Theorem itg2mono 23520

Description: The Monotone Convergence Theorem for nonnegative functions. If { ( F ` n ) : n e. NN } is a monotone increasing sequence of positive, measurable, real-valued functions, and G is the pointwise limit of the sequence, then ( S.2 ` G ) is the limit of the sequence { ( S.2 ` ( F ` n ) ) : n e. NN }. (Contributed by Mario Carneiro, 16-Aug-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
itg2mono.1	|- G = ( x e. RR |-> sup ( ran ( n e. NN |-> ( ( F ` n ) ` x ) ) , RR , < ) )
itg2mono.2	|- ( ( ph /\ n e. NN ) -> ( F ` n ) e. MblFn )
itg2mono.3	|- ( ( ph /\ n e. NN ) -> ( F ` n ) : RR --> ( 0 [,) +oo ) )
itg2mono.4	|- ( ( ph /\ n e. NN ) -> ( F ` n ) oR <_ ( F ` ( n + 1 ) ) )
itg2mono.5	|- ( ( ph /\ x e. RR ) -> E. y e. RR A. n e. NN ( ( F ` n ) ` x ) <_ y )
itg2mono.6	|- S = sup ( ran ( n e. NN |-> ( S.2 ` ( F ` n ) ) ) , RR* , < )

Assertion

Ref	Expression
itg2mono	|- ( ph -> ( S.2 ` G ) = S )

Distinct variable groups:   x, n, y, G   n, F, x, y   ph, n, x, y   S, n, x, y

Proof of Theorem itg2mono

Dummy variables f m z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		itg2mono.1	. . . . . . . 8 |- G = ( x e. RR |-> sup ( ran ( n e. NN |-> ( ( F ` n ) ` x ) ) , RR , < ) )
2		itg2mono.2	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> ( F ` n ) e. MblFn )
3	2	adantlr 751	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ ( ( f e. dom S.1 /\ f oR <_ G ) /\ -. ( S.1 ` f ) <_ S ) ) /\ n e. NN ) -> ( F ` n ) e. MblFn )
4		itg2mono.3	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> ( F ` n ) : RR --> ( 0 [,) +oo ) )
5	4	adantlr 751	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ ( ( f e. dom S.1 /\ f oR <_ G ) /\ -. ( S.1 ` f ) <_ S ) ) /\ n e. NN ) -> ( F ` n ) : RR --> ( 0 [,) +oo ) )
6		itg2mono.4	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> ( F ` n ) oR <_ ( F ` ( n + 1 ) ) )
7	6	adantlr 751	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ ( ( f e. dom S.1 /\ f oR <_ G ) /\ -. ( S.1 ` f ) <_ S ) ) /\ n e. NN ) -> ( F ` n ) oR <_ ( F ` ( n + 1 ) ) )
8		itg2mono.5	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. RR ) -> E. y e. RR A. n e. NN ( ( F ` n ) ` x ) <_ y )
9	8	adantlr 751	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ ( ( f e. dom S.1 /\ f oR <_ G ) /\ -. ( S.1 ` f ) <_ S ) ) /\ x e. RR ) -> E. y e. RR A. n e. NN ( ( F ` n ) ` x ) <_ y )
10		itg2mono.6	. . . . . . . 8 |- S = sup ( ran ( n e. NN |-> ( S.2 ` ( F ` n ) ) ) , RR* , < )
11		simprll 802	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( ( f e. dom S.1 /\ f oR <_ G ) /\ -. ( S.1 ` f ) <_ S ) ) -> f e. dom S.1 )
12		simprlr 803	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( ( f e. dom S.1 /\ f oR <_ G ) /\ -. ( S.1 ` f ) <_ S ) ) -> f oR <_ G )
13		simprr 796	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( ( f e. dom S.1 /\ f oR <_ G ) /\ -. ( S.1 ` f ) <_ S ) ) -> -. ( S.1 ` f ) <_ S )
14	1, 3, 5, 7, 9, 10, 11, 12, 13	itg2monolem3 23519	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( ( f e. dom S.1 /\ f oR <_ G ) /\ -. ( S.1 ` f ) <_ S ) ) -> ( S.1 ` f ) <_ S )
15	14	expr 643	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( f e. dom S.1 /\ f oR <_ G ) ) -> ( -. ( S.1 ` f ) <_ S -> ( S.1 ` f ) <_ S ) )
16	15	pm2.18d 124	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( f e. dom S.1 /\ f oR <_ G ) ) -> ( S.1 ` f ) <_ S )
17	16	expr 643	. . . 4 |- ( ( ph /\ f e. dom S.1 ) -> ( f oR <_ G -> ( S.1 ` f ) <_ S ) )
18	17	ralrimiva 2966	. . 3 |- ( ph -> A. f e. dom S.1 ( f oR <_ G -> ( S.1 ` f ) <_ S ) )
19		rge0ssre 12280	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( 0 [,) +oo ) C_ RR
20		fss 6056	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( F ` n ) : RR --> ( 0 [,) +oo ) /\ ( 0 [,) +oo ) C_ RR ) -> ( F ` n ) : RR --> RR )
21	4, 19, 20	sylancl 694	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> ( F ` n ) : RR --> RR )
22	21	ffvelrnda 6359	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ x e. RR ) -> ( ( F ` n ) ` x ) e. RR )
23	22	an32s 846	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ x e. RR ) /\ n e. NN ) -> ( ( F ` n ) ` x ) e. RR )
24		eqid 2622	. . . . . . . . . 10 |- ( n e. NN |-> ( ( F ` n ) ` x ) ) = ( n e. NN |-> ( ( F ` n ) ` x ) )
25	23, 24	fmptd 6385	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. RR ) -> ( n e. NN |-> ( ( F ` n ) ` x ) ) : NN --> RR )
26		frn 6053	. . . . . . . . 9 |- ( ( n e. NN |-> ( ( F ` n ) ` x ) ) : NN --> RR -> ran ( n e. NN |-> ( ( F ` n ) ` x ) ) C_ RR )
27	25, 26	syl 17	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. RR ) -> ran ( n e. NN |-> ( ( F ` n ) ` x ) ) C_ RR )
28		1nn 11031	. . . . . . . . . . 11 |- 1 e. NN
29	24, 23	dmmptd 6024	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ x e. RR ) -> dom ( n e. NN |-> ( ( F ` n ) ` x ) ) = NN )
30	28, 29	syl5eleqr 2708	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ x e. RR ) -> 1 e. dom ( n e. NN |-> ( ( F ` n ) ` x ) ) )
31		ne0i 3921	. . . . . . . . . 10 |- ( 1 e. dom ( n e. NN |-> ( ( F ` n ) ` x ) ) -> dom ( n e. NN |-> ( ( F ` n ) ` x ) ) =/= (/) )
32	30, 31	syl 17	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. RR ) -> dom ( n e. NN |-> ( ( F ` n ) ` x ) ) =/= (/) )
33		dm0rn0 5342	. . . . . . . . . 10 |- ( dom ( n e. NN |-> ( ( F ` n ) ` x ) ) = (/) <-> ran ( n e. NN |-> ( ( F ` n ) ` x ) ) = (/) )
34	33	necon3bii 2846	. . . . . . . . 9 |- ( dom ( n e. NN |-> ( ( F ` n ) ` x ) ) =/= (/) <-> ran ( n e. NN |-> ( ( F ` n ) ` x ) ) =/= (/) )
35	32, 34	sylib 208	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. RR ) -> ran ( n e. NN |-> ( ( F ` n ) ` x ) ) =/= (/) )
36		ffn 6045	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( n e. NN |-> ( ( F ` n ) ` x ) ) : NN --> RR -> ( n e. NN |-> ( ( F ` n ) ` x ) ) Fn NN )
37	25, 36	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ x e. RR ) -> ( n e. NN |-> ( ( F ` n ) ` x ) ) Fn NN )
38		breq1 4656	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( z = ( ( n e. NN |-> ( ( F ` n ) ` x ) ) ` m ) -> ( z <_ y <-> ( ( n e. NN |-> ( ( F ` n ) ` x ) ) ` m ) <_ y ) )
39	38	ralrn 6362	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( n e. NN |-> ( ( F ` n ) ` x ) ) Fn NN -> ( A. z e. ran ( n e. NN |-> ( ( F ` n ) ` x ) ) z <_ y <-> A. m e. NN ( ( n e. NN |-> ( ( F ` n ) ` x ) ) ` m ) <_ y ) )
40	37, 39	syl 17	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ x e. RR ) -> ( A. z e. ran ( n e. NN |-> ( ( F ` n ) ` x ) ) z <_ y <-> A. m e. NN ( ( n e. NN |-> ( ( F ` n ) ` x ) ) ` m ) <_ y ) )
41		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( n = m -> ( F ` n ) = ( F ` m ) )
42	41	fveq1d 6193	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( n = m -> ( ( F ` n ) ` x ) = ( ( F ` m ) ` x ) )
43		fvex 6201	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( F ` m ) ` x ) e. _V
44	42, 24, 43	fvmpt 6282	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( m e. NN -> ( ( n e. NN |-> ( ( F ` n ) ` x ) ) ` m ) = ( ( F ` m ) ` x ) )
45	44	breq1d 4663	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( m e. NN -> ( ( ( n e. NN |-> ( ( F ` n ) ` x ) ) ` m ) <_ y <-> ( ( F ` m ) ` x ) <_ y ) )
46	45	ralbiia 2979	. . . . . . . . . . . 12 |- ( A. m e. NN ( ( n e. NN |-> ( ( F ` n ) ` x ) ) ` m ) <_ y <-> A. m e. NN ( ( F ` m ) ` x ) <_ y )
47	42	breq1d 4663	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( n = m -> ( ( ( F ` n ) ` x ) <_ y <-> ( ( F ` m ) ` x ) <_ y ) )
48	47	cbvralv 3171	. . . . . . . . . . . 12 |- ( A. n e. NN ( ( F ` n ) ` x ) <_ y <-> A. m e. NN ( ( F ` m ) ` x ) <_ y )
49	46, 48	bitr4i 267	. . . . . . . . . . 11 |- ( A. m e. NN ( ( n e. NN |-> ( ( F ` n ) ` x ) ) ` m ) <_ y <-> A. n e. NN ( ( F ` n ) ` x ) <_ y )
50	40, 49	syl6bb 276	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ x e. RR ) -> ( A. z e. ran ( n e. NN |-> ( ( F ` n ) ` x ) ) z <_ y <-> A. n e. NN ( ( F ` n ) ` x ) <_ y ) )
51	50	rexbidv 3052	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. RR ) -> ( E. y e. RR A. z e. ran ( n e. NN |-> ( ( F ` n ) ` x ) ) z <_ y <-> E. y e. RR A. n e. NN ( ( F ` n ) ` x ) <_ y ) )
52	8, 51	mpbird 247	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. RR ) -> E. y e. RR A. z e. ran ( n e. NN |-> ( ( F ` n ) ` x ) ) z <_ y )
53		suprcl 10983	. . . . . . . 8 |- ( ( ran ( n e. NN |-> ( ( F ` n ) ` x ) ) C_ RR /\ ran ( n e. NN |-> ( ( F ` n ) ` x ) ) =/= (/) /\ E. y e. RR A. z e. ran ( n e. NN |-> ( ( F ` n ) ` x ) ) z <_ y ) -> sup ( ran ( n e. NN |-> ( ( F ` n ) ` x ) ) , RR , < ) e. RR )
54	27, 35, 52, 53	syl3anc 1326	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. RR ) -> sup ( ran ( n e. NN |-> ( ( F ` n ) ` x ) ) , RR , < ) e. RR )
55	54	rexrd 10089	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. RR ) -> sup ( ran ( n e. NN |-> ( ( F ` n ) ` x ) ) , RR , < ) e. RR* )
56		0red 10041	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. RR ) -> 0 e. RR )
57	4	ralrimiva 2966	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> A. n e. NN ( F ` n ) : RR --> ( 0 [,) +oo ) )
58		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( n = 1 -> ( F ` n ) = ( F ` 1 ) )
59	58	feq1d 6030	. . . . . . . . . . . 12 |- ( n = 1 -> ( ( F ` n ) : RR --> ( 0 [,) +oo ) <-> ( F ` 1 ) : RR --> ( 0 [,) +oo ) ) )
60	59	rspcv 3305	. . . . . . . . . . 11 |- ( 1 e. NN -> ( A. n e. NN ( F ` n ) : RR --> ( 0 [,) +oo ) -> ( F ` 1 ) : RR --> ( 0 [,) +oo ) ) )
61	28, 57, 60	mpsyl 68	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( F ` 1 ) : RR --> ( 0 [,) +oo ) )
62	61	ffvelrnda 6359	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. RR ) -> ( ( F ` 1 ) ` x ) e. ( 0 [,) +oo ) )
63		elrege0 12278	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( F ` 1 ) ` x ) e. ( 0 [,) +oo ) <-> ( ( ( F ` 1 ) ` x ) e. RR /\ 0 <_ ( ( F ` 1 ) ` x ) ) )
64	62, 63	sylib 208	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. RR ) -> ( ( ( F ` 1 ) ` x ) e. RR /\ 0 <_ ( ( F ` 1 ) ` x ) ) )
65	64	simpld 475	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. RR ) -> ( ( F ` 1 ) ` x ) e. RR )
66	64	simprd 479	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. RR ) -> 0 <_ ( ( F ` 1 ) ` x ) )
67	58	fveq1d 6193	. . . . . . . . . . 11 |- ( n = 1 -> ( ( F ` n ) ` x ) = ( ( F ` 1 ) ` x ) )
68		fvex 6201	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( F ` 1 ) ` x ) e. _V
69	67, 24, 68	fvmpt 6282	. . . . . . . . . 10 |- ( 1 e. NN -> ( ( n e. NN |-> ( ( F ` n ) ` x ) ) ` 1 ) = ( ( F ` 1 ) ` x ) )
70	28, 69	ax-mp 5	. . . . . . . . 9 |- ( ( n e. NN |-> ( ( F ` n ) ` x ) ) ` 1 ) = ( ( F ` 1 ) ` x )
71		fnfvelrn 6356	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( n e. NN |-> ( ( F ` n ) ` x ) ) Fn NN /\ 1 e. NN ) -> ( ( n e. NN |-> ( ( F ` n ) ` x ) ) ` 1 ) e. ran ( n e. NN |-> ( ( F ` n ) ` x ) ) )
72	37, 28, 71	sylancl 694	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. RR ) -> ( ( n e. NN |-> ( ( F ` n ) ` x ) ) ` 1 ) e. ran ( n e. NN |-> ( ( F ` n ) ` x ) ) )
73	70, 72	syl5eqelr 2706	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. RR ) -> ( ( F ` 1 ) ` x ) e. ran ( n e. NN |-> ( ( F ` n ) ` x ) ) )
74		suprub 10984	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ran ( n e. NN |-> ( ( F ` n ) ` x ) ) C_ RR /\ ran ( n e. NN |-> ( ( F ` n ) ` x ) ) =/= (/) /\ E. y e. RR A. z e. ran ( n e. NN |-> ( ( F ` n ) ` x ) ) z <_ y ) /\ ( ( F ` 1 ) ` x ) e. ran ( n e. NN |-> ( ( F ` n ) ` x ) ) ) -> ( ( F ` 1 ) ` x ) <_ sup ( ran ( n e. NN |-> ( ( F ` n ) ` x ) ) , RR , < ) )
75	27, 35, 52, 73, 74	syl31anc 1329	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. RR ) -> ( ( F ` 1 ) ` x ) <_ sup ( ran ( n e. NN |-> ( ( F ` n ) ` x ) ) , RR , < ) )
76	56, 65, 54, 66, 75	letrd 10194	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. RR ) -> 0 <_ sup ( ran ( n e. NN |-> ( ( F ` n ) ` x ) ) , RR , < ) )
77		elxrge0 12281	. . . . . 6 |- ( sup ( ran ( n e. NN |-> ( ( F ` n ) ` x ) ) , RR , < ) e. ( 0 [,] +oo ) <-> ( sup ( ran ( n e. NN |-> ( ( F ` n ) ` x ) ) , RR , < ) e. RR* /\ 0 <_ sup ( ran ( n e. NN |-> ( ( F ` n ) ` x ) ) , RR , < ) ) )
78	55, 76, 77	sylanbrc 698	. . . . 5 |- ( ( ph /\ x e. RR ) -> sup ( ran ( n e. NN |-> ( ( F ` n ) ` x ) ) , RR , < ) e. ( 0 [,] +oo ) )
79	78, 1	fmptd 6385	. . . 4 |- ( ph -> G : RR --> ( 0 [,] +oo ) )
80		icossicc 12260	. . . . . . . . . 10 |- ( 0 [,) +oo ) C_ ( 0 [,] +oo )
81		fss 6056	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( F ` n ) : RR --> ( 0 [,) +oo ) /\ ( 0 [,) +oo ) C_ ( 0 [,] +oo ) ) -> ( F ` n ) : RR --> ( 0 [,] +oo ) )
82	4, 80, 81	sylancl 694	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> ( F ` n ) : RR --> ( 0 [,] +oo ) )
83		itg2cl 23499	. . . . . . . . 9 |- ( ( F ` n ) : RR --> ( 0 [,] +oo ) -> ( S.2 ` ( F ` n ) ) e. RR* )
84	82, 83	syl 17	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> ( S.2 ` ( F ` n ) ) e. RR* )
85		eqid 2622	. . . . . . . 8 |- ( n e. NN |-> ( S.2 ` ( F ` n ) ) ) = ( n e. NN |-> ( S.2 ` ( F ` n ) ) )
86	84, 85	fmptd 6385	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( n e. NN |-> ( S.2 ` ( F ` n ) ) ) : NN --> RR* )
87		frn 6053	. . . . . . 7 |- ( ( n e. NN |-> ( S.2 ` ( F ` n ) ) ) : NN --> RR* -> ran ( n e. NN |-> ( S.2 ` ( F ` n ) ) ) C_ RR* )
88	86, 87	syl 17	. . . . . 6 |- ( ph -> ran ( n e. NN |-> ( S.2 ` ( F ` n ) ) ) C_ RR* )
89		supxrcl 12145	. . . . . 6 |- ( ran ( n e. NN |-> ( S.2 ` ( F ` n ) ) ) C_ RR* -> sup ( ran ( n e. NN |-> ( S.2 ` ( F ` n ) ) ) , RR* , < ) e. RR* )
90	88, 89	syl 17	. . . . 5 |- ( ph -> sup ( ran ( n e. NN |-> ( S.2 ` ( F ` n ) ) ) , RR* , < ) e. RR* )
91	10, 90	syl5eqel 2705	. . . 4 |- ( ph -> S e. RR* )
92		itg2leub 23501	. . . 4 |- ( ( G : RR --> ( 0 [,] +oo ) /\ S e. RR* ) -> ( ( S.2 ` G ) <_ S <-> A. f e. dom S.1 ( f oR <_ G -> ( S.1 ` f ) <_ S ) ) )
93	79, 91, 92	syl2anc 693	. . 3 |- ( ph -> ( ( S.2 ` G ) <_ S <-> A. f e. dom S.1 ( f oR <_ G -> ( S.1 ` f ) <_ S ) ) )
94	18, 93	mpbird 247	. 2 |- ( ph -> ( S.2 ` G ) <_ S )
95	41	feq1d 6030	. . . . . . . . . . 11 |- ( n = m -> ( ( F ` n ) : RR --> ( 0 [,) +oo ) <-> ( F ` m ) : RR --> ( 0 [,) +oo ) ) )
96	95	cbvralv 3171	. . . . . . . . . 10 |- ( A. n e. NN ( F ` n ) : RR --> ( 0 [,) +oo ) <-> A. m e. NN ( F ` m ) : RR --> ( 0 [,) +oo ) )
97	57, 96	sylib 208	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> A. m e. NN ( F ` m ) : RR --> ( 0 [,) +oo ) )
98	97	r19.21bi 2932	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ m e. NN ) -> ( F ` m ) : RR --> ( 0 [,) +oo ) )
99		fss 6056	. . . . . . . 8 |- ( ( ( F ` m ) : RR --> ( 0 [,) +oo ) /\ ( 0 [,) +oo ) C_ ( 0 [,] +oo ) ) -> ( F ` m ) : RR --> ( 0 [,] +oo ) )
100	98, 80, 99	sylancl 694	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ m e. NN ) -> ( F ` m ) : RR --> ( 0 [,] +oo ) )
101	79	adantr 481	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ m e. NN ) -> G : RR --> ( 0 [,] +oo ) )
102	27, 35, 52	3jca 1242	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ x e. RR ) -> ( ran ( n e. NN |-> ( ( F ` n ) ` x ) ) C_ RR /\ ran ( n e. NN |-> ( ( F ` n ) ` x ) ) =/= (/) /\ E. y e. RR A. z e. ran ( n e. NN |-> ( ( F ` n ) ` x ) ) z <_ y ) )
103	102	adantlr 751	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ m e. NN ) /\ x e. RR ) -> ( ran ( n e. NN |-> ( ( F ` n ) ` x ) ) C_ RR /\ ran ( n e. NN |-> ( ( F ` n ) ` x ) ) =/= (/) /\ E. y e. RR A. z e. ran ( n e. NN |-> ( ( F ` n ) ` x ) ) z <_ y ) )
104	44	ad2antlr 763	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ m e. NN ) /\ x e. RR ) -> ( ( n e. NN |-> ( ( F ` n ) ` x ) ) ` m ) = ( ( F ` m ) ` x ) )
105	37	adantlr 751	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ m e. NN ) /\ x e. RR ) -> ( n e. NN |-> ( ( F ` n ) ` x ) ) Fn NN )
106		simplr 792	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ m e. NN ) /\ x e. RR ) -> m e. NN )
107		fnfvelrn 6356	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( n e. NN |-> ( ( F ` n ) ` x ) ) Fn NN /\ m e. NN ) -> ( ( n e. NN |-> ( ( F ` n ) ` x ) ) ` m ) e. ran ( n e. NN |-> ( ( F ` n ) ` x ) ) )
108	105, 106, 107	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ m e. NN ) /\ x e. RR ) -> ( ( n e. NN |-> ( ( F ` n ) ` x ) ) ` m ) e. ran ( n e. NN |-> ( ( F ` n ) ` x ) ) )
109	104, 108	eqeltrrd 2702	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ m e. NN ) /\ x e. RR ) -> ( ( F ` m ) ` x ) e. ran ( n e. NN |-> ( ( F ` n ) ` x ) ) )
110		suprub 10984	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ran ( n e. NN |-> ( ( F ` n ) ` x ) ) C_ RR /\ ran ( n e. NN |-> ( ( F ` n ) ` x ) ) =/= (/) /\ E. y e. RR A. z e. ran ( n e. NN |-> ( ( F ` n ) ` x ) ) z <_ y ) /\ ( ( F ` m ) ` x ) e. ran ( n e. NN |-> ( ( F ` n ) ` x ) ) ) -> ( ( F ` m ) ` x ) <_ sup ( ran ( n e. NN |-> ( ( F ` n ) ` x ) ) , RR , < ) )
111	103, 109, 110	syl2anc 693	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ m e. NN ) /\ x e. RR ) -> ( ( F ` m ) ` x ) <_ sup ( ran ( n e. NN |-> ( ( F ` n ) ` x ) ) , RR , < ) )
112		simpr 477	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ m e. NN ) /\ x e. RR ) -> x e. RR )
113		ltso 10118	. . . . . . . . . . . . 13 |- < Or RR
114	113	supex 8369	. . . . . . . . . . . 12 |- sup ( ran ( n e. NN |-> ( ( F ` n ) ` x ) ) , RR , < ) e. _V
115	1	fvmpt2 6291	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( x e. RR /\ sup ( ran ( n e. NN |-> ( ( F ` n ) ` x ) ) , RR , < ) e. _V ) -> ( G ` x ) = sup ( ran ( n e. NN |-> ( ( F ` n ) ` x ) ) , RR , < ) )
116	112, 114, 115	sylancl 694	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ m e. NN ) /\ x e. RR ) -> ( G ` x ) = sup ( ran ( n e. NN |-> ( ( F ` n ) ` x ) ) , RR , < ) )
117	111, 116	breqtrrd 4681	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ m e. NN ) /\ x e. RR ) -> ( ( F ` m ) ` x ) <_ ( G ` x ) )
118	117	ralrimiva 2966	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ m e. NN ) -> A. x e. RR ( ( F ` m ) ` x ) <_ ( G ` x ) )
119		fveq2 6191	. . . . . . . . . . 11 |- ( x = z -> ( ( F ` m ) ` x ) = ( ( F ` m ) ` z ) )
120		fveq2 6191	. . . . . . . . . . 11 |- ( x = z -> ( G ` x ) = ( G ` z ) )
121	119, 120	breq12d 4666	. . . . . . . . . 10 |- ( x = z -> ( ( ( F ` m ) ` x ) <_ ( G ` x ) <-> ( ( F ` m ) ` z ) <_ ( G ` z ) ) )
122	121	cbvralv 3171	. . . . . . . . 9 |- ( A. x e. RR ( ( F ` m ) ` x ) <_ ( G ` x ) <-> A. z e. RR ( ( F ` m ) ` z ) <_ ( G ` z ) )
123	118, 122	sylib 208	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ m e. NN ) -> A. z e. RR ( ( F ` m ) ` z ) <_ ( G ` z ) )
124		ffn 6045	. . . . . . . . . 10 |- ( ( F ` m ) : RR --> ( 0 [,] +oo ) -> ( F ` m ) Fn RR )
125	100, 124	syl 17	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ m e. NN ) -> ( F ` m ) Fn RR )
126	54, 1	fmptd 6385	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> G : RR --> RR )
127		ffn 6045	. . . . . . . . . . 11 |- ( G : RR --> RR -> G Fn RR )
128	126, 127	syl 17	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> G Fn RR )
129	128	adantr 481	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ m e. NN ) -> G Fn RR )
130		reex 10027	. . . . . . . . . 10 |- RR e. _V
131	130	a1i 11	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ m e. NN ) -> RR e. _V )
132		inidm 3822	. . . . . . . . 9 |- ( RR i^i RR ) = RR
133		eqidd 2623	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ m e. NN ) /\ z e. RR ) -> ( ( F ` m ) ` z ) = ( ( F ` m ) ` z ) )
134		eqidd 2623	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ m e. NN ) /\ z e. RR ) -> ( G ` z ) = ( G ` z ) )
135	125, 129, 131, 131, 132, 133, 134	ofrfval 6905	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ m e. NN ) -> ( ( F ` m ) oR <_ G <-> A. z e. RR ( ( F ` m ) ` z ) <_ ( G ` z ) ) )
136	123, 135	mpbird 247	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ m e. NN ) -> ( F ` m ) oR <_ G )
137		itg2le 23506	. . . . . . 7 |- ( ( ( F ` m ) : RR --> ( 0 [,] +oo ) /\ G : RR --> ( 0 [,] +oo ) /\ ( F ` m ) oR <_ G ) -> ( S.2 ` ( F ` m ) ) <_ ( S.2 ` G ) )
138	100, 101, 136, 137	syl3anc 1326	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ m e. NN ) -> ( S.2 ` ( F ` m ) ) <_ ( S.2 ` G ) )
139	138	ralrimiva 2966	. . . . 5 |- ( ph -> A. m e. NN ( S.2 ` ( F ` m ) ) <_ ( S.2 ` G ) )
140		ffn 6045	. . . . . . . 8 |- ( ( n e. NN |-> ( S.2 ` ( F ` n ) ) ) : NN --> RR* -> ( n e. NN |-> ( S.2 ` ( F ` n ) ) ) Fn NN )
141	86, 140	syl 17	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( n e. NN |-> ( S.2 ` ( F ` n ) ) ) Fn NN )
142		breq1 4656	. . . . . . . 8 |- ( z = ( ( n e. NN |-> ( S.2 ` ( F ` n ) ) ) ` m ) -> ( z <_ ( S.2 ` G ) <-> ( ( n e. NN |-> ( S.2 ` ( F ` n ) ) ) ` m ) <_ ( S.2 ` G ) ) )
143	142	ralrn 6362	. . . . . . 7 |- ( ( n e. NN |-> ( S.2 ` ( F ` n ) ) ) Fn NN -> ( A. z e. ran ( n e. NN |-> ( S.2 ` ( F ` n ) ) ) z <_ ( S.2 ` G ) <-> A. m e. NN ( ( n e. NN |-> ( S.2 ` ( F ` n ) ) ) ` m ) <_ ( S.2 ` G ) ) )
144	141, 143	syl 17	. . . . . 6 |- ( ph -> ( A. z e. ran ( n e. NN |-> ( S.2 ` ( F ` n ) ) ) z <_ ( S.2 ` G ) <-> A. m e. NN ( ( n e. NN |-> ( S.2 ` ( F ` n ) ) ) ` m ) <_ ( S.2 ` G ) ) )
145	41	fveq2d 6195	. . . . . . . . 9 |- ( n = m -> ( S.2 ` ( F ` n ) ) = ( S.2 ` ( F ` m ) ) )
146		fvex 6201	. . . . . . . . 9 |- ( S.2 ` ( F ` m ) ) e. _V
147	145, 85, 146	fvmpt 6282	. . . . . . . 8 |- ( m e. NN -> ( ( n e. NN |-> ( S.2 ` ( F ` n ) ) ) ` m ) = ( S.2 ` ( F ` m ) ) )
148	147	breq1d 4663	. . . . . . 7 |- ( m e. NN -> ( ( ( n e. NN |-> ( S.2 ` ( F ` n ) ) ) ` m ) <_ ( S.2 ` G ) <-> ( S.2 ` ( F ` m ) ) <_ ( S.2 ` G ) ) )
149	148	ralbiia 2979	. . . . . 6 |- ( A. m e. NN ( ( n e. NN |-> ( S.2 ` ( F ` n ) ) ) ` m ) <_ ( S.2 ` G ) <-> A. m e. NN ( S.2 ` ( F ` m ) ) <_ ( S.2 ` G ) )
150	144, 149	syl6bb 276	. . . . 5 |- ( ph -> ( A. z e. ran ( n e. NN |-> ( S.2 ` ( F ` n ) ) ) z <_ ( S.2 ` G ) <-> A. m e. NN ( S.2 ` ( F ` m ) ) <_ ( S.2 ` G ) ) )
151	139, 150	mpbird 247	. . . 4 |- ( ph -> A. z e. ran ( n e. NN |-> ( S.2 ` ( F ` n ) ) ) z <_ ( S.2 ` G ) )
152		itg2cl 23499	. . . . . 6 |- ( G : RR --> ( 0 [,] +oo ) -> ( S.2 ` G ) e. RR* )
153	79, 152	syl 17	. . . . 5 |- ( ph -> ( S.2 ` G ) e. RR* )
154		supxrleub 12156	. . . . 5 |- ( ( ran ( n e. NN |-> ( S.2 ` ( F ` n ) ) ) C_ RR* /\ ( S.2 ` G ) e. RR* ) -> ( sup ( ran ( n e. NN |-> ( S.2 ` ( F ` n ) ) ) , RR* , < ) <_ ( S.2 ` G ) <-> A. z e. ran ( n e. NN |-> ( S.2 ` ( F ` n ) ) ) z <_ ( S.2 ` G ) ) )
155	88, 153, 154	syl2anc 693	. . . 4 |- ( ph -> ( sup ( ran ( n e. NN |-> ( S.2 ` ( F ` n ) ) ) , RR* , < ) <_ ( S.2 ` G ) <-> A. z e. ran ( n e. NN |-> ( S.2 ` ( F ` n ) ) ) z <_ ( S.2 ` G ) ) )
156	151, 155	mpbird 247	. . 3 |- ( ph -> sup ( ran ( n e. NN |-> ( S.2 ` ( F ` n ) ) ) , RR* , < ) <_ ( S.2 ` G ) )
157	10, 156	syl5eqbr 4688	. 2 |- ( ph -> S <_ ( S.2 ` G ) )
158		xrletri3 11985	. . 3 |- ( ( ( S.2 ` G ) e. RR* /\ S e. RR* ) -> ( ( S.2 ` G ) = S <-> ( ( S.2 ` G ) <_ S /\ S <_ ( S.2 ` G ) ) ) )
159	153, 91, 158	syl2anc 693	. 2 |- ( ph -> ( ( S.2 ` G ) = S <-> ( ( S.2 ` G ) <_ S /\ S <_ ( S.2 ` G ) ) ) )
160	94, 157, 159	mpbir2and 957	1 |- ( ph -> ( S.2 ` G ) = S )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   =/= wne 2794   A.wral 2912   E.wrex 2913   _Vcvv 3200   C_ wss 3574   (/)c0 3915   class class class wbr 4653   |-> cmpt 4729   dom cdm 5114   ran crn 5115   Fn wfn 5883   -->wf 5884   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   oRcofr 6896   supcsup 8346   RRcr 9935   0cc0 9936   1c1 9937   + caddc 9939   +oocpnf 10071   RR*cxr 10073   < clt 10074   <_ cle 10075   NNcn 11020   [,)cico 12177   [,]cicc 12178  MblFncmbf 23383   S.1citg1 23384   S.2citg2 23385

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538  ax-cc 9257  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014  ax-addf 10015

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-fal 1489  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-disj 4621  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-of 6897  df-ofr 6898  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-2o 7561  df-oadd 7564  df-omul 7565  df-er 7742  df-map 7859  df-pm 7860  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-fi 8317  df-sup 8348  df-inf 8349  df-oi 8415  df-card 8765  df-acn 8768  df-cda 8990  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-q 11789  df-rp 11833  df-xneg 11946  df-xadd 11947  df-xmul 11948  df-ioo 12179  df-ioc 12180  df-ico 12181  df-icc 12182  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-fl 12593  df-seq 12802  df-exp 12861  df-hash 13118  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-clim 14219  df-rlim 14220  df-sum 14417  df-rest 16083  df-topgen 16104  df-psmet 19738  df-xmet 19739  df-met 19740  df-bl 19741  df-mopn 19742  df-top 20699  df-topon 20716  df-bases 20750  df-cmp 21190  df-ovol 23233  df-vol 23234  df-mbf 23388  df-itg1 23389  df-itg2 23390

This theorem is referenced by:  itg2i1fseq  23522  itg2cnlem1  23528