Theorem hsn0elch 28105

Description: The zero subspace belongs to the set of closed subspaces of Hilbert space. (Contributed by NM, 14-Oct-1999.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
hsn0elch	|- { 0h } e. CH

Proof of Theorem hsn0elch

Dummy variables x y f are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ax-hv0cl 27860	. . . . 5 |- 0h e. ~H
2		snssi 4339	. . . . 5 |- ( 0h e. ~H -> { 0h } C_ ~H )
3	1, 2	ax-mp 5	. . . 4 |- { 0h } C_ ~H
4	1	elexi 3213	. . . . 5 |- 0h e. _V
5	4	snid 4208	. . . 4 |- 0h e. { 0h }
6	3, 5	pm3.2i 471	. . 3 |- ( { 0h } C_ ~H /\ 0h e. { 0h } )
7		velsn 4193	. . . . . 6 |- ( x e. { 0h } <-> x = 0h )
8		velsn 4193	. . . . . 6 |- ( y e. { 0h } <-> y = 0h )
9		oveq12 6659	. . . . . . . 8 |- ( ( x = 0h /\ y = 0h ) -> ( x +h y ) = ( 0h +h 0h ) )
10	1	hvaddid2i 27886	. . . . . . . 8 |- ( 0h +h 0h ) = 0h
11	9, 10	syl6eq 2672	. . . . . . 7 |- ( ( x = 0h /\ y = 0h ) -> ( x +h y ) = 0h )
12		ovex 6678	. . . . . . . 8 |- ( x +h y ) e. _V
13	12	elsn 4192	. . . . . . 7 |- ( ( x +h y ) e. { 0h } <-> ( x +h y ) = 0h )
14	11, 13	sylibr 224	. . . . . 6 |- ( ( x = 0h /\ y = 0h ) -> ( x +h y ) e. { 0h } )
15	7, 8, 14	syl2anb 496	. . . . 5 |- ( ( x e. { 0h } /\ y e. { 0h } ) -> ( x +h y ) e. { 0h } )
16	15	rgen2a 2977	. . . 4 |- A. x e. { 0h } A. y e. { 0h } ( x +h y ) e. { 0h }
17		oveq2 6658	. . . . . . . 8 |- ( y = 0h -> ( x .h y ) = ( x .h 0h ) )
18		hvmul0 27881	. . . . . . . 8 |- ( x e. CC -> ( x .h 0h ) = 0h )
19	17, 18	sylan9eqr 2678	. . . . . . 7 |- ( ( x e. CC /\ y = 0h ) -> ( x .h y ) = 0h )
20		ovex 6678	. . . . . . . 8 |- ( x .h y ) e. _V
21	20	elsn 4192	. . . . . . 7 |- ( ( x .h y ) e. { 0h } <-> ( x .h y ) = 0h )
22	19, 21	sylibr 224	. . . . . 6 |- ( ( x e. CC /\ y = 0h ) -> ( x .h y ) e. { 0h } )
23	8, 22	sylan2b 492	. . . . 5 |- ( ( x e. CC /\ y e. { 0h } ) -> ( x .h y ) e. { 0h } )
24	23	rgen2 2975	. . . 4 |- A. x e. CC A. y e. { 0h } ( x .h y ) e. { 0h }
25	16, 24	pm3.2i 471	. . 3 |- ( A. x e. { 0h } A. y e. { 0h } ( x +h y ) e. { 0h } /\ A. x e. CC A. y e. { 0h } ( x .h y ) e. { 0h } )
26		issh2 28066	. . 3 |- ( { 0h } e. SH <-> ( ( { 0h } C_ ~H /\ 0h e. { 0h } ) /\ ( A. x e. { 0h } A. y e. { 0h } ( x +h y ) e. { 0h } /\ A. x e. CC A. y e. { 0h } ( x .h y ) e. { 0h } ) ) )
27	6, 25, 26	mpbir2an 955	. 2 |- { 0h } e. SH
28	4	fconst2 6470	. . . . . 6 |- ( f : NN --> { 0h } <-> f = ( NN X. { 0h } ) )
29		hlim0 28092	. . . . . . 7 |- ( NN X. { 0h } ) ~~>v 0h
30		breq1 4656	. . . . . . 7 |- ( f = ( NN X. { 0h } ) -> ( f ~~>v 0h <-> ( NN X. { 0h } ) ~~>v 0h ) )
31	29, 30	mpbiri 248	. . . . . 6 |- ( f = ( NN X. { 0h } ) -> f ~~>v 0h )
32	28, 31	sylbi 207	. . . . 5 |- ( f : NN --> { 0h } -> f ~~>v 0h )
33		hlimuni 28095	. . . . . 6 |- ( ( f ~~>v 0h /\ f ~~>v x ) -> 0h = x )
34	33	eleq1d 2686	. . . . 5 |- ( ( f ~~>v 0h /\ f ~~>v x ) -> ( 0h e. { 0h } <-> x e. { 0h } ) )
35	32, 34	sylan 488	. . . 4 |- ( ( f : NN --> { 0h } /\ f ~~>v x ) -> ( 0h e. { 0h } <-> x e. { 0h } ) )
36	5, 35	mpbii 223	. . 3 |- ( ( f : NN --> { 0h } /\ f ~~>v x ) -> x e. { 0h } )
37	36	gen2 1723	. 2 |- A. f A. x ( ( f : NN --> { 0h } /\ f ~~>v x ) -> x e. { 0h } )
38		isch2 28080	. 2 |- ( { 0h } e. CH <-> ( { 0h } e. SH /\ A. f A. x ( ( f : NN --> { 0h } /\ f ~~>v x ) -> x e. { 0h } ) ) )
39	27, 37, 38	mpbir2an 955	1 |- { 0h } e. CH

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   A.wal 1481   = wceq 1483   e. wcel 1990   A.wral 2912   C_ wss 3574   {csn 4177   class class class wbr 4653   X. cxp 5112   -->wf 5884  (class class class)co 6650   CCcc 9934   NNcn 11020   ~Hchil 27776   +h cva 27777   .h csm 27778   0hc0v 27781   ~~>v chli 27784   SHcsh 27785   CHcch 27786

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014  ax-addf 10015  ax-mulf 10016  ax-hilex 27856  ax-hfvadd 27857  ax-hvcom 27858  ax-hvass 27859  ax-hv0cl 27860  ax-hvaddid 27861  ax-hfvmul 27862  ax-hvmulid 27863  ax-hvmulass 27864  ax-hvdistr1 27865  ax-hvdistr2 27866  ax-hvmul0 27867  ax-hfi 27936  ax-his1 27939  ax-his2 27940  ax-his3 27941  ax-his4 27942

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-er 7742  df-map 7859  df-pm 7860  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-sup 8348  df-inf 8349  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-4 11081  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-q 11789  df-rp 11833  df-xneg 11946  df-xadd 11947  df-xmul 11948  df-icc 12182  df-seq 12802  df-exp 12861  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-topgen 16104  df-psmet 19738  df-xmet 19739  df-met 19740  df-bl 19741  df-mopn 19742  df-top 20699  df-topon 20716  df-bases 20750  df-lm 21033  df-haus 21119  df-grpo 27347  df-gid 27348  df-ginv 27349  df-gdiv 27350  df-ablo 27399  df-vc 27414  df-nv 27447  df-va 27450  df-ba 27451  df-sm 27452  df-0v 27453  df-vs 27454  df-nmcv 27455  df-ims 27456  df-hnorm 27825  df-hvsub 27828  df-hlim 27829  df-sh 28064  df-ch 28078

This theorem is referenced by:  h0elch  28112  h1de2ctlem  28414