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Theorem isercolllem2 14396

Description: Lemma for isercoll 14398. (Contributed by Mario Carneiro, 6-Apr-2015.)

**Hypotheses**
Ref	Expression
isercoll.z
isercoll.m
isercoll.g
isercoll.i	$/\$

**Assertion**
Ref	Expression
isercolllem2	$/\$

Distinct variable groups:

Allowed substitution hint:

(

)

Proof of Theorem isercolllem2 Dummy variables

are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfznn 12370	. . . . . . . 8
2	1	a1i 11	. . . . . . 7 $/\$
3		cnvimass 5485	. . . . . . . . 9
4		isercoll.g	. . . . . . . . . . 11
5	4	adantr 481	. . . . . . . . . 10 $/\$
6		fdm 6051	. . . . . . . . . 10
7	5, 6	syl 17	. . . . . . . . 9 $/\$
8	3, 7	syl5sseq 3653	. . . . . . . 8 $/\$
9	8	sseld 3602	. . . . . . 7 $/\$
10		id 22	. . . . . . . . . . 11
11		nnuz 11723	. . . . . . . . . . 11
12	10, 11	syl6eleq 2711	. . . . . . . . . 10
13		ltso 10118	. . . . . . . . . . . . . 14
14	13	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
15		fzfid 12772	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$
16		ffun 6048	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
17		funimacnv 5970	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
18	5, 16, 17	3syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$
19		inss1 3833	. . . . . . . . . . . . . . . 16
20	18, 19	syl6eqss 3655	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$
21		ssfi 8180	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$
22	15, 20, 21	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$
23		ssid 3624	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
24		isercoll.z	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
25		isercoll.m	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
26		isercoll.i	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 $/\$
27	24, 25, 4, 26	isercolllem1 14395	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 $/\$
28	23, 27	mpan2 707	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
29		ffn 6045	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
30		fnresdm 6000	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
31		isoeq1 6567	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
32	4, 29, 30, 31	4syl 19	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
33	28, 32	mpbid 222	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
34		isof1o 6573	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
35		f1ocnv 6149	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
36		f1ofun 6139	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
37	33, 34, 35, 36	4syl 19	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
38		df-f1 5893	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$
39	4, 37, 38	sylanbrc 698	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
40	39	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$
41		nnex 11026	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
42		ssexg 4804	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$
43	8, 41, 42	sylancl 694	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$
44		f1imaeng 8016	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$
45	40, 8, 43, 44	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$
46	45	ensymd 8007	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$
47		enfii 8177	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$
48	22, 46, 47	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
49		1nn 11031	. . . . . . . . . . . . . . . 16
50	49	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$
51		ffvelrn 6357	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$
52	4, 49, 51	sylancl 694	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
53	52, 24	syl6eleq 2711	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
54	53	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$
55		simpr 477	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$
56		elfzuzb 12336	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$
57	54, 55, 56	sylanbrc 698	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$
58	5, 29	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$
59		elpreima 6337	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$
60	58, 59	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$
61	50, 57, 60	mpbir2and 957	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$
62		ne0i 3921	. . . . . . . . . . . . . 14
63	61, 62	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
64		nnssre 11024	. . . . . . . . . . . . . 14
65	8, 64	syl6ss 3615	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
66		fisupcl 8375	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$
67	14, 48, 63, 65, 66	syl13anc 1328	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
68	8, 67	sseldd 3604	. . . . . . . . . . 11 $/\$
69	68	nnzd 11481	. . . . . . . . . 10 $/\$
70		elfz5 12334	. . . . . . . . . 10 $/\$
71	12, 69, 70	syl2anr 495	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$
72		elpreima 6337	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$
73	58, 72	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$
74	67, 73	mpbid 222	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$
75	74	simprd 479	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$
76		elfzle2 12345	. . . . . . . . . . . . . . 15
77	75, 76	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$
78	77	adantr 481	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$
79		uzssz 11707	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
80	24, 79	eqsstri 3635	. . . . . . . . . . . . . . . 16
81		zssre 11384	. . . . . . . . . . . . . . . 16
82	80, 81	sstri 3612	. . . . . . . . . . . . . . 15
83	5	ffvelrnda 6359	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$
84	82, 83	sseldi 3601	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$
85	5, 68	ffvelrnd 6360	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$
86	85	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$
87	82, 86	sseldi 3601	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$
88		eluzelz 11697	. . . . . . . . . . . . . . . 16
89	88	ad2antlr 763	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$
90	81, 89	sseldi 3601	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$
91		letr 10131	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$
92	84, 87, 90, 91	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$
93	78, 92	mpan2d 710	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$
94	33	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$
95	64	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$
96		ressxr 10083	. . . . . . . . . . . . . 14
97	95, 96	syl6ss 3615	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$
98		imassrn 5477	. . . . . . . . . . . . . . . 16
99	4	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$
100		frn 6053	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
101	99, 100	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$
102	98, 101	syl5ss 3614	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$
103	102, 82	syl6ss 3615	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$
104	103, 96	syl6ss 3615	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$
105		simpr 477	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$
106	68	adantr 481	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$
107		leisorel 13244	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
108	94, 97, 104, 105, 106, 107	syl122anc 1335	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$
109	83, 24	syl6eleq 2711	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$
110		elfz5 12334	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
111	109, 89, 110	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$
112	93, 108, 111	3imtr4d 283	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$
113		elpreima 6337	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
114	113	baibd 948	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
115	58, 114	sylan 488	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$
116	112, 115	sylibrd 249	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$
117		fimaxre2 10969	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
118	65, 48, 117	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
119		suprub 10984	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$
120	119	ex 450	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$
121	65, 63, 118, 120	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . 11 $/\$
122	121	adantr 481	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$
123	116, 122	impbid 202	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$
124	71, 123	bitrd 268	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$
125	124	ex 450	. . . . . . 7 $/\$
126	2, 9, 125	pm5.21ndd 369	. . . . . 6 $/\$
127	126	eqrdv 2620	. . . . 5 $/\$
128	127	fveq2d 6195	. . . 4 $/\$
129	68	nnnn0d 11351	. . . . 5 $/\$
130		hashfz1 13134	. . . . 5
131	129, 130	syl 17	. . . 4 $/\$
132		hashen 13135	. . . . . 6 $/\$
133	48, 22, 132	syl2anc 693	. . . . 5 $/\$
134	46, 133	mpbird 247	. . . 4 $/\$
135	128, 131, 134	3eqtr3d 2664	. . 3 $/\$
136	135	oveq2d 6666	. 2 $/\$
137	136, 127	eqtr3d 2658	1 $/\$

Colors of variables: wff setvar class

Syntax hints:

wi 4

wb 196 $/\$ wa 384 $/\$ w3a 1037

wceq 1483

wcel 1990

wne 2794

wral 2912

wrex 2913

cvv 3200

cin 3573

wss 3574

c0 3915 class class class wbr 4653

wor 5034

ccnv 5113

cdm 5114

crn 5115

cres 5116

cima 5117

wfun 5882

wfn 5883

wf 5884

wf1 5885

wf1o 5887

cfv 5888

wiso 5889 (class class class)co 6650

cen 7952

cfn 7955

csup 8346

cr 9935

c1 9937

caddc 9939

cxr 10073

clt 10074

cle 10075

cn 11020

cn0 11292

cz 11377

cuz 11687

cfz 12326

chash 13117

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1722 ax-4 1737 ax-5 1839 ax-6 1888 ax-7 1935 ax-8 1992 ax-9 1999 ax-10 2019 ax-11 2034 ax-12 2047 ax-13 2246 ax-ext 2602 ax-rep 4771 ax-sep 4781 ax-nul 4789 ax-pow 4843 ax-pr 4906 ax-un 6949 ax-cnex 9992 ax-resscn 9993 ax-1cn 9994 ax-icn 9995 ax-addcl 9996 ax-addrcl 9997 ax-mulcl 9998 ax-mulrcl 9999 ax-mulcom 10000 ax-addass 10001 ax-mulass 10002 ax-distr 10003 ax-i2m1 10004 ax-1ne0 10005 ax-1rid 10006 ax-rnegex 10007 ax-rrecex 10008 ax-cnre 10009 ax-pre-lttri 10010 ax-pre-lttrn 10011 ax-pre-ltadd 10012 ax-pre-mulgt0 10013 ax-pre-sup 10014

This theorem depends on definitions: df-bi 197 df-or 385 df-an 386 df-3or 1038 df-3an 1039 df-tru 1486 df-ex 1705 df-nf 1710 df-sb 1881 df-eu 2474 df-mo 2475 df-clab 2609 df-cleq 2615 df-clel 2618 df-nfc 2753 df-ne 2795 df-nel 2898 df-ral 2917 df-rex 2918 df-reu 2919 df-rmo 2920 df-rab 2921 df-v 3202 df-sbc 3436 df-csb 3534 df-dif 3577 df-un 3579 df-in 3581 df-ss 3588 df-pss 3590 df-nul 3916 df-if 4087 df-pw 4160 df-sn 4178 df-pr 4180 df-tp 4182 df-op 4184 df-uni 4437 df-int 4476 df-iun 4522 df-br 4654 df-opab 4713 df-mpt 4730 df-tr 4753 df-id 5024 df-eprel 5029 df-po 5035 df-so 5036 df-fr 5073 df-we 5075 df-xp 5120 df-rel 5121 df-cnv 5122 df-co 5123 df-dm 5124 df-rn 5125 df-res 5126 df-ima 5127 df-pred 5680 df-ord 5726 df-on 5727 df-lim 5728 df-suc 5729 df-iota 5851 df-fun 5890 df-fn 5891 df-f 5892 df-f1 5893 df-fo 5894 df-f1o 5895 df-fv 5896 df-isom 5897 df-riota 6611 df-ov 6653 df-oprab 6654 df-mpt2 6655 df-om 7066 df-1st 7168 df-2nd 7169 df-wrecs 7407 df-recs 7468 df-rdg 7506 df-1o 7560 df-er 7742 df-en 7956 df-dom 7957 df-sdom 7958 df-fin 7959 df-sup 8348 df-card 8765 df-pnf 10076 df-mnf 10077 df-xr 10078 df-ltxr 10079 df-le 10080 df-sub 10268 df-neg 10269 df-nn 11021 df-n0 11293 df-z 11378 df-uz 11688 df-fz 12327 df-hash 13118

This theorem is referenced by: isercolllem3 14397

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