Theorem uniioombllem2 23351

Description: Lemma for uniioombl 23357. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Mar-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 11-Dec-2016.) (Revised by AV, 13-Sep-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
uniioombl.1	|- ( ph -> F : NN --> ( <_ i^i ( RR X. RR ) ) )
uniioombl.2	|- ( ph -> Disj x e. NN ( (,) ` ( F ` x ) ) )
uniioombl.3	|- S = seq 1 ( + , ( ( abs o. - ) o. F ) )
uniioombl.a	|- A = U. ran ( (,) o. F )
uniioombl.e	|- ( ph -> ( vol* ` E ) e. RR )
uniioombl.c	|- ( ph -> C e. RR+ )
uniioombl.g	|- ( ph -> G : NN --> ( <_ i^i ( RR X. RR ) ) )
uniioombl.s	|- ( ph -> E C_ U. ran ( (,) o. G ) )
uniioombl.t	|- T = seq 1 ( + , ( ( abs o. - ) o. G ) )
uniioombl.v	|- ( ph -> sup ( ran T , RR* , < ) <_ ( ( vol* ` E ) + C ) )
uniioombllem2.h	|- H = ( z e. NN |-> ( ( (,) ` ( F ` z ) ) i^i ( (,) ` ( G ` J ) ) ) )
uniioombllem2.k	|- K = ( x e. ran (,) |-> if ( x = (/) , <. 0 , 0 >. , <.inf ( x , RR* , < ) , sup ( x , RR* , < ) >. ) )

Assertion

Ref	Expression
uniioombllem2	|- ( ( ph /\ J e. NN ) -> seq 1 ( + , ( vol* o. H ) ) ~~> ( vol* ` ( ( (,) ` ( G ` J ) ) i^i A ) ) )

Distinct variable groups:   x, z, F   x, G, z   x, K, z   x, A, z   x, C, z   x, H, z   x, J, z   ph, x, z   x, T, z

Allowed substitution hints:   S( x, z)   E( x, z)

Proof of Theorem uniioombllem2

Dummy variables n y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnuz 11723	. . 3 |- NN = ( ZZ>= ` 1 )
2		eqid 2622	. . 3 |- seq 1 ( + , ( ( abs o. - ) o. ( K o. H ) ) ) = seq 1 ( + , ( ( abs o. - ) o. ( K o. H ) ) )
3		1zzd 11408	. . 3 |- ( ( ph /\ J e. NN ) -> 1 e. ZZ )
4		eqidd 2623	. . 3 |- ( ( ( ph /\ J e. NN ) /\ n e. NN ) -> ( ( ( abs o. - ) o. ( K o. H ) ) ` n ) = ( ( ( abs o. - ) o. ( K o. H ) ) ` n ) )
5		uniioombl.1	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> F : NN --> ( <_ i^i ( RR X. RR ) ) )
6		uniioombl.2	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> Disj x e. NN ( (,) ` ( F ` x ) ) )
7		uniioombl.3	. . . . . . . . . . 11 |- S = seq 1 ( + , ( ( abs o. - ) o. F ) )
8		uniioombl.a	. . . . . . . . . . 11 |- A = U. ran ( (,) o. F )
9		uniioombl.e	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( vol* ` E ) e. RR )
10		uniioombl.c	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> C e. RR+ )
11		uniioombl.g	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> G : NN --> ( <_ i^i ( RR X. RR ) ) )
12		uniioombl.s	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> E C_ U. ran ( (,) o. G ) )
13		uniioombl.t	. . . . . . . . . . 11 |- T = seq 1 ( + , ( ( abs o. - ) o. G ) )
14		uniioombl.v	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> sup ( ran T , RR* , < ) <_ ( ( vol* ` E ) + C ) )
15	5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14	uniioombllem2a 23350	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ J e. NN ) /\ z e. NN ) -> ( ( (,) ` ( F ` z ) ) i^i ( (,) ` ( G ` J ) ) ) e. ran (,) )
16		inss2 3834	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( (,) ` ( F ` z ) ) i^i ( (,) ` ( G ` J ) ) ) C_ ( (,) ` ( G ` J ) )
17	16	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ J e. NN ) -> ( ( (,) ` ( F ` z ) ) i^i ( (,) ` ( G ` J ) ) ) C_ ( (,) ` ( G ` J ) ) )
18		inss2 3834	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( <_ i^i ( RR X. RR ) ) C_ ( RR X. RR )
19	11	ffvelrnda 6359	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ J e. NN ) -> ( G ` J ) e. ( <_ i^i ( RR X. RR ) ) )
20	18, 19	sseldi 3601	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ J e. NN ) -> ( G ` J ) e. ( RR X. RR ) )
21		1st2nd2 7205	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( G ` J ) e. ( RR X. RR ) -> ( G ` J ) = <. ( 1st ` ( G ` J ) ) , ( 2nd ` ( G ` J ) ) >. )
22	20, 21	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ J e. NN ) -> ( G ` J ) = <. ( 1st ` ( G ` J ) ) , ( 2nd ` ( G ` J ) ) >. )
23	22	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ J e. NN ) -> ( (,) ` ( G ` J ) ) = ( (,) ` <. ( 1st ` ( G ` J ) ) , ( 2nd ` ( G ` J ) ) >. ) )
24		df-ov 6653	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( 1st ` ( G ` J ) ) (,) ( 2nd ` ( G ` J ) ) ) = ( (,) ` <. ( 1st ` ( G ` J ) ) , ( 2nd ` ( G ` J ) ) >. )
25	23, 24	syl6eqr 2674	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ J e. NN ) -> ( (,) ` ( G ` J ) ) = ( ( 1st ` ( G ` J ) ) (,) ( 2nd ` ( G ` J ) ) ) )
26		ioossre 12235	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( 1st ` ( G ` J ) ) (,) ( 2nd ` ( G ` J ) ) ) C_ RR
27	25, 26	syl6eqss 3655	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ J e. NN ) -> ( (,) ` ( G ` J ) ) C_ RR )
28	25	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ J e. NN ) -> ( vol* ` ( (,) ` ( G ` J ) ) ) = ( vol* ` ( ( 1st ` ( G ` J ) ) (,) ( 2nd ` ( G ` J ) ) ) ) )
29		ovolfcl 23235	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( G : NN --> ( <_ i^i ( RR X. RR ) ) /\ J e. NN ) -> ( ( 1st ` ( G ` J ) ) e. RR /\ ( 2nd ` ( G ` J ) ) e. RR /\ ( 1st ` ( G ` J ) ) <_ ( 2nd ` ( G ` J ) ) ) )
30	11, 29	sylan 488	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ J e. NN ) -> ( ( 1st ` ( G ` J ) ) e. RR /\ ( 2nd ` ( G ` J ) ) e. RR /\ ( 1st ` ( G ` J ) ) <_ ( 2nd ` ( G ` J ) ) ) )
31		ovolioo 23336	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( 1st ` ( G ` J ) ) e. RR /\ ( 2nd ` ( G ` J ) ) e. RR /\ ( 1st ` ( G ` J ) ) <_ ( 2nd ` ( G ` J ) ) ) -> ( vol* ` ( ( 1st ` ( G ` J ) ) (,) ( 2nd ` ( G ` J ) ) ) ) = ( ( 2nd ` ( G ` J ) ) - ( 1st ` ( G ` J ) ) ) )
32	30, 31	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ J e. NN ) -> ( vol* ` ( ( 1st ` ( G ` J ) ) (,) ( 2nd ` ( G ` J ) ) ) ) = ( ( 2nd ` ( G ` J ) ) - ( 1st ` ( G ` J ) ) ) )
33	28, 32	eqtrd 2656	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ J e. NN ) -> ( vol* ` ( (,) ` ( G ` J ) ) ) = ( ( 2nd ` ( G ` J ) ) - ( 1st ` ( G ` J ) ) ) )
34	30	simp2d 1074	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ J e. NN ) -> ( 2nd ` ( G ` J ) ) e. RR )
35	30	simp1d 1073	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ J e. NN ) -> ( 1st ` ( G ` J ) ) e. RR )
36	34, 35	resubcld 10458	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ J e. NN ) -> ( ( 2nd ` ( G ` J ) ) - ( 1st ` ( G ` J ) ) ) e. RR )
37	33, 36	eqeltrd 2701	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ J e. NN ) -> ( vol* ` ( (,) ` ( G ` J ) ) ) e. RR )
38		ovolsscl 23254	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( (,) ` ( F ` z ) ) i^i ( (,) ` ( G ` J ) ) ) C_ ( (,) ` ( G ` J ) ) /\ ( (,) ` ( G ` J ) ) C_ RR /\ ( vol* ` ( (,) ` ( G ` J ) ) ) e. RR ) -> ( vol* ` ( ( (,) ` ( F ` z ) ) i^i ( (,) ` ( G ` J ) ) ) ) e. RR )
39	17, 27, 37, 38	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ J e. NN ) -> ( vol* ` ( ( (,) ` ( F ` z ) ) i^i ( (,) ` ( G ` J ) ) ) ) e. RR )
40	39	adantr 481	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ J e. NN ) /\ z e. NN ) -> ( vol* ` ( ( (,) ` ( F ` z ) ) i^i ( (,) ` ( G ` J ) ) ) ) e. RR )
41		uniioombllem2.k	. . . . . . . . . . 11 |- K = ( x e. ran (,) |-> if ( x = (/) , <. 0 , 0 >. , <.inf ( x , RR* , < ) , sup ( x , RR* , < ) >. ) )
42	41	ioorcl 23345	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( (,) ` ( F ` z ) ) i^i ( (,) ` ( G ` J ) ) ) e. ran (,) /\ ( vol* ` ( ( (,) ` ( F ` z ) ) i^i ( (,) ` ( G ` J ) ) ) ) e. RR ) -> ( K ` ( ( (,) ` ( F ` z ) ) i^i ( (,) ` ( G ` J ) ) ) ) e. ( <_ i^i ( RR X. RR ) ) )
43	15, 40, 42	syl2anc 693	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ J e. NN ) /\ z e. NN ) -> ( K ` ( ( (,) ` ( F ` z ) ) i^i ( (,) ` ( G ` J ) ) ) ) e. ( <_ i^i ( RR X. RR ) ) )
44		eqid 2622	. . . . . . . . 9 |- ( z e. NN |-> ( K ` ( ( (,) ` ( F ` z ) ) i^i ( (,) ` ( G ` J ) ) ) ) ) = ( z e. NN |-> ( K ` ( ( (,) ` ( F ` z ) ) i^i ( (,) ` ( G ` J ) ) ) ) )
45	43, 44	fmptd 6385	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ J e. NN ) -> ( z e. NN |-> ( K ` ( ( (,) ` ( F ` z ) ) i^i ( (,) ` ( G ` J ) ) ) ) ) : NN --> ( <_ i^i ( RR X. RR ) ) )
46		uniioombllem2.h	. . . . . . . . . . 11 |- H = ( z e. NN |-> ( ( (,) ` ( F ` z ) ) i^i ( (,) ` ( G ` J ) ) ) )
47	46	a1i 11	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ J e. NN ) -> H = ( z e. NN |-> ( ( (,) ` ( F ` z ) ) i^i ( (,) ` ( G ` J ) ) ) ) )
48	41	ioorf 23341	. . . . . . . . . . . 12 |- K : ran (,) --> ( <_ i^i ( RR* X. RR* ) )
49	48	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ J e. NN ) -> K : ran (,) --> ( <_ i^i ( RR* X. RR* ) ) )
50	49	feqmptd 6249	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ J e. NN ) -> K = ( y e. ran (,) |-> ( K ` y ) ) )
51		fveq2 6191	. . . . . . . . . 10 |- ( y = ( ( (,) ` ( F ` z ) ) i^i ( (,) ` ( G ` J ) ) ) -> ( K ` y ) = ( K ` ( ( (,) ` ( F ` z ) ) i^i ( (,) ` ( G ` J ) ) ) ) )
52	15, 47, 50, 51	fmptco 6396	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ J e. NN ) -> ( K o. H ) = ( z e. NN |-> ( K ` ( ( (,) ` ( F ` z ) ) i^i ( (,) ` ( G ` J ) ) ) ) ) )
53	52	feq1d 6030	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ J e. NN ) -> ( ( K o. H ) : NN --> ( <_ i^i ( RR X. RR ) ) <-> ( z e. NN |-> ( K ` ( ( (,) ` ( F ` z ) ) i^i ( (,) ` ( G ` J ) ) ) ) ) : NN --> ( <_ i^i ( RR X. RR ) ) ) )
54	45, 53	mpbird 247	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ J e. NN ) -> ( K o. H ) : NN --> ( <_ i^i ( RR X. RR ) ) )
55		eqid 2622	. . . . . . . 8 |- ( ( abs o. - ) o. ( K o. H ) ) = ( ( abs o. - ) o. ( K o. H ) )
56	55	ovolfsf 23240	. . . . . . 7 |- ( ( K o. H ) : NN --> ( <_ i^i ( RR X. RR ) ) -> ( ( abs o. - ) o. ( K o. H ) ) : NN --> ( 0 [,) +oo ) )
57	54, 56	syl 17	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ J e. NN ) -> ( ( abs o. - ) o. ( K o. H ) ) : NN --> ( 0 [,) +oo ) )
58	57	ffvelrnda 6359	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ J e. NN ) /\ n e. NN ) -> ( ( ( abs o. - ) o. ( K o. H ) ) ` n ) e. ( 0 [,) +oo ) )
59		elrege0 12278	. . . . 5 |- ( ( ( ( abs o. - ) o. ( K o. H ) ) ` n ) e. ( 0 [,) +oo ) <-> ( ( ( ( abs o. - ) o. ( K o. H ) ) ` n ) e. RR /\ 0 <_ ( ( ( abs o. - ) o. ( K o. H ) ) ` n ) ) )
60	58, 59	sylib 208	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ J e. NN ) /\ n e. NN ) -> ( ( ( ( abs o. - ) o. ( K o. H ) ) ` n ) e. RR /\ 0 <_ ( ( ( abs o. - ) o. ( K o. H ) ) ` n ) ) )
61	60	simpld 475	. . 3 |- ( ( ( ph /\ J e. NN ) /\ n e. NN ) -> ( ( ( abs o. - ) o. ( K o. H ) ) ` n ) e. RR )
62	60	simprd 479	. . 3 |- ( ( ( ph /\ J e. NN ) /\ n e. NN ) -> 0 <_ ( ( ( abs o. - ) o. ( K o. H ) ) ` n ) )
63	52	fveq1d 6193	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ J e. NN ) -> ( ( K o. H ) ` z ) = ( ( z e. NN |-> ( K ` ( ( (,) ` ( F ` z ) ) i^i ( (,) ` ( G ` J ) ) ) ) ) ` z ) )
64		fvex 6201	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( K ` ( ( (,) ` ( F ` z ) ) i^i ( (,) ` ( G ` J ) ) ) ) e. _V
65	44	fvmpt2 6291	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( z e. NN /\ ( K ` ( ( (,) ` ( F ` z ) ) i^i ( (,) ` ( G ` J ) ) ) ) e. _V ) -> ( ( z e. NN |-> ( K ` ( ( (,) ` ( F ` z ) ) i^i ( (,) ` ( G ` J ) ) ) ) ) ` z ) = ( K ` ( ( (,) ` ( F ` z ) ) i^i ( (,) ` ( G ` J ) ) ) ) )
66	64, 65	mpan2 707	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( z e. NN -> ( ( z e. NN |-> ( K ` ( ( (,) ` ( F ` z ) ) i^i ( (,) ` ( G ` J ) ) ) ) ) ` z ) = ( K ` ( ( (,) ` ( F ` z ) ) i^i ( (,) ` ( G ` J ) ) ) ) )
67	63, 66	sylan9eq 2676	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ J e. NN ) /\ z e. NN ) -> ( ( K o. H ) ` z ) = ( K ` ( ( (,) ` ( F ` z ) ) i^i ( (,) ` ( G ` J ) ) ) ) )
68	67	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ J e. NN ) /\ z e. NN ) -> ( (,) ` ( ( K o. H ) ` z ) ) = ( (,) ` ( K ` ( ( (,) ` ( F ` z ) ) i^i ( (,) ` ( G ` J ) ) ) ) ) )
69	41	ioorinv 23344	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( (,) ` ( F ` z ) ) i^i ( (,) ` ( G ` J ) ) ) e. ran (,) -> ( (,) ` ( K ` ( ( (,) ` ( F ` z ) ) i^i ( (,) ` ( G ` J ) ) ) ) ) = ( ( (,) ` ( F ` z ) ) i^i ( (,) ` ( G ` J ) ) ) )
70	15, 69	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ J e. NN ) /\ z e. NN ) -> ( (,) ` ( K ` ( ( (,) ` ( F ` z ) ) i^i ( (,) ` ( G ` J ) ) ) ) ) = ( ( (,) ` ( F ` z ) ) i^i ( (,) ` ( G ` J ) ) ) )
71	68, 70	eqtrd 2656	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ J e. NN ) /\ z e. NN ) -> ( (,) ` ( ( K o. H ) ` z ) ) = ( ( (,) ` ( F ` z ) ) i^i ( (,) ` ( G ` J ) ) ) )
72	71	ralrimiva 2966	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ J e. NN ) -> A. z e. NN ( (,) ` ( ( K o. H ) ` z ) ) = ( ( (,) ` ( F ` z ) ) i^i ( (,) ` ( G ` J ) ) ) )
73		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( z = x -> ( ( K o. H ) ` z ) = ( ( K o. H ) ` x ) )
74	73	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( z = x -> ( (,) ` ( ( K o. H ) ` z ) ) = ( (,) ` ( ( K o. H ) ` x ) ) )
75		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( z = x -> ( F ` z ) = ( F ` x ) )
76	75	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( z = x -> ( (,) ` ( F ` z ) ) = ( (,) ` ( F ` x ) ) )
77	76	ineq1d 3813	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( z = x -> ( ( (,) ` ( F ` z ) ) i^i ( (,) ` ( G ` J ) ) ) = ( ( (,) ` ( F ` x ) ) i^i ( (,) ` ( G ` J ) ) ) )
78	74, 77	eqeq12d 2637	. . . . . . . . . . . 12 |- ( z = x -> ( ( (,) ` ( ( K o. H ) ` z ) ) = ( ( (,) ` ( F ` z ) ) i^i ( (,) ` ( G ` J ) ) ) <-> ( (,) ` ( ( K o. H ) ` x ) ) = ( ( (,) ` ( F ` x ) ) i^i ( (,) ` ( G ` J ) ) ) ) )
79	78	rspccva 3308	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( A. z e. NN ( (,) ` ( ( K o. H ) ` z ) ) = ( ( (,) ` ( F ` z ) ) i^i ( (,) ` ( G ` J ) ) ) /\ x e. NN ) -> ( (,) ` ( ( K o. H ) ` x ) ) = ( ( (,) ` ( F ` x ) ) i^i ( (,) ` ( G ` J ) ) ) )
80	72, 79	sylan 488	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ J e. NN ) /\ x e. NN ) -> ( (,) ` ( ( K o. H ) ` x ) ) = ( ( (,) ` ( F ` x ) ) i^i ( (,) ` ( G ` J ) ) ) )
81		inss1 3833	. . . . . . . . . 10 |- ( ( (,) ` ( F ` x ) ) i^i ( (,) ` ( G ` J ) ) ) C_ ( (,) ` ( F ` x ) )
82	80, 81	syl6eqss 3655	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ J e. NN ) /\ x e. NN ) -> ( (,) ` ( ( K o. H ) ` x ) ) C_ ( (,) ` ( F ` x ) ) )
83	82	ralrimiva 2966	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ J e. NN ) -> A. x e. NN ( (,) ` ( ( K o. H ) ` x ) ) C_ ( (,) ` ( F ` x ) ) )
84	6	adantr 481	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ J e. NN ) -> Disj x e. NN ( (,) ` ( F ` x ) ) )
85		disjss2 4623	. . . . . . . 8 |- ( A. x e. NN ( (,) ` ( ( K o. H ) ` x ) ) C_ ( (,) ` ( F ` x ) ) -> (Disj x e. NN ( (,) ` ( F ` x ) ) -> Disj x e. NN ( (,) ` ( ( K o. H ) ` x ) ) ) )
86	83, 84, 85	sylc 65	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ J e. NN ) -> Disj x e. NN ( (,) ` ( ( K o. H ) ` x ) ) )
87	54, 86, 2	uniioovol 23347	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ J e. NN ) -> ( vol* ` U. ran ( (,) o. ( K o. H ) ) ) = sup ( ran seq 1 ( + , ( ( abs o. - ) o. ( K o. H ) ) ) , RR* , < ) )
88	70	mpteq2dva 4744	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ J e. NN ) -> ( z e. NN |-> ( (,) ` ( K ` ( ( (,) ` ( F ` z ) ) i^i ( (,) ` ( G ` J ) ) ) ) ) ) = ( z e. NN |-> ( ( (,) ` ( F ` z ) ) i^i ( (,) ` ( G ` J ) ) ) ) )
89		rexpssxrxp 10084	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( RR X. RR ) C_ ( RR* X. RR* )
90	18, 89	sstri 3612	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( <_ i^i ( RR X. RR ) ) C_ ( RR* X. RR* )
91	90, 43	sseldi 3601	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ J e. NN ) /\ z e. NN ) -> ( K ` ( ( (,) ` ( F ` z ) ) i^i ( (,) ` ( G ` J ) ) ) ) e. ( RR* X. RR* ) )
92		ioof 12271	. . . . . . . . . . . . . 14 |- (,) : ( RR* X. RR* ) --> ~P RR
93	92	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ J e. NN ) -> (,) : ( RR* X. RR* ) --> ~P RR )
94	93	feqmptd 6249	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ J e. NN ) -> (,) = ( y e. ( RR* X. RR* ) |-> ( (,) ` y ) ) )
95		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . 12 |- ( y = ( K ` ( ( (,) ` ( F ` z ) ) i^i ( (,) ` ( G ` J ) ) ) ) -> ( (,) ` y ) = ( (,) ` ( K ` ( ( (,) ` ( F ` z ) ) i^i ( (,) ` ( G ` J ) ) ) ) ) )
96	91, 52, 94, 95	fmptco 6396	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ J e. NN ) -> ( (,) o. ( K o. H ) ) = ( z e. NN |-> ( (,) ` ( K ` ( ( (,) ` ( F ` z ) ) i^i ( (,) ` ( G ` J ) ) ) ) ) ) )
97	88, 96, 47	3eqtr4d 2666	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ J e. NN ) -> ( (,) o. ( K o. H ) ) = H )
98	97	rneqd 5353	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ J e. NN ) -> ran ( (,) o. ( K o. H ) ) = ran H )
99	98	unieqd 4446	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ J e. NN ) -> U. ran ( (,) o. ( K o. H ) ) = U. ran H )
100		fvex 6201	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( (,) ` ( F ` z ) ) e. _V
101	100	inex1 4799	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( (,) ` ( F ` z ) ) i^i ( (,) ` ( G ` J ) ) ) e. _V
102	46	fvmpt2 6291	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( z e. NN /\ ( ( (,) ` ( F ` z ) ) i^i ( (,) ` ( G ` J ) ) ) e. _V ) -> ( H ` z ) = ( ( (,) ` ( F ` z ) ) i^i ( (,) ` ( G ` J ) ) ) )
103	101, 102	mpan2 707	. . . . . . . . . . . 12 |- ( z e. NN -> ( H ` z ) = ( ( (,) ` ( F ` z ) ) i^i ( (,) ` ( G ` J ) ) ) )
104		incom 3805	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( (,) ` ( F ` z ) ) i^i ( (,) ` ( G ` J ) ) ) = ( ( (,) ` ( G ` J ) ) i^i ( (,) ` ( F ` z ) ) )
105	103, 104	syl6eq 2672	. . . . . . . . . . 11 |- ( z e. NN -> ( H ` z ) = ( ( (,) ` ( G ` J ) ) i^i ( (,) ` ( F ` z ) ) ) )
106	105	iuneq2i 4539	. . . . . . . . . 10 |- U_ z e. NN ( H ` z ) = U_ z e. NN ( ( (,) ` ( G ` J ) ) i^i ( (,) ` ( F ` z ) ) )
107		iunin2 4584	. . . . . . . . . 10 |- U_ z e. NN ( ( (,) ` ( G ` J ) ) i^i ( (,) ` ( F ` z ) ) ) = ( ( (,) ` ( G ` J ) ) i^i U_ z e. NN ( (,) ` ( F ` z ) ) )
108	106, 107	eqtri 2644	. . . . . . . . 9 |- U_ z e. NN ( H ` z ) = ( ( (,) ` ( G ` J ) ) i^i U_ z e. NN ( (,) ` ( F ` z ) ) )
109	15, 46	fmptd 6385	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ J e. NN ) -> H : NN --> ran (,) )
110		ffn 6045	. . . . . . . . . . 11 |- ( H : NN --> ran (,) -> H Fn NN )
111	109, 110	syl 17	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ J e. NN ) -> H Fn NN )
112		fniunfv 6505	. . . . . . . . . 10 |- ( H Fn NN -> U_ z e. NN ( H ` z ) = U. ran H )
113	111, 112	syl 17	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ J e. NN ) -> U_ z e. NN ( H ` z ) = U. ran H )
114	108, 113	syl5eqr 2670	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ J e. NN ) -> ( ( (,) ` ( G ` J ) ) i^i U_ z e. NN ( (,) ` ( F ` z ) ) ) = U. ran H )
115	5	adantr 481	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ J e. NN ) -> F : NN --> ( <_ i^i ( RR X. RR ) ) )
116		fvco3 6275	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( F : NN --> ( <_ i^i ( RR X. RR ) ) /\ z e. NN ) -> ( ( (,) o. F ) ` z ) = ( (,) ` ( F ` z ) ) )
117	115, 116	sylan 488	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ J e. NN ) /\ z e. NN ) -> ( ( (,) o. F ) ` z ) = ( (,) ` ( F ` z ) ) )
118	117	iuneq2dv 4542	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ J e. NN ) -> U_ z e. NN ( ( (,) o. F ) ` z ) = U_ z e. NN ( (,) ` ( F ` z ) ) )
119		ffn 6045	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( (,) : ( RR* X. RR* ) --> ~P RR -> (,) Fn ( RR* X. RR* ) )
120	92, 119	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . 13 |- (,) Fn ( RR* X. RR* )
121		fss 6056	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( F : NN --> ( <_ i^i ( RR X. RR ) ) /\ ( <_ i^i ( RR X. RR ) ) C_ ( RR* X. RR* ) ) -> F : NN --> ( RR* X. RR* ) )
122	115, 90, 121	sylancl 694	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ J e. NN ) -> F : NN --> ( RR* X. RR* ) )
123		fnfco 6069	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( (,) Fn ( RR* X. RR* ) /\ F : NN --> ( RR* X. RR* ) ) -> ( (,) o. F ) Fn NN )
124	120, 122, 123	sylancr 695	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ J e. NN ) -> ( (,) o. F ) Fn NN )
125		fniunfv 6505	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( (,) o. F ) Fn NN -> U_ z e. NN ( ( (,) o. F ) ` z ) = U. ran ( (,) o. F ) )
126	124, 125	syl 17	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ J e. NN ) -> U_ z e. NN ( ( (,) o. F ) ` z ) = U. ran ( (,) o. F ) )
127	126, 8	syl6eqr 2674	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ J e. NN ) -> U_ z e. NN ( ( (,) o. F ) ` z ) = A )
128	118, 127	eqtr3d 2658	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ J e. NN ) -> U_ z e. NN ( (,) ` ( F ` z ) ) = A )
129	128	ineq2d 3814	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ J e. NN ) -> ( ( (,) ` ( G ` J ) ) i^i U_ z e. NN ( (,) ` ( F ` z ) ) ) = ( ( (,) ` ( G ` J ) ) i^i A ) )
130	99, 114, 129	3eqtr2d 2662	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ J e. NN ) -> U. ran ( (,) o. ( K o. H ) ) = ( ( (,) ` ( G ` J ) ) i^i A ) )
131	130	fveq2d 6195	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ J e. NN ) -> ( vol* ` U. ran ( (,) o. ( K o. H ) ) ) = ( vol* ` ( ( (,) ` ( G ` J ) ) i^i A ) ) )
132	87, 131	eqtr3d 2658	. . . . 5 |- ( ( ph /\ J e. NN ) -> sup ( ran seq 1 ( + , ( ( abs o. - ) o. ( K o. H ) ) ) , RR* , < ) = ( vol* ` ( ( (,) ` ( G ` J ) ) i^i A ) ) )
133		inss1 3833	. . . . . . 7 |- ( ( (,) ` ( G ` J ) ) i^i A ) C_ ( (,) ` ( G ` J ) )
134	133	a1i 11	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ J e. NN ) -> ( ( (,) ` ( G ` J ) ) i^i A ) C_ ( (,) ` ( G ` J ) ) )
135		ovolsscl 23254	. . . . . 6 |- ( ( ( ( (,) ` ( G ` J ) ) i^i A ) C_ ( (,) ` ( G ` J ) ) /\ ( (,) ` ( G ` J ) ) C_ RR /\ ( vol* ` ( (,) ` ( G ` J ) ) ) e. RR ) -> ( vol* ` ( ( (,) ` ( G ` J ) ) i^i A ) ) e. RR )
136	134, 27, 37, 135	syl3anc 1326	. . . . 5 |- ( ( ph /\ J e. NN ) -> ( vol* ` ( ( (,) ` ( G ` J ) ) i^i A ) ) e. RR )
137	132, 136	eqeltrd 2701	. . . 4 |- ( ( ph /\ J e. NN ) -> sup ( ran seq 1 ( + , ( ( abs o. - ) o. ( K o. H ) ) ) , RR* , < ) e. RR )
138	55, 2	ovolsf 23241	. . . . . . . . 9 |- ( ( K o. H ) : NN --> ( <_ i^i ( RR X. RR ) ) -> seq 1 ( + , ( ( abs o. - ) o. ( K o. H ) ) ) : NN --> ( 0 [,) +oo ) )
139	54, 138	syl 17	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ J e. NN ) -> seq 1 ( + , ( ( abs o. - ) o. ( K o. H ) ) ) : NN --> ( 0 [,) +oo ) )
140		ffn 6045	. . . . . . . 8 |- ( seq 1 ( + , ( ( abs o. - ) o. ( K o. H ) ) ) : NN --> ( 0 [,) +oo ) -> seq 1 ( + , ( ( abs o. - ) o. ( K o. H ) ) ) Fn NN )
141	139, 140	syl 17	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ J e. NN ) -> seq 1 ( + , ( ( abs o. - ) o. ( K o. H ) ) ) Fn NN )
142		fnfvelrn 6356	. . . . . . 7 |- ( ( seq 1 ( + , ( ( abs o. - ) o. ( K o. H ) ) ) Fn NN /\ y e. NN ) -> ( seq 1 ( + , ( ( abs o. - ) o. ( K o. H ) ) ) ` y ) e. ran seq 1 ( + , ( ( abs o. - ) o. ( K o. H ) ) ) )
143	141, 142	sylan 488	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ J e. NN ) /\ y e. NN ) -> ( seq 1 ( + , ( ( abs o. - ) o. ( K o. H ) ) ) ` y ) e. ran seq 1 ( + , ( ( abs o. - ) o. ( K o. H ) ) ) )
144		frn 6053	. . . . . . . . 9 |- ( seq 1 ( + , ( ( abs o. - ) o. ( K o. H ) ) ) : NN --> ( 0 [,) +oo ) -> ran seq 1 ( + , ( ( abs o. - ) o. ( K o. H ) ) ) C_ ( 0 [,) +oo ) )
145	139, 144	syl 17	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ J e. NN ) -> ran seq 1 ( + , ( ( abs o. - ) o. ( K o. H ) ) ) C_ ( 0 [,) +oo ) )
146		icossxr 12258	. . . . . . . 8 |- ( 0 [,) +oo ) C_ RR*
147	145, 146	syl6ss 3615	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ J e. NN ) -> ran seq 1 ( + , ( ( abs o. - ) o. ( K o. H ) ) ) C_ RR* )
148		supxrub 12154	. . . . . . 7 |- ( ( ran seq 1 ( + , ( ( abs o. - ) o. ( K o. H ) ) ) C_ RR* /\ ( seq 1 ( + , ( ( abs o. - ) o. ( K o. H ) ) ) ` y ) e. ran seq 1 ( + , ( ( abs o. - ) o. ( K o. H ) ) ) ) -> ( seq 1 ( + , ( ( abs o. - ) o. ( K o. H ) ) ) ` y ) <_ sup ( ran seq 1 ( + , ( ( abs o. - ) o. ( K o. H ) ) ) , RR* , < ) )
149	147, 148	sylan 488	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ J e. NN ) /\ ( seq 1 ( + , ( ( abs o. - ) o. ( K o. H ) ) ) ` y ) e. ran seq 1 ( + , ( ( abs o. - ) o. ( K o. H ) ) ) ) -> ( seq 1 ( + , ( ( abs o. - ) o. ( K o. H ) ) ) ` y ) <_ sup ( ran seq 1 ( + , ( ( abs o. - ) o. ( K o. H ) ) ) , RR* , < ) )
150	143, 149	syldan 487	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ J e. NN ) /\ y e. NN ) -> ( seq 1 ( + , ( ( abs o. - ) o. ( K o. H ) ) ) ` y ) <_ sup ( ran seq 1 ( + , ( ( abs o. - ) o. ( K o. H ) ) ) , RR* , < ) )
151	150	ralrimiva 2966	. . . 4 |- ( ( ph /\ J e. NN ) -> A. y e. NN ( seq 1 ( + , ( ( abs o. - ) o. ( K o. H ) ) ) ` y ) <_ sup ( ran seq 1 ( + , ( ( abs o. - ) o. ( K o. H ) ) ) , RR* , < ) )
152		breq2 4657	. . . . . 6 |- ( x = sup ( ran seq 1 ( + , ( ( abs o. - ) o. ( K o. H ) ) ) , RR* , < ) -> ( ( seq 1 ( + , ( ( abs o. - ) o. ( K o. H ) ) ) ` y ) <_ x <-> ( seq 1 ( + , ( ( abs o. - ) o. ( K o. H ) ) ) ` y ) <_ sup ( ran seq 1 ( + , ( ( abs o. - ) o. ( K o. H ) ) ) , RR* , < ) ) )
153	152	ralbidv 2986	. . . . 5 |- ( x = sup ( ran seq 1 ( + , ( ( abs o. - ) o. ( K o. H ) ) ) , RR* , < ) -> ( A. y e. NN ( seq 1 ( + , ( ( abs o. - ) o. ( K o. H ) ) ) ` y ) <_ x <-> A. y e. NN ( seq 1 ( + , ( ( abs o. - ) o. ( K o. H ) ) ) ` y ) <_ sup ( ran seq 1 ( + , ( ( abs o. - ) o. ( K o. H ) ) ) , RR* , < ) ) )
154	153	rspcev 3309	. . . 4 |- ( ( sup ( ran seq 1 ( + , ( ( abs o. - ) o. ( K o. H ) ) ) , RR* , < ) e. RR /\ A. y e. NN ( seq 1 ( + , ( ( abs o. - ) o. ( K o. H ) ) ) ` y ) <_ sup ( ran seq 1 ( + , ( ( abs o. - ) o. ( K o. H ) ) ) , RR* , < ) ) -> E. x e. RR A. y e. NN ( seq 1 ( + , ( ( abs o. - ) o. ( K o. H ) ) ) ` y ) <_ x )
155	137, 151, 154	syl2anc 693	. . 3 |- ( ( ph /\ J e. NN ) -> E. x e. RR A. y e. NN ( seq 1 ( + , ( ( abs o. - ) o. ( K o. H ) ) ) ` y ) <_ x )
156	1, 2, 3, 4, 61, 62, 155	isumsup2 14578	. 2 |- ( ( ph /\ J e. NN ) -> seq 1 ( + , ( ( abs o. - ) o. ( K o. H ) ) ) ~~> sup ( ran seq 1 ( + , ( ( abs o. - ) o. ( K o. H ) ) ) , RR , < ) )
157	55	ovolfs2 23339	. . . . 5 |- ( ( K o. H ) : NN --> ( <_ i^i ( RR X. RR ) ) -> ( ( abs o. - ) o. ( K o. H ) ) = ( ( vol* o. (,) ) o. ( K o. H ) ) )
158	54, 157	syl 17	. . . 4 |- ( ( ph /\ J e. NN ) -> ( ( abs o. - ) o. ( K o. H ) ) = ( ( vol* o. (,) ) o. ( K o. H ) ) )
159		coass 5654	. . . . 5 |- ( ( vol* o. (,) ) o. ( K o. H ) ) = ( vol* o. ( (,) o. ( K o. H ) ) )
160	97	coeq2d 5284	. . . . 5 |- ( ( ph /\ J e. NN ) -> ( vol* o. ( (,) o. ( K o. H ) ) ) = ( vol* o. H ) )
161	159, 160	syl5eq 2668	. . . 4 |- ( ( ph /\ J e. NN ) -> ( ( vol* o. (,) ) o. ( K o. H ) ) = ( vol* o. H ) )
162	158, 161	eqtrd 2656	. . 3 |- ( ( ph /\ J e. NN ) -> ( ( abs o. - ) o. ( K o. H ) ) = ( vol* o. H ) )
163	162	seqeq3d 12809	. 2 |- ( ( ph /\ J e. NN ) -> seq 1 ( + , ( ( abs o. - ) o. ( K o. H ) ) ) = seq 1 ( + , ( vol* o. H ) ) )
164		rge0ssre 12280	. . . . 5 |- ( 0 [,) +oo ) C_ RR
165	145, 164	syl6ss 3615	. . . 4 |- ( ( ph /\ J e. NN ) -> ran seq 1 ( + , ( ( abs o. - ) o. ( K o. H ) ) ) C_ RR )
166		1nn 11031	. . . . . . 7 |- 1 e. NN
167		fdm 6051	. . . . . . . 8 |- ( seq 1 ( + , ( ( abs o. - ) o. ( K o. H ) ) ) : NN --> ( 0 [,) +oo ) -> dom seq 1 ( + , ( ( abs o. - ) o. ( K o. H ) ) ) = NN )
168	139, 167	syl 17	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ J e. NN ) -> dom seq 1 ( + , ( ( abs o. - ) o. ( K o. H ) ) ) = NN )
169	166, 168	syl5eleqr 2708	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ J e. NN ) -> 1 e. dom seq 1 ( + , ( ( abs o. - ) o. ( K o. H ) ) ) )
170		ne0i 3921	. . . . . 6 |- ( 1 e. dom seq 1 ( + , ( ( abs o. - ) o. ( K o. H ) ) ) -> dom seq 1 ( + , ( ( abs o. - ) o. ( K o. H ) ) ) =/= (/) )
171	169, 170	syl 17	. . . . 5 |- ( ( ph /\ J e. NN ) -> dom seq 1 ( + , ( ( abs o. - ) o. ( K o. H ) ) ) =/= (/) )
172		dm0rn0 5342	. . . . . 6 |- ( dom seq 1 ( + , ( ( abs o. - ) o. ( K o. H ) ) ) = (/) <-> ran seq 1 ( + , ( ( abs o. - ) o. ( K o. H ) ) ) = (/) )
173	172	necon3bii 2846	. . . . 5 |- ( dom seq 1 ( + , ( ( abs o. - ) o. ( K o. H ) ) ) =/= (/) <-> ran seq 1 ( + , ( ( abs o. - ) o. ( K o. H ) ) ) =/= (/) )
174	171, 173	sylib 208	. . . 4 |- ( ( ph /\ J e. NN ) -> ran seq 1 ( + , ( ( abs o. - ) o. ( K o. H ) ) ) =/= (/) )
175		breq1 4656	. . . . . . . 8 |- ( z = ( seq 1 ( + , ( ( abs o. - ) o. ( K o. H ) ) ) ` y ) -> ( z <_ x <-> ( seq 1 ( + , ( ( abs o. - ) o. ( K o. H ) ) ) ` y ) <_ x ) )
176	175	ralrn 6362	. . . . . . 7 |- ( seq 1 ( + , ( ( abs o. - ) o. ( K o. H ) ) ) Fn NN -> ( A. z e. ran seq 1 ( + , ( ( abs o. - ) o. ( K o. H ) ) ) z <_ x <-> A. y e. NN ( seq 1 ( + , ( ( abs o. - ) o. ( K o. H ) ) ) ` y ) <_ x ) )
177	141, 176	syl 17	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ J e. NN ) -> ( A. z e. ran seq 1 ( + , ( ( abs o. - ) o. ( K o. H ) ) ) z <_ x <-> A. y e. NN ( seq 1 ( + , ( ( abs o. - ) o. ( K o. H ) ) ) ` y ) <_ x ) )
178	177	rexbidv 3052	. . . . 5 |- ( ( ph /\ J e. NN ) -> ( E. x e. RR A. z e. ran seq 1 ( + , ( ( abs o. - ) o. ( K o. H ) ) ) z <_ x <-> E. x e. RR A. y e. NN ( seq 1 ( + , ( ( abs o. - ) o. ( K o. H ) ) ) ` y ) <_ x ) )
179	155, 178	mpbird 247	. . . 4 |- ( ( ph /\ J e. NN ) -> E. x e. RR A. z e. ran seq 1 ( + , ( ( abs o. - ) o. ( K o. H ) ) ) z <_ x )
180		supxrre 12157	. . . 4 |- ( ( ran seq 1 ( + , ( ( abs o. - ) o. ( K o. H ) ) ) C_ RR /\ ran seq 1 ( + , ( ( abs o. - ) o. ( K o. H ) ) ) =/= (/) /\ E. x e. RR A. z e. ran seq 1 ( + , ( ( abs o. - ) o. ( K o. H ) ) ) z <_ x ) -> sup ( ran seq 1 ( + , ( ( abs o. - ) o. ( K o. H ) ) ) , RR* , < ) = sup ( ran seq 1 ( + , ( ( abs o. - ) o. ( K o. H ) ) ) , RR , < ) )
181	165, 174, 179, 180	syl3anc 1326	. . 3 |- ( ( ph /\ J e. NN ) -> sup ( ran seq 1 ( + , ( ( abs o. - ) o. ( K o. H ) ) ) , RR* , < ) = sup ( ran seq 1 ( + , ( ( abs o. - ) o. ( K o. H ) ) ) , RR , < ) )
182	181, 132	eqtr3d 2658	. 2 |- ( ( ph /\ J e. NN ) -> sup ( ran seq 1 ( + , ( ( abs o. - ) o. ( K o. H ) ) ) , RR , < ) = ( vol* ` ( ( (,) ` ( G ` J ) ) i^i A ) ) )
183	156, 163, 182	3brtr3d 4684	1 |- ( ( ph /\ J e. NN ) -> seq 1 ( + , ( vol* o. H ) ) ~~> ( vol* ` ( ( (,) ` ( G ` J ) ) i^i A ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   =/= wne 2794   A.wral 2912   E.wrex 2913   _Vcvv 3200   i^i cin 3573   C_ wss 3574   (/)c0 3915   ifcif 4086   ~Pcpw 4158   <.cop 4183   U.cuni 4436   U_ciun 4520  Disj wdisj 4620   class class class wbr 4653   |-> cmpt 4729   X. cxp 5112   dom cdm 5114   ran crn 5115   o. ccom 5118   Fn wfn 5883   -->wf 5884   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   1stc1st 7166   2ndc2nd 7167   supcsup 8346  infcinf 8347   RRcr 9935   0cc0 9936   1c1 9937   + caddc 9939   +oocpnf 10071   RR*cxr 10073   < clt 10074   <_ cle 10075   - cmin 10266   NNcn 11020   RR+crp 11832   (,)cioo 12175   [,)cico 12177   seqcseq 12801   abscabs 13974   ~~> cli 14215   vol*covol 23231

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-fal 1489  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-disj 4621  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-of 6897  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-2o 7561  df-oadd 7564  df-er 7742  df-map 7859  df-pm 7860  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-fi 8317  df-sup 8348  df-inf 8349  df-oi 8415  df-card 8765  df-cda 8990  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-q 11789  df-rp 11833  df-xneg 11946  df-xadd 11947  df-xmul 11948  df-ioo 12179  df-ico 12181  df-icc 12182  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-fl 12593  df-seq 12802  df-exp 12861  df-hash 13118  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-clim 14219  df-rlim 14220  df-sum 14417  df-rest 16083  df-topgen 16104  df-psmet 19738  df-xmet 19739  df-met 19740  df-bl 19741  df-mopn 19742  df-top 20699  df-topon 20716  df-bases 20750  df-cmp 21190  df-ovol 23233  df-vol 23234

This theorem is referenced by:  uniioombllem6  23356