Theorem iooiinicc 39769

Description: A closed interval expressed as the indexed intersection of open intervals. (Contributed by Glauco Siliprandi, 8-Apr-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
iooiinicc.a	|- ( ph -> A e. RR )
iooiinicc.b	|- ( ph -> B e. RR )

Assertion

Ref	Expression
iooiinicc	|- ( ph -> |^|_ n e. NN ( ( A - ( 1 / n ) ) (,) ( B + ( 1 / n ) ) ) = ( A [,] B ) )

Distinct variable groups:   A, n   B, n   ph, n

Proof of Theorem iooiinicc

Dummy variable x is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		iooiinicc.a	. . . . . 6 |- ( ph -> A e. RR )
2	1	adantr 481	. . . . 5 |- ( ( ph /\ x e. |^|_ n e. NN ( ( A - ( 1 / n ) ) (,) ( B + ( 1 / n ) ) ) ) -> A e. RR )
3		iooiinicc.b	. . . . . 6 |- ( ph -> B e. RR )
4	3	adantr 481	. . . . 5 |- ( ( ph /\ x e. |^|_ n e. NN ( ( A - ( 1 / n ) ) (,) ( B + ( 1 / n ) ) ) ) -> B e. RR )
5		1nn 11031	. . . . . . . . 9 |- 1 e. NN
6		ioossre 12235	. . . . . . . . 9 |- ( ( A - ( 1 / 1 ) ) (,) ( B + ( 1 / 1 ) ) ) C_ RR
7		oveq2 6658	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( n = 1 -> ( 1 / n ) = ( 1 / 1 ) )
8	7	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . . 12 |- ( n = 1 -> ( A - ( 1 / n ) ) = ( A - ( 1 / 1 ) ) )
9	7	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . . 12 |- ( n = 1 -> ( B + ( 1 / n ) ) = ( B + ( 1 / 1 ) ) )
10	8, 9	oveq12d 6668	. . . . . . . . . . 11 |- ( n = 1 -> ( ( A - ( 1 / n ) ) (,) ( B + ( 1 / n ) ) ) = ( ( A - ( 1 / 1 ) ) (,) ( B + ( 1 / 1 ) ) ) )
11	10	sseq1d 3632	. . . . . . . . . 10 |- ( n = 1 -> ( ( ( A - ( 1 / n ) ) (,) ( B + ( 1 / n ) ) ) C_ RR <-> ( ( A - ( 1 / 1 ) ) (,) ( B + ( 1 / 1 ) ) ) C_ RR ) )
12	11	rspcev 3309	. . . . . . . . 9 |- ( ( 1 e. NN /\ ( ( A - ( 1 / 1 ) ) (,) ( B + ( 1 / 1 ) ) ) C_ RR ) -> E. n e. NN ( ( A - ( 1 / n ) ) (,) ( B + ( 1 / n ) ) ) C_ RR )
13	5, 6, 12	mp2an 708	. . . . . . . 8 |- E. n e. NN ( ( A - ( 1 / n ) ) (,) ( B + ( 1 / n ) ) ) C_ RR
14		iinss 4571	. . . . . . . 8 |- ( E. n e. NN ( ( A - ( 1 / n ) ) (,) ( B + ( 1 / n ) ) ) C_ RR -> |^|_ n e. NN ( ( A - ( 1 / n ) ) (,) ( B + ( 1 / n ) ) ) C_ RR )
15	13, 14	ax-mp 5	. . . . . . 7 |- |^|_ n e. NN ( ( A - ( 1 / n ) ) (,) ( B + ( 1 / n ) ) ) C_ RR
16	15	a1i 11	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. |^|_ n e. NN ( ( A - ( 1 / n ) ) (,) ( B + ( 1 / n ) ) ) ) -> |^|_ n e. NN ( ( A - ( 1 / n ) ) (,) ( B + ( 1 / n ) ) ) C_ RR )
17		simpr 477	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. |^|_ n e. NN ( ( A - ( 1 / n ) ) (,) ( B + ( 1 / n ) ) ) ) -> x e. |^|_ n e. NN ( ( A - ( 1 / n ) ) (,) ( B + ( 1 / n ) ) ) )
18	16, 17	sseldd 3604	. . . . 5 |- ( ( ph /\ x e. |^|_ n e. NN ( ( A - ( 1 / n ) ) (,) ( B + ( 1 / n ) ) ) ) -> x e. RR )
19		nfv 1843	. . . . . . . 8 |- F/ n ph
20		nfcv 2764	. . . . . . . . 9 |- F/_ n x
21		nfii1 4551	. . . . . . . . 9 |- F/_ n |^|_ n e. NN ( ( A - ( 1 / n ) ) (,) ( B + ( 1 / n ) ) )
22	20, 21	nfel 2777	. . . . . . . 8 |- F/ n x e. |^|_ n e. NN ( ( A - ( 1 / n ) ) (,) ( B + ( 1 / n ) ) )
23	19, 22	nfan 1828	. . . . . . 7 |- F/ n ( ph /\ x e. |^|_ n e. NN ( ( A - ( 1 / n ) ) (,) ( B + ( 1 / n ) ) ) )
24		simpll 790	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ x e. |^|_ n e. NN ( ( A - ( 1 / n ) ) (,) ( B + ( 1 / n ) ) ) ) /\ n e. NN ) -> ph )
25		iinss2 4572	. . . . . . . . . . . 12 |- ( n e. NN -> |^|_ n e. NN ( ( A - ( 1 / n ) ) (,) ( B + ( 1 / n ) ) ) C_ ( ( A - ( 1 / n ) ) (,) ( B + ( 1 / n ) ) ) )
26	25	adantl 482	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( x e. |^|_ n e. NN ( ( A - ( 1 / n ) ) (,) ( B + ( 1 / n ) ) ) /\ n e. NN ) -> |^|_ n e. NN ( ( A - ( 1 / n ) ) (,) ( B + ( 1 / n ) ) ) C_ ( ( A - ( 1 / n ) ) (,) ( B + ( 1 / n ) ) ) )
27		simpl 473	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( x e. |^|_ n e. NN ( ( A - ( 1 / n ) ) (,) ( B + ( 1 / n ) ) ) /\ n e. NN ) -> x e. |^|_ n e. NN ( ( A - ( 1 / n ) ) (,) ( B + ( 1 / n ) ) ) )
28	26, 27	sseldd 3604	. . . . . . . . . 10 |- ( ( x e. |^|_ n e. NN ( ( A - ( 1 / n ) ) (,) ( B + ( 1 / n ) ) ) /\ n e. NN ) -> x e. ( ( A - ( 1 / n ) ) (,) ( B + ( 1 / n ) ) ) )
29	28	adantll 750	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ x e. |^|_ n e. NN ( ( A - ( 1 / n ) ) (,) ( B + ( 1 / n ) ) ) ) /\ n e. NN ) -> x e. ( ( A - ( 1 / n ) ) (,) ( B + ( 1 / n ) ) ) )
30		simpr 477	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ x e. |^|_ n e. NN ( ( A - ( 1 / n ) ) (,) ( B + ( 1 / n ) ) ) ) /\ n e. NN ) -> n e. NN )
31	1	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> A e. RR )
32	31	adantlr 751	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ x e. ( ( A - ( 1 / n ) ) (,) ( B + ( 1 / n ) ) ) ) /\ n e. NN ) -> A e. RR )
33		elioore 12205	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x e. ( ( A - ( 1 / n ) ) (,) ( B + ( 1 / n ) ) ) -> x e. RR )
34	33	adantr 481	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( x e. ( ( A - ( 1 / n ) ) (,) ( B + ( 1 / n ) ) ) /\ n e. NN ) -> x e. RR )
35		nnrecre 11057	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( n e. NN -> ( 1 / n ) e. RR )
36	35	adantl 482	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( x e. ( ( A - ( 1 / n ) ) (,) ( B + ( 1 / n ) ) ) /\ n e. NN ) -> ( 1 / n ) e. RR )
37	34, 36	readdcld 10069	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( x e. ( ( A - ( 1 / n ) ) (,) ( B + ( 1 / n ) ) ) /\ n e. NN ) -> ( x + ( 1 / n ) ) e. RR )
38	37	adantll 750	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ x e. ( ( A - ( 1 / n ) ) (,) ( B + ( 1 / n ) ) ) ) /\ n e. NN ) -> ( x + ( 1 / n ) ) e. RR )
39	35	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> ( 1 / n ) e. RR )
40	31, 39	resubcld 10458	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> ( A - ( 1 / n ) ) e. RR )
41	40	rexrd 10089	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> ( A - ( 1 / n ) ) e. RR* )
42	41	adantlr 751	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ x e. ( ( A - ( 1 / n ) ) (,) ( B + ( 1 / n ) ) ) ) /\ n e. NN ) -> ( A - ( 1 / n ) ) e. RR* )
43	3	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> B e. RR )
44	43, 39	readdcld 10069	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> ( B + ( 1 / n ) ) e. RR )
45	44	rexrd 10089	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> ( B + ( 1 / n ) ) e. RR* )
46	45	adantlr 751	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ x e. ( ( A - ( 1 / n ) ) (,) ( B + ( 1 / n ) ) ) ) /\ n e. NN ) -> ( B + ( 1 / n ) ) e. RR* )
47		simplr 792	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ x e. ( ( A - ( 1 / n ) ) (,) ( B + ( 1 / n ) ) ) ) /\ n e. NN ) -> x e. ( ( A - ( 1 / n ) ) (,) ( B + ( 1 / n ) ) ) )
48		ioogtlb 39717	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( A - ( 1 / n ) ) e. RR* /\ ( B + ( 1 / n ) ) e. RR* /\ x e. ( ( A - ( 1 / n ) ) (,) ( B + ( 1 / n ) ) ) ) -> ( A - ( 1 / n ) ) < x )
49	42, 46, 47, 48	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ x e. ( ( A - ( 1 / n ) ) (,) ( B + ( 1 / n ) ) ) ) /\ n e. NN ) -> ( A - ( 1 / n ) ) < x )
50	35	adantl 482	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ x e. ( ( A - ( 1 / n ) ) (,) ( B + ( 1 / n ) ) ) ) /\ n e. NN ) -> ( 1 / n ) e. RR )
51	34	adantll 750	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ x e. ( ( A - ( 1 / n ) ) (,) ( B + ( 1 / n ) ) ) ) /\ n e. NN ) -> x e. RR )
52	32, 50, 51	ltsubaddd 10623	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ x e. ( ( A - ( 1 / n ) ) (,) ( B + ( 1 / n ) ) ) ) /\ n e. NN ) -> ( ( A - ( 1 / n ) ) < x <-> A < ( x + ( 1 / n ) ) ) )
53	49, 52	mpbid 222	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ x e. ( ( A - ( 1 / n ) ) (,) ( B + ( 1 / n ) ) ) ) /\ n e. NN ) -> A < ( x + ( 1 / n ) ) )
54	32, 38, 53	ltled 10185	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ x e. ( ( A - ( 1 / n ) ) (,) ( B + ( 1 / n ) ) ) ) /\ n e. NN ) -> A <_ ( x + ( 1 / n ) ) )
55	24, 29, 30, 54	syl21anc 1325	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ x e. |^|_ n e. NN ( ( A - ( 1 / n ) ) (,) ( B + ( 1 / n ) ) ) ) /\ n e. NN ) -> A <_ ( x + ( 1 / n ) ) )
56	55	ex 450	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. |^|_ n e. NN ( ( A - ( 1 / n ) ) (,) ( B + ( 1 / n ) ) ) ) -> ( n e. NN -> A <_ ( x + ( 1 / n ) ) ) )
57	23, 56	ralrimi 2957	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. |^|_ n e. NN ( ( A - ( 1 / n ) ) (,) ( B + ( 1 / n ) ) ) ) -> A. n e. NN A <_ ( x + ( 1 / n ) ) )
58	2	rexrd 10089	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. |^|_ n e. NN ( ( A - ( 1 / n ) ) (,) ( B + ( 1 / n ) ) ) ) -> A e. RR* )
59	23, 58, 18	xrralrecnnle 39602	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. |^|_ n e. NN ( ( A - ( 1 / n ) ) (,) ( B + ( 1 / n ) ) ) ) -> ( A <_ x <-> A. n e. NN A <_ ( x + ( 1 / n ) ) ) )
60	57, 59	mpbird 247	. . . . 5 |- ( ( ph /\ x e. |^|_ n e. NN ( ( A - ( 1 / n ) ) (,) ( B + ( 1 / n ) ) ) ) -> A <_ x )
61	44	adantlr 751	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ x e. ( ( A - ( 1 / n ) ) (,) ( B + ( 1 / n ) ) ) ) /\ n e. NN ) -> ( B + ( 1 / n ) ) e. RR )
62		iooltub 39735	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( A - ( 1 / n ) ) e. RR* /\ ( B + ( 1 / n ) ) e. RR* /\ x e. ( ( A - ( 1 / n ) ) (,) ( B + ( 1 / n ) ) ) ) -> x < ( B + ( 1 / n ) ) )
63	42, 46, 47, 62	syl3anc 1326	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ x e. ( ( A - ( 1 / n ) ) (,) ( B + ( 1 / n ) ) ) ) /\ n e. NN ) -> x < ( B + ( 1 / n ) ) )
64	51, 61, 63	ltled 10185	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ x e. ( ( A - ( 1 / n ) ) (,) ( B + ( 1 / n ) ) ) ) /\ n e. NN ) -> x <_ ( B + ( 1 / n ) ) )
65	24, 29, 30, 64	syl21anc 1325	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ x e. |^|_ n e. NN ( ( A - ( 1 / n ) ) (,) ( B + ( 1 / n ) ) ) ) /\ n e. NN ) -> x <_ ( B + ( 1 / n ) ) )
66	65	ex 450	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. |^|_ n e. NN ( ( A - ( 1 / n ) ) (,) ( B + ( 1 / n ) ) ) ) -> ( n e. NN -> x <_ ( B + ( 1 / n ) ) ) )
67	23, 66	ralrimi 2957	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. |^|_ n e. NN ( ( A - ( 1 / n ) ) (,) ( B + ( 1 / n ) ) ) ) -> A. n e. NN x <_ ( B + ( 1 / n ) ) )
68	18	rexrd 10089	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. |^|_ n e. NN ( ( A - ( 1 / n ) ) (,) ( B + ( 1 / n ) ) ) ) -> x e. RR* )
69	23, 68, 4	xrralrecnnle 39602	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. |^|_ n e. NN ( ( A - ( 1 / n ) ) (,) ( B + ( 1 / n ) ) ) ) -> ( x <_ B <-> A. n e. NN x <_ ( B + ( 1 / n ) ) ) )
70	67, 69	mpbird 247	. . . . 5 |- ( ( ph /\ x e. |^|_ n e. NN ( ( A - ( 1 / n ) ) (,) ( B + ( 1 / n ) ) ) ) -> x <_ B )
71	2, 4, 18, 60, 70	eliccd 39726	. . . 4 |- ( ( ph /\ x e. |^|_ n e. NN ( ( A - ( 1 / n ) ) (,) ( B + ( 1 / n ) ) ) ) -> x e. ( A [,] B ) )
72	71	ralrimiva 2966	. . 3 |- ( ph -> A. x e. |^|_ n e. NN ( ( A - ( 1 / n ) ) (,) ( B + ( 1 / n ) ) ) x e. ( A [,] B ) )
73		dfss3 3592	. . 3 |- ( |^|_ n e. NN ( ( A - ( 1 / n ) ) (,) ( B + ( 1 / n ) ) ) C_ ( A [,] B ) <-> A. x e. |^|_ n e. NN ( ( A - ( 1 / n ) ) (,) ( B + ( 1 / n ) ) ) x e. ( A [,] B ) )
74	72, 73	sylibr 224	. 2 |- ( ph -> |^|_ n e. NN ( ( A - ( 1 / n ) ) (,) ( B + ( 1 / n ) ) ) C_ ( A [,] B ) )
75		1rp 11836	. . . . . . . . 9 |- 1 e. RR+
76	75	a1i 11	. . . . . . . 8 |- ( n e. NN -> 1 e. RR+ )
77		nnrp 11842	. . . . . . . 8 |- ( n e. NN -> n e. RR+ )
78	76, 77	rpdivcld 11889	. . . . . . 7 |- ( n e. NN -> ( 1 / n ) e. RR+ )
79	78	adantl 482	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> ( 1 / n ) e. RR+ )
80	31, 79	ltsubrpd 11904	. . . . 5 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> ( A - ( 1 / n ) ) < A )
81	43, 79	ltaddrpd 11905	. . . . 5 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> B < ( B + ( 1 / n ) ) )
82		iccssioo 12242	. . . . 5 |- ( ( ( ( A - ( 1 / n ) ) e. RR* /\ ( B + ( 1 / n ) ) e. RR* ) /\ ( ( A - ( 1 / n ) ) < A /\ B < ( B + ( 1 / n ) ) ) ) -> ( A [,] B ) C_ ( ( A - ( 1 / n ) ) (,) ( B + ( 1 / n ) ) ) )
83	41, 45, 80, 81, 82	syl22anc 1327	. . . 4 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> ( A [,] B ) C_ ( ( A - ( 1 / n ) ) (,) ( B + ( 1 / n ) ) ) )
84	83	ralrimiva 2966	. . 3 |- ( ph -> A. n e. NN ( A [,] B ) C_ ( ( A - ( 1 / n ) ) (,) ( B + ( 1 / n ) ) ) )
85		ssiin 4570	. . 3 |- ( ( A [,] B ) C_ |^|_ n e. NN ( ( A - ( 1 / n ) ) (,) ( B + ( 1 / n ) ) ) <-> A. n e. NN ( A [,] B ) C_ ( ( A - ( 1 / n ) ) (,) ( B + ( 1 / n ) ) ) )
86	84, 85	sylibr 224	. 2 |- ( ph -> ( A [,] B ) C_ |^|_ n e. NN ( ( A - ( 1 / n ) ) (,) ( B + ( 1 / n ) ) ) )
87	74, 86	eqssd 3620	1 |- ( ph -> |^|_ n e. NN ( ( A - ( 1 / n ) ) (,) ( B + ( 1 / n ) ) ) = ( A [,] B ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   A.wral 2912   E.wrex 2913   C_ wss 3574   |^|_ciin 4521   class class class wbr 4653  (class class class)co 6650   RRcr 9935   1c1 9937   + caddc 9939   RR*cxr 10073   < clt 10074   <_ cle 10075   - cmin 10266   / cdiv 10684   NNcn 11020   RR+crp 11832   (,)cioo 12175   [,]cicc 12178

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-iin 4523  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-sup 8348  df-inf 8349  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-q 11789  df-rp 11833  df-ioo 12179  df-icc 12182  df-fl 12593

This theorem is referenced by:  iccvonmbllem  40892