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Theorem chfacfscmulgsum 20665
Description: Breaking up a sum of values of the "characteristic factor function" scaled by a polynomial. (Contributed by AV, 9-Nov-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
chfacfisf.a |- A = ( N Mat R )
chfacfisf.b |- B = ( Base ` A )
chfacfisf.p |- P = (Poly1 ` R )
chfacfisf.y |- Y = ( N Mat P )
chfacfisf.r |- .X. = ( .r ` Y )
chfacfisf.s |- .- = ( -g ` Y )
chfacfisf.0 |- .0. = ( 0g ` Y )
chfacfisf.t |- T = ( N matToPolyMat R )
chfacfisf.g |- G = ( n e. NN0 |-> if ( n = 0 , ( .0. .- ( ( T ` M ) .X. ( T ` ( b ` 0 ) ) ) ) , if ( n = ( s + 1 ) , ( T ` ( b ` s ) ) , if ( ( s + 1 ) < n , .0. , ( ( T ` ( b ` ( n - 1 ) ) ) .- ( ( T ` M ) .X. ( T ` ( b ` n ) ) ) ) ) ) ) )
chfacfscmulcl.x |- X = (var1 ` R )
chfacfscmulcl.m |- .x. = ( .s ` Y )
chfacfscmulcl.e |- .^ = (.g ` (mulGrp ` P ) )
chfacfscmulgsum.p |- .+ = ( +g ` Y )
Assertion
Ref Expression
chfacfscmulgsum |- ( ( ( N e. Fin /\ R e. CRing /\ M e. B ) /\ ( s e. NN /\ b e. ( B ^m ( 0 ... s ) ) ) ) -> ( Y gsumg ( i e. NN0 |-> ( ( i .^ X ) .x. ( G ` i ) ) ) ) = ( ( Y gsumg ( i e. ( 1 ... s ) |-> ( ( i .^ X ) .x. ( ( T ` ( b ` ( i - 1 ) ) ) .- ( ( T ` M ) .X. ( T ` ( b ` i ) ) ) ) ) ) ) .+ ( ( ( ( s + 1 ) .^ X ) .x. ( T ` ( b ` s ) ) ) .- ( ( T ` M ) .X. ( T ` ( b ` 0 ) ) ) ) ) )
Distinct variable groups:   B, n   n, M   n, N   R, n   n, Y   n, b   n, s, B   .0. , n   B, i, s   i, G   i, M   i, N   R, i   i, X   i, Y   .^ , i   .x. , b, i   T, n   .- , n   .X. , n   i, n
Allowed substitution hints:   A( i, n, s, b)   B( b)   P( i, n, s, b)   .+ ( i, n, s, b)   R( s, b)   T( i, s, b)   .x. ( n, s)   .X. ( i, s, b)   .^ ( n, s, b)   G( n, s, b)   M( s, b)   .- ( i, s, b)   N( s, b)   X( n, s, b)   Y( s, b)   .0. ( i, s, b)
Proof of Theorem chfacfscmulgsum
StepHypRef Expression
1 eqid 2622 . . 3 |- ( Base ` Y ) = ( Base ` Y )
2 chfacfisf.0 . . 3 |- .0. = ( 0g ` Y )
3 chfacfscmulgsum.p . . 3 |- .+ = ( +g ` Y )
4 crngring 18558 . . . . . . . 8 |- ( R e. CRing -> R e. Ring )
54anim2i 593 . . . . . . 7 |- ( ( N e. Fin /\ R e. CRing ) -> ( N e. Fin /\ R e. Ring ) )
653adant3 1081 . . . . . 6 |- ( ( N e. Fin /\ R e. CRing /\ M e. B ) -> ( N e. Fin /\ R e. Ring ) )
7 chfacfisf.p . . . . . . 7 |- P = (Poly1 ` R )
8 chfacfisf.y . . . . . . 7 |- Y = ( N Mat P )
97, 8pmatring 20498 . . . . . 6 |- ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) -> Y e. Ring )
106, 9syl 17 . . . . 5 |- ( ( N e. Fin /\ R e. CRing /\ M e. B ) -> Y e. Ring )
11 ringcmn 18581 . . . . 5 |- ( Y e. Ring -> Y e. CMnd )
1210, 11syl 17 . . . 4 |- ( ( N e. Fin /\ R e. CRing /\ M e. B ) -> Y e. CMnd )
1312adantr 481 . . 3 |- ( ( ( N e. Fin /\ R e. CRing /\ M e. B ) /\ ( s e. NN /\ b e. ( B ^m ( 0 ... s ) ) ) ) -> Y e. CMnd )
14 nn0ex 11298 . . . 4 |- NN0 e. _V
1514a1i 11 . . 3 |- ( ( ( N e. Fin /\ R e. CRing /\ M e. B ) /\ ( s e. NN /\ b e. ( B ^m ( 0 ... s ) ) ) ) -> NN0 e. _V )
16 simpll 790 . . . . 5 |- ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. CRing /\ M e. B ) /\ ( s e. NN /\ b e. ( B ^m ( 0 ... s ) ) ) ) /\ i e. NN0 ) -> ( N e. Fin /\ R e. CRing /\ M e. B ) )
17 simplr 792 . . . . 5 |- ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. CRing /\ M e. B ) /\ ( s e. NN /\ b e. ( B ^m ( 0 ... s ) ) ) ) /\ i e. NN0 ) -> ( s e. NN /\ b e. ( B ^m ( 0 ... s ) ) ) )
18 simpr 477 . . . . 5 |- ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. CRing /\ M e. B ) /\ ( s e. NN /\ b e. ( B ^m ( 0 ... s ) ) ) ) /\ i e. NN0 ) -> i e. NN0 )
1916, 17, 183jca 1242 . . . 4 |- ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. CRing /\ M e. B ) /\ ( s e. NN /\ b e. ( B ^m ( 0 ... s ) ) ) ) /\ i e. NN0 ) -> ( ( N e. Fin /\ R e. CRing /\ M e. B ) /\ ( s e. NN /\ b e. ( B ^m ( 0 ... s ) ) ) /\ i e. NN0 ) )
20 chfacfisf.a . . . . 5 |- A = ( N Mat R )
21 chfacfisf.b . . . . 5 |- B = ( Base ` A )
22 chfacfisf.r . . . . 5 |- .X. = ( .r ` Y )
23 chfacfisf.s . . . . 5 |- .- = ( -g ` Y )
24 chfacfisf.t . . . . 5 |- T = ( N matToPolyMat R )
25 chfacfisf.g . . . . 5 |- G = ( n e. NN0 |-> if ( n = 0 , ( .0. .- ( ( T ` M ) .X. ( T ` ( b ` 0 ) ) ) ) , if ( n = ( s + 1 ) , ( T ` ( b ` s ) ) , if ( ( s + 1 ) < n , .0. , ( ( T ` ( b ` ( n - 1 ) ) ) .- ( ( T ` M ) .X. ( T ` ( b ` n ) ) ) ) ) ) ) )
26 chfacfscmulcl.x . . . . 5 |- X = (var1 ` R )
27 chfacfscmulcl.m . . . . 5 |- .x. = ( .s ` Y )
28 chfacfscmulcl.e . . . . 5 |- .^ = (.g ` (mulGrp ` P ) )
2920, 21, 7, 8, 22, 23, 2, 24, 25, 26, 27, 28chfacfscmulcl 20662 . . . 4 |- ( ( ( N e. Fin /\ R e. CRing /\ M e. B ) /\ ( s e. NN /\ b e. ( B ^m ( 0 ... s ) ) ) /\ i e. NN0 ) -> ( ( i .^ X ) .x. ( G ` i ) ) e. ( Base ` Y ) )
3019, 29syl 17 . . 3 |- ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. CRing /\ M e. B ) /\ ( s e. NN /\ b e. ( B ^m ( 0 ... s ) ) ) ) /\ i e. NN0 ) -> ( ( i .^ X ) .x. ( G ` i ) ) e. ( Base ` Y ) )
3120, 21, 7, 8, 22, 23, 2, 24, 25, 26, 27, 28chfacfscmulfsupp 20664 . . 3 |- ( ( ( N e. Fin /\ R e. CRing /\ M e. B ) /\ ( s e. NN /\ b e. ( B ^m ( 0 ... s ) ) ) ) -> ( i e. NN0 |-> ( ( i .^ X ) .x. ( G ` i ) ) ) finSupp .0. )
32 nn0disj 12455 . . . 4 |- ( ( 0 ... ( s + 1 ) ) i^i ( ZZ>= ` ( ( s + 1 ) + 1 ) ) ) = (/)
3332a1i 11 . . 3 |- ( ( ( N e. Fin /\ R e. CRing /\ M e. B ) /\ ( s e. NN /\ b e. ( B ^m ( 0 ... s ) ) ) ) -> ( ( 0 ... ( s + 1 ) ) i^i ( ZZ>= ` ( ( s + 1 ) + 1 ) ) ) = (/) )
34 nnnn0 11299 . . . . . 6 |- ( s e. NN -> s e. NN0 )
35 peano2nn0 11333 . . . . . 6 |- ( s e. NN0 -> ( s + 1 ) e. NN0 )
3634, 35syl 17 . . . . 5 |- ( s e. NN -> ( s + 1 ) e. NN0 )
37 nn0split 12454 . . . . 5 |- ( ( s + 1 ) e. NN0 -> NN0 = ( ( 0 ... ( s + 1 ) ) u. ( ZZ>= ` ( ( s + 1 ) + 1 ) ) ) )
3836, 37syl 17 . . . 4 |- ( s e. NN -> NN0 = ( ( 0 ... ( s + 1 ) ) u. ( ZZ>= ` ( ( s + 1 ) + 1 ) ) ) )
3938ad2antrl 764 . . 3 |- ( ( ( N e. Fin /\ R e. CRing /\ M e. B ) /\ ( s e. NN /\ b e. ( B ^m ( 0 ... s ) ) ) ) -> NN0 = ( ( 0 ... ( s + 1 ) ) u. ( ZZ>= ` ( ( s + 1 ) + 1 ) ) ) )
401, 2, 3, 13, 15, 30, 31, 33, 39gsumsplit2 18329 . 2 |- ( ( ( N e. Fin /\ R e. CRing /\ M e. B ) /\ ( s e. NN /\ b e. ( B ^m ( 0 ... s ) ) ) ) -> ( Y gsumg ( i e. NN0 |-> ( ( i .^ X ) .x. ( G ` i ) ) ) ) = ( ( Y gsumg ( i e. ( 0 ... ( s + 1 ) ) |-> ( ( i .^ X ) .x. ( G ` i ) ) ) ) .+ ( Y gsumg ( i e. ( ZZ>= ` ( ( s + 1 ) + 1 ) ) |-> ( ( i .^ X ) .x. ( G ` i ) ) ) ) ) )
41 simpll 790 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. CRing /\ M e. B ) /\ ( s e. NN /\ b e. ( B ^m ( 0 ... s ) ) ) ) /\ i e. ( ZZ>= ` ( ( s + 1 ) + 1 ) ) ) -> ( N e. Fin /\ R e. CRing /\ M e. B ) )
42 simplr 792 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. CRing /\ M e. B ) /\ ( s e. NN /\ b e. ( B ^m ( 0 ... s ) ) ) ) /\ i e. ( ZZ>= ` ( ( s + 1 ) + 1 ) ) ) -> ( s e. NN /\ b e. ( B ^m ( 0 ... s ) ) ) )
43 nncn 11028 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( s e. NN -> s e. CC )
44 add1p1 11283 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( s e. CC -> ( ( s + 1 ) + 1 ) = ( s + 2 ) )
4543, 44syl 17 . . . . . . . . . . . 12 |- ( s e. NN -> ( ( s + 1 ) + 1 ) = ( s + 2 ) )
4645ad2antrl 764 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( N e. Fin /\ R e. CRing /\ M e. B ) /\ ( s e. NN /\ b e. ( B ^m ( 0 ... s ) ) ) ) -> ( ( s + 1 ) + 1 ) = ( s + 2 ) )
4746fveq2d 6195 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( N e. Fin /\ R e. CRing /\ M e. B ) /\ ( s e. NN /\ b e. ( B ^m ( 0 ... s ) ) ) ) -> ( ZZ>= ` ( ( s + 1 ) + 1 ) ) = ( ZZ>= ` ( s + 2 ) ) )
4847eleq2d 2687 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( N e. Fin /\ R e. CRing /\ M e. B ) /\ ( s e. NN /\ b e. ( B ^m ( 0 ... s ) ) ) ) -> ( i e. ( ZZ>= ` ( ( s + 1 ) + 1 ) ) <-> i e. ( ZZ>= ` ( s + 2 ) ) ) )
4948biimpa 501 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. CRing /\ M e. B ) /\ ( s e. NN /\ b e. ( B ^m ( 0 ... s ) ) ) ) /\ i e. ( ZZ>= ` ( ( s + 1 ) + 1 ) ) ) -> i e. ( ZZ>= ` ( s + 2 ) ) )
5020, 21, 7, 8, 22, 23, 2, 24, 25, 26, 27, 28chfacfscmul0 20663 . . . . . . . 8 |- ( ( ( N e. Fin /\ R e. CRing /\ M e. B ) /\ ( s e. NN /\ b e. ( B ^m ( 0 ... s ) ) ) /\ i e. ( ZZ>= ` ( s + 2 ) ) ) -> ( ( i .^ X ) .x. ( G ` i ) ) = .0. )
5141, 42, 49, 50syl3anc 1326 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. CRing /\ M e. B ) /\ ( s e. NN /\ b e. ( B ^m ( 0 ... s ) ) ) ) /\ i e. ( ZZ>= ` ( ( s + 1 ) + 1 ) ) ) -> ( ( i .^ X ) .x. ( G ` i ) ) = .0. )
5251mpteq2dva 4744 . . . . . 6 |- ( ( ( N e. Fin /\ R e. CRing /\ M e. B ) /\ ( s e. NN /\ b e. ( B ^m ( 0 ... s ) ) ) ) -> ( i e. ( ZZ>= ` ( ( s + 1 ) + 1 ) ) |-> ( ( i .^ X ) .x. ( G ` i ) ) ) = ( i e. ( ZZ>= ` ( ( s + 1 ) + 1 ) ) |-> .0. ) )
5352oveq2d 6666 . . . . 5 |- ( ( ( N e. Fin /\ R e. CRing /\ M e. B ) /\ ( s e. NN /\ b e. ( B ^m ( 0 ... s ) ) ) ) -> ( Y gsumg ( i e. ( ZZ>= ` ( ( s + 1 ) + 1 ) ) |-> ( ( i .^ X ) .x. ( G ` i ) ) ) ) = ( Y gsumg ( i e. ( ZZ>= ` ( ( s + 1 ) + 1 ) ) |-> .0. ) ) )
544, 9sylan2 491 . . . . . . . . . 10 |- ( ( N e. Fin /\ R e. CRing ) -> Y e. Ring )
55 ringmnd 18556 . . . . . . . . . 10 |- ( Y e. Ring -> Y e. Mnd )
5654, 55syl 17 . . . . . . . . 9 |- ( ( N e. Fin /\ R e. CRing ) -> Y e. Mnd )
57563adant3 1081 . . . . . . . 8 |- ( ( N e. Fin /\ R e. CRing /\ M e. B ) -> Y e. Mnd )
58 fvex 6201 . . . . . . . 8 |- ( ZZ>= ` ( ( s + 1 ) + 1 ) ) e. _V
5957, 58jctir 561 . . . . . . 7 |- ( ( N e. Fin /\ R e. CRing /\ M e. B ) -> ( Y e. Mnd /\ ( ZZ>= ` ( ( s + 1 ) + 1 ) ) e. _V ) )
6059adantr 481 . . . . . 6 |- ( ( ( N e. Fin /\ R e. CRing /\ M e. B ) /\ ( s e. NN /\ b e. ( B ^m ( 0 ... s ) ) ) ) -> ( Y e. Mnd /\ ( ZZ>= ` ( ( s + 1 ) + 1 ) ) e. _V ) )
612gsumz 17374 . . . . . 6 |- ( ( Y e. Mnd /\ ( ZZ>= ` ( ( s + 1 ) + 1 ) ) e. _V ) -> ( Y gsumg ( i e. ( ZZ>= ` ( ( s + 1 ) + 1 ) ) |-> .0. ) ) = .0. )
6260, 61syl 17 . . . . 5 |- ( ( ( N e. Fin /\ R e. CRing /\ M e. B ) /\ ( s e. NN /\ b e. ( B ^m ( 0 ... s ) ) ) ) -> ( Y gsumg ( i e. ( ZZ>= ` ( ( s + 1 ) + 1 ) ) |-> .0. ) ) = .0. )
6353, 62eqtrd 2656 . . . 4 |- ( ( ( N e. Fin /\ R e. CRing /\ M e. B ) /\ ( s e. NN /\ b e. ( B ^m ( 0 ... s ) ) ) ) -> ( Y gsumg ( i e. ( ZZ>= ` ( ( s + 1 ) + 1 ) ) |-> ( ( i .^ X ) .x. ( G ` i ) ) ) ) = .0. )
6463oveq2d 6666 . . 3 |- ( ( ( N e. Fin /\ R e. CRing /\ M e. B ) /\ ( s e. NN /\ b e. ( B ^m ( 0 ... s ) ) ) ) -> ( ( Y gsumg ( i e. ( 0 ... ( s + 1 ) ) |-> ( ( i .^ X ) .x. ( G ` i ) ) ) ) .+ ( Y gsumg ( i e. ( ZZ>= ` ( ( s + 1 ) + 1 ) ) |-> ( ( i .^ X ) .x. ( G ` i ) ) ) ) ) = ( ( Y gsumg ( i e. ( 0 ... ( s + 1 ) ) |-> ( ( i .^ X ) .x. ( G ` i ) ) ) ) .+ .0. ) )
6557adantr 481 . . . 4 |- ( ( ( N e. Fin /\ R e. CRing /\ M e. B ) /\ ( s e. NN /\ b e. ( B ^m ( 0 ... s ) ) ) ) -> Y e. Mnd )
66 fzfid 12772 . . . . 5 |- ( ( ( N e. Fin /\ R e. CRing /\ M e. B ) /\ ( s e. NN /\ b e. ( B ^m ( 0 ... s ) ) ) ) -> ( 0 ... ( s + 1 ) ) e. Fin )
67 elfznn0 12433 . . . . . . . 8 |- ( i e. ( 0 ... ( s + 1 ) ) -> i e. NN0 )
6867, 19sylan2 491 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. CRing /\ M e. B ) /\ ( s e. NN /\ b e. ( B ^m ( 0 ... s ) ) ) ) /\ i e. ( 0 ... ( s + 1 ) ) ) -> ( ( N e. Fin /\ R e. CRing /\ M e. B ) /\ ( s e. NN /\ b e. ( B ^m ( 0 ... s ) ) ) /\ i e. NN0 ) )
6968, 29syl 17 . . . . . 6 |- ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. CRing /\ M e. B ) /\ ( s e. NN /\ b e. ( B ^m ( 0 ... s ) ) ) ) /\ i e. ( 0 ... ( s + 1 ) ) ) -> ( ( i .^ X ) .x. ( G ` i ) ) e. ( Base ` Y ) )
7069ralrimiva 2966 . . . . 5 |- ( ( ( N e. Fin /\ R e. CRing /\ M e. B ) /\ ( s e. NN /\ b e. ( B ^m ( 0 ... s ) ) ) ) -> A. i e. ( 0 ... ( s + 1 ) ) ( ( i .^ X ) .x. ( G ` i ) ) e. ( Base ` Y ) )
711, 13, 66, 70gsummptcl 18366 . . . 4 |- ( ( ( N e. Fin /\ R e. CRing /\ M e. B ) /\ ( s e. NN /\ b e. ( B ^m ( 0 ... s ) ) ) ) -> ( Y gsumg ( i e. ( 0 ... ( s + 1 ) ) |-> ( ( i .^ X ) .x. ( G ` i ) ) ) ) e. ( Base ` Y ) )
721, 3, 2mndrid 17312 . . . 4 |- ( ( Y e. Mnd /\ ( Y gsumg ( i e. ( 0 ... ( s + 1 ) ) |-> ( ( i .^ X ) .x. ( G ` i ) ) ) ) e. ( Base ` Y ) ) -> ( ( Y gsumg ( i e. ( 0 ... ( s + 1 ) ) |-> ( ( i .^ X ) .x. ( G ` i ) ) ) ) .+ .0. ) = ( Y gsumg ( i e. ( 0 ... ( s + 1 ) ) |-> ( ( i .^ X ) .x. ( G ` i ) ) ) ) )
7365, 71, 72syl2anc 693 . . 3 |- ( ( ( N e. Fin /\ R e. CRing /\ M e. B ) /\ ( s e. NN /\ b e. ( B ^m ( 0 ... s ) ) ) ) -> ( ( Y gsumg ( i e. ( 0 ... ( s + 1 ) ) |-> ( ( i .^ X ) .x. ( G ` i ) ) ) ) .+ .0. ) = ( Y gsumg ( i e. ( 0 ... ( s + 1 ) ) |-> ( ( i .^ X ) .x. ( G ` i ) ) ) ) )
7464, 73eqtrd 2656 . 2 |- ( ( ( N e. Fin /\ R e. CRing /\ M e. B ) /\ ( s e. NN /\ b e. ( B ^m ( 0 ... s ) ) ) ) -> ( ( Y gsumg ( i e. ( 0 ... ( s + 1 ) ) |-> ( ( i .^ X ) .x. ( G ` i ) ) ) ) .+ ( Y gsumg ( i e. ( ZZ>= ` ( ( s + 1 ) + 1 ) ) |-> ( ( i .^ X ) .x. ( G ` i ) ) ) ) ) = ( Y gsumg ( i e. ( 0 ... ( s + 1 ) ) |-> ( ( i .^ X ) .x. ( G ` i ) ) ) ) )
7534ad2antrl 764 . . . 4 |- ( ( ( N e. Fin /\ R e. CRing /\ M e. B ) /\ ( s e. NN /\ b e. ( B ^m ( 0 ... s ) ) ) ) -> s e. NN0 )
761, 3, 13, 75, 69gsummptfzsplit 18332 . . 3 |- ( ( ( N e. Fin /\ R e. CRing /\ M e. B ) /\ ( s e. NN /\ b e. ( B ^m ( 0 ... s ) ) ) ) -> ( Y gsumg ( i e. ( 0 ... ( s + 1 ) ) |-> ( ( i .^ X ) .x. ( G ` i ) ) ) ) = ( ( Y gsumg ( i e. ( 0 ... s ) |-> ( ( i .^ X ) .x. ( G ` i ) ) ) ) .+ ( Y gsumg ( i e. { ( s + 1 ) } |-> ( ( i .^ X ) .x. ( G ` i ) ) ) ) ) )
77 elfznn0 12433 . . . . . . 7 |- ( i e. ( 0 ... s ) -> i e. NN0 )
7877, 30sylan2 491 . . . . . 6 |- ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. CRing /\ M e. B ) /\ ( s e. NN /\ b e. ( B ^m ( 0 ... s ) ) ) ) /\ i e. ( 0 ... s ) ) -> ( ( i .^ X ) .x. ( G ` i ) ) e. ( Base ` Y ) )
791, 3, 13, 75, 78gsummptfzsplitl 18333 . . . . 5 |- ( ( ( N e. Fin /\ R e. CRing /\ M e. B ) /\ ( s e. NN /\ b e. ( B ^m ( 0 ... s ) ) ) ) -> ( Y gsumg ( i e. ( 0 ... s ) |-> ( ( i .^ X ) .x. ( G ` i ) ) ) ) = ( ( Y gsumg ( i e. ( 1 ... s ) |-> ( ( i .^ X ) .x. ( G ` i ) ) ) ) .+ ( Y gsumg ( i e. { 0 } |-> ( ( i .^ X ) .x. ( G ` i ) ) ) ) ) )
80 0nn0 11307 . . . . . . . 8 |- 0 e. NN0
8180a1i 11 . . . . . . 7 |- ( ( ( N e. Fin /\ R e. CRing /\ M e. B ) /\ ( s e. NN /\ b e. ( B ^m ( 0 ... s ) ) ) ) -> 0 e. NN0 )
8220, 21, 7, 8, 22, 23, 2, 24, 25, 26, 27, 28chfacfscmulcl 20662 . . . . . . . 8 |- ( ( ( N e. Fin /\ R e. CRing /\ M e. B ) /\ ( s e. NN /\ b e. ( B ^m ( 0 ... s ) ) ) /\ 0 e. NN0 ) -> ( ( 0 .^ X ) .x. ( G ` 0 ) ) e. ( Base ` Y ) )
8381, 82mpd3an3 1425 . . . . . . 7 |- ( ( ( N e. Fin /\ R e. CRing /\ M e. B ) /\ ( s e. NN /\ b e. ( B ^m ( 0 ... s ) ) ) ) -> ( ( 0 .^ X ) .x. ( G ` 0 ) ) e. ( Base ` Y ) )
84 oveq1 6657 . . . . . . . . 9 |- ( i = 0 -> ( i .^ X ) = ( 0 .^ X ) )
85 fveq2 6191 . . . . . . . . 9 |- ( i = 0 -> ( G ` i ) = ( G ` 0 ) )
8684, 85oveq12d 6668 . . . . . . . 8 |- ( i = 0 -> ( ( i .^ X ) .x. ( G ` i ) ) = ( ( 0 .^ X ) .x. ( G ` 0 ) ) )
871, 86gsumsn 18354 . . . . . . 7 |- ( ( Y e. Mnd /\ 0 e. NN0 /\ ( ( 0 .^ X ) .x. ( G ` 0 ) ) e. ( Base ` Y ) ) -> ( Y gsumg ( i e. { 0 } |-> ( ( i .^ X ) .x. ( G ` i ) ) ) ) = ( ( 0 .^ X ) .x. ( G ` 0 ) ) )
8865, 81, 83, 87syl3anc 1326 . . . . . 6 |- ( ( ( N e. Fin /\ R e. CRing /\ M e. B ) /\ ( s e. NN /\ b e. ( B ^m ( 0 ... s ) ) ) ) -> ( Y gsumg ( i e. { 0 } |-> ( ( i .^ X ) .x. ( G ` i ) ) ) ) = ( ( 0 .^ X ) .x. ( G ` 0 ) ) )
8988oveq2d 6666 . . . . 5 |- ( ( ( N e. Fin /\ R e. CRing /\ M e. B ) /\ ( s e. NN /\ b e. ( B ^m ( 0 ... s ) ) ) ) -> ( ( Y gsumg ( i e. ( 1 ... s ) |-> ( ( i .^ X ) .x. ( G ` i ) ) ) ) .+ ( Y gsumg ( i e. { 0 } |-> ( ( i .^ X ) .x. ( G ` i ) ) ) ) ) = ( ( Y gsumg ( i e. ( 1 ... s ) |-> ( ( i .^ X ) .x. ( G ` i ) ) ) ) .+ ( ( 0 .^ X ) .x. ( G ` 0 ) ) ) )
9079, 89eqtrd 2656 . . . 4 |- ( ( ( N e. Fin /\ R e. CRing /\ M e. B ) /\ ( s e. NN /\ b e. ( B ^m ( 0 ... s ) ) ) ) -> ( Y gsumg ( i e. ( 0 ... s ) |-> ( ( i .^ X ) .x. ( G ` i ) ) ) ) = ( ( Y gsumg ( i e. ( 1 ... s ) |-> ( ( i .^ X ) .x. ( G ` i ) ) ) ) .+ ( ( 0 .^ X ) .x. ( G ` 0 ) ) ) )
91 ovexd 6680 . . . . 5 |- ( ( ( N e. Fin /\ R e. CRing /\ M e. B ) /\ ( s e. NN /\ b e. ( B ^m ( 0 ... s ) ) ) ) -> ( s + 1 ) e. _V )
92 1nn0 11308 . . . . . . . 8 |- 1 e. NN0
9392a1i 11 . . . . . . 7 |- ( ( ( N e. Fin /\ R e. CRing /\ M e. B ) /\ ( s e. NN /\ b e. ( B ^m ( 0 ... s ) ) ) ) -> 1 e. NN0 )
9475, 93nn0addcld 11355 . . . . . 6 |- ( ( ( N e. Fin /\ R e. CRing /\ M e. B ) /\ ( s e. NN /\ b e. ( B ^m ( 0 ... s ) ) ) ) -> ( s + 1 ) e. NN0 )
9520, 21, 7, 8, 22, 23, 2, 24, 25, 26, 27, 28chfacfscmulcl 20662 . . . . . 6 |- ( ( ( N e. Fin /\ R e. CRing /\ M e. B ) /\ ( s e. NN /\ b e. ( B ^m ( 0 ... s ) ) ) /\ ( s + 1 ) e. NN0 ) -> ( ( ( s + 1 ) .^ X ) .x. ( G ` ( s + 1 ) ) ) e. ( Base ` Y ) )
9694, 95mpd3an3 1425 . . . . 5 |- ( ( ( N e. Fin /\ R e. CRing /\ M e. B ) /\ ( s e. NN /\ b e. ( B ^m ( 0 ... s ) ) ) ) -> ( ( ( s + 1 ) .^ X ) .x. ( G ` ( s + 1 ) ) ) e. ( Base ` Y ) )
97 oveq1 6657 . . . . . . 7 |- ( i = ( s + 1 ) -> ( i .^ X ) = ( ( s + 1 ) .^ X ) )
98 fveq2 6191 . . . . . . 7 |- ( i = ( s + 1 ) -> ( G ` i ) = ( G ` ( s + 1 ) ) )
9997, 98oveq12d 6668 . . . . . 6 |- ( i = ( s + 1 ) -> ( ( i .^ X ) .x. ( G ` i ) ) = ( ( ( s + 1 ) .^ X ) .x. ( G ` ( s + 1 ) ) ) )
1001, 99gsumsn 18354 . . . . 5 |- ( ( Y e. Mnd /\ ( s + 1 ) e. _V /\ ( ( ( s + 1 ) .^ X ) .x. ( G ` ( s + 1 ) ) ) e. ( Base ` Y ) ) -> ( Y gsumg ( i e. { ( s + 1 ) } |-> ( ( i .^ X ) .x. ( G ` i ) ) ) ) = ( ( ( s + 1 ) .^ X ) .x. ( G ` ( s + 1 ) ) ) )
10165, 91, 96, 100syl3anc 1326 . . . 4 |- ( ( ( N e. Fin /\ R e. CRing /\ M e. B ) /\ ( s e. NN /\ b e. ( B ^m ( 0 ... s ) ) ) ) -> ( Y gsumg ( i e. { ( s + 1 ) } |-> ( ( i .^ X ) .x. ( G ` i ) ) ) ) = ( ( ( s + 1 ) .^ X ) .x. ( G ` ( s + 1 ) ) ) )
10290, 101oveq12d 6668 . . 3 |- ( ( ( N e. Fin /\ R e. CRing /\ M e. B ) /\ ( s e. NN /\ b e. ( B ^m ( 0 ... s ) ) ) ) -> ( ( Y gsumg ( i e. ( 0 ... s ) |-> ( ( i .^ X ) .x. ( G ` i ) ) ) ) .+ ( Y gsumg ( i e. { ( s + 1 ) } |-> ( ( i .^ X ) .x. ( G ` i ) ) ) ) ) = ( ( ( Y gsumg ( i e. ( 1 ... s ) |-> ( ( i .^ X ) .x. ( G ` i ) ) ) ) .+ ( ( 0 .^ X ) .x. ( G ` 0 ) ) ) .+ ( ( ( s + 1 ) .^ X ) .x. ( G ` ( s + 1 ) ) ) ) )
103 fzfid 12772 . . . . . 6 |- ( ( ( N e. Fin /\ R e. CRing /\ M e. B ) /\ ( s e. NN /\ b e. ( B ^m ( 0 ... s ) ) ) ) -> ( 1 ... s ) e. Fin )
104 simpll 790 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. CRing /\ M e. B ) /\ ( s e. NN /\ b e. ( B ^m ( 0 ... s ) ) ) ) /\ i e. ( 1 ... s ) ) -> ( N e. Fin /\ R e. CRing /\ M e. B ) )
105 simplr 792 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. CRing /\ M e. B ) /\ ( s e. NN /\ b e. ( B ^m ( 0 ... s ) ) ) ) /\ i e. ( 1 ... s ) ) -> ( s e. NN /\ b e. ( B ^m ( 0 ... s ) ) ) )
106 elfznn 12370 . . . . . . . . . 10 |- ( i e. ( 1 ... s ) -> i e. NN )
107106nnnn0d 11351 . . . . . . . . 9 |- ( i e. ( 1 ... s ) -> i e. NN0 )
108107adantl 482 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. CRing /\ M e. B ) /\ ( s e. NN /\ b e. ( B ^m ( 0 ... s ) ) ) ) /\ i e. ( 1 ... s ) ) -> i e. NN0 )
109104, 105, 108, 29syl3anc 1326 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. CRing /\ M e. B ) /\ ( s e. NN /\ b e. ( B ^m ( 0 ... s ) ) ) ) /\ i e. ( 1 ... s ) ) -> ( ( i .^ X ) .x. ( G ` i ) ) e. ( Base ` Y ) )
110109ralrimiva 2966 . . . . . 6 |- ( ( ( N e. Fin /\ R e. CRing /\ M e. B ) /\ ( s e. NN /\ b e. ( B ^m ( 0 ... s ) ) ) ) -> A. i e. ( 1 ... s ) ( ( i .^ X ) .x. ( G ` i ) ) e. ( Base ` Y ) )
1111, 13, 103, 110gsummptcl 18366 . . . . 5 |- ( ( ( N e. Fin /\ R e. CRing /\ M e. B ) /\ ( s e. NN /\ b e. ( B ^m ( 0 ... s ) ) ) ) -> ( Y gsumg ( i e. ( 1 ... s ) |-> ( ( i .^ X ) .x. ( G ` i ) ) ) ) e. ( Base ` Y ) )
1121, 3mndass 17302 . . . . 5 |- ( ( Y e. Mnd /\ ( ( Y gsumg ( i e. ( 1 ... s ) |-> ( ( i .^ X ) .x. ( G ` i ) ) ) ) e. ( Base ` Y ) /\ ( ( 0 .^ X ) .x. ( G ` 0 ) ) e. ( Base ` Y ) /\ ( ( ( s + 1 ) .^ X ) .x. ( G ` ( s + 1 ) ) ) e. ( Base ` Y ) ) ) -> ( ( ( Y gsumg ( i e. ( 1 ... s ) |-> ( ( i .^ X ) .x. ( G ` i ) ) ) ) .+ ( ( 0 .^ X ) .x. ( G ` 0 ) ) ) .+ ( ( ( s + 1 ) .^ X ) .x. ( G ` ( s + 1 ) ) ) ) = ( ( Y gsumg ( i e. ( 1 ... s ) |-> ( ( i .^ X ) .x. ( G ` i ) ) ) ) .+ ( ( ( 0 .^ X ) .x. ( G ` 0 ) ) .+ ( ( ( s + 1 ) .^ X ) .x. ( G ` ( s + 1 ) ) ) ) ) )
11365, 111, 83, 96, 112syl13anc 1328 . . . 4 |- ( ( ( N e. Fin /\ R e. CRing /\ M e. B ) /\ ( s e. NN /\ b e. ( B ^m ( 0 ... s ) ) ) ) -> ( ( ( Y gsumg ( i e. ( 1 ... s ) |-> ( ( i .^ X ) .x. ( G ` i ) ) ) ) .+ ( ( 0 .^ X ) .x. ( G ` 0 ) ) ) .+ ( ( ( s + 1 ) .^ X ) .x. ( G ` ( s + 1 ) ) ) ) = ( ( Y gsumg ( i e. ( 1 ... s ) |-> ( ( i .^ X ) .x. ( G ` i ) ) ) ) .+ ( ( ( 0 .^ X ) .x. ( G ` 0 ) ) .+ ( ( ( s + 1 ) .^ X ) .x. ( G ` ( s + 1 ) ) ) ) ) )
11425a1i 11 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. CRing /\ M e. B ) /\ ( s e. NN /\ b e. ( B ^m ( 0 ... s ) ) ) ) /\ i e. ( 1 ... s ) ) -> G = ( n e. NN0 |-> if ( n = 0 , ( .0. .- ( ( T ` M ) .X. ( T ` ( b ` 0 ) ) ) ) , if ( n = ( s + 1 ) , ( T ` ( b ` s ) ) , if ( ( s + 1 ) < n , .0. , ( ( T ` ( b ` ( n - 1 ) ) ) .- ( ( T ` M ) .X. ( T ` ( b ` n ) ) ) ) ) ) ) ) )
115106nnne0d 11065 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( i e. ( 1 ... s ) -> i =/= 0 )
116115ad2antlr 763 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. CRing /\ M e. B ) /\ ( s e. NN /\ b e. ( B ^m ( 0 ... s ) ) ) ) /\ i e. ( 1 ... s ) ) /\ n = i ) -> i =/= 0 )
117 neeq1 2856 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( n = i -> ( n =/= 0 <-> i =/= 0 ) )
118117adantl 482 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. CRing /\ M e. B ) /\ ( s e. NN /\ b e. ( B ^m ( 0 ... s ) ) ) ) /\ i e. ( 1 ... s ) ) /\ n = i ) -> ( n =/= 0 <-> i =/= 0 ) )
119116, 118mpbird 247 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. CRing /\ M e. B ) /\ ( s e. NN /\ b e. ( B ^m ( 0 ... s ) ) ) ) /\ i e. ( 1 ... s ) ) /\ n = i ) -> n =/= 0 )
120 eqneqall 2805 . . . . . . . . . . . 12 |- ( n = 0 -> ( n =/= 0 -> .0. = ( T ` ( b ` ( i - 1 ) ) ) ) )
121119, 120mpan9 486 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. CRing /\ M e. B ) /\ ( s e. NN /\ b e. ( B ^m ( 0 ... s ) ) ) ) /\ i e. ( 1 ... s ) ) /\ n = i ) /\ n = 0 ) -> .0. = ( T ` ( b ` ( i - 1 ) ) ) )
122 simplr 792 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. CRing /\ M e. B ) /\ ( s e. NN /\ b e. ( B ^m ( 0 ... s ) ) ) ) /\ i e. ( 1 ... s ) ) /\ n = i ) /\ n = 0 ) -> n = i )
123 eqeq1 2626 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( 0 = n -> ( 0 = i <-> n = i ) )
124123eqcoms 2630 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( n = 0 -> ( 0 = i <-> n = i ) )
125124adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. CRing /\ M e. B ) /\ ( s e. NN /\ b e. ( B ^m ( 0 ... s ) ) ) ) /\ i e. ( 1 ... s ) ) /\ n = i ) /\ n = 0 ) -> ( 0 = i <-> n = i ) )
126122, 125mpbird 247 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. CRing /\ M e. B ) /\ ( s e. NN /\ b e. ( B ^m ( 0 ... s ) ) ) ) /\ i e. ( 1 ... s ) ) /\ n = i ) /\ n = 0 ) -> 0 = i )
127126fveq2d 6195 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. CRing /\ M e. B ) /\ ( s e. NN /\ b e. ( B ^m ( 0 ... s ) ) ) ) /\ i e. ( 1 ... s ) ) /\ n = i ) /\ n = 0 ) -> ( b ` 0 ) = ( b ` i ) )
128127fveq2d 6195 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. CRing /\ M e. B ) /\ ( s e. NN /\ b e. ( B ^m ( 0 ... s ) ) ) ) /\ i e. ( 1 ... s ) ) /\ n = i ) /\ n = 0 ) -> ( T ` ( b ` 0 ) ) = ( T ` ( b ` i ) ) )
129128oveq2d 6666 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. CRing /\ M e. B ) /\ ( s e. NN /\ b e. ( B ^m ( 0 ... s ) ) ) ) /\ i e. ( 1 ... s ) ) /\ n = i ) /\ n = 0 ) -> ( ( T ` M ) .X. ( T ` ( b ` 0 ) ) ) = ( ( T ` M ) .X. ( T ` ( b ` i ) ) ) )
130121, 129oveq12d 6668 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. CRing /\ M e. B ) /\ ( s e. NN /\ b e. ( B ^m ( 0 ... s ) ) ) ) /\ i e. ( 1 ... s ) ) /\ n = i ) /\ n = 0 ) -> ( .0. .- ( ( T ` M ) .X. ( T ` ( b ` 0 ) ) ) ) = ( ( T ` ( b ` ( i - 1 ) ) ) .- ( ( T ` M ) .X. ( T ` ( b ` i ) ) ) ) )
131 elfz2 12333 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( i e. ( 1 ... s ) <-> ( ( 1 e. ZZ /\ s e. ZZ /\ i e. ZZ ) /\ ( 1 <_ i /\ i <_ s ) ) )
132 zleltp1 11428 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( i e. ZZ /\ s e. ZZ ) -> ( i <_ s <-> i < ( s + 1 ) ) )
133132ancoms 469 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( s e. ZZ /\ i e. ZZ ) -> ( i <_ s <-> i < ( s + 1 ) ) )
1341333adant1 1079 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( 1 e. ZZ /\ s e. ZZ /\ i e. ZZ ) -> ( i <_ s <-> i < ( s + 1 ) ) )
135134biimpcd 239 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( i <_ s -> ( ( 1 e. ZZ /\ s e. ZZ /\ i e. ZZ ) -> i < ( s + 1 ) ) )
136135adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( 1 <_ i /\ i <_ s ) -> ( ( 1 e. ZZ /\ s e. ZZ /\ i e. ZZ ) -> i < ( s + 1 ) ) )
137136impcom 446 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( 1 e. ZZ /\ s e. ZZ /\ i e. ZZ ) /\ ( 1 <_ i /\ i <_ s ) ) -> i < ( s + 1 ) )
138137orcd 407 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( 1 e. ZZ /\ s e. ZZ /\ i e. ZZ ) /\ ( 1 <_ i /\ i <_ s ) ) -> ( i < ( s + 1 ) \/ ( s + 1 ) < i ) )
139 zre 11381 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( s e. ZZ -> s e. RR )
140 1red 10055 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( s e. ZZ -> 1 e. RR )
141139, 140readdcld 10069 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( s e. ZZ -> ( s + 1 ) e. RR )
142 zre 11381 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( i e. ZZ -> i e. RR )
143141, 142anim12ci 591 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( s e. ZZ /\ i e. ZZ ) -> ( i e. RR /\ ( s + 1 ) e. RR ) )
1441433adant1 1079 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( 1 e. ZZ /\ s e. ZZ /\ i e. ZZ ) -> ( i e. RR /\ ( s + 1 ) e. RR ) )
145 lttri2 10120 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( i e. RR /\ ( s + 1 ) e. RR ) -> ( i =/= ( s + 1 ) <-> ( i < ( s + 1 ) \/ ( s + 1 ) < i ) ) )
146144, 145syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( 1 e. ZZ /\ s e. ZZ /\ i e. ZZ ) -> ( i =/= ( s + 1 ) <-> ( i < ( s + 1 ) \/ ( s + 1 ) < i ) ) )
147146adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( 1 e. ZZ /\ s e. ZZ /\ i e. ZZ ) /\ ( 1 <_ i /\ i <_ s ) ) -> ( i =/= ( s + 1 ) <-> ( i < ( s + 1 ) \/ ( s + 1 ) < i ) ) )
148138, 147mpbird 247 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( 1 e. ZZ /\ s e. ZZ /\ i e. ZZ ) /\ ( 1 <_ i /\ i <_ s ) ) -> i =/= ( s + 1 ) )
149131, 148sylbi 207 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( i e. ( 1 ... s ) -> i =/= ( s + 1 ) )
150149ad2antlr 763 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. CRing /\ M e. B ) /\ ( s e. NN /\ b e. ( B ^m ( 0 ... s ) ) ) ) /\ i e. ( 1 ... s ) ) /\ n = i ) -> i =/= ( s + 1 ) )
151 neeq1 2856 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( n = i -> ( n =/= ( s + 1 ) <-> i =/= ( s + 1 ) ) )
152151adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. CRing /\ M e. B ) /\ ( s e. NN /\ b e. ( B ^m ( 0 ... s ) ) ) ) /\ i e. ( 1 ... s ) ) /\ n = i ) -> ( n =/= ( s + 1 ) <-> i =/= ( s + 1 ) ) )
153150, 152mpbird 247 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. CRing /\ M e. B ) /\ ( s e. NN /\ b e. ( B ^m ( 0 ... s ) ) ) ) /\ i e. ( 1 ... s ) ) /\ n = i ) -> n =/= ( s + 1 ) )
154153adantr 481 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. CRing /\ M e. B ) /\ ( s e. NN /\ b e. ( B ^m ( 0 ... s ) ) ) ) /\ i e. ( 1 ... s ) ) /\ n = i ) /\ -. n = 0 ) -> n =/= ( s + 1 ) )
155154neneqd 2799 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. CRing /\ M e. B ) /\ ( s e. NN /\ b e. ( B ^m ( 0 ... s ) ) ) ) /\ i e. ( 1 ... s ) ) /\ n = i ) /\ -. n = 0 ) -> -. n = ( s + 1 ) )
156155pm2.21d 118 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. CRing /\ M e. B ) /\ ( s e. NN /\ b e. ( B ^m ( 0 ... s ) ) ) ) /\ i e. ( 1 ... s ) ) /\ n = i ) /\ -. n = 0 ) -> ( n = ( s + 1 ) -> ( T ` ( b ` s ) ) = ( ( T ` ( b ` ( i - 1 ) ) ) .- ( ( T ` M ) .X. ( T ` ( b ` i ) ) ) ) ) )
157156imp 445 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. CRing /\ M e. B ) /\ ( s e. NN /\ b e. ( B ^m ( 0 ... s ) ) ) ) /\ i e. ( 1 ... s ) ) /\ n = i ) /\ -. n = 0 ) /\ n = ( s + 1 ) ) -> ( T ` ( b ` s ) ) = ( ( T ` ( b ` ( i - 1 ) ) ) .- ( ( T ` M ) .X. ( T ` ( b ` i ) ) ) ) )
158106nnred 11035 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( i e. ( 1 ... s ) -> i e. RR )
159 eleq1 2689 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( n = i -> ( n e. RR <-> i e. RR ) )
160158, 159syl5ibrcom 237 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( i e. ( 1 ... s ) -> ( n = i -> n e. RR ) )
161160adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. CRing /\ M e. B ) /\ ( s e. NN /\ b e. ( B ^m ( 0 ... s ) ) ) ) /\ i e. ( 1 ... s ) ) -> ( n = i -> n e. RR ) )
162161imp 445 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. CRing /\ M e. B ) /\ ( s e. NN /\ b e. ( B ^m ( 0 ... s ) ) ) ) /\ i e. ( 1 ... s ) ) /\ n = i ) -> n e. RR )
16375nn0red 11352 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( N e. Fin /\ R e. CRing /\ M e. B ) /\ ( s e. NN /\ b e. ( B ^m ( 0 ... s ) ) ) ) -> s e. RR )
164163ad2antrr 762 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. CRing /\ M e. B ) /\ ( s e. NN /\ b e. ( B ^m ( 0 ... s ) ) ) ) /\ i e. ( 1 ... s ) ) /\ n = i ) -> s e. RR )
165 1red 10055 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. CRing /\ M e. B ) /\ ( s e. NN /\ b e. ( B ^m ( 0 ... s ) ) ) ) /\ i e. ( 1 ... s ) ) /\ n = i ) -> 1 e. RR )
166164, 165readdcld 10069 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. CRing /\ M e. B ) /\ ( s e. NN /\ b e. ( B ^m ( 0 ... s ) ) ) ) /\ i e. ( 1 ... s ) ) /\ n = i ) -> ( s + 1 ) e. RR )
167131, 137sylbi 207 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( i e. ( 1 ... s ) -> i < ( s + 1 ) )
168167ad2antlr 763 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. CRing /\ M e. B ) /\ ( s e. NN /\ b e. ( B ^m ( 0 ... s ) ) ) ) /\ i e. ( 1 ... s ) ) /\ n = i ) -> i < ( s + 1 ) )
169 breq1 4656 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( n = i -> ( n < ( s + 1 ) <-> i < ( s + 1 ) ) )
170169adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. CRing /\ M e. B ) /\ ( s e. NN /\ b e. ( B ^m ( 0 ... s ) ) ) ) /\ i e. ( 1 ... s ) ) /\ n = i ) -> ( n < ( s + 1 ) <-> i < ( s + 1 ) ) )
171168, 170mpbird 247 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. CRing /\ M e. B ) /\ ( s e. NN /\ b e. ( B ^m ( 0 ... s ) ) ) ) /\ i e. ( 1 ... s ) ) /\ n = i ) -> n < ( s + 1 ) )
172162, 166, 171ltnsymd 10186 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. CRing /\ M e. B ) /\ ( s e. NN /\ b e. ( B ^m ( 0 ... s ) ) ) ) /\ i e. ( 1 ... s ) ) /\ n = i ) -> -. ( s + 1 ) < n )
173172pm2.21d 118 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. CRing /\ M e. B ) /\ ( s e. NN /\ b e. ( B ^m ( 0 ... s ) ) ) ) /\ i e. ( 1 ... s ) ) /\ n = i ) -> ( ( s + 1 ) < n -> .0. = ( ( T ` ( b ` ( i - 1 ) ) ) .- ( ( T ` M ) .X. ( T ` ( b ` i ) ) ) ) ) )
174173ad2antrr 762 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. CRing /\ M e. B ) /\ ( s e. NN /\ b e. ( B ^m ( 0 ... s ) ) ) ) /\ i e. ( 1 ... s ) ) /\ n = i ) /\ -. n = 0 ) /\ -. n = ( s + 1 ) ) -> ( ( s + 1 ) < n -> .0. = ( ( T ` ( b ` ( i - 1 ) ) ) .- ( ( T ` M ) .X. ( T ` ( b ` i ) ) ) ) ) )
175174imp 445 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. CRing /\ M e. B ) /\ ( s e. NN /\ b e. ( B ^m ( 0 ... s ) ) ) ) /\ i e. ( 1 ... s ) ) /\ n = i ) /\ -. n = 0 ) /\ -. n = ( s + 1 ) ) /\ ( s + 1 ) < n ) -> .0. = ( ( T ` ( b ` ( i - 1 ) ) ) .- ( ( T ` M ) .X. ( T ` ( b ` i ) ) ) ) )
176 simp-4r 807 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. CRing /\ M e. B ) /\ ( s e. NN /\ b e. ( B ^m ( 0 ... s ) ) ) ) /\ i e. ( 1 ... s ) ) /\ n = i ) /\ -. n = 0 ) /\ -. n = ( s + 1 ) ) /\ -. ( s + 1 ) < n ) -> n = i )
177176oveq1d 6665 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. CRing /\ M e. B ) /\ ( s e. NN /\ b e. ( B ^m ( 0 ... s ) ) ) ) /\ i e. ( 1 ... s ) ) /\ n = i ) /\ -. n = 0 ) /\ -. n = ( s + 1 ) ) /\ -. ( s + 1 ) < n ) -> ( n - 1 ) = ( i - 1 ) )
178177fveq2d 6195 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. CRing /\ M e. B ) /\ ( s e. NN /\ b e. ( B ^m ( 0 ... s ) ) ) ) /\ i e. ( 1 ... s ) ) /\ n = i ) /\ -. n = 0 ) /\ -. n = ( s + 1 ) ) /\ -. ( s + 1 ) < n ) -> ( b ` ( n - 1 ) ) = ( b ` ( i - 1 ) ) )
179178fveq2d 6195 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. CRing /\ M e. B ) /\ ( s e. NN /\ b e. ( B ^m ( 0 ... s ) ) ) ) /\ i e. ( 1 ... s ) ) /\ n = i ) /\ -. n = 0 ) /\ -. n = ( s + 1 ) ) /\ -. ( s + 1 ) < n ) -> ( T ` ( b ` ( n - 1 ) ) ) = ( T ` ( b ` ( i - 1 ) ) ) )
180176fveq2d 6195 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. CRing /\ M e. B ) /\ ( s e. NN /\ b e. ( B ^m ( 0 ... s ) ) ) ) /\ i e. ( 1 ... s ) ) /\ n = i ) /\ -. n = 0 ) /\ -. n = ( s + 1 ) ) /\ -. ( s + 1 ) < n ) -> ( b ` n ) = ( b ` i ) )
181180fveq2d 6195 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. CRing /\ M e. B ) /\ ( s e. NN /\ b e. ( B ^m ( 0 ... s ) ) ) ) /\ i e. ( 1 ... s ) ) /\ n = i ) /\ -. n = 0 ) /\ -. n = ( s + 1 ) ) /\ -. ( s + 1 ) < n ) -> ( T ` ( b ` n ) ) = ( T ` ( b ` i ) ) )
182181oveq2d 6666 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. CRing /\ M e. B ) /\ ( s e. NN /\ b e. ( B ^m ( 0 ... s ) ) ) ) /\ i e. ( 1 ... s ) ) /\ n = i ) /\ -. n = 0 ) /\ -. n = ( s + 1 ) ) /\ -. ( s + 1 ) < n ) -> ( ( T ` M ) .X. ( T ` ( b ` n ) ) ) = ( ( T ` M ) .X. ( T ` ( b ` i ) ) ) )
183179, 182oveq12d 6668 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. CRing /\ M e. B ) /\ ( s e. NN /\ b e. ( B ^m ( 0 ... s ) ) ) ) /\ i e. ( 1 ... s ) ) /\ n = i ) /\ -. n = 0 ) /\ -. n = ( s + 1 ) ) /\ -. ( s + 1 ) < n ) -> ( ( T ` ( b ` ( n - 1 ) ) ) .- ( ( T ` M ) .X. ( T ` ( b ` n ) ) ) ) = ( ( T ` ( b ` ( i - 1 ) ) ) .- ( ( T ` M ) .X. ( T ` ( b ` i ) ) ) ) )
184175, 183ifeqda 4121 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. CRing /\ M e. B ) /\ ( s e. NN /\ b e. ( B ^m ( 0 ... s ) ) ) ) /\ i e. ( 1 ... s ) ) /\ n = i ) /\ -. n = 0 ) /\ -. n = ( s + 1 ) ) -> if ( ( s + 1 ) < n , .0. , ( ( T ` ( b ` ( n - 1 ) ) ) .- ( ( T ` M ) .X. ( T ` ( b ` n ) ) ) ) ) = ( ( T ` ( b ` ( i - 1 ) ) ) .- ( ( T ` M ) .X. ( T ` ( b ` i ) ) ) ) )
185157, 184ifeqda 4121 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. CRing /\ M e. B ) /\ ( s e. NN /\ b e. ( B ^m ( 0 ... s ) ) ) ) /\ i e. ( 1 ... s ) ) /\ n = i ) /\ -. n = 0 ) -> if ( n = ( s + 1 ) , ( T ` ( b ` s ) ) , if ( ( s + 1 ) < n , .0. , ( ( T ` ( b ` ( n - 1 ) ) ) .- ( ( T ` M ) .X. ( T ` ( b ` n ) ) ) ) ) ) = ( ( T ` ( b ` ( i - 1 ) ) ) .- ( ( T ` M ) .X. ( T ` ( b ` i ) ) ) ) )
186130, 185ifeqda 4121 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. CRing /\ M e. B ) /\ ( s e. NN /\ b e. ( B ^m ( 0 ... s ) ) ) ) /\ i e. ( 1 ... s ) ) /\ n = i ) -> if ( n = 0 , ( .0. .- ( ( T ` M ) .X. ( T ` ( b ` 0 ) ) ) ) , if ( n = ( s + 1 ) , ( T ` ( b ` s ) ) , if ( ( s + 1 ) < n , .0. , ( ( T ` ( b ` ( n - 1 ) ) ) .- ( ( T ` M ) .X. ( T ` ( b ` n ) ) ) ) ) ) ) = ( ( T ` ( b ` ( i - 1 ) ) ) .- ( ( T ` M ) .X. ( T ` ( b ` i ) ) ) ) )
187 ovexd 6680 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. CRing /\ M e. B ) /\ ( s e. NN /\ b e. ( B ^m ( 0 ... s ) ) ) ) /\ i e. ( 1 ... s ) ) -> ( ( T ` ( b ` ( i - 1 ) ) ) .- ( ( T ` M ) .X. ( T ` ( b ` i ) ) ) ) e. _V )
188114, 186, 108, 187fvmptd 6288 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. CRing /\ M e. B ) /\ ( s e. NN /\ b e. ( B ^m ( 0 ... s ) ) ) ) /\ i e. ( 1 ... s ) ) -> ( G ` i ) = ( ( T ` ( b ` ( i - 1 ) ) ) .- ( ( T ` M ) .X. ( T ` ( b ` i ) ) ) ) )
189188oveq2d 6666 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. CRing /\ M e. B ) /\ ( s e. NN /\ b e. ( B ^m ( 0 ... s ) ) ) ) /\ i e. ( 1 ... s ) ) -> ( ( i .^ X ) .x. ( G ` i ) ) = ( ( i .^ X ) .x. ( ( T ` ( b ` ( i - 1 ) ) ) .- ( ( T ` M ) .X. ( T ` ( b ` i ) ) ) ) ) )
190189mpteq2dva 4744 . . . . . 6 |- ( ( ( N e. Fin /\ R e. CRing /\ M e. B ) /\ ( s e. NN /\ b e. ( B ^m ( 0 ... s ) ) ) ) -> ( i e. ( 1 ... s ) |-> ( ( i .^ X ) .x. ( G ` i ) ) ) = ( i e. ( 1 ... s ) |-> ( ( i .^ X ) .x. ( ( T ` ( b ` ( i - 1 ) ) ) .- ( ( T ` M ) .X. ( T ` ( b ` i ) ) ) ) ) ) )
191190oveq2d 6666 . . . . 5 |- ( ( ( N e. Fin /\ R e. CRing /\ M e. B ) /\ ( s e. NN /\ b e. ( B ^m ( 0 ... s ) ) ) ) -> ( Y gsumg ( i e. ( 1 ... s ) |-> ( ( i .^ X ) .x. ( G ` i ) ) ) ) = ( Y gsumg ( i e. ( 1 ... s ) |-> ( ( i .^ X ) .x. ( ( T ` ( b ` ( i - 1 ) ) ) .- ( ( T ` M ) .X. ( T ` ( b ` i ) ) ) ) ) ) ) )
19225a1i 11 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( N e. Fin /\ R e. CRing /\ M e. B ) /\ ( s e. NN /\ b e. ( B ^m ( 0 ... s ) ) ) ) -> G = ( n e. NN0 |-> if ( n = 0 , ( .0. .- ( ( T ` M ) .X. ( T ` ( b ` 0 ) ) ) ) , if ( n = ( s + 1 ) , ( T ` ( b ` s ) ) , if ( ( s + 1 ) < n , .0. , ( ( T ` ( b ` ( n - 1 ) ) ) .- ( ( T ` M ) .X. ( T ` ( b ` n ) ) ) ) ) ) ) ) )
193 nn0p1gt0 11322 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( s e. NN0 -> 0 < ( s + 1 ) )
194 0red 10041 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( s e. NN0 -> 0 e. RR )
195 ltne 10134 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( 0 e. RR /\ 0 < ( s + 1 ) ) -> ( s + 1 ) =/= 0 )
196194, 195sylan 488 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( s e. NN0 /\ 0 < ( s + 1 ) ) -> ( s + 1 ) =/= 0 )
197 neeq1 2856 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( n = ( s + 1 ) -> ( n =/= 0 <-> ( s + 1 ) =/= 0 ) )
198196, 197syl5ibrcom 237 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( s e. NN0 /\ 0 < ( s + 1 ) ) -> ( n = ( s + 1 ) -> n =/= 0 ) )
199193, 198mpdan 702 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( s e. NN0 -> ( n = ( s + 1 ) -> n =/= 0 ) )
20034, 199syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( s e. NN -> ( n = ( s + 1 ) -> n =/= 0 ) )
201200ad2antrl 764 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( N e. Fin /\ R e. CRing /\ M e. B ) /\ ( s e. NN /\ b e. ( B ^m ( 0 ... s ) ) ) ) -> ( n = ( s + 1 ) -> n =/= 0 ) )
202201imp 445 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. CRing /\ M e. B ) /\ ( s e. NN /\ b e. ( B ^m ( 0 ... s ) ) ) ) /\ n = ( s + 1 ) ) -> n =/= 0 )
203 eqneqall 2805 . . . . . . . . . . 11 |- ( n = 0 -> ( n =/= 0 -> ( .0. .- ( ( T ` M ) .X. ( T ` ( b ` 0 ) ) ) ) = ( T ` ( b ` s ) ) ) )
204202, 203mpan9 486 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. CRing /\ M e. B ) /\ ( s e. NN /\ b e. ( B ^m ( 0 ... s ) ) ) ) /\ n = ( s + 1 ) ) /\ n = 0 ) -> ( .0. .- ( ( T ` M ) .X. ( T ` ( b ` 0 ) ) ) ) = ( T ` ( b ` s ) ) )
205 iftrue 4092 . . . . . . . . . . 11 |- ( n = ( s + 1 ) -> if ( n = ( s + 1 ) , ( T ` ( b ` s ) ) , if ( ( s + 1 ) < n , .0. , ( ( T ` ( b ` ( n - 1 ) ) ) .- ( ( T ` M ) .X. ( T ` ( b ` n ) ) ) ) ) ) = ( T ` ( b ` s ) ) )
206205ad2antlr 763 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. CRing /\ M e. B ) /\ ( s e. NN /\ b e. ( B ^m ( 0 ... s ) ) ) ) /\ n = ( s + 1 ) ) /\ -. n = 0 ) -> if ( n = ( s + 1 ) , ( T ` ( b ` s ) ) , if ( ( s + 1 ) < n , .0. , ( ( T ` ( b ` ( n - 1 ) ) ) .- ( ( T ` M ) .X. ( T ` ( b ` n ) ) ) ) ) ) = ( T ` ( b ` s ) ) )
207204, 206ifeqda 4121 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. CRing /\ M e. B ) /\ ( s e. NN /\ b e. ( B ^m ( 0 ... s ) ) ) ) /\ n = ( s + 1 ) ) -> if ( n = 0 , ( .0. .- ( ( T ` M ) .X. ( T ` ( b ` 0 ) ) ) ) , if ( n = ( s + 1 ) , ( T ` ( b ` s ) ) , if ( ( s + 1 ) < n , .0. , ( ( T ` ( b ` ( n - 1 ) ) ) .- ( ( T ` M ) .X. ( T ` ( b ` n ) ) ) ) ) ) ) = ( T ` ( b ` s ) ) )
20875, 35syl 17 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( N e. Fin /\ R e. CRing /\ M e. B ) /\ ( s e. NN /\ b e. ( B ^m ( 0 ... s ) ) ) ) -> ( s + 1 ) e. NN0 )
209 fvexd 6203 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( N e. Fin /\ R e. CRing /\ M e. B ) /\ ( s e. NN /\ b e. ( B ^m ( 0 ... s ) ) ) ) -> ( T ` ( b ` s ) ) e. _V )
210192, 207, 208, 209fvmptd 6288 . . . . . . . 8 |- ( ( ( N e. Fin /\ R e. CRing /\ M e. B ) /\ ( s e. NN /\ b e. ( B ^m ( 0 ... s ) ) ) ) -> ( G ` ( s + 1 ) ) = ( T ` ( b ` s ) ) )
211210oveq2d 6666 . . . . . . 7 |- ( ( ( N e. Fin /\ R e. CRing /\ M e. B ) /\ ( s e. NN /\ b e. ( B ^m ( 0 ... s ) ) ) ) -> ( ( ( s + 1 ) .^ X ) .x. ( G ` ( s + 1 ) ) ) = ( ( ( s + 1 ) .^ X ) .x. ( T ` ( b ` s ) ) ) )
21243ad2ant2 1083 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( N e. Fin /\ R e. CRing /\ M e. B ) -> R e. Ring )
213 eqid 2622 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( Base ` P ) = ( Base ` P )
21426, 7, 213vr1cl 19587 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( R e. Ring -> X e. ( Base ` P ) )
215212, 214syl 17 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( N e. Fin /\ R e. CRing /\ M e. B ) -> X e. ( Base ` P ) )
216 eqid 2622 . . . . . . . . . . . . . 14 |- (mulGrp ` P ) = (mulGrp ` P )
217216, 213mgpbas 18495 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( Base ` P ) = ( Base ` (mulGrp ` P ) )
218 eqid 2622 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( 1r ` P ) = ( 1r ` P )
219216, 218ringidval 18503 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( 1r ` P ) = ( 0g ` (mulGrp ` P ) )
220217, 219, 28mulg0 17546 . . . . . . . . . . . 12 |- ( X e. ( Base ` P ) -> ( 0 .^ X ) = ( 1r ` P ) )
221215, 220syl 17 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( N e. Fin /\ R e. CRing /\ M e. B ) -> ( 0 .^ X ) = ( 1r ` P ) )
2227ply1crng 19568 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( R e. CRing -> P e. CRing )
223222anim2i 593 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( N e. Fin /\ R e. CRing ) -> ( N e. Fin /\ P e. CRing ) )
2242233adant3 1081 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( N e. Fin /\ R e. CRing /\ M e. B ) -> ( N e. Fin /\ P e. CRing ) )
2258matsca2 20226 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( N e. Fin /\ P e. CRing ) -> P = (Scalar ` Y ) )
226224, 225syl 17 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( N e. Fin /\ R e. CRing /\ M e. B ) -> P = (Scalar ` Y ) )
227226fveq2d 6195 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( N e. Fin /\ R e. CRing /\ M e. B ) -> ( 1r ` P ) = ( 1r ` (Scalar ` Y ) ) )
228221, 227eqtrd 2656 . . . . . . . . . 10 |- ( ( N e. Fin /\ R e. CRing /\ M e. B ) -> ( 0 .^ X ) = ( 1r ` (Scalar ` Y ) ) )
229228adantr 481 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( N e. Fin /\ R e. CRing /\ M e. B ) /\ ( s e. NN /\ b e. ( B ^m ( 0 ... s ) ) ) ) -> ( 0 .^ X ) = ( 1r ` (Scalar ` Y ) ) )
230229oveq1d 6665 . . . . . . . 8 |- ( ( ( N e. Fin /\ R e. CRing /\ M e. B ) /\ ( s e. NN /\ b e. ( B ^m ( 0 ... s ) ) ) ) -> ( ( 0 .^ X ) .x. ( G ` 0 ) ) = ( ( 1r ` (Scalar ` Y ) ) .x. ( G ` 0 ) ) )
2317, 8pmatlmod 20499 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) -> Y e. LMod )
2324, 231sylan2 491 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( N e. Fin /\ R e. CRing ) -> Y e. LMod )
2332323adant3 1081 . . . . . . . . . 10 |- ( ( N e. Fin /\ R e. CRing /\ M e. B ) -> Y e. LMod )
234233adantr 481 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( N e. Fin /\ R e. CRing /\ M e. B ) /\ ( s e. NN /\ b e. ( B ^m ( 0 ... s ) ) ) ) -> Y e. LMod )
23520, 21, 7, 8, 22, 23, 2, 24, 25chfacfisf 20659 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring /\ M e. B ) /\ ( s e. NN /\ b e. ( B ^m ( 0 ... s ) ) ) ) -> G : NN0 --> ( Base ` Y ) )
2364, 235syl3anl2 1375 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( N e. Fin /\ R e. CRing /\ M e. B ) /\ ( s e. NN /\ b e. ( B ^m ( 0 ... s ) ) ) ) -> G : NN0 --> ( Base ` Y ) )
237236, 81ffvelrnd 6360 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( N e. Fin /\ R e. CRing /\ M e. B ) /\ ( s e. NN /\ b e. ( B ^m ( 0 ... s ) ) ) ) -> ( G ` 0 ) e. ( Base ` Y ) )
238 eqid 2622 . . . . . . . . . 10 |- (Scalar ` Y ) = (Scalar ` Y )
239 eqid 2622 . . . . . . . . . 10 |- ( 1r ` (Scalar ` Y ) ) = ( 1r ` (Scalar ` Y ) )
2401, 238, 27, 239lmodvs1 18891 . . . . . . . . 9 |- ( ( Y e. LMod /\ ( G ` 0 ) e. ( Base ` Y ) ) -> ( ( 1r ` (Scalar ` Y ) ) .x. ( G ` 0 ) ) = ( G ` 0 ) )
241234, 237, 240syl2anc 693 . . . . . . . 8 |- ( ( ( N e. Fin /\ R e. CRing /\ M e. B ) /\ ( s e. NN /\ b e. ( B ^m ( 0 ... s ) ) ) ) -> ( ( 1r ` (Scalar ` Y ) ) .x. ( G ` 0 ) ) = ( G ` 0 ) )
242 iftrue 4092 . . . . . . . . . 10 |- ( n = 0 -> if ( n = 0 , ( .0. .- ( ( T ` M ) .X. ( T ` ( b ` 0 ) ) ) ) , if ( n = ( s + 1 ) , ( T ` ( b ` s ) ) , if ( ( s + 1 ) < n , .0. , ( ( T ` ( b ` ( n - 1 ) ) ) .- ( ( T ` M ) .X. ( T ` ( b ` n ) ) ) ) ) ) ) = ( .0. .- ( ( T ` M ) .X. ( T ` ( b ` 0 ) ) ) ) )
243242adantl 482 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. CRing /\ M e. B ) /\ ( s e. NN /\ b e. ( B ^m ( 0 ... s ) ) ) ) /\ n = 0 ) -> if ( n = 0 , ( .0. .- ( ( T ` M ) .X. ( T ` ( b ` 0 ) ) ) ) , if ( n = ( s + 1 ) , ( T ` ( b ` s ) ) , if ( ( s + 1 ) < n , .0. , ( ( T ` ( b ` ( n - 1 ) ) ) .- ( ( T ` M ) .X. ( T ` ( b ` n ) ) ) ) ) ) ) = ( .0. .- ( ( T ` M ) .X. ( T ` ( b ` 0 ) ) ) ) )
244 ovexd 6680 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( N e. Fin /\ R e. CRing /\ M e. B ) /\ ( s e. NN /\ b e. ( B ^m ( 0 ... s ) ) ) ) -> ( .0. .- ( ( T ` M ) .X. ( T ` ( b ` 0 ) ) ) ) e. _V )
245192, 243, 81, 244fvmptd 6288 . . . . . . . 8 |- ( ( ( N e. Fin /\ R e. CRing /\ M e. B ) /\ ( s e. NN /\ b e. ( B ^m ( 0 ... s ) ) ) ) -> ( G ` 0 ) = ( .0. .- ( ( T ` M ) .X. ( T ` ( b ` 0 ) ) ) ) )
246230, 241, 2453eqtrd 2660 . . . . . . 7 |- ( ( ( N e. Fin /\ R e. CRing /\ M e. B ) /\ ( s e. NN /\ b e. ( B ^m ( 0 ... s ) ) ) ) -> ( ( 0 .^ X ) .x. ( G ` 0 ) ) = ( .0. .- ( ( T ` M ) .X. ( T ` ( b ` 0 ) ) ) ) )
247211, 246oveq12d 6668 . . . . . 6 |- ( ( ( N e. Fin /\ R e. CRing /\ M e. B ) /\ ( s e. NN /\ b e. ( B ^m ( 0 ... s ) ) ) ) -> ( ( ( ( s + 1 ) .^ X ) .x. ( G ` ( s + 1 ) ) ) .+ ( ( 0 .^ X ) .x. ( G ` 0 ) ) ) = ( ( ( ( s + 1 ) .^ X ) .x. ( T ` ( b ` s ) ) ) .+ ( .0. .- ( ( T ` M ) .X. ( T ` ( b ` 0 ) ) ) ) ) )
2481, 3cmncom 18209 . . . . . . 7 |- ( ( Y e. CMnd /\ ( ( 0 .^ X ) .x. ( G ` 0 ) ) e. ( Base ` Y ) /\ ( ( ( s + 1 ) .^ X ) .x. ( G ` ( s + 1 ) ) ) e. ( Base ` Y ) ) -> ( ( ( 0 .^ X ) .x. ( G ` 0 ) ) .+ ( ( ( s + 1 ) .^ X ) .x. ( G ` ( s + 1 ) ) ) ) = ( ( ( ( s + 1 ) .^ X ) .x. ( G ` ( s + 1 ) ) ) .+ ( ( 0 .^ X ) .x. ( G ` 0 ) ) ) )
24913, 83, 96, 248syl3anc 1326 . . . . . 6 |- ( ( ( N e. Fin /\ R e. CRing /\ M e. B ) /\ ( s e. NN /\ b e. ( B ^m ( 0 ... s ) ) ) ) -> ( ( ( 0 .^ X ) .x. ( G ` 0 ) ) .+ ( ( ( s + 1 ) .^ X ) .x. ( G ` ( s + 1 ) ) ) ) = ( ( ( ( s + 1 ) .^ X ) .x. ( G ` ( s + 1 ) ) ) .+ ( ( 0 .^ X ) .x. ( G ` 0 ) ) ) )
250 ringgrp 18552 . . . . . . . . 9 |- ( Y e. Ring -> Y e. Grp )
25110, 250syl 17 . . . . . . . 8 |- ( ( N e. Fin /\ R e. CRing /\ M e. B ) -> Y e. Grp )
252251adantr 481 . . . . . . 7 |- ( ( ( N e. Fin /\ R e. CRing /\ M e. B ) /\ ( s e. NN /\ b e. ( B ^m ( 0 ... s ) ) ) ) -> Y e. Grp )
253211, 96eqeltrrd 2702 . . . . . . 7 |- ( ( ( N e. Fin /\ R e. CRing /\ M e. B ) /\ ( s e. NN /\ b e. ( B ^m ( 0 ... s ) ) ) ) -> ( ( ( s + 1 ) .^ X ) .x. ( T ` ( b ` s ) ) ) e. ( Base ` Y ) )
25410adantr 481 . . . . . . . 8 |- ( ( ( N e. Fin /\ R e. CRing /\ M e. B ) /\ ( s e. NN /\ b e. ( B ^m ( 0 ... s ) ) ) ) -> Y e. Ring )
25524, 20, 21, 7, 8mat2pmatbas 20531 . . . . . . . . . 10 |- ( ( N e. Fin /\ R e. Ring /\ M e. B ) -> ( T ` M ) e. ( Base ` Y ) )
2564, 255syl3an2 1360 . . . . . . . . 9 |- ( ( N e. Fin /\ R e. CRing /\ M e. B ) -> ( T ` M ) e. ( Base ` Y ) )
257256adantr 481 . . . . . . . 8 |- ( ( ( N e. Fin /\ R e. CRing /\ M e. B ) /\ ( s e. NN /\ b e. ( B ^m ( 0 ... s ) ) ) ) -> ( T ` M ) e. ( Base ` Y ) )
258 simpl1 1064 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( N e. Fin /\ R e. CRing /\ M e. B ) /\ ( s e. NN /\ b e. ( B ^m ( 0 ... s ) ) ) ) -> N e. Fin )
259212adantr 481 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( N e. Fin /\ R e. CRing /\ M e. B ) /\ ( s e. NN /\ b e. ( B ^m ( 0 ... s ) ) ) ) -> R e. Ring )
260 elmapi 7879 . . . . . . . . . . . 12 |- ( b e. ( B ^m ( 0 ... s ) ) -> b : ( 0 ... s ) --> B )
261260adantl 482 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( s e. NN /\ b e. ( B ^m ( 0 ... s ) ) ) -> b : ( 0 ... s ) --> B )
262261adantl 482 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( N e. Fin /\ R e. CRing /\ M e. B ) /\ ( s e. NN /\ b e. ( B ^m ( 0 ... s ) ) ) ) -> b : ( 0 ... s ) --> B )
263 0elfz 12436 . . . . . . . . . . . 12 |- ( s e. NN0 -> 0 e. ( 0 ... s ) )
26434, 263syl 17 . . . . . . . . . . 11 |- ( s e. NN -> 0 e. ( 0 ... s ) )
265264ad2antrl 764 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( N e. Fin /\ R e. CRing /\ M e. B ) /\ ( s e. NN /\ b e. ( B ^m ( 0 ... s ) ) ) ) -> 0 e. ( 0 ... s ) )
266262, 265ffvelrnd 6360 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( N e. Fin /\ R e. CRing /\ M e. B ) /\ ( s e. NN /\ b e. ( B ^m ( 0 ... s ) ) ) ) -> ( b ` 0 ) e. B )
26724, 20, 21, 7, 8mat2pmatbas 20531 . . . . . . . . 9 |- ( ( N e. Fin /\ R e. Ring /\ ( b ` 0 ) e. B ) -> ( T ` ( b ` 0 ) ) e. ( Base ` Y ) )
268258, 259, 266, 267syl3anc 1326 . . . . . . . 8 |- ( ( ( N e. Fin /\ R e. CRing /\ M e. B ) /\ ( s e. NN /\ b e. ( B ^m ( 0 ... s ) ) ) ) -> ( T ` ( b ` 0 ) ) e. ( Base ` Y ) )
2691, 22ringcl 18561 . . . . . . . 8 |- ( ( Y e. Ring /\ ( T ` M ) e. ( Base ` Y ) /\ ( T ` ( b ` 0 ) ) e. ( Base ` Y ) ) -> ( ( T ` M ) .X. ( T ` ( b ` 0 ) ) ) e. ( Base ` Y ) )
270254, 257, 268, 269syl3anc 1326 . . . . . . 7 |- ( ( ( N e. Fin /\ R e. CRing /\ M e. B ) /\ ( s e. NN /\ b e. ( B ^m ( 0 ... s ) ) ) ) -> ( ( T ` M ) .X. ( T ` ( b ` 0 ) ) ) e. ( Base ` Y ) )
2711, 2, 23, 3grpsubadd0sub 17502 . . . . . . 7 |- ( ( Y e. Grp /\ ( ( ( s + 1 ) .^ X ) .x. ( T ` ( b ` s ) ) ) e. ( Base ` Y ) /\ ( ( T ` M ) .X. ( T ` ( b ` 0 ) ) ) e. ( Base ` Y ) ) -> ( ( ( ( s + 1 ) .^ X ) .x. ( T ` ( b ` s ) ) ) .- ( ( T ` M ) .X. ( T ` ( b ` 0 ) ) ) ) = ( ( ( ( s + 1 ) .^ X ) .x. ( T ` ( b ` s ) ) ) .+ ( .0. .- ( ( T ` M ) .X. ( T ` ( b ` 0 ) ) ) ) ) )
272252, 253, 270, 271syl3anc 1326 . . . . . 6 |- ( ( ( N e. Fin /\ R e. CRing /\ M e. B ) /\ ( s e. NN /\ b e. ( B ^m ( 0 ... s ) ) ) ) -> ( ( ( ( s + 1 ) .^ X ) .x. ( T ` ( b ` s ) ) ) .- ( ( T ` M ) .X. ( T ` ( b ` 0 ) ) ) ) = ( ( ( ( s + 1 ) .^ X ) .x. ( T ` ( b ` s ) ) ) .+ ( .0. .- ( ( T ` M ) .X. ( T ` ( b ` 0 ) ) ) ) ) )
273247, 249, 2723eqtr4d 2666 . . . . 5 |- ( ( ( N e. Fin /\ R e. CRing /\ M e. B ) /\ ( s e. NN /\ b e. ( B ^m ( 0 ... s ) ) ) ) -> ( ( ( 0 .^ X ) .x. ( G ` 0 ) ) .+ ( ( ( s + 1 ) .^ X ) .x. ( G ` ( s + 1 ) ) ) ) = ( ( ( ( s + 1 ) .^ X ) .x. ( T ` ( b ` s ) ) ) .- ( ( T ` M ) .X. ( T ` ( b ` 0 ) ) ) ) )
274191, 273oveq12d 6668 . . . 4 |- ( ( ( N e. Fin /\ R e. CRing /\ M e. B ) /\ ( s e. NN /\ b e. ( B ^m ( 0 ... s ) ) ) ) -> ( ( Y gsumg ( i e. ( 1 ... s ) |-> ( ( i .^ X ) .x. ( G ` i ) ) ) ) .+ ( ( ( 0 .^ X ) .x. ( G ` 0 ) ) .+ ( ( ( s + 1 ) .^ X ) .x. ( G ` ( s + 1 ) ) ) ) ) = ( ( Y gsumg ( i e. ( 1 ... s ) |-> ( ( i .^ X ) .x. ( ( T ` ( b ` ( i - 1 ) ) ) .- ( ( T ` M ) .X. ( T ` ( b ` i ) ) ) ) ) ) ) .+ ( ( ( ( s + 1 ) .^ X ) .x. ( T ` ( b ` s ) ) ) .- ( ( T ` M ) .X. ( T ` ( b ` 0 ) ) ) ) ) )
275113, 274eqtrd 2656 . . 3 |- ( ( ( N e. Fin /\ R e. CRing /\ M e. B ) /\ ( s e. NN /\ b e. ( B ^m ( 0 ... s ) ) ) ) -> ( ( ( Y gsumg ( i e. ( 1 ... s ) |-> ( ( i .^ X ) .x. ( G ` i ) ) ) ) .+ ( ( 0 .^ X ) .x. ( G ` 0 ) ) ) .+ ( ( ( s + 1 ) .^ X ) .x. ( G ` ( s + 1 ) ) ) ) = ( ( Y gsumg ( i e. ( 1 ... s ) |-> ( ( i .^ X ) .x. ( ( T ` ( b ` ( i - 1 ) ) ) .- ( ( T ` M ) .X. ( T ` ( b ` i ) ) ) ) ) ) ) .+ ( ( ( ( s + 1 ) .^ X ) .x. ( T ` ( b ` s ) ) ) .- ( ( T ` M ) .X. ( T ` ( b ` 0 ) ) ) ) ) )
27676, 102, 2753eqtrd 2660 . 2 |- ( ( ( N e. Fin /\ R e. CRing /\ M e. B ) /\ ( s e. NN /\ b e. ( B ^m ( 0 ... s ) ) ) ) -> ( Y gsumg ( i e. ( 0 ... ( s + 1 ) ) |-> ( ( i .^ X ) .x. ( G ` i ) ) ) ) = ( ( Y gsumg ( i e. ( 1 ... s ) |-> ( ( i .^ X ) .x. ( ( T ` ( b ` ( i - 1 ) ) ) .- ( ( T ` M ) .X. ( T ` ( b ` i ) ) ) ) ) ) ) .+ ( ( ( ( s + 1 ) .^ X ) .x. ( T ` ( b ` s ) ) ) .- ( ( T ` M ) .X. ( T ` ( b ` 0 ) ) ) ) ) )
27740, 74, 2763eqtrd 2660 1 |- ( ( ( N e. Fin /\ R e. CRing /\ M e. B ) /\ ( s e. NN /\ b e. ( B ^m ( 0 ... s ) ) ) ) -> ( Y gsumg ( i e. NN0 |-> ( ( i .^ X ) .x. ( G ` i ) ) ) ) = ( ( Y gsumg ( i e. ( 1 ... s ) |-> ( ( i .^ X ) .x. ( ( T ` ( b ` ( i - 1 ) ) ) .- ( ( T ` M ) .X. ( T ` ( b ` i ) ) ) ) ) ) ) .+ ( ( ( ( s + 1 ) .^ X ) .x. ( T ` ( b ` s ) ) ) .- ( ( T ` M ) .X. ( T ` ( b ` 0 ) ) ) ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 196   \/ wo 383   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   =/= wne 2794   _Vcvv 3200   u. cun 3572   i^i cin 3573   (/)c0 3915   ifcif 4086   {csn 4177   class class class wbr 4653   |-> cmpt 4729   -->wf 5884   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   ^m cmap 7857   Fincfn 7955   CCcc 9934   RRcr 9935   0cc0 9936   1c1 9937   + caddc 9939   < clt 10074   <_ cle 10075   - cmin 10266   NNcn 11020   2c2 11070   NN0cn0 11292   ZZcz 11377   ZZ>=cuz 11687   ...cfz 12326   Basecbs 15857   +g cplusg 15941   .rcmulr 15942  Scalarcsca 15944   .scvsca 15945   0gc0g 16100   gsumg cgsu 16101   Mndcmnd 17294   Grpcgrp 17422   -gcsg 17424  .gcmg 17540  CMndccmn 18193  mulGrpcmgp 18489   1rcur 18501   Ringcrg 18547   CRingccrg 18548   LModclmod 18863  var1cv1 19546  Poly1cpl1 19547   Mat cmat 20213   matToPolyMat cmat2pmat 20509
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-fal 1489  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-ot 4186  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-iin 4523  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-of 6897  df-ofr 6898  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-supp 7296  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-2o 7561  df-oadd 7564  df-er 7742  df-map 7859  df-pm 7860  df-ixp 7909  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-fsupp 8276  df-sup 8348  df-oi 8415  df-card 8765  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-4 11081  df-5 11082  df-6 11083  df-7 11084  df-8 11085  df-9 11086  df-n0 11293  df-z 11378  df-dec 11494  df-uz 11688  df-rp 11833  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-seq 12802  df-hash 13118  df-struct 15859  df-ndx 15860  df-slot 15861  df-base 15863  df-sets 15864  df-ress 15865  df-plusg 15954  df-mulr 15955  df-sca 15957  df-vsca 15958  df-ip 15959  df-tset 15960  df-ple 15961  df-ds 15964  df-hom 15966  df-cco 15967  df-0g 16102  df-gsum 16103  df-prds 16108  df-pws 16110  df-mre 16246  df-mrc 16247  df-acs 16249  df-mgm 17242  df-sgrp 17284  df-mnd 17295  df-mhm 17335  df-submnd 17336  df-grp 17425  df-minusg 17426  df-sbg 17427  df-mulg 17541  df-subg 17591  df-ghm 17658  df-cntz 17750  df-cmn 18195  df-abl 18196  df-mgp 18490  df-ur 18502  df-ring 18549  df-cring 18550  df-subrg 18778  df-lmod 18865  df-lss 18933  df-sra 19172  df-rgmod 19173  df-ascl 19314  df-psr 19356  df-mvr 19357  df-mpl 19358  df-opsr 19360  df-psr1 19550  df-vr1 19551  df-ply1 19552  df-dsmm 20076  df-frlm 20091  df-mamu 20190  df-mat 20214  df-mat2pmat 20512
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