Theorem itg2i1fseqle 23521

Description: Subject to the conditions coming from mbfi1fseq 23488, the sequence of simple functions are all less than the target function F. (Contributed by Mario Carneiro, 17-Aug-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
itg2i1fseq.1	|- ( ph -> F e. MblFn )
itg2i1fseq.2	|- ( ph -> F : RR --> ( 0 [,) +oo ) )
itg2i1fseq.3	|- ( ph -> P : NN --> dom S.1 )
itg2i1fseq.4	|- ( ph -> A. n e. NN ( 0p oR <_ ( P ` n ) /\ ( P ` n ) oR <_ ( P ` ( n + 1 ) ) ) )
itg2i1fseq.5	|- ( ph -> A. x e. RR ( n e. NN |-> ( ( P ` n ) ` x ) ) ~~> ( F ` x ) )

Assertion

Ref	Expression
itg2i1fseqle	|- ( ( ph /\ M e. NN ) -> ( P ` M ) oR <_ F )

Distinct variable groups:   x, n, F   n, M   P, n, x

Allowed substitution hints:   ph( x, n)   M( x)

Proof of Theorem itg2i1fseqle

Dummy variables k y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fveq2 6191	. . . . . . 7 |- ( n = M -> ( P ` n ) = ( P ` M ) )
2	1	fveq1d 6193	. . . . . 6 |- ( n = M -> ( ( P ` n ) ` y ) = ( ( P ` M ) ` y ) )
3		eqid 2622	. . . . . 6 |- ( n e. NN |-> ( ( P ` n ) ` y ) ) = ( n e. NN |-> ( ( P ` n ) ` y ) )
4		fvex 6201	. . . . . 6 |- ( ( P ` M ) ` y ) e. _V
5	2, 3, 4	fvmpt 6282	. . . . 5 |- ( M e. NN -> ( ( n e. NN |-> ( ( P ` n ) ` y ) ) ` M ) = ( ( P ` M ) ` y ) )
6	5	ad2antlr 763	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ M e. NN ) /\ y e. RR ) -> ( ( n e. NN |-> ( ( P ` n ) ` y ) ) ` M ) = ( ( P ` M ) ` y ) )
7		nnuz 11723	. . . . 5 |- NN = ( ZZ>= ` 1 )
8		simplr 792	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ M e. NN ) /\ y e. RR ) -> M e. NN )
9		itg2i1fseq.5	. . . . . . 7 |- ( ph -> A. x e. RR ( n e. NN |-> ( ( P ` n ) ` x ) ) ~~> ( F ` x ) )
10		fveq2 6191	. . . . . . . . . 10 |- ( x = y -> ( ( P ` n ) ` x ) = ( ( P ` n ) ` y ) )
11	10	mpteq2dv 4745	. . . . . . . . 9 |- ( x = y -> ( n e. NN |-> ( ( P ` n ) ` x ) ) = ( n e. NN |-> ( ( P ` n ) ` y ) ) )
12		fveq2 6191	. . . . . . . . 9 |- ( x = y -> ( F ` x ) = ( F ` y ) )
13	11, 12	breq12d 4666	. . . . . . . 8 |- ( x = y -> ( ( n e. NN |-> ( ( P ` n ) ` x ) ) ~~> ( F ` x ) <-> ( n e. NN |-> ( ( P ` n ) ` y ) ) ~~> ( F ` y ) ) )
14	13	rspccva 3308	. . . . . . 7 |- ( ( A. x e. RR ( n e. NN |-> ( ( P ` n ) ` x ) ) ~~> ( F ` x ) /\ y e. RR ) -> ( n e. NN |-> ( ( P ` n ) ` y ) ) ~~> ( F ` y ) )
15	9, 14	sylan 488	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ y e. RR ) -> ( n e. NN |-> ( ( P ` n ) ` y ) ) ~~> ( F ` y ) )
16	15	adantlr 751	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ M e. NN ) /\ y e. RR ) -> ( n e. NN |-> ( ( P ` n ) ` y ) ) ~~> ( F ` y ) )
17		fveq2 6191	. . . . . . . . . 10 |- ( n = k -> ( P ` n ) = ( P ` k ) )
18	17	fveq1d 6193	. . . . . . . . 9 |- ( n = k -> ( ( P ` n ) ` y ) = ( ( P ` k ) ` y ) )
19		fvex 6201	. . . . . . . . 9 |- ( ( P ` k ) ` y ) e. _V
20	18, 3, 19	fvmpt 6282	. . . . . . . 8 |- ( k e. NN -> ( ( n e. NN |-> ( ( P ` n ) ` y ) ) ` k ) = ( ( P ` k ) ` y ) )
21	20	adantl 482	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ k e. NN ) -> ( ( n e. NN |-> ( ( P ` n ) ` y ) ) ` k ) = ( ( P ` k ) ` y ) )
22		itg2i1fseq.3	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> P : NN --> dom S.1 )
23	22	ffvelrnda 6359	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( P ` k ) e. dom S.1 )
24		i1ff 23443	. . . . . . . . . 10 |- ( ( P ` k ) e. dom S.1 -> ( P ` k ) : RR --> RR )
25	23, 24	syl 17	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( P ` k ) : RR --> RR )
26	25	ffvelrnda 6359	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ k e. NN ) /\ y e. RR ) -> ( ( P ` k ) ` y ) e. RR )
27	26	an32s 846	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ k e. NN ) -> ( ( P ` k ) ` y ) e. RR )
28	21, 27	eqeltrd 2701	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ k e. NN ) -> ( ( n e. NN |-> ( ( P ` n ) ` y ) ) ` k ) e. RR )
29	28	adantllr 755	. . . . 5 |- ( ( ( ( ph /\ M e. NN ) /\ y e. RR ) /\ k e. NN ) -> ( ( n e. NN |-> ( ( P ` n ) ` y ) ) ` k ) e. RR )
30		itg2i1fseq.4	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> A. n e. NN ( 0p oR <_ ( P ` n ) /\ ( P ` n ) oR <_ ( P ` ( n + 1 ) ) ) )
31		simpr 477	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( 0p oR <_ ( P ` n ) /\ ( P ` n ) oR <_ ( P ` ( n + 1 ) ) ) -> ( P ` n ) oR <_ ( P ` ( n + 1 ) ) )
32	31	ralimi 2952	. . . . . . . . . . . 12 |- ( A. n e. NN ( 0p oR <_ ( P ` n ) /\ ( P ` n ) oR <_ ( P ` ( n + 1 ) ) ) -> A. n e. NN ( P ` n ) oR <_ ( P ` ( n + 1 ) ) )
33	30, 32	syl 17	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> A. n e. NN ( P ` n ) oR <_ ( P ` ( n + 1 ) ) )
34		oveq1 6657	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( n = k -> ( n + 1 ) = ( k + 1 ) )
35	34	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( n = k -> ( P ` ( n + 1 ) ) = ( P ` ( k + 1 ) ) )
36	17, 35	breq12d 4666	. . . . . . . . . . . 12 |- ( n = k -> ( ( P ` n ) oR <_ ( P ` ( n + 1 ) ) <-> ( P ` k ) oR <_ ( P ` ( k + 1 ) ) ) )
37	36	rspccva 3308	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( A. n e. NN ( P ` n ) oR <_ ( P ` ( n + 1 ) ) /\ k e. NN ) -> ( P ` k ) oR <_ ( P ` ( k + 1 ) ) )
38	33, 37	sylan 488	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( P ` k ) oR <_ ( P ` ( k + 1 ) ) )
39		ffn 6045	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( P ` k ) : RR --> RR -> ( P ` k ) Fn RR )
40	23, 24, 39	3syl 18	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( P ` k ) Fn RR )
41		peano2nn 11032	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( k e. NN -> ( k + 1 ) e. NN )
42		ffvelrn 6357	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( P : NN --> dom S.1 /\ ( k + 1 ) e. NN ) -> ( P ` ( k + 1 ) ) e. dom S.1 )
43	22, 41, 42	syl2an 494	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( P ` ( k + 1 ) ) e. dom S.1 )
44		i1ff 23443	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( P ` ( k + 1 ) ) e. dom S.1 -> ( P ` ( k + 1 ) ) : RR --> RR )
45		ffn 6045	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( P ` ( k + 1 ) ) : RR --> RR -> ( P ` ( k + 1 ) ) Fn RR )
46	43, 44, 45	3syl 18	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( P ` ( k + 1 ) ) Fn RR )
47		reex 10027	. . . . . . . . . . . 12 |- RR e. _V
48	47	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> RR e. _V )
49		inidm 3822	. . . . . . . . . . 11 |- ( RR i^i RR ) = RR
50		eqidd 2623	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ k e. NN ) /\ y e. RR ) -> ( ( P ` k ) ` y ) = ( ( P ` k ) ` y ) )
51		eqidd 2623	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ k e. NN ) /\ y e. RR ) -> ( ( P ` ( k + 1 ) ) ` y ) = ( ( P ` ( k + 1 ) ) ` y ) )
52	40, 46, 48, 48, 49, 50, 51	ofrfval 6905	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( ( P ` k ) oR <_ ( P ` ( k + 1 ) ) <-> A. y e. RR ( ( P ` k ) ` y ) <_ ( ( P ` ( k + 1 ) ) ` y ) ) )
53	38, 52	mpbid 222	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> A. y e. RR ( ( P ` k ) ` y ) <_ ( ( P ` ( k + 1 ) ) ` y ) )
54	53	r19.21bi 2932	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ k e. NN ) /\ y e. RR ) -> ( ( P ` k ) ` y ) <_ ( ( P ` ( k + 1 ) ) ` y ) )
55	54	an32s 846	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ k e. NN ) -> ( ( P ` k ) ` y ) <_ ( ( P ` ( k + 1 ) ) ` y ) )
56		fveq2 6191	. . . . . . . . . . 11 |- ( n = ( k + 1 ) -> ( P ` n ) = ( P ` ( k + 1 ) ) )
57	56	fveq1d 6193	. . . . . . . . . 10 |- ( n = ( k + 1 ) -> ( ( P ` n ) ` y ) = ( ( P ` ( k + 1 ) ) ` y ) )
58		fvex 6201	. . . . . . . . . 10 |- ( ( P ` ( k + 1 ) ) ` y ) e. _V
59	57, 3, 58	fvmpt 6282	. . . . . . . . 9 |- ( ( k + 1 ) e. NN -> ( ( n e. NN |-> ( ( P ` n ) ` y ) ) ` ( k + 1 ) ) = ( ( P ` ( k + 1 ) ) ` y ) )
60	41, 59	syl 17	. . . . . . . 8 |- ( k e. NN -> ( ( n e. NN |-> ( ( P ` n ) ` y ) ) ` ( k + 1 ) ) = ( ( P ` ( k + 1 ) ) ` y ) )
61	60	adantl 482	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ k e. NN ) -> ( ( n e. NN |-> ( ( P ` n ) ` y ) ) ` ( k + 1 ) ) = ( ( P ` ( k + 1 ) ) ` y ) )
62	55, 21, 61	3brtr4d 4685	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ k e. NN ) -> ( ( n e. NN |-> ( ( P ` n ) ` y ) ) ` k ) <_ ( ( n e. NN |-> ( ( P ` n ) ` y ) ) ` ( k + 1 ) ) )
63	62	adantllr 755	. . . . 5 |- ( ( ( ( ph /\ M e. NN ) /\ y e. RR ) /\ k e. NN ) -> ( ( n e. NN |-> ( ( P ` n ) ` y ) ) ` k ) <_ ( ( n e. NN |-> ( ( P ` n ) ` y ) ) ` ( k + 1 ) ) )
64	7, 8, 16, 29, 63	climub 14392	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ M e. NN ) /\ y e. RR ) -> ( ( n e. NN |-> ( ( P ` n ) ` y ) ) ` M ) <_ ( F ` y ) )
65	6, 64	eqbrtrrd 4677	. . 3 |- ( ( ( ph /\ M e. NN ) /\ y e. RR ) -> ( ( P ` M ) ` y ) <_ ( F ` y ) )
66	65	ralrimiva 2966	. 2 |- ( ( ph /\ M e. NN ) -> A. y e. RR ( ( P ` M ) ` y ) <_ ( F ` y ) )
67	22	ffvelrnda 6359	. . . 4 |- ( ( ph /\ M e. NN ) -> ( P ` M ) e. dom S.1 )
68		i1ff 23443	. . . 4 |- ( ( P ` M ) e. dom S.1 -> ( P ` M ) : RR --> RR )
69		ffn 6045	. . . 4 |- ( ( P ` M ) : RR --> RR -> ( P ` M ) Fn RR )
70	67, 68, 69	3syl 18	. . 3 |- ( ( ph /\ M e. NN ) -> ( P ` M ) Fn RR )
71		itg2i1fseq.2	. . . . . 6 |- ( ph -> F : RR --> ( 0 [,) +oo ) )
72		icossicc 12260	. . . . . 6 |- ( 0 [,) +oo ) C_ ( 0 [,] +oo )
73		fss 6056	. . . . . 6 |- ( ( F : RR --> ( 0 [,) +oo ) /\ ( 0 [,) +oo ) C_ ( 0 [,] +oo ) ) -> F : RR --> ( 0 [,] +oo ) )
74	71, 72, 73	sylancl 694	. . . . 5 |- ( ph -> F : RR --> ( 0 [,] +oo ) )
75		ffn 6045	. . . . 5 |- ( F : RR --> ( 0 [,] +oo ) -> F Fn RR )
76	74, 75	syl 17	. . . 4 |- ( ph -> F Fn RR )
77	76	adantr 481	. . 3 |- ( ( ph /\ M e. NN ) -> F Fn RR )
78	47	a1i 11	. . 3 |- ( ( ph /\ M e. NN ) -> RR e. _V )
79		eqidd 2623	. . 3 |- ( ( ( ph /\ M e. NN ) /\ y e. RR ) -> ( ( P ` M ) ` y ) = ( ( P ` M ) ` y ) )
80		eqidd 2623	. . 3 |- ( ( ( ph /\ M e. NN ) /\ y e. RR ) -> ( F ` y ) = ( F ` y ) )
81	70, 77, 78, 78, 49, 79, 80	ofrfval 6905	. 2 |- ( ( ph /\ M e. NN ) -> ( ( P ` M ) oR <_ F <-> A. y e. RR ( ( P ` M ) ` y ) <_ ( F ` y ) ) )
82	66, 81	mpbird 247	1 |- ( ( ph /\ M e. NN ) -> ( P ` M ) oR <_ F )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   A.wral 2912   _Vcvv 3200   C_ wss 3574   class class class wbr 4653   |-> cmpt 4729   dom cdm 5114   Fn wfn 5883   -->wf 5884   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   oRcofr 6896   RRcr 9935   0cc0 9936   1c1 9937   + caddc 9939   +oocpnf 10071   <_ cle 10075   NNcn 11020   [,)cico 12177   [,]cicc 12178   ~~> cli 14215  MblFncmbf 23383   S.1citg1 23384   0pc0p 23436

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-ofr 6898  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-er 7742  df-pm 7860  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-sup 8348  df-inf 8349  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-rp 11833  df-ico 12181  df-icc 12182  df-fz 12327  df-fl 12593  df-seq 12802  df-exp 12861  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-clim 14219  df-rlim 14220  df-sum 14417  df-itg1 23389

This theorem is referenced by:  itg2i1fseq  23522  itg2i1fseq3  23524  itg2addlem  23525