) )
165	164	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( k = 0 -> ( ( ( N + 1 ) - k ) .^ A ) = ( ( ( N + 1 ) - 0 ) .^ A ) )
166		oveq1 6657	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( k = 0 -> ( k .^ B ) = ( 0 .^ B ) )
167	165, 166	oveq12d 6668	. . . . . . . . . . . 12 |- ( k = 0 -> ( ( ( ( N + 1 ) - k ) .^ A ) .X. ( k .^ B ) ) = ( ( ( ( N + 1 ) - 0 ) .^ A ) .X. ( 0 .^ B ) ) )
168	163, 167	oveq12d 6668	. . . . . . . . . . 11 |- ( k = 0 -> ( ( N _C ( k - 1 ) ) .x. ( ( ( ( N + 1 ) - k ) .^ A ) .X. ( k .^ B ) ) ) = ( ( N _C ( 0 - 1 ) ) .x. ( ( ( ( N + 1 ) - 0 ) .^ A ) .X. ( 0 .^ B ) ) ) )
169	3, 168	gsumsn 18354	. . . . . . . . . 10 |- ( ( R e. Mnd /\ 0 e. NN0 /\ ( ( N _C ( 0 - 1 ) ) .x. ( ( ( ( N + 1 ) - 0 ) .^ A ) .X. ( 0 .^ B ) ) ) e. S ) -> ( R gsumg ( k e. { 0 } |-> ( ( N _C ( k - 1 ) ) .x. ( ( ( ( N + 1 ) - k ) .^ A ) .X. ( k .^ B ) ) ) ) ) = ( ( N _C ( 0 - 1 ) ) .x. ( ( ( ( N + 1 ) - 0 ) .^ A ) .X. ( 0 .^ B ) ) ) )
170	93, 145, 161, 169	syl3anc 1326	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( R gsumg ( k e. { 0 } |-> ( ( N _C ( k - 1 ) ) .x. ( ( ( ( N + 1 ) - k ) .^ A ) .X. ( k .^ B ) ) ) ) ) = ( ( N _C ( 0 - 1 ) ) .x. ( ( ( ( N + 1 ) - 0 ) .^ A ) .X. ( 0 .^ B ) ) ) )
171		0lt1 10550	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- 0 < 1
172	171	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> 0 < 1 )
173	172, 69	syl6breqr 4695	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> 0 < ( 0 + 1 ) )
174		0re 10040	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- 0 e. RR
175		1re 10039	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- 1 e. RR
176	174, 175, 174	3pm3.2i 1239	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( 0 e. RR /\ 1 e. RR /\ 0 e. RR )
177		ltsubadd 10498	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( 0 e. RR /\ 1 e. RR /\ 0 e. RR ) -> ( ( 0 - 1 ) < 0 <-> 0 < ( 0 + 1 ) ) )
178	176, 177	mp1i 13	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( ( 0 - 1 ) < 0 <-> 0 < ( 0 + 1 ) ) )
179	173, 178	mpbird 247	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( 0 - 1 ) < 0 )
180	179	orcd 407	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( ( 0 - 1 ) < 0 \/ N < ( 0 - 1 ) ) )
181		bcval4 13094	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( N e. NN0 /\ ( 0 - 1 ) e. ZZ /\ ( ( 0 - 1 ) < 0 \/ N < ( 0 - 1 ) ) ) -> ( N _C ( 0 - 1 ) ) = 0 )
182	11, 150, 180, 181	syl3anc 1326	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( N _C ( 0 - 1 ) ) = 0 )
183	182	oveq1d 6665	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( ( N _C ( 0 - 1 ) ) .x. ( ( ( ( N + 1 ) - 0 ) .^ A ) .X. ( 0 .^ B ) ) ) = ( 0 .x. ( ( ( ( N + 1 ) - 0 ) .^ A ) .X. ( 0 .^ B ) ) ) )
184	77, 21	mulgnn0cl 17558	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( G e. Mnd /\ ( ( N + 1 ) - 0 ) e. NN0 /\ A e. S ) -> ( ( ( N + 1 ) - 0 ) .^ A ) e. S )
185	67, 159, 22, 184	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( ( ( N + 1 ) - 0 ) .^ A ) e. S )
186	77, 21	mulgnn0cl 17558	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( G e. Mnd /\ 0 e. NN0 /\ B e. S ) -> ( 0 .^ B ) e. S )
187	67, 145, 9, 186	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( 0 .^ B ) e. S )
188	3, 6	srgcl 18512	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( R e. SRing /\ ( ( ( N + 1 ) - 0 ) .^ A ) e. S /\ ( 0 .^ B ) e. S ) -> ( ( ( ( N + 1 ) - 0 ) .^ A ) .X. ( 0 .^ B ) ) e. S )
189	7, 185, 187, 188	syl3anc 1326	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( ( ( ( N + 1 ) - 0 ) .^ A ) .X. ( 0 .^ B ) ) e. S )
190	3, 4, 19	mulg0 17546	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( N + 1 ) - 0 ) .^ A ) .X. ( 0 .^ B ) ) e. S -> ( 0 .x. ( ( ( ( N + 1 ) - 0 ) .^ A ) .X. ( 0 .^ B ) ) ) = ( 0g ` R ) )
191	189, 190	syl 17	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( 0 .x. ( ( ( ( N + 1 ) - 0 ) .^ A ) .X. ( 0 .^ B ) ) ) = ( 0g ` R ) )
192	170, 183, 191	3eqtrrd 2661	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( 0g ` R ) = ( R gsumg ( k e. { 0 } |-> ( ( N _C ( k - 1 ) ) .x. ( ( ( ( N + 1 ) - k ) .^ A ) .X. ( k .^ B ) ) ) ) ) )
193	192	oveq1d 6665	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( 0g ` R ) .+ ( R gsumg ( k e. ( 1 ... ( N + 1 ) ) |-> ( ( N _C ( k - 1 ) ) .x. ( ( ( ( N + 1 ) - k ) .^ A ) .X. ( k .^ B ) ) ) ) ) ) = ( ( R gsumg ( k e. { 0 } |-> ( ( N _C ( k - 1 ) ) .x. ( ( ( ( N + 1 ) - k ) .^ A ) .X. ( k .^ B ) ) ) ) ) .+ ( R gsumg ( k e. ( 1 ... ( N + 1 ) ) |-> ( ( N _C ( k - 1 ) ) .x. ( ( ( ( N + 1 ) - k ) .^ A ) .X. ( k .^ B ) ) ) ) ) ) )
194	143, 193	eqtr3d 2658	. . . . . 6 |- ( ph -> ( R gsumg ( k e. ( 1 ... ( N + 1 ) ) |-> ( ( N _C ( k - 1 ) ) .x. ( ( ( ( N + 1 ) - k ) .^ A ) .X. ( k .^ B ) ) ) ) ) = ( ( R gsumg ( k e. { 0 } |-> ( ( N _C ( k - 1 ) ) .x. ( ( ( ( N + 1 ) - k ) .^ A ) .X. ( k .^ B ) ) ) ) ) .+ ( R gsumg ( k e. ( 1 ... ( N + 1 ) ) |-> ( ( N _C ( k - 1 ) ) .x. ( ( ( ( N + 1 ) - k ) .^ A ) .X. ( k .^ B ) ) ) ) ) ) )
195	7	adantr 481	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ k e. ( 1 ... ( N + 1 ) ) ) -> R e. SRing )
196	67	adantr 481	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ k e. ( 1 ... ( N + 1 ) ) ) -> G e. Mnd )
197	22	adantr 481	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ k e. ( 1 ... ( N + 1 ) ) ) -> A e. S )
198	77, 21	mulgnn0cl 17558	. . . . . . . . . 10 |- ( ( G e. Mnd /\ ( ( N + 1 ) - k ) e. NN0 /\ A e. S ) -> ( ( ( N + 1 ) - k ) .^ A ) e. S )
199	196, 134, 197, 198	syl3anc 1326	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ k e. ( 1 ... ( N + 1 ) ) ) -> ( ( ( N + 1 ) - k ) .^ A ) e. S )
200	9	adantr 481	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ k e. ( 1 ... ( N + 1 ) ) ) -> B e. S )
201	77, 21	mulgnn0cl 17558	. . . . . . . . . 10 |- ( ( G e. Mnd /\ k e. NN0 /\ B e. S ) -> ( k .^ B ) e. S )
202	196, 137, 200, 201	syl3anc 1326	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ k e. ( 1 ... ( N + 1 ) ) ) -> ( k .^ B ) e. S )
203	3, 19, 6	srgmulgass 18531	. . . . . . . . 9 |- ( ( R e. SRing /\ ( ( N _C ( k - 1 ) ) e. NN0 /\ ( ( ( N + 1 ) - k ) .^ A ) e. S /\ ( k .^ B ) e. S ) ) -> ( ( ( N _C ( k - 1 ) ) .x. ( ( ( N + 1 ) - k ) .^ A ) ) .X. ( k .^ B ) ) = ( ( N _C ( k - 1 ) ) .x. ( ( ( ( N + 1 ) - k ) .^ A ) .X. ( k .^ B ) ) ) )
204	195, 132, 199, 202, 203	syl13anc 1328	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ k e. ( 1 ... ( N + 1 ) ) ) -> ( ( ( N _C ( k - 1 ) ) .x. ( ( ( N + 1 ) - k ) .^ A ) ) .X. ( k .^ B ) ) = ( ( N _C ( k - 1 ) ) .x. ( ( ( ( N + 1 ) - k ) .^ A ) .X. ( k .^ B ) ) ) )
205	204	mpteq2dva 4744	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( k e. ( 1 ... ( N + 1 ) ) |-> ( ( ( N _C ( k - 1 ) ) .x. ( ( ( N + 1 ) - k ) .^ A ) ) .X. ( k .^ B ) ) ) = ( k e. ( 1 ... ( N + 1 ) ) |-> ( ( N _C ( k - 1 ) ) .x. ( ( ( ( N + 1 ) - k ) .^ A ) .X. ( k .^ B ) ) ) ) )
206	205	oveq2d 6666	. . . . . 6 |- ( ph -> ( R gsumg ( k e. ( 1 ... ( N + 1 ) ) |-> ( ( ( N _C ( k - 1 ) ) .x. ( ( ( N + 1 ) - k ) .^ A ) ) .X. ( k .^ B ) ) ) ) = ( R gsumg ( k e. ( 1 ... ( N + 1 ) ) |-> ( ( N _C ( k - 1 ) ) .x. ( ( ( ( N + 1 ) - k ) .^ A ) .X. ( k .^ B ) ) ) ) ) )
207	11, 157	syl 17	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( N + 1 ) e. NN0 )
208		simpl 473	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ k e. ( 0 ... ( N + 1 ) ) ) -> ph )
209		elfzelz 12342	. . . . . . . . . . 11 |- ( k e. ( 0 ... ( N + 1 ) ) -> k e. ZZ )
210	209, 129	syl 17	. . . . . . . . . 10 |- ( k e. ( 0 ... ( N + 1 ) ) -> ( k - 1 ) e. ZZ )
211	11, 210, 131	syl2an 494	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ k e. ( 0 ... ( N + 1 ) ) ) -> ( N _C ( k - 1 ) ) e. NN0 )
212		fznn0sub 12373	. . . . . . . . . 10 |- ( k e. ( 0 ... ( N + 1 ) ) -> ( ( N + 1 ) - k ) e. NN0 )
213	212	adantl 482	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ k e. ( 0 ... ( N + 1 ) ) ) -> ( ( N + 1 ) - k ) e. NN0 )
214		elfznn0 12433	. . . . . . . . . 10 |- ( k e. ( 0 ... ( N + 1 ) ) -> k e. NN0 )
215	214	adantl 482	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ k e. ( 0 ... ( N + 1 ) ) ) -> k e. NN0 )
216	208, 211, 213, 215, 138	syl13anc 1328	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ k e. ( 0 ... ( N + 1 ) ) ) -> ( ( N _C ( k - 1 ) ) .x. ( ( ( ( N + 1 ) - k ) .^ A ) .X. ( k .^ B ) ) ) e. S )
217	3, 5, 33, 207, 216	gsummptfzsplitl 18333	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( R gsumg ( k e. ( 0 ... ( N + 1 ) ) |-> ( ( N _C ( k - 1 ) ) .x. ( ( ( ( N + 1 ) - k ) .^ A ) .X. ( k .^ B ) ) ) ) ) = ( ( R gsumg ( k e. ( 1 ... ( N + 1 ) ) |-> ( ( N _C ( k - 1 ) ) .x. ( ( ( ( N + 1 ) - k ) .^ A ) .X. ( k .^ B ) ) ) ) ) .+ ( R gsumg ( k e. { 0 } |-> ( ( N _C ( k - 1 ) ) .x. ( ( ( ( N + 1 ) - k ) .^ A ) .X. ( k .^ B ) ) ) ) ) ) )
218		snfi 8038	. . . . . . . . . 10 |- { 0 } e. Fin
219	218	a1i 11	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> { 0 } e. Fin )
220	168	eleq1d 2686	. . . . . . . . . . . 12 |- ( k = 0 -> ( ( ( N _C ( k - 1 ) ) .x. ( ( ( ( N + 1 ) - k ) .^ A ) .X. ( k .^ B ) ) ) e. S <-> ( ( N _C ( 0 - 1 ) ) .x. ( ( ( ( N + 1 ) - 0 ) .^ A ) .X. ( 0 .^ B ) ) ) e. S ) )
221	220	ralsng 4218	. . . . . . . . . . 11 |- ( 0 e. NN0 -> ( A. k e. { 0 } ( ( N _C ( k - 1 ) ) .x. ( ( ( ( N + 1 ) - k ) .^ A ) .X. ( k .^ B ) ) ) e. S <-> ( ( N _C ( 0 - 1 ) ) .x. ( ( ( ( N + 1 ) - 0 ) .^ A ) .X. ( 0 .^ B ) ) ) e. S ) )
222	144, 221	ax-mp 5	. . . . . . . . . 10 |- ( A. k e. { 0 } ( ( N _C ( k - 1 ) ) .x. ( ( ( ( N + 1 ) - k ) .^ A ) .X. ( k .^ B ) ) ) e. S <-> ( ( N _C ( 0 - 1 ) ) .x. ( ( ( ( N + 1 ) - 0 ) .^ A ) .X. ( 0 .^ B ) ) ) e. S )
223	161, 222	sylibr 224	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> A. k e. { 0 } ( ( N _C ( k - 1 ) ) .x. ( ( ( ( N + 1 ) - k ) .^ A ) .X. ( k .^ B ) ) ) e. S )
224	3, 33, 219, 223	gsummptcl 18366	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( R gsumg ( k e. { 0 } |-> ( ( N _C ( k - 1 ) ) .x. ( ( ( ( N + 1 ) - k ) .^ A ) .X. ( k .^ B ) ) ) ) ) e. S )
225	3, 5	cmncom 18209	. . . . . . . 8 |- ( ( R e. CMnd /\ ( R gsumg ( k e. ( 1 ... ( N + 1 ) ) |-> ( ( N _C ( k - 1 ) ) .x. ( ( ( ( N + 1 ) - k ) .^ A ) .X. ( k .^ B ) ) ) ) ) e. S /\ ( R gsumg ( k e. { 0 } |-> ( ( N _C ( k - 1 ) ) .x. ( ( ( ( N + 1 ) - k ) .^ A ) .X. ( k .^ B ) ) ) ) ) e. S ) -> ( ( R gsumg ( k e. ( 1 ... ( N + 1 ) ) |-> ( ( N _C ( k - 1 ) ) .x. ( ( ( ( N + 1 ) - k ) .^ A ) .X. ( k .^ B ) ) ) ) ) .+ ( R gsumg ( k e. { 0 } |-> ( ( N _C ( k - 1 ) ) .x. ( ( ( ( N + 1 ) - k ) .^ A ) .X. ( k .^ B ) ) ) ) ) ) = ( ( R gsumg ( k e. { 0 } |-> ( ( N _C ( k - 1 ) ) .x. ( ( ( ( N + 1 ) - k ) .^ A ) .X. ( k .^ B ) ) ) ) ) .+ ( R gsumg ( k e. ( 1 ... ( N + 1 ) ) |-> ( ( N _C ( k - 1 ) ) .x. ( ( ( ( N + 1 ) - k ) .^ A ) .X. ( k .^ B ) ) ) ) ) ) )
226	33, 141, 224, 225	syl3anc 1326	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( R gsumg ( k e. ( 1 ... ( N + 1 ) ) |-> ( ( N _C ( k - 1 ) ) .x. ( ( ( ( N + 1 ) - k ) .^ A ) .X. ( k .^ B ) ) ) ) ) .+ ( R gsumg ( k e. { 0 } |-> ( ( N _C ( k - 1 ) ) .x. ( ( ( ( N + 1 ) - k ) .^ A ) .X. ( k .^ B ) ) ) ) ) ) = ( ( R gsumg ( k e. { 0 } |-> ( ( N _C ( k - 1 ) ) .x. ( ( ( ( N + 1 ) - k ) .^ A ) .X. ( k .^ B ) ) ) ) ) .+ ( R gsumg ( k e. ( 1 ... ( N + 1 ) ) |-> ( ( N _C ( k - 1 ) ) .x. ( ( ( ( N + 1 ) - k ) .^ A ) .X. ( k .^ B ) ) ) ) ) ) )
227	217, 226	eqtrd 2656	. . . . . 6 |- ( ph -> ( R gsumg ( k e. ( 0 ... ( N + 1 ) ) |-> ( ( N _C ( k - 1 ) ) .x. ( ( ( ( N + 1 ) - k ) .^ A ) .X. ( k .^ B ) ) ) ) ) = ( ( R gsumg ( k e. { 0 } |-> ( ( N _C ( k - 1 ) ) .x. ( ( ( ( N + 1 ) - k ) .^ A ) .X. ( k .^ B ) ) ) ) ) .+ ( R gsumg ( k e. ( 1 ... ( N + 1 ) ) |-> ( ( N _C ( k - 1 ) ) .x. ( ( ( ( N + 1 ) - k ) .^ A ) .X. ( k .^ B ) ) ) ) ) ) )
228	194, 206, 227	3eqtr4d 2666	. . . . 5 |- ( ph -> ( R gsumg ( k e. ( 1 ... ( N + 1 ) ) |-> ( ( ( N _C ( k - 1 ) ) .x. ( ( ( N + 1 ) - k ) .^ A ) ) .X. ( k .^ B ) ) ) ) = ( R gsumg ( k e. ( 0 ... ( N + 1 ) ) |-> ( ( N _C ( k - 1 ) ) .x. ( ( ( ( N + 1 ) - k ) .^ A ) .X. ( k .^ B ) ) ) ) ) )
229	125, 228	syl5eq 2668	. . . 4 |- ( ph -> ( R gsumg ( j e. ( ( 0 + 1 ) ... ( N + 1 ) ) |-> ( ( ( N _C ( j - 1 ) ) .x. ( ( ( N + 1 ) - j ) .^ A ) ) .X. ( j .^ B ) ) ) ) = ( R gsumg ( k e. ( 0 ... ( N + 1 ) ) |-> ( ( N _C ( k - 1 ) ) .x. ( ( ( ( N + 1 ) - k ) .^ A ) .X. ( k .^ B ) ) ) ) ) )
230	49, 113, 229	3eqtrd 2660	. . 3 |- ( ph -> ( R gsumg ( k e. ( 0 ... N ) |-> ( ( ( N _C k ) .x. ( ( ( N - k ) .^ A ) .X. ( k .^ B ) ) ) .X. B ) ) ) = ( R gsumg ( k e. ( 0 ... ( N + 1 ) ) |-> ( ( N _C ( k - 1 ) ) .x. ( ( ( ( N + 1 ) - k ) .^ A ) .X. ( k .^ B ) ) ) ) ) )
231	31, 230	eqtr3d 2658	. 2 |- ( ph -> ( ( R gsumg ( k e. ( 0 ... N ) |-> ( ( N _C k ) .x. ( ( ( N - k ) .^ A ) .X. ( k .^ B ) ) ) ) ) .X. B ) = ( R gsumg ( k e. ( 0 ... ( N + 1 ) ) |-> ( ( N _C ( k - 1 ) ) .x. ( ( ( ( N + 1 ) - k ) .^ A ) .X. ( k .^ B ) ) ) ) ) )
232	2, 231	sylan9eqr 2678	1 |- ( ( ph /\ ps ) -> ( ( N .^ ( A .+ B ) ) .X. B ) = ( R gsumg ( k e. ( 0 ... ( N + 1 ) ) |-> ( ( N _C ( k - 1 ) ) .x. ( ( ( ( N + 1 ) - k ) .^ A ) .X. ( k .^ B ) ) ) ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   \/ wo 383   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   A.wral 2912   _Vcvv 3200   {csn 4177   class class class wbr 4653   |-> cmpt 4729   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   Fincfn 7955   CCcc 9934   RRcr 9935   0cc0 9936   1c1 9937   + caddc 9939   < clt 10074   - cmin 10266   NNcn 11020   NN0cn0 11292   ZZcz 11377   ...cfz 12326   _C cbc 13089   Basecbs 15857   +g cplusg 15941   .rcmulr 15942   0gc0g 16100   gsum_g cgsu 16101   Mndcmnd 17294  ._gcmg 17540  CMndccmn 18193  mulGrpcmgp 18489  SRingcsrg 18505

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-iin 4523  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-of 6897  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-supp 7296  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-oadd 7564  df-er 7742  df-map 7859  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-fsupp 8276  df-oi 8415  df-card 8765  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-rp 11833  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-seq 12802  df-fac 13061  df-bc 13090  df-hash 13118  df-ndx 15860  df-slot 15861  df-base 15863  df-sets 15864  df-ress 15865  df-plusg 15954  df-0g 16102  df-gsum 16103  df-mre 16246  df-mrc 16247  df-acs 16249  df-mgm 17242  df-sgrp 17284  df-mnd 17295  df-mhm 17335  df-submnd 17336  df-mulg 17541  df-cntz 17750  df-cmn 18195  df-mgp 18490  df-srg 18506

This theorem is referenced by:  srgbinomlem  18544