Theorem retopon 22567

Description: The standard topology on the reals is a topology on the reals. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
retopon	|- ( topGen ` ran (,) ) e. (TopOn ` RR )

Proof of Theorem retopon

Step	Hyp	Ref	Expression
1		retop 22565	. 2 |- ( topGen ` ran (,) ) e. Top
2		uniretop 22566	. . 3 |- RR = U. ( topGen ` ran (,) )
3	2	toptopon 20722	. 2 |- ( ( topGen ` ran (,) ) e. Top <-> ( topGen ` ran (,) ) e. (TopOn ` RR ) )
4	1, 3	mpbi 220	1 |- ( topGen ` ran (,) ) e. (TopOn ` RR )

Syntax hints:   e. wcel 1990   ran crn 5115   ` cfv 5888   RRcr 9935   (,)cioo 12175   topGenctg 16098   Topctop 20698  TopOnctopon 20715

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-id 5024  df-po 5035  df-so 5036  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-ioo 12179  df-topgen 16104  df-top 20699  df-topon 20716  df-bases 20750

This theorem is referenced by:  xrtgioo  22609  reconnlem1  22629  reconn  22631  cnmpt2pc  22727  cnrehmeo  22752  bndth  22757  evth2  22759  htpycc  22779  pcocn  22817  pcohtpylem  22819  pcopt  22822  pcopt2  22823  pcoass  22824  pcorevlem  22826  circcn  29905  tpr2tp  29950  sxbrsiga  30352  cvmliftlem8  31274  knoppcnlem10  32492  knoppcnlem11  32493  poimir  33442  broucube  33443  cnambfre  33458  reheibor  33638  rfcnpre1  39178  fcnre  39184  refsumcn  39189  refsum2cnlem1  39196  climreeq  39845  islptre  39851  icccncfext  40100  stoweidlem47  40264  dirkercncflem4  40323  dirkercncf  40324  fourierdlem62  40385