MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  iaa Structured version   Visualization version   Unicode version
Theorem iaa 24080
Description: The imaginary unit is algebraic. (Contributed by Mario Carneiro, 23-Jul-2014.)
Assertion
Ref Expression
iaa |- _i e. AA
Proof of Theorem iaa
Dummy variables f x y z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ax-icn 9995 . 2 |- _i e. CC
2 cnex 10017 . . . . . . . 8 |- CC e. _V
32a1i 11 . . . . . . 7 |- ( T. -> CC e. _V )
4 sqcl 12925 . . . . . . . 8 |- ( z e. CC -> ( z ^ 2 ) e. CC )
54adantl 482 . . . . . . 7 |- ( ( T. /\ z e. CC ) -> ( z ^ 2 ) e. CC )
6 ax-1cn 9994 . . . . . . . 8 |- 1 e. CC
76a1i 11 . . . . . . 7 |- ( ( T. /\ z e. CC ) -> 1 e. CC )
8 eqidd 2623 . . . . . . 7 |- ( T. -> ( z e. CC |-> ( z ^ 2 ) ) = ( z e. CC |-> ( z ^ 2 ) ) )
9 fconstmpt 5163 . . . . . . . 8 |- ( CC X. { 1 } ) = ( z e. CC |-> 1 )
109a1i 11 . . . . . . 7 |- ( T. -> ( CC X. { 1 } ) = ( z e. CC |-> 1 ) )
113, 5, 7, 8, 10offval2 6914 . . . . . 6 |- ( T. -> ( ( z e. CC |-> ( z ^ 2 ) ) oF + ( CC X. { 1 } ) ) = ( z e. CC |-> ( ( z ^ 2 ) + 1 ) ) )
12 zsscn 11385 . . . . . . . . 9 |- ZZ C_ CC
13 1z 11407 . . . . . . . . 9 |- 1 e. ZZ
14 2nn0 11309 . . . . . . . . 9 |- 2 e. NN0
15 plypow 23961 . . . . . . . . 9 |- ( ( ZZ C_ CC /\ 1 e. ZZ /\ 2 e. NN0 ) -> ( z e. CC |-> ( z ^ 2 ) ) e. (Poly ` ZZ ) )
1612, 13, 14, 15mp3an 1424 . . . . . . . 8 |- ( z e. CC |-> ( z ^ 2 ) ) e. (Poly ` ZZ )
1716a1i 11 . . . . . . 7 |- ( T. -> ( z e. CC |-> ( z ^ 2 ) ) e. (Poly ` ZZ ) )
18 plyconst 23962 . . . . . . . . 9 |- ( ( ZZ C_ CC /\ 1 e. ZZ ) -> ( CC X. { 1 } ) e. (Poly ` ZZ ) )
1912, 13, 18mp2an 708 . . . . . . . 8 |- ( CC X. { 1 } ) e. (Poly ` ZZ )
2019a1i 11 . . . . . . 7 |- ( T. -> ( CC X. { 1 } ) e. (Poly ` ZZ ) )
21 zaddcl 11417 . . . . . . . 8 |- ( ( x e. ZZ /\ y e. ZZ ) -> ( x + y ) e. ZZ )
2221adantl 482 . . . . . . 7 |- ( ( T. /\ ( x e. ZZ /\ y e. ZZ ) ) -> ( x + y ) e. ZZ )
2317, 20, 22plyadd 23973 . . . . . 6 |- ( T. -> ( ( z e. CC |-> ( z ^ 2 ) ) oF + ( CC X. { 1 } ) ) e. (Poly ` ZZ ) )
2411, 23eqeltrrd 2702 . . . . 5 |- ( T. -> ( z e. CC |-> ( ( z ^ 2 ) + 1 ) ) e. (Poly ` ZZ ) )
2524trud 1493 . . . 4 |- ( z e. CC |-> ( ( z ^ 2 ) + 1 ) ) e. (Poly ` ZZ )
26 0cn 10032 . . . . 5 |- 0 e. CC
27 sq0i 12956 . . . . . . . . . 10 |- ( z = 0 -> ( z ^ 2 ) = 0 )
2827oveq1d 6665 . . . . . . . . 9 |- ( z = 0 -> ( ( z ^ 2 ) + 1 ) = ( 0 + 1 ) )
29 0p1e1 11132 . . . . . . . . 9 |- ( 0 + 1 ) = 1
3028, 29syl6eq 2672 . . . . . . . 8 |- ( z = 0 -> ( ( z ^ 2 ) + 1 ) = 1 )
31 eqid 2622 . . . . . . . 8 |- ( z e. CC |-> ( ( z ^ 2 ) + 1 ) ) = ( z e. CC |-> ( ( z ^ 2 ) + 1 ) )
32 1ex 10035 . . . . . . . 8 |- 1 e. _V
3330, 31, 32fvmpt 6282 . . . . . . 7 |- ( 0 e. CC -> ( ( z e. CC |-> ( ( z ^ 2 ) + 1 ) ) ` 0 ) = 1 )
3426, 33ax-mp 5 . . . . . 6 |- ( ( z e. CC |-> ( ( z ^ 2 ) + 1 ) ) ` 0 ) = 1
35 ax-1ne0 10005 . . . . . 6 |- 1 =/= 0
3634, 35eqnetri 2864 . . . . 5 |- ( ( z e. CC |-> ( ( z ^ 2 ) + 1 ) ) ` 0 ) =/= 0
37 ne0p 23963 . . . . 5 |- ( ( 0 e. CC /\ ( ( z e. CC |-> ( ( z ^ 2 ) + 1 ) ) ` 0 ) =/= 0 ) -> ( z e. CC |-> ( ( z ^ 2 ) + 1 ) ) =/= 0p )
3826, 36, 37mp2an 708 . . . 4 |- ( z e. CC |-> ( ( z ^ 2 ) + 1 ) ) =/= 0p
39 eldifsn 4317 . . . 4 |- ( ( z e. CC |-> ( ( z ^ 2 ) + 1 ) ) e. ( (Poly ` ZZ ) \ { 0p } ) <-> ( ( z e. CC |-> ( ( z ^ 2 ) + 1 ) ) e. (Poly ` ZZ ) /\ ( z e. CC |-> ( ( z ^ 2 ) + 1 ) ) =/= 0p ) )
4025, 38, 39mpbir2an 955 . . 3 |- ( z e. CC |-> ( ( z ^ 2 ) + 1 ) ) e. ( (Poly ` ZZ ) \ { 0p } )
41 oveq1 6657 . . . . . . . 8 |- ( z = _i -> ( z ^ 2 ) = ( _i ^ 2 ) )
42 i2 12965 . . . . . . . 8 |- ( _i ^ 2 ) = -u 1
4341, 42syl6eq 2672 . . . . . . 7 |- ( z = _i -> ( z ^ 2 ) = -u 1 )
4443oveq1d 6665 . . . . . 6 |- ( z = _i -> ( ( z ^ 2 ) + 1 ) = ( -u 1 + 1 ) )
45 neg1cn 11124 . . . . . . 7 |- -u 1 e. CC
46 1pneg1e0 11129 . . . . . . 7 |- ( 1 + -u 1 ) = 0
476, 45, 46addcomli 10228 . . . . . 6 |- ( -u 1 + 1 ) = 0
4844, 47syl6eq 2672 . . . . 5 |- ( z = _i -> ( ( z ^ 2 ) + 1 ) = 0 )
49 c0ex 10034 . . . . 5 |- 0 e. _V
5048, 31, 49fvmpt 6282 . . . 4 |- ( _i e. CC -> ( ( z e. CC |-> ( ( z ^ 2 ) + 1 ) ) ` _i ) = 0 )
511, 50ax-mp 5 . . 3 |- ( ( z e. CC |-> ( ( z ^ 2 ) + 1 ) ) ` _i ) = 0
52 fveq1 6190 . . . . 5 |- ( f = ( z e. CC |-> ( ( z ^ 2 ) + 1 ) ) -> ( f ` _i ) = ( ( z e. CC |-> ( ( z ^ 2 ) + 1 ) ) ` _i ) )
5352eqeq1d 2624 . . . 4 |- ( f = ( z e. CC |-> ( ( z ^ 2 ) + 1 ) ) -> ( ( f ` _i ) = 0 <-> ( ( z e. CC |-> ( ( z ^ 2 ) + 1 ) ) ` _i ) = 0 ) )
5453rspcev 3309 . . 3 |- ( ( ( z e. CC |-> ( ( z ^ 2 ) + 1 ) ) e. ( (Poly ` ZZ ) \ { 0p } ) /\ ( ( z e. CC |-> ( ( z ^ 2 ) + 1 ) ) ` _i ) = 0 ) -> E. f e. ( (Poly ` ZZ ) \ { 0p } ) ( f ` _i ) = 0 )
5540, 51, 54mp2an 708 . 2 |- E. f e. ( (Poly ` ZZ ) \ { 0p } ) ( f ` _i ) = 0
56 elaa 24071 . 2 |- ( _i e. AA <-> ( _i e. CC /\ E. f e. ( (Poly ` ZZ ) \ { 0p } ) ( f ` _i ) = 0 ) )
571, 55, 56mpbir2an 955 1 |- _i e. AA
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   /\ wa 384   = wceq 1483   T. wtru 1484   e. wcel 1990   =/= wne 2794   E.wrex 2913   _Vcvv 3200   \ cdif 3571   C_ wss 3574   {csn 4177   |-> cmpt 4729   X. cxp 5112   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   oFcof 6895   CCcc 9934   0cc0 9936   1c1 9937   _ici 9938   + caddc 9939   -ucneg 10267   2c2 11070   NN0cn0 11292   ZZcz 11377   ^cexp 12860   0pc0p 23436  Polycply 23940   AAcaa 24069
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-fal 1489  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-of 6897  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-oadd 7564  df-er 7742  df-map 7859  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-sup 8348  df-oi 8415  df-card 8765  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-rp 11833  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-seq 12802  df-exp 12861  df-hash 13118  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-clim 14219  df-sum 14417  df-0p 23437  df-ply 23944  df-aa 24070
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator