Theorem gsumconst 18334

Description: Sum of a constant series. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Dec-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 24-Apr-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
gsumconst.b	|- B = ( Base ` G )
gsumconst.m	|- .x. = (.g ` G )

Assertion

Ref	Expression
gsumconst	|- ( ( G e. Mnd /\ A e. Fin /\ X e. B ) -> ( G gsumg ( k e. A |-> X ) ) = ( ( # ` A ) .x. X ) )

Distinct variable groups:   A, k   B, k   k, G   k, X

Allowed substitution hint:   .x. ( k)

Proof of Theorem gsumconst

Dummy variables f x are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl3 1066	. . . . 5 |- ( ( ( G e. Mnd /\ A e. Fin /\ X e. B ) /\ A = (/) ) -> X e. B )
2		gsumconst.b	. . . . . 6 |- B = ( Base ` G )
3		eqid 2622	. . . . . 6 |- ( 0g ` G ) = ( 0g ` G )
4		gsumconst.m	. . . . . 6 |- .x. = (.g ` G )
5	2, 3, 4	mulg0 17546	. . . . 5 |- ( X e. B -> ( 0 .x. X ) = ( 0g ` G ) )
6	1, 5	syl 17	. . . 4 |- ( ( ( G e. Mnd /\ A e. Fin /\ X e. B ) /\ A = (/) ) -> ( 0 .x. X ) = ( 0g ` G ) )
7		fveq2 6191	. . . . . . 7 |- ( A = (/) -> ( # ` A ) = ( # ` (/) ) )
8	7	adantl 482	. . . . . 6 |- ( ( ( G e. Mnd /\ A e. Fin /\ X e. B ) /\ A = (/) ) -> ( # ` A ) = ( # ` (/) ) )
9		hash0 13158	. . . . . 6 |- ( # ` (/) ) = 0
10	8, 9	syl6eq 2672	. . . . 5 |- ( ( ( G e. Mnd /\ A e. Fin /\ X e. B ) /\ A = (/) ) -> ( # ` A ) = 0 )
11	10	oveq1d 6665	. . . 4 |- ( ( ( G e. Mnd /\ A e. Fin /\ X e. B ) /\ A = (/) ) -> ( ( # ` A ) .x. X ) = ( 0 .x. X ) )
12		mpteq1 4737	. . . . . . . 8 |- ( A = (/) -> ( k e. A |-> X ) = ( k e. (/) |-> X ) )
13	12	adantl 482	. . . . . . 7 |- ( ( ( G e. Mnd /\ A e. Fin /\ X e. B ) /\ A = (/) ) -> ( k e. A |-> X ) = ( k e. (/) |-> X ) )
14		mpt0 6021	. . . . . . 7 |- ( k e. (/) |-> X ) = (/)
15	13, 14	syl6eq 2672	. . . . . 6 |- ( ( ( G e. Mnd /\ A e. Fin /\ X e. B ) /\ A = (/) ) -> ( k e. A |-> X ) = (/) )
16	15	oveq2d 6666	. . . . 5 |- ( ( ( G e. Mnd /\ A e. Fin /\ X e. B ) /\ A = (/) ) -> ( G gsumg ( k e. A |-> X ) ) = ( G gsumg (/) ) )
17	3	gsum0 17278	. . . . 5 |- ( G gsumg (/) ) = ( 0g ` G )
18	16, 17	syl6eq 2672	. . . 4 |- ( ( ( G e. Mnd /\ A e. Fin /\ X e. B ) /\ A = (/) ) -> ( G gsumg ( k e. A |-> X ) ) = ( 0g ` G ) )
19	6, 11, 18	3eqtr4rd 2667	. . 3 |- ( ( ( G e. Mnd /\ A e. Fin /\ X e. B ) /\ A = (/) ) -> ( G gsumg ( k e. A |-> X ) ) = ( ( # ` A ) .x. X ) )
20	19	ex 450	. 2 |- ( ( G e. Mnd /\ A e. Fin /\ X e. B ) -> ( A = (/) -> ( G gsumg ( k e. A |-> X ) ) = ( ( # ` A ) .x. X ) ) )
21		simprl 794	. . . . . . . 8 |- ( ( ( G e. Mnd /\ A e. Fin /\ X e. B ) /\ ( ( # ` A ) e. NN /\ f : ( 1 ... ( # ` A ) ) -1-1-onto-> A ) ) -> ( # ` A ) e. NN )
22		nnuz 11723	. . . . . . . 8 |- NN = ( ZZ>= ` 1 )
23	21, 22	syl6eleq 2711	. . . . . . 7 |- ( ( ( G e. Mnd /\ A e. Fin /\ X e. B ) /\ ( ( # ` A ) e. NN /\ f : ( 1 ... ( # ` A ) ) -1-1-onto-> A ) ) -> ( # ` A ) e. ( ZZ>= ` 1 ) )
24		simpr 477	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( G e. Mnd /\ A e. Fin /\ X e. B ) /\ ( ( # ` A ) e. NN /\ f : ( 1 ... ( # ` A ) ) -1-1-onto-> A ) ) /\ x e. ( 1 ... ( # ` A ) ) ) -> x e. ( 1 ... ( # ` A ) ) )
25		simpl3 1066	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( G e. Mnd /\ A e. Fin /\ X e. B ) /\ ( ( # ` A ) e. NN /\ f : ( 1 ... ( # ` A ) ) -1-1-onto-> A ) ) -> X e. B )
26	25	adantr 481	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( G e. Mnd /\ A e. Fin /\ X e. B ) /\ ( ( # ` A ) e. NN /\ f : ( 1 ... ( # ` A ) ) -1-1-onto-> A ) ) /\ x e. ( 1 ... ( # ` A ) ) ) -> X e. B )
27		eqid 2622	. . . . . . . . . 10 |- ( x e. ( 1 ... ( # ` A ) ) |-> X ) = ( x e. ( 1 ... ( # ` A ) ) |-> X )
28	27	fvmpt2 6291	. . . . . . . . 9 |- ( ( x e. ( 1 ... ( # ` A ) ) /\ X e. B ) -> ( ( x e. ( 1 ... ( # ` A ) ) |-> X ) ` x ) = X )
29	24, 26, 28	syl2anc 693	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( G e. Mnd /\ A e. Fin /\ X e. B ) /\ ( ( # ` A ) e. NN /\ f : ( 1 ... ( # ` A ) ) -1-1-onto-> A ) ) /\ x e. ( 1 ... ( # ` A ) ) ) -> ( ( x e. ( 1 ... ( # ` A ) ) |-> X ) ` x ) = X )
30		f1of 6137	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( f : ( 1 ... ( # ` A ) ) -1-1-onto-> A -> f : ( 1 ... ( # ` A ) ) --> A )
31	30	ad2antll 765	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( G e. Mnd /\ A e. Fin /\ X e. B ) /\ ( ( # ` A ) e. NN /\ f : ( 1 ... ( # ` A ) ) -1-1-onto-> A ) ) -> f : ( 1 ... ( # ` A ) ) --> A )
32	31	ffvelrnda 6359	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( G e. Mnd /\ A e. Fin /\ X e. B ) /\ ( ( # ` A ) e. NN /\ f : ( 1 ... ( # ` A ) ) -1-1-onto-> A ) ) /\ x e. ( 1 ... ( # ` A ) ) ) -> ( f ` x ) e. A )
33	31	feqmptd 6249	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( G e. Mnd /\ A e. Fin /\ X e. B ) /\ ( ( # ` A ) e. NN /\ f : ( 1 ... ( # ` A ) ) -1-1-onto-> A ) ) -> f = ( x e. ( 1 ... ( # ` A ) ) |-> ( f ` x ) ) )
34		eqidd 2623	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( G e. Mnd /\ A e. Fin /\ X e. B ) /\ ( ( # ` A ) e. NN /\ f : ( 1 ... ( # ` A ) ) -1-1-onto-> A ) ) -> ( k e. A |-> X ) = ( k e. A |-> X ) )
35		eqidd 2623	. . . . . . . . . . 11 |- ( k = ( f ` x ) -> X = X )
36	32, 33, 34, 35	fmptco 6396	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( G e. Mnd /\ A e. Fin /\ X e. B ) /\ ( ( # ` A ) e. NN /\ f : ( 1 ... ( # ` A ) ) -1-1-onto-> A ) ) -> ( ( k e. A |-> X ) o. f ) = ( x e. ( 1 ... ( # ` A ) ) |-> X ) )
37	36	fveq1d 6193	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( G e. Mnd /\ A e. Fin /\ X e. B ) /\ ( ( # ` A ) e. NN /\ f : ( 1 ... ( # ` A ) ) -1-1-onto-> A ) ) -> ( ( ( k e. A |-> X ) o. f ) ` x ) = ( ( x e. ( 1 ... ( # ` A ) ) |-> X ) ` x ) )
38	37	adantr 481	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( G e. Mnd /\ A e. Fin /\ X e. B ) /\ ( ( # ` A ) e. NN /\ f : ( 1 ... ( # ` A ) ) -1-1-onto-> A ) ) /\ x e. ( 1 ... ( # ` A ) ) ) -> ( ( ( k e. A |-> X ) o. f ) ` x ) = ( ( x e. ( 1 ... ( # ` A ) ) |-> X ) ` x ) )
39		elfznn 12370	. . . . . . . . 9 |- ( x e. ( 1 ... ( # ` A ) ) -> x e. NN )
40		fvconst2g 6467	. . . . . . . . 9 |- ( ( X e. B /\ x e. NN ) -> ( ( NN X. { X } ) ` x ) = X )
41	25, 39, 40	syl2an 494	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( G e. Mnd /\ A e. Fin /\ X e. B ) /\ ( ( # ` A ) e. NN /\ f : ( 1 ... ( # ` A ) ) -1-1-onto-> A ) ) /\ x e. ( 1 ... ( # ` A ) ) ) -> ( ( NN X. { X } ) ` x ) = X )
42	29, 38, 41	3eqtr4d 2666	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( G e. Mnd /\ A e. Fin /\ X e. B ) /\ ( ( # ` A ) e. NN /\ f : ( 1 ... ( # ` A ) ) -1-1-onto-> A ) ) /\ x e. ( 1 ... ( # ` A ) ) ) -> ( ( ( k e. A |-> X ) o. f ) ` x ) = ( ( NN X. { X } ) ` x ) )
43	23, 42	seqfveq 12825	. . . . . 6 |- ( ( ( G e. Mnd /\ A e. Fin /\ X e. B ) /\ ( ( # ` A ) e. NN /\ f : ( 1 ... ( # ` A ) ) -1-1-onto-> A ) ) -> ( seq 1 ( ( +g ` G ) , ( ( k e. A |-> X ) o. f ) ) ` ( # ` A ) ) = ( seq 1 ( ( +g ` G ) , ( NN X. { X } ) ) ` ( # ` A ) ) )
44		eqid 2622	. . . . . . 7 |- ( +g ` G ) = ( +g ` G )
45		eqid 2622	. . . . . . 7 |- (Cntz ` G ) = (Cntz ` G )
46		simpl1 1064	. . . . . . 7 |- ( ( ( G e. Mnd /\ A e. Fin /\ X e. B ) /\ ( ( # ` A ) e. NN /\ f : ( 1 ... ( # ` A ) ) -1-1-onto-> A ) ) -> G e. Mnd )
47		simpl2 1065	. . . . . . 7 |- ( ( ( G e. Mnd /\ A e. Fin /\ X e. B ) /\ ( ( # ` A ) e. NN /\ f : ( 1 ... ( # ` A ) ) -1-1-onto-> A ) ) -> A e. Fin )
48	25	adantr 481	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( G e. Mnd /\ A e. Fin /\ X e. B ) /\ ( ( # ` A ) e. NN /\ f : ( 1 ... ( # ` A ) ) -1-1-onto-> A ) ) /\ k e. A ) -> X e. B )
49		eqid 2622	. . . . . . . 8 |- ( k e. A |-> X ) = ( k e. A |-> X )
50	48, 49	fmptd 6385	. . . . . . 7 |- ( ( ( G e. Mnd /\ A e. Fin /\ X e. B ) /\ ( ( # ` A ) e. NN /\ f : ( 1 ... ( # ` A ) ) -1-1-onto-> A ) ) -> ( k e. A |-> X ) : A --> B )
51		eqidd 2623	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( G e. Mnd /\ A e. Fin /\ X e. B ) /\ ( ( # ` A ) e. NN /\ f : ( 1 ... ( # ` A ) ) -1-1-onto-> A ) ) -> ( X ( +g ` G ) X ) = ( X ( +g ` G ) X ) )
52	2, 44, 45	elcntzsn 17758	. . . . . . . . . . 11 |- ( X e. B -> ( X e. ( (Cntz ` G ) ` { X } ) <-> ( X e. B /\ ( X ( +g ` G ) X ) = ( X ( +g ` G ) X ) ) ) )
53	25, 52	syl 17	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( G e. Mnd /\ A e. Fin /\ X e. B ) /\ ( ( # ` A ) e. NN /\ f : ( 1 ... ( # ` A ) ) -1-1-onto-> A ) ) -> ( X e. ( (Cntz ` G ) ` { X } ) <-> ( X e. B /\ ( X ( +g ` G ) X ) = ( X ( +g ` G ) X ) ) ) )
54	25, 51, 53	mpbir2and 957	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( G e. Mnd /\ A e. Fin /\ X e. B ) /\ ( ( # ` A ) e. NN /\ f : ( 1 ... ( # ` A ) ) -1-1-onto-> A ) ) -> X e. ( (Cntz ` G ) ` { X } ) )
55	54	snssd 4340	. . . . . . . 8 |- ( ( ( G e. Mnd /\ A e. Fin /\ X e. B ) /\ ( ( # ` A ) e. NN /\ f : ( 1 ... ( # ` A ) ) -1-1-onto-> A ) ) -> { X } C_ ( (Cntz ` G ) ` { X } ) )
56		snidg 4206	. . . . . . . . . . . 12 |- ( X e. B -> X e. { X } )
57	25, 56	syl 17	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( G e. Mnd /\ A e. Fin /\ X e. B ) /\ ( ( # ` A ) e. NN /\ f : ( 1 ... ( # ` A ) ) -1-1-onto-> A ) ) -> X e. { X } )
58	57	adantr 481	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( G e. Mnd /\ A e. Fin /\ X e. B ) /\ ( ( # ` A ) e. NN /\ f : ( 1 ... ( # ` A ) ) -1-1-onto-> A ) ) /\ k e. A ) -> X e. { X } )
59	58, 49	fmptd 6385	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( G e. Mnd /\ A e. Fin /\ X e. B ) /\ ( ( # ` A ) e. NN /\ f : ( 1 ... ( # ` A ) ) -1-1-onto-> A ) ) -> ( k e. A |-> X ) : A --> { X } )
60		frn 6053	. . . . . . . . 9 |- ( ( k e. A |-> X ) : A --> { X } -> ran ( k e. A |-> X ) C_ { X } )
61	59, 60	syl 17	. . . . . . . 8 |- ( ( ( G e. Mnd /\ A e. Fin /\ X e. B ) /\ ( ( # ` A ) e. NN /\ f : ( 1 ... ( # ` A ) ) -1-1-onto-> A ) ) -> ran ( k e. A |-> X ) C_ { X } )
62	45	cntzidss 17770	. . . . . . . 8 |- ( ( { X } C_ ( (Cntz ` G ) ` { X } ) /\ ran ( k e. A |-> X ) C_ { X } ) -> ran ( k e. A |-> X ) C_ ( (Cntz ` G ) ` ran ( k e. A |-> X ) ) )
63	55, 61, 62	syl2anc 693	. . . . . . 7 |- ( ( ( G e. Mnd /\ A e. Fin /\ X e. B ) /\ ( ( # ` A ) e. NN /\ f : ( 1 ... ( # ` A ) ) -1-1-onto-> A ) ) -> ran ( k e. A |-> X ) C_ ( (Cntz ` G ) ` ran ( k e. A |-> X ) ) )
64		f1of1 6136	. . . . . . . 8 |- ( f : ( 1 ... ( # ` A ) ) -1-1-onto-> A -> f : ( 1 ... ( # ` A ) ) -1-1-> A )
65	64	ad2antll 765	. . . . . . 7 |- ( ( ( G e. Mnd /\ A e. Fin /\ X e. B ) /\ ( ( # ` A ) e. NN /\ f : ( 1 ... ( # ` A ) ) -1-1-onto-> A ) ) -> f : ( 1 ... ( # ` A ) ) -1-1-> A )
66		suppssdm 7308	. . . . . . . . 9 |- ( ( k e. A |-> X ) supp ( 0g ` G ) ) C_ dom ( k e. A |-> X )
67	49	dmmptss 5631	. . . . . . . . . 10 |- dom ( k e. A |-> X ) C_ A
68	67	a1i 11	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( G e. Mnd /\ A e. Fin /\ X e. B ) /\ ( ( # ` A ) e. NN /\ f : ( 1 ... ( # ` A ) ) -1-1-onto-> A ) ) -> dom ( k e. A |-> X ) C_ A )
69	66, 68	syl5ss 3614	. . . . . . . 8 |- ( ( ( G e. Mnd /\ A e. Fin /\ X e. B ) /\ ( ( # ` A ) e. NN /\ f : ( 1 ... ( # ` A ) ) -1-1-onto-> A ) ) -> ( ( k e. A |-> X ) supp ( 0g ` G ) ) C_ A )
70		f1ofo 6144	. . . . . . . . . 10 |- ( f : ( 1 ... ( # ` A ) ) -1-1-onto-> A -> f : ( 1 ... ( # ` A ) ) -onto-> A )
71		forn 6118	. . . . . . . . . 10 |- ( f : ( 1 ... ( # ` A ) ) -onto-> A -> ran f = A )
72	70, 71	syl 17	. . . . . . . . 9 |- ( f : ( 1 ... ( # ` A ) ) -1-1-onto-> A -> ran f = A )
73	72	ad2antll 765	. . . . . . . 8 |- ( ( ( G e. Mnd /\ A e. Fin /\ X e. B ) /\ ( ( # ` A ) e. NN /\ f : ( 1 ... ( # ` A ) ) -1-1-onto-> A ) ) -> ran f = A )
74	69, 73	sseqtr4d 3642	. . . . . . 7 |- ( ( ( G e. Mnd /\ A e. Fin /\ X e. B ) /\ ( ( # ` A ) e. NN /\ f : ( 1 ... ( # ` A ) ) -1-1-onto-> A ) ) -> ( ( k e. A |-> X ) supp ( 0g ` G ) ) C_ ran f )
75		eqid 2622	. . . . . . 7 |- ( ( ( k e. A |-> X ) o. f ) supp ( 0g ` G ) ) = ( ( ( k e. A |-> X ) o. f ) supp ( 0g ` G ) )
76	2, 3, 44, 45, 46, 47, 50, 63, 21, 65, 74, 75	gsumval3 18308	. . . . . 6 |- ( ( ( G e. Mnd /\ A e. Fin /\ X e. B ) /\ ( ( # ` A ) e. NN /\ f : ( 1 ... ( # ` A ) ) -1-1-onto-> A ) ) -> ( G gsumg ( k e. A |-> X ) ) = ( seq 1 ( ( +g ` G ) , ( ( k e. A |-> X ) o. f ) ) ` ( # ` A ) ) )
77		eqid 2622	. . . . . . . 8 |- seq 1 ( ( +g ` G ) , ( NN X. { X } ) ) = seq 1 ( ( +g ` G ) , ( NN X. { X } ) )
78	2, 44, 4, 77	mulgnn 17547	. . . . . . 7 |- ( ( ( # ` A ) e. NN /\ X e. B ) -> ( ( # ` A ) .x. X ) = ( seq 1 ( ( +g ` G ) , ( NN X. { X } ) ) ` ( # ` A ) ) )
79	21, 25, 78	syl2anc 693	. . . . . 6 |- ( ( ( G e. Mnd /\ A e. Fin /\ X e. B ) /\ ( ( # ` A ) e. NN /\ f : ( 1 ... ( # ` A ) ) -1-1-onto-> A ) ) -> ( ( # ` A ) .x. X ) = ( seq 1 ( ( +g ` G ) , ( NN X. { X } ) ) ` ( # ` A ) ) )
80	43, 76, 79	3eqtr4d 2666	. . . . 5 |- ( ( ( G e. Mnd /\ A e. Fin /\ X e. B ) /\ ( ( # ` A ) e. NN /\ f : ( 1 ... ( # ` A ) ) -1-1-onto-> A ) ) -> ( G gsumg ( k e. A |-> X ) ) = ( ( # ` A ) .x. X ) )
81	80	expr 643	. . . 4 |- ( ( ( G e. Mnd /\ A e. Fin /\ X e. B ) /\ ( # ` A ) e. NN ) -> ( f : ( 1 ... ( # ` A ) ) -1-1-onto-> A -> ( G gsumg ( k e. A |-> X ) ) = ( ( # ` A ) .x. X ) ) )
82	81	exlimdv 1861	. . 3 |- ( ( ( G e. Mnd /\ A e. Fin /\ X e. B ) /\ ( # ` A ) e. NN ) -> ( E. f f : ( 1 ... ( # ` A ) ) -1-1-onto-> A -> ( G gsumg ( k e. A |-> X ) ) = ( ( # ` A ) .x. X ) ) )
83	82	expimpd 629	. 2 |- ( ( G e. Mnd /\ A e. Fin /\ X e. B ) -> ( ( ( # ` A ) e. NN /\ E. f f : ( 1 ... ( # ` A ) ) -1-1-onto-> A ) -> ( G gsumg ( k e. A |-> X ) ) = ( ( # ` A ) .x. X ) ) )
84		fz1f1o 14441	. . 3 |- ( A e. Fin -> ( A = (/) \/ ( ( # ` A ) e. NN /\ E. f f : ( 1 ... ( # ` A ) ) -1-1-onto-> A ) ) )
85	84	3ad2ant2 1083	. 2 |- ( ( G e. Mnd /\ A e. Fin /\ X e. B ) -> ( A = (/) \/ ( ( # ` A ) e. NN /\ E. f f : ( 1 ... ( # ` A ) ) -1-1-onto-> A ) ) )
86	20, 83, 85	mpjaod 396	1 |- ( ( G e. Mnd /\ A e. Fin /\ X e. B ) -> ( G gsumg ( k e. A |-> X ) ) = ( ( # ` A ) .x. X ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   \/ wo 383   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   E.wex 1704   e. wcel 1990   C_ wss 3574   (/)c0 3915   {csn 4177   |-> cmpt 4729   X. cxp 5112   dom cdm 5114   ran crn 5115   o. ccom 5118   -->wf 5884   -1-1->wf1 5885   -onto->wfo 5886   -1-1-onto->wf1o 5887   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   supp csupp 7295   Fincfn 7955   0cc0 9936   1c1 9937   NNcn 11020   ZZ>=cuz 11687   ...cfz 12326   seqcseq 12801   #chash 13117   Basecbs 15857   +g cplusg 15941   0gc0g 16100   gsum_g cgsu 16101   Mndcmnd 17294  ._gcmg 17540  Cntzccntz 17748

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-supp 7296  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-oadd 7564  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-oi 8415  df-card 8765  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-nn 11021  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-seq 12802  df-hash 13118  df-0g 16102  df-gsum 16103  df-mgm 17242  df-sgrp 17284  df-mnd 17295  df-mulg 17541  df-cntz 17750

This theorem is referenced by:  gsumconstf  18335  mdetdiagid  20406  chpscmat  20647  chp0mat  20651  chpidmat  20652  tmdgsum2  21900  amgmlem  24716  lgseisenlem4  25103