Theorem isumsup2 14578

Description: An infinite sum of nonnegative terms is equal to the supremum of the partial sums. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Jun-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
isumsup.1	|- Z = ( ZZ>= ` M )
isumsup.2	|- G = seq M ( + , F )
isumsup.3	|- ( ph -> M e. ZZ )
isumsup.4	|- ( ( ph /\ k e. Z ) -> ( F ` k ) = A )
isumsup.5	|- ( ( ph /\ k e. Z ) -> A e. RR )
isumsup.6	|- ( ( ph /\ k e. Z ) -> 0 <_ A )
isumsup.7	|- ( ph -> E. x e. RR A. j e. Z ( G ` j ) <_ x )

Assertion

Ref	Expression
isumsup2	|- ( ph -> G ~~> sup ( ran G , RR , < ) )

Distinct variable groups:   x, j, A   j, k, F, x   j, M, k, x   ph, j, k   j, Z, k, x   j, G, x

Allowed substitution hints:   ph( x)   A( k)   G( k)

Proof of Theorem isumsup2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		isumsup.1	. 2 |- Z = ( ZZ>= ` M )
2		isumsup.3	. 2 |- ( ph -> M e. ZZ )
3		isumsup.4	. . . . 5 |- ( ( ph /\ k e. Z ) -> ( F ` k ) = A )
4		isumsup.5	. . . . 5 |- ( ( ph /\ k e. Z ) -> A e. RR )
5	3, 4	eqeltrd 2701	. . . 4 |- ( ( ph /\ k e. Z ) -> ( F ` k ) e. RR )
6	1, 2, 5	serfre 12830	. . 3 |- ( ph -> seq M ( + , F ) : Z --> RR )
7		isumsup.2	. . . 4 |- G = seq M ( + , F )
8	7	feq1i 6036	. . 3 |- ( G : Z --> RR <-> seq M ( + , F ) : Z --> RR )
9	6, 8	sylibr 224	. 2 |- ( ph -> G : Z --> RR )
10		simpr 477	. . . . 5 |- ( ( ph /\ j e. Z ) -> j e. Z )
11	10, 1	syl6eleq 2711	. . . 4 |- ( ( ph /\ j e. Z ) -> j e. ( ZZ>= ` M ) )
12		eluzelz 11697	. . . . 5 |- ( j e. ( ZZ>= ` M ) -> j e. ZZ )
13		uzid 11702	. . . . 5 |- ( j e. ZZ -> j e. ( ZZ>= ` j ) )
14		peano2uz 11741	. . . . 5 |- ( j e. ( ZZ>= ` j ) -> ( j + 1 ) e. ( ZZ>= ` j ) )
15	11, 12, 13, 14	4syl 19	. . . 4 |- ( ( ph /\ j e. Z ) -> ( j + 1 ) e. ( ZZ>= ` j ) )
16		simpl 473	. . . . 5 |- ( ( ph /\ j e. Z ) -> ph )
17		elfzuz 12338	. . . . . 6 |- ( k e. ( M ... ( j + 1 ) ) -> k e. ( ZZ>= ` M ) )
18	17, 1	syl6eleqr 2712	. . . . 5 |- ( k e. ( M ... ( j + 1 ) ) -> k e. Z )
19	16, 18, 5	syl2an 494	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ j e. Z ) /\ k e. ( M ... ( j + 1 ) ) ) -> ( F ` k ) e. RR )
20	1	peano2uzs 11742	. . . . . . 7 |- ( j e. Z -> ( j + 1 ) e. Z )
21	20	adantl 482	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ j e. Z ) -> ( j + 1 ) e. Z )
22		elfzuz 12338	. . . . . 6 |- ( k e. ( ( j + 1 ) ... ( j + 1 ) ) -> k e. ( ZZ>= ` ( j + 1 ) ) )
23	1	uztrn2 11705	. . . . . 6 |- ( ( ( j + 1 ) e. Z /\ k e. ( ZZ>= ` ( j + 1 ) ) ) -> k e. Z )
24	21, 22, 23	syl2an 494	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ j e. Z ) /\ k e. ( ( j + 1 ) ... ( j + 1 ) ) ) -> k e. Z )
25		isumsup.6	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ k e. Z ) -> 0 <_ A )
26	25, 3	breqtrrd 4681	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ k e. Z ) -> 0 <_ ( F ` k ) )
27	26	adantlr 751	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ j e. Z ) /\ k e. Z ) -> 0 <_ ( F ` k ) )
28	24, 27	syldan 487	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ j e. Z ) /\ k e. ( ( j + 1 ) ... ( j + 1 ) ) ) -> 0 <_ ( F ` k ) )
29	11, 15, 19, 28	sermono 12833	. . 3 |- ( ( ph /\ j e. Z ) -> ( seq M ( + , F ) ` j ) <_ ( seq M ( + , F ) ` ( j + 1 ) ) )
30	7	fveq1i 6192	. . 3 |- ( G ` j ) = ( seq M ( + , F ) ` j )
31	7	fveq1i 6192	. . 3 |- ( G ` ( j + 1 ) ) = ( seq M ( + , F ) ` ( j + 1 ) )
32	29, 30, 31	3brtr4g 4687	. 2 |- ( ( ph /\ j e. Z ) -> ( G ` j ) <_ ( G ` ( j + 1 ) ) )
33		isumsup.7	. 2 |- ( ph -> E. x e. RR A. j e. Z ( G ` j ) <_ x )
34	1, 2, 9, 32, 33	climsup 14400	1 |- ( ph -> G ~~> sup ( ran G , RR , < ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   A.wral 2912   E.wrex 2913   class class class wbr 4653   ran crn 5115   -->wf 5884   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   supcsup 8346   RRcr 9935   0cc0 9936   1c1 9937   + caddc 9939   < clt 10074   <_ cle 10075   ZZcz 11377   ZZ>=cuz 11687   ...cfz 12326   seqcseq 12801   ~~> cli 14215

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-sup 8348  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-rp 11833  df-fz 12327  df-seq 12802  df-exp 12861  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-clim 14219

This theorem is referenced by:  isumsup  14579  ovoliunlem1  23270  ioombl1lem4  23329  uniioombllem2  23351  uniioombllem6  23356  sge0isum  40644