Theorem isumless 14577

Description: A finite sum of nonnegative numbers is less or equal to its limit. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Apr-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
isumless.1	|- Z = ( ZZ>= ` M )
isumless.2	|- ( ph -> M e. ZZ )
isumless.3	|- ( ph -> A e. Fin )
isumless.4	|- ( ph -> A C_ Z )
isumless.5	|- ( ( ph /\ k e. Z ) -> ( F ` k ) = B )
isumless.6	|- ( ( ph /\ k e. Z ) -> B e. RR )
isumless.7	|- ( ( ph /\ k e. Z ) -> 0 <_ B )
isumless.8	|- ( ph -> seq M ( + , F ) e. dom ~~> )

Assertion

Ref	Expression
isumless	|- ( ph -> sum_ k e. A B <_ sum_ k e. Z B )

Distinct variable groups:   A, k   k, F   k, M   ph, k   k, Z

Allowed substitution hint:   B( k)

Proof of Theorem isumless

Dummy variable j is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		isumless.4	. . 3 |- ( ph -> A C_ Z )
2	1	sselda 3603	. . . . 5 |- ( ( ph /\ k e. A ) -> k e. Z )
3		isumless.6	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ k e. Z ) -> B e. RR )
4	3	recnd 10068	. . . . 5 |- ( ( ph /\ k e. Z ) -> B e. CC )
5	2, 4	syldan 487	. . . 4 |- ( ( ph /\ k e. A ) -> B e. CC )
6	5	ralrimiva 2966	. . 3 |- ( ph -> A. k e. A B e. CC )
7		isumless.1	. . . . . 6 |- Z = ( ZZ>= ` M )
8	7	eqimssi 3659	. . . . 5 |- Z C_ ( ZZ>= ` M )
9	8	orci 405	. . . 4 |- ( Z C_ ( ZZ>= ` M ) \/ Z e. Fin )
10	9	a1i 11	. . 3 |- ( ph -> ( Z C_ ( ZZ>= ` M ) \/ Z e. Fin ) )
11		sumss2 14457	. . 3 |- ( ( ( A C_ Z /\ A. k e. A B e. CC ) /\ ( Z C_ ( ZZ>= ` M ) \/ Z e. Fin ) ) -> sum_ k e. A B = sum_ k e. Z if ( k e. A , B , 0 ) )
12	1, 6, 10, 11	syl21anc 1325	. 2 |- ( ph -> sum_ k e. A B = sum_ k e. Z if ( k e. A , B , 0 ) )
13		isumless.2	. . 3 |- ( ph -> M e. ZZ )
14		eleq1 2689	. . . . . . 7 |- ( j = k -> ( j e. A <-> k e. A ) )
15		fveq2 6191	. . . . . . 7 |- ( j = k -> ( F ` j ) = ( F ` k ) )
16	14, 15	ifbieq1d 4109	. . . . . 6 |- ( j = k -> if ( j e. A , ( F ` j ) , 0 ) = if ( k e. A , ( F ` k ) , 0 ) )
17		eqid 2622	. . . . . 6 |- ( j e. Z |-> if ( j e. A , ( F ` j ) , 0 ) ) = ( j e. Z |-> if ( j e. A , ( F ` j ) , 0 ) )
18		fvex 6201	. . . . . . 7 |- ( F ` k ) e. _V
19		c0ex 10034	. . . . . . 7 |- 0 e. _V
20	18, 19	ifex 4156	. . . . . 6 |- if ( k e. A , ( F ` k ) , 0 ) e. _V
21	16, 17, 20	fvmpt 6282	. . . . 5 |- ( k e. Z -> ( ( j e. Z |-> if ( j e. A , ( F ` j ) , 0 ) ) ` k ) = if ( k e. A , ( F ` k ) , 0 ) )
22	21	adantl 482	. . . 4 |- ( ( ph /\ k e. Z ) -> ( ( j e. Z |-> if ( j e. A , ( F ` j ) , 0 ) ) ` k ) = if ( k e. A , ( F ` k ) , 0 ) )
23		isumless.5	. . . . 5 |- ( ( ph /\ k e. Z ) -> ( F ` k ) = B )
24	23	ifeq1d 4104	. . . 4 |- ( ( ph /\ k e. Z ) -> if ( k e. A , ( F ` k ) , 0 ) = if ( k e. A , B , 0 ) )
25	22, 24	eqtrd 2656	. . 3 |- ( ( ph /\ k e. Z ) -> ( ( j e. Z |-> if ( j e. A , ( F ` j ) , 0 ) ) ` k ) = if ( k e. A , B , 0 ) )
26		0re 10040	. . . 4 |- 0 e. RR
27		ifcl 4130	. . . 4 |- ( ( B e. RR /\ 0 e. RR ) -> if ( k e. A , B , 0 ) e. RR )
28	3, 26, 27	sylancl 694	. . 3 |- ( ( ph /\ k e. Z ) -> if ( k e. A , B , 0 ) e. RR )
29		isumless.7	. . . 4 |- ( ( ph /\ k e. Z ) -> 0 <_ B )
30		leid 10133	. . . . 5 |- ( B e. RR -> B <_ B )
31		breq1 4656	. . . . . 6 |- ( B = if ( k e. A , B , 0 ) -> ( B <_ B <-> if ( k e. A , B , 0 ) <_ B ) )
32		breq1 4656	. . . . . 6 |- ( 0 = if ( k e. A , B , 0 ) -> ( 0 <_ B <-> if ( k e. A , B , 0 ) <_ B ) )
33	31, 32	ifboth 4124	. . . . 5 |- ( ( B <_ B /\ 0 <_ B ) -> if ( k e. A , B , 0 ) <_ B )
34	30, 33	sylan 488	. . . 4 |- ( ( B e. RR /\ 0 <_ B ) -> if ( k e. A , B , 0 ) <_ B )
35	3, 29, 34	syl2anc 693	. . 3 |- ( ( ph /\ k e. Z ) -> if ( k e. A , B , 0 ) <_ B )
36		isumless.3	. . . 4 |- ( ph -> A e. Fin )
37	7, 13, 36, 1, 25, 5	fsumcvg3 14460	. . 3 |- ( ph -> seq M ( + , ( j e. Z |-> if ( j e. A , ( F ` j ) , 0 ) ) ) e. dom ~~> )
38		isumless.8	. . 3 |- ( ph -> seq M ( + , F ) e. dom ~~> )
39	7, 13, 25, 28, 23, 3, 35, 37, 38	isumle 14576	. 2 |- ( ph -> sum_ k e. Z if ( k e. A , B , 0 ) <_ sum_ k e. Z B )
40	12, 39	eqbrtrd 4675	1 |- ( ph -> sum_ k e. A B <_ sum_ k e. Z B )

Syntax hints:   -> wi 4   \/ wo 383   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   A.wral 2912   C_ wss 3574   ifcif 4086   class class class wbr 4653   |-> cmpt 4729   dom cdm 5114   ` cfv 5888   Fincfn 7955   CCcc 9934   RRcr 9935   0cc0 9936   + caddc 9939   <_ cle 10075   ZZcz 11377   ZZ>=cuz 11687   seqcseq 12801   ~~> cli 14215   sum_csu 14416

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-fal 1489  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-oadd 7564  df-er 7742  df-pm 7860  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-sup 8348  df-inf 8349  df-oi 8415  df-card 8765  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-rp 11833  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-fl 12593  df-seq 12802  df-exp 12861  df-hash 13118  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-clim 14219  df-rlim 14220  df-sum 14417

This theorem is referenced by:  isumltss  14580  climcnds  14583  harmonic  14591  mertenslem1  14616  prmreclem5  15624  ovoliunlem1  23270  ovoliun2  23274  esumpcvgval  30140  eulerpartlems  30422  geomcau  33555