Theorem ip1i 27682

Description: Equation 6.47 of [Ponnusamy] p. 362. (Contributed by NM, 27-Apr-2007.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
ip1i.1	|- X = ( BaseSet ` U )
ip1i.2	|- G = ( +v ` U )
ip1i.4	|- S = ( .sOLD ` U )
ip1i.7	|- P = ( .iOLD ` U )
ip1i.9	|- U e. CPreHil OLD
ip1i.a	|- A e. X
ip1i.b	|- B e. X
ip1i.c	|- C e. X

Assertion

Ref	Expression
ip1i	|- ( ( ( A G B ) P C ) + ( ( A G ( -u 1 S B ) ) P C ) ) = ( 2 x. ( A P C ) )

Proof of Theorem ip1i

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ip1i.1	. 2 |- X = ( BaseSet ` U )
2		ip1i.2	. 2 |- G = ( +v ` U )
3		ip1i.4	. 2 |- S = ( .sOLD ` U )
4		ip1i.7	. 2 |- P = ( .iOLD ` U )
5		ip1i.9	. 2 |- U e. CPreHil OLD
6		ip1i.a	. 2 |- A e. X
7		ip1i.b	. 2 |- B e. X
8		ip1i.c	. 2 |- C e. X
9		eqid 2622	. 2 |- ( normCV ` U ) = ( normCV ` U )
10		ax-1cn 9994	. 2 |- 1 e. CC
11	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10	ip1ilem 27681	1 |- ( ( ( A G B ) P C ) + ( ( A G ( -u 1 S B ) ) P C ) ) = ( 2 x. ( A P C ) )

Syntax hints:   = wceq 1483   e. wcel 1990   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   1c1 9937   + caddc 9939   x. cmul 9941   -ucneg 10267   2c2 11070   +vcpv 27440   BaseSetcba 27441   .sOLDcns 27442   norm_CVcnmcv 27445   .iOLDcdip 27555   CPreHil OLDccphlo 27667

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-fal 1489  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-oadd 7564  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-sup 8348  df-oi 8415  df-card 8765  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-4 11081  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-rp 11833  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-seq 12802  df-exp 12861  df-hash 13118  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-clim 14219  df-sum 14417  df-grpo 27347  df-ablo 27399  df-vc 27414  df-nv 27447  df-va 27450  df-ba 27451  df-sm 27452  df-0v 27453  df-nmcv 27455  df-dip 27556  df-ph 27668

This theorem is referenced by:  ip2i  27683  ipdirilem  27684