Theorem itg2i1fseq 23522

Description: Subject to the conditions coming from mbfi1fseq 23488, the integral of the sequence of simple functions converges to the integral of the target function. (Contributed by Mario Carneiro, 17-Aug-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
itg2i1fseq.1	|- ( ph -> F e. MblFn )
itg2i1fseq.2	|- ( ph -> F : RR --> ( 0 [,) +oo ) )
itg2i1fseq.3	|- ( ph -> P : NN --> dom S.1 )
itg2i1fseq.4	|- ( ph -> A. n e. NN ( 0p oR <_ ( P ` n ) /\ ( P ` n ) oR <_ ( P ` ( n + 1 ) ) ) )
itg2i1fseq.5	|- ( ph -> A. x e. RR ( n e. NN |-> ( ( P ` n ) ` x ) ) ~~> ( F ` x ) )
itg2i1fseq.6	|- S = ( m e. NN |-> ( S.1 ` ( P ` m ) ) )

Assertion

Ref	Expression
itg2i1fseq	|- ( ph -> ( S.2 ` F ) = sup ( ran S , RR* , < ) )

Distinct variable groups:   m, n, x, F   P, m, n, x   ph, m

Allowed substitution hints:   ph( x, n)   S( x, m, n)

Proof of Theorem itg2i1fseq

Dummy variables y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fveq2 6191	. . . . . . . . 9 |- ( n = m -> ( P ` n ) = ( P ` m ) )
2	1	fveq1d 6193	. . . . . . . 8 |- ( n = m -> ( ( P ` n ) ` x ) = ( ( P ` m ) ` x ) )
3	2	cbvmptv 4750	. . . . . . 7 |- ( n e. NN |-> ( ( P ` n ) ` x ) ) = ( m e. NN |-> ( ( P ` m ) ` x ) )
4		fveq2 6191	. . . . . . . 8 |- ( x = y -> ( ( P ` m ) ` x ) = ( ( P ` m ) ` y ) )
5	4	mpteq2dv 4745	. . . . . . 7 |- ( x = y -> ( m e. NN |-> ( ( P ` m ) ` x ) ) = ( m e. NN |-> ( ( P ` m ) ` y ) ) )
6	3, 5	syl5eq 2668	. . . . . 6 |- ( x = y -> ( n e. NN |-> ( ( P ` n ) ` x ) ) = ( m e. NN |-> ( ( P ` m ) ` y ) ) )
7	6	rneqd 5353	. . . . 5 |- ( x = y -> ran ( n e. NN |-> ( ( P ` n ) ` x ) ) = ran ( m e. NN |-> ( ( P ` m ) ` y ) ) )
8	7	supeq1d 8352	. . . 4 |- ( x = y -> sup ( ran ( n e. NN |-> ( ( P ` n ) ` x ) ) , RR , < ) = sup ( ran ( m e. NN |-> ( ( P ` m ) ` y ) ) , RR , < ) )
9	8	cbvmptv 4750	. . 3 |- ( x e. RR |-> sup ( ran ( n e. NN |-> ( ( P ` n ) ` x ) ) , RR , < ) ) = ( y e. RR |-> sup ( ran ( m e. NN |-> ( ( P ` m ) ` y ) ) , RR , < ) )
10		itg2i1fseq.3	. . . . 5 |- ( ph -> P : NN --> dom S.1 )
11	10	ffvelrnda 6359	. . . 4 |- ( ( ph /\ m e. NN ) -> ( P ` m ) e. dom S.1 )
12		i1fmbf 23442	. . . 4 |- ( ( P ` m ) e. dom S.1 -> ( P ` m ) e. MblFn )
13	11, 12	syl 17	. . 3 |- ( ( ph /\ m e. NN ) -> ( P ` m ) e. MblFn )
14		i1ff 23443	. . . . 5 |- ( ( P ` m ) e. dom S.1 -> ( P ` m ) : RR --> RR )
15	11, 14	syl 17	. . . 4 |- ( ( ph /\ m e. NN ) -> ( P ` m ) : RR --> RR )
16		itg2i1fseq.4	. . . . . 6 |- ( ph -> A. n e. NN ( 0p oR <_ ( P ` n ) /\ ( P ` n ) oR <_ ( P ` ( n + 1 ) ) ) )
17	1	breq2d 4665	. . . . . . . 8 |- ( n = m -> ( 0p oR <_ ( P ` n ) <-> 0p oR <_ ( P ` m ) ) )
18		oveq1 6657	. . . . . . . . . 10 |- ( n = m -> ( n + 1 ) = ( m + 1 ) )
19	18	fveq2d 6195	. . . . . . . . 9 |- ( n = m -> ( P ` ( n + 1 ) ) = ( P ` ( m + 1 ) ) )
20	1, 19	breq12d 4666	. . . . . . . 8 |- ( n = m -> ( ( P ` n ) oR <_ ( P ` ( n + 1 ) ) <-> ( P ` m ) oR <_ ( P ` ( m + 1 ) ) ) )
21	17, 20	anbi12d 747	. . . . . . 7 |- ( n = m -> ( ( 0p oR <_ ( P ` n ) /\ ( P ` n ) oR <_ ( P ` ( n + 1 ) ) ) <-> ( 0p oR <_ ( P ` m ) /\ ( P ` m ) oR <_ ( P ` ( m + 1 ) ) ) ) )
22	21	rspccva 3308	. . . . . 6 |- ( ( A. n e. NN ( 0p oR <_ ( P ` n ) /\ ( P ` n ) oR <_ ( P ` ( n + 1 ) ) ) /\ m e. NN ) -> ( 0p oR <_ ( P ` m ) /\ ( P ` m ) oR <_ ( P ` ( m + 1 ) ) ) )
23	16, 22	sylan 488	. . . . 5 |- ( ( ph /\ m e. NN ) -> ( 0p oR <_ ( P ` m ) /\ ( P ` m ) oR <_ ( P ` ( m + 1 ) ) ) )
24	23	simpld 475	. . . 4 |- ( ( ph /\ m e. NN ) -> 0p oR <_ ( P ` m ) )
25		0plef 23439	. . . 4 |- ( ( P ` m ) : RR --> ( 0 [,) +oo ) <-> ( ( P ` m ) : RR --> RR /\ 0p oR <_ ( P ` m ) ) )
26	15, 24, 25	sylanbrc 698	. . 3 |- ( ( ph /\ m e. NN ) -> ( P ` m ) : RR --> ( 0 [,) +oo ) )
27	23	simprd 479	. . 3 |- ( ( ph /\ m e. NN ) -> ( P ` m ) oR <_ ( P ` ( m + 1 ) ) )
28		rge0ssre 12280	. . . . 5 |- ( 0 [,) +oo ) C_ RR
29		itg2i1fseq.2	. . . . . 6 |- ( ph -> F : RR --> ( 0 [,) +oo ) )
30	29	ffvelrnda 6359	. . . . 5 |- ( ( ph /\ y e. RR ) -> ( F ` y ) e. ( 0 [,) +oo ) )
31	28, 30	sseldi 3601	. . . 4 |- ( ( ph /\ y e. RR ) -> ( F ` y ) e. RR )
32		itg2i1fseq.1	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> F e. MblFn )
33		itg2i1fseq.5	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> A. x e. RR ( n e. NN |-> ( ( P ` n ) ` x ) ) ~~> ( F ` x ) )
34	32, 29, 10, 16, 33	itg2i1fseqle 23521	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ m e. NN ) -> ( P ` m ) oR <_ F )
35		ffn 6045	. . . . . . . . . 10 |- ( ( P ` m ) : RR --> RR -> ( P ` m ) Fn RR )
36	15, 35	syl 17	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ m e. NN ) -> ( P ` m ) Fn RR )
37		ffn 6045	. . . . . . . . . . 11 |- ( F : RR --> ( 0 [,) +oo ) -> F Fn RR )
38	29, 37	syl 17	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> F Fn RR )
39	38	adantr 481	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ m e. NN ) -> F Fn RR )
40		reex 10027	. . . . . . . . . 10 |- RR e. _V
41	40	a1i 11	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ m e. NN ) -> RR e. _V )
42		inidm 3822	. . . . . . . . 9 |- ( RR i^i RR ) = RR
43		eqidd 2623	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ m e. NN ) /\ y e. RR ) -> ( ( P ` m ) ` y ) = ( ( P ` m ) ` y ) )
44		eqidd 2623	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ m e. NN ) /\ y e. RR ) -> ( F ` y ) = ( F ` y ) )
45	36, 39, 41, 41, 42, 43, 44	ofrfval 6905	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ m e. NN ) -> ( ( P ` m ) oR <_ F <-> A. y e. RR ( ( P ` m ) ` y ) <_ ( F ` y ) ) )
46	34, 45	mpbid 222	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ m e. NN ) -> A. y e. RR ( ( P ` m ) ` y ) <_ ( F ` y ) )
47	46	r19.21bi 2932	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ m e. NN ) /\ y e. RR ) -> ( ( P ` m ) ` y ) <_ ( F ` y ) )
48	47	an32s 846	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ m e. NN ) -> ( ( P ` m ) ` y ) <_ ( F ` y ) )
49	48	ralrimiva 2966	. . . 4 |- ( ( ph /\ y e. RR ) -> A. m e. NN ( ( P ` m ) ` y ) <_ ( F ` y ) )
50		breq2 4657	. . . . . 6 |- ( z = ( F ` y ) -> ( ( ( P ` m ) ` y ) <_ z <-> ( ( P ` m ) ` y ) <_ ( F ` y ) ) )
51	50	ralbidv 2986	. . . . 5 |- ( z = ( F ` y ) -> ( A. m e. NN ( ( P ` m ) ` y ) <_ z <-> A. m e. NN ( ( P ` m ) ` y ) <_ ( F ` y ) ) )
52	51	rspcev 3309	. . . 4 |- ( ( ( F ` y ) e. RR /\ A. m e. NN ( ( P ` m ) ` y ) <_ ( F ` y ) ) -> E. z e. RR A. m e. NN ( ( P ` m ) ` y ) <_ z )
53	31, 49, 52	syl2anc 693	. . 3 |- ( ( ph /\ y e. RR ) -> E. z e. RR A. m e. NN ( ( P ` m ) ` y ) <_ z )
54	1	fveq2d 6195	. . . . . 6 |- ( n = m -> ( S.2 ` ( P ` n ) ) = ( S.2 ` ( P ` m ) ) )
55	54	cbvmptv 4750	. . . . 5 |- ( n e. NN |-> ( S.2 ` ( P ` n ) ) ) = ( m e. NN |-> ( S.2 ` ( P ` m ) ) )
56	55	rneqi 5352	. . . 4 |- ran ( n e. NN |-> ( S.2 ` ( P ` n ) ) ) = ran ( m e. NN |-> ( S.2 ` ( P ` m ) ) )
57	56	supeq1i 8353	. . 3 |- sup ( ran ( n e. NN |-> ( S.2 ` ( P ` n ) ) ) , RR* , < ) = sup ( ran ( m e. NN |-> ( S.2 ` ( P ` m ) ) ) , RR* , < )
58	9, 13, 26, 27, 53, 57	itg2mono 23520	. 2 |- ( ph -> ( S.2 ` ( x e. RR |-> sup ( ran ( n e. NN |-> ( ( P ` n ) ` x ) ) , RR , < ) ) ) = sup ( ran ( n e. NN |-> ( S.2 ` ( P ` n ) ) ) , RR* , < ) )
59	29	feqmptd 6249	. . . . 5 |- ( ph -> F = ( y e. RR |-> ( F ` y ) ) )
60	1	fveq1d 6193	. . . . . . . . . 10 |- ( n = m -> ( ( P ` n ) ` y ) = ( ( P ` m ) ` y ) )
61	60	cbvmptv 4750	. . . . . . . . 9 |- ( n e. NN |-> ( ( P ` n ) ` y ) ) = ( m e. NN |-> ( ( P ` m ) ` y ) )
62	61	rneqi 5352	. . . . . . . 8 |- ran ( n e. NN |-> ( ( P ` n ) ` y ) ) = ran ( m e. NN |-> ( ( P ` m ) ` y ) )
63	62	supeq1i 8353	. . . . . . 7 |- sup ( ran ( n e. NN |-> ( ( P ` n ) ` y ) ) , RR , < ) = sup ( ran ( m e. NN |-> ( ( P ` m ) ` y ) ) , RR , < )
64		nnuz 11723	. . . . . . . . 9 |- NN = ( ZZ>= ` 1 )
65		1zzd 11408	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ y e. RR ) -> 1 e. ZZ )
66	15	ffvelrnda 6359	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ m e. NN ) /\ y e. RR ) -> ( ( P ` m ) ` y ) e. RR )
67	66	an32s 846	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ m e. NN ) -> ( ( P ` m ) ` y ) e. RR )
68	67, 61	fmptd 6385	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ y e. RR ) -> ( n e. NN |-> ( ( P ` n ) ` y ) ) : NN --> RR )
69		peano2nn 11032	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( m e. NN -> ( m + 1 ) e. NN )
70		ffvelrn 6357	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( P : NN --> dom S.1 /\ ( m + 1 ) e. NN ) -> ( P ` ( m + 1 ) ) e. dom S.1 )
71	10, 69, 70	syl2an 494	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ m e. NN ) -> ( P ` ( m + 1 ) ) e. dom S.1 )
72		i1ff 23443	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( P ` ( m + 1 ) ) e. dom S.1 -> ( P ` ( m + 1 ) ) : RR --> RR )
73	71, 72	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ m e. NN ) -> ( P ` ( m + 1 ) ) : RR --> RR )
74		ffn 6045	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( P ` ( m + 1 ) ) : RR --> RR -> ( P ` ( m + 1 ) ) Fn RR )
75	73, 74	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ m e. NN ) -> ( P ` ( m + 1 ) ) Fn RR )
76		eqidd 2623	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ m e. NN ) /\ y e. RR ) -> ( ( P ` ( m + 1 ) ) ` y ) = ( ( P ` ( m + 1 ) ) ` y ) )
77	36, 75, 41, 41, 42, 43, 76	ofrfval 6905	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ m e. NN ) -> ( ( P ` m ) oR <_ ( P ` ( m + 1 ) ) <-> A. y e. RR ( ( P ` m ) ` y ) <_ ( ( P ` ( m + 1 ) ) ` y ) ) )
78	27, 77	mpbid 222	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ m e. NN ) -> A. y e. RR ( ( P ` m ) ` y ) <_ ( ( P ` ( m + 1 ) ) ` y ) )
79	78	r19.21bi 2932	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ m e. NN ) /\ y e. RR ) -> ( ( P ` m ) ` y ) <_ ( ( P ` ( m + 1 ) ) ` y ) )
80	79	an32s 846	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ m e. NN ) -> ( ( P ` m ) ` y ) <_ ( ( P ` ( m + 1 ) ) ` y ) )
81		eqid 2622	. . . . . . . . . . . 12 |- ( n e. NN |-> ( ( P ` n ) ` y ) ) = ( n e. NN |-> ( ( P ` n ) ` y ) )
82		fvex 6201	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( P ` m ) ` y ) e. _V
83	60, 81, 82	fvmpt 6282	. . . . . . . . . . 11 |- ( m e. NN -> ( ( n e. NN |-> ( ( P ` n ) ` y ) ) ` m ) = ( ( P ` m ) ` y ) )
84	83	adantl 482	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ m e. NN ) -> ( ( n e. NN |-> ( ( P ` n ) ` y ) ) ` m ) = ( ( P ` m ) ` y ) )
85		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( n = ( m + 1 ) -> ( P ` n ) = ( P ` ( m + 1 ) ) )
86	85	fveq1d 6193	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( n = ( m + 1 ) -> ( ( P ` n ) ` y ) = ( ( P ` ( m + 1 ) ) ` y ) )
87		fvex 6201	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( P ` ( m + 1 ) ) ` y ) e. _V
88	86, 81, 87	fvmpt 6282	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( m + 1 ) e. NN -> ( ( n e. NN |-> ( ( P ` n ) ` y ) ) ` ( m + 1 ) ) = ( ( P ` ( m + 1 ) ) ` y ) )
89	69, 88	syl 17	. . . . . . . . . . 11 |- ( m e. NN -> ( ( n e. NN |-> ( ( P ` n ) ` y ) ) ` ( m + 1 ) ) = ( ( P ` ( m + 1 ) ) ` y ) )
90	89	adantl 482	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ m e. NN ) -> ( ( n e. NN |-> ( ( P ` n ) ` y ) ) ` ( m + 1 ) ) = ( ( P ` ( m + 1 ) ) ` y ) )
91	80, 84, 90	3brtr4d 4685	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ m e. NN ) -> ( ( n e. NN |-> ( ( P ` n ) ` y ) ) ` m ) <_ ( ( n e. NN |-> ( ( P ` n ) ` y ) ) ` ( m + 1 ) ) )
92	83	breq1d 4663	. . . . . . . . . . . 12 |- ( m e. NN -> ( ( ( n e. NN |-> ( ( P ` n ) ` y ) ) ` m ) <_ z <-> ( ( P ` m ) ` y ) <_ z ) )
93	92	ralbiia 2979	. . . . . . . . . . 11 |- ( A. m e. NN ( ( n e. NN |-> ( ( P ` n ) ` y ) ) ` m ) <_ z <-> A. m e. NN ( ( P ` m ) ` y ) <_ z )
94	93	rexbii 3041	. . . . . . . . . 10 |- ( E. z e. RR A. m e. NN ( ( n e. NN |-> ( ( P ` n ) ` y ) ) ` m ) <_ z <-> E. z e. RR A. m e. NN ( ( P ` m ) ` y ) <_ z )
95	53, 94	sylibr 224	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ y e. RR ) -> E. z e. RR A. m e. NN ( ( n e. NN |-> ( ( P ` n ) ` y ) ) ` m ) <_ z )
96	64, 65, 68, 91, 95	climsup 14400	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ y e. RR ) -> ( n e. NN |-> ( ( P ` n ) ` y ) ) ~~> sup ( ran ( n e. NN |-> ( ( P ` n ) ` y ) ) , RR , < ) )
97		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x = y -> ( ( P ` n ) ` x ) = ( ( P ` n ) ` y ) )
98	97	mpteq2dv 4745	. . . . . . . . . . 11 |- ( x = y -> ( n e. NN |-> ( ( P ` n ) ` x ) ) = ( n e. NN |-> ( ( P ` n ) ` y ) ) )
99		fveq2 6191	. . . . . . . . . . 11 |- ( x = y -> ( F ` x ) = ( F ` y ) )
100	98, 99	breq12d 4666	. . . . . . . . . 10 |- ( x = y -> ( ( n e. NN |-> ( ( P ` n ) ` x ) ) ~~> ( F ` x ) <-> ( n e. NN |-> ( ( P ` n ) ` y ) ) ~~> ( F ` y ) ) )
101	100	rspccva 3308	. . . . . . . . 9 |- ( ( A. x e. RR ( n e. NN |-> ( ( P ` n ) ` x ) ) ~~> ( F ` x ) /\ y e. RR ) -> ( n e. NN |-> ( ( P ` n ) ` y ) ) ~~> ( F ` y ) )
102	33, 101	sylan 488	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ y e. RR ) -> ( n e. NN |-> ( ( P ` n ) ` y ) ) ~~> ( F ` y ) )
103		climuni 14283	. . . . . . . 8 |- ( ( ( n e. NN |-> ( ( P ` n ) ` y ) ) ~~> sup ( ran ( n e. NN |-> ( ( P ` n ) ` y ) ) , RR , < ) /\ ( n e. NN |-> ( ( P ` n ) ` y ) ) ~~> ( F ` y ) ) -> sup ( ran ( n e. NN |-> ( ( P ` n ) ` y ) ) , RR , < ) = ( F ` y ) )
104	96, 102, 103	syl2anc 693	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ y e. RR ) -> sup ( ran ( n e. NN |-> ( ( P ` n ) ` y ) ) , RR , < ) = ( F ` y ) )
105	63, 104	syl5eqr 2670	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ y e. RR ) -> sup ( ran ( m e. NN |-> ( ( P ` m ) ` y ) ) , RR , < ) = ( F ` y ) )
106	105	mpteq2dva 4744	. . . . 5 |- ( ph -> ( y e. RR |-> sup ( ran ( m e. NN |-> ( ( P ` m ) ` y ) ) , RR , < ) ) = ( y e. RR |-> ( F ` y ) ) )
107	59, 106	eqtr4d 2659	. . . 4 |- ( ph -> F = ( y e. RR |-> sup ( ran ( m e. NN |-> ( ( P ` m ) ` y ) ) , RR , < ) ) )
108	107, 9	syl6eqr 2674	. . 3 |- ( ph -> F = ( x e. RR |-> sup ( ran ( n e. NN |-> ( ( P ` n ) ` x ) ) , RR , < ) ) )
109	108	fveq2d 6195	. 2 |- ( ph -> ( S.2 ` F ) = ( S.2 ` ( x e. RR |-> sup ( ran ( n e. NN |-> ( ( P ` n ) ` x ) ) , RR , < ) ) ) )
110		itg2itg1 23503	. . . . . . . 8 |- ( ( ( P ` m ) e. dom S.1 /\ 0p oR <_ ( P ` m ) ) -> ( S.2 ` ( P ` m ) ) = ( S.1 ` ( P ` m ) ) )
111	11, 24, 110	syl2anc 693	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ m e. NN ) -> ( S.2 ` ( P ` m ) ) = ( S.1 ` ( P ` m ) ) )
112	111	mpteq2dva 4744	. . . . . 6 |- ( ph -> ( m e. NN |-> ( S.2 ` ( P ` m ) ) ) = ( m e. NN |-> ( S.1 ` ( P ` m ) ) ) )
113		itg2i1fseq.6	. . . . . 6 |- S = ( m e. NN |-> ( S.1 ` ( P ` m ) ) )
114	112, 113	syl6reqr 2675	. . . . 5 |- ( ph -> S = ( m e. NN |-> ( S.2 ` ( P ` m ) ) ) )
115	114, 55	syl6eqr 2674	. . . 4 |- ( ph -> S = ( n e. NN |-> ( S.2 ` ( P ` n ) ) ) )
116	115	rneqd 5353	. . 3 |- ( ph -> ran S = ran ( n e. NN |-> ( S.2 ` ( P ` n ) ) ) )
117	116	supeq1d 8352	. 2 |- ( ph -> sup ( ran S , RR* , < ) = sup ( ran ( n e. NN |-> ( S.2 ` ( P ` n ) ) ) , RR* , < ) )
118	58, 109, 117	3eqtr4d 2666	1 |- ( ph -> ( S.2 ` F ) = sup ( ran S , RR* , < ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   A.wral 2912   E.wrex 2913   _Vcvv 3200   class class class wbr 4653   |-> cmpt 4729   dom cdm 5114   ran crn 5115   Fn wfn 5883   -->wf 5884   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   oRcofr 6896   supcsup 8346   RRcr 9935   0cc0 9936   1c1 9937   + caddc 9939   +oocpnf 10071   RR*cxr 10073   < clt 10074   <_ cle 10075   NNcn 11020   [,)cico 12177   ~~> cli 14215  MblFncmbf 23383   S.1citg1 23384   S.2citg2 23385   0pc0p 23436

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538  ax-cc 9257  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014  ax-addf 10015

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-fal 1489  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-disj 4621  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-of 6897  df-ofr 6898  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-2o 7561  df-oadd 7564  df-omul 7565  df-er 7742  df-map 7859  df-pm 7860  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-fi 8317  df-sup 8348  df-inf 8349  df-oi 8415  df-card 8765  df-acn 8768  df-cda 8990  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-q 11789  df-rp 11833  df-xneg 11946  df-xadd 11947  df-xmul 11948  df-ioo 12179  df-ioc 12180  df-ico 12181  df-icc 12182  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-fl 12593  df-seq 12802  df-exp 12861  df-hash 13118  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-clim 14219  df-rlim 14220  df-sum 14417  df-rest 16083  df-topgen 16104  df-psmet 19738  df-xmet 19739  df-met 19740  df-bl 19741  df-mopn 19742  df-top 20699  df-topon 20716  df-bases 20750  df-cmp 21190  df-ovol 23233  df-vol 23234  df-mbf 23388  df-itg1 23389  df-itg2 23390  df-0p 23437

This theorem is referenced by:  itg2i1fseq2  23523