Theorem itg2addlem 23525

Description: Lemma for itg2add 23526. (Contributed by Mario Carneiro, 17-Aug-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
itg2add.f1	|- ( ph -> F e. MblFn )
itg2add.f2	|- ( ph -> F : RR --> ( 0 [,) +oo ) )
itg2add.f3	|- ( ph -> ( S.2 ` F ) e. RR )
itg2add.g1	|- ( ph -> G e. MblFn )
itg2add.g2	|- ( ph -> G : RR --> ( 0 [,) +oo ) )
itg2add.g3	|- ( ph -> ( S.2 ` G ) e. RR )
itg2add.p1	|- ( ph -> P : NN --> dom S.1 )
itg2add.p2	|- ( ph -> A. n e. NN ( 0p oR <_ ( P ` n ) /\ ( P ` n ) oR <_ ( P ` ( n + 1 ) ) ) )
itg2add.p3	|- ( ph -> A. x e. RR ( n e. NN |-> ( ( P ` n ) ` x ) ) ~~> ( F ` x ) )
itg2add.q1	|- ( ph -> Q : NN --> dom S.1 )
itg2add.q2	|- ( ph -> A. n e. NN ( 0p oR <_ ( Q ` n ) /\ ( Q ` n ) oR <_ ( Q ` ( n + 1 ) ) ) )
itg2add.q3	|- ( ph -> A. x e. RR ( n e. NN |-> ( ( Q ` n ) ` x ) ) ~~> ( G ` x ) )

Assertion

Ref	Expression
itg2addlem	|- ( ph -> ( S.2 ` ( F oF + G ) ) = ( ( S.2 ` F ) + ( S.2 ` G ) ) )

Distinct variable groups:   x, n, F   P, n, x   Q, n, x   n, G, x

Allowed substitution hints:   ph( x, n)

Proof of Theorem itg2addlem

Dummy variables f g j k m y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		itg2add.f1	. . . 4 |- ( ph -> F e. MblFn )
2		itg2add.g1	. . . 4 |- ( ph -> G e. MblFn )
3	1, 2	mbfadd 23428	. . 3 |- ( ph -> ( F oF + G ) e. MblFn )
4		ge0addcl 12284	. . . . 5 |- ( ( y e. ( 0 [,) +oo ) /\ z e. ( 0 [,) +oo ) ) -> ( y + z ) e. ( 0 [,) +oo ) )
5	4	adantl 482	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( y e. ( 0 [,) +oo ) /\ z e. ( 0 [,) +oo ) ) ) -> ( y + z ) e. ( 0 [,) +oo ) )
6		itg2add.f2	. . . 4 |- ( ph -> F : RR --> ( 0 [,) +oo ) )
7		itg2add.g2	. . . 4 |- ( ph -> G : RR --> ( 0 [,) +oo ) )
8		reex 10027	. . . . 5 |- RR e. _V
9	8	a1i 11	. . . 4 |- ( ph -> RR e. _V )
10		inidm 3822	. . . 4 |- ( RR i^i RR ) = RR
11	5, 6, 7, 9, 9, 10	off 6912	. . 3 |- ( ph -> ( F oF + G ) : RR --> ( 0 [,) +oo ) )
12		simpl 473	. . . . . 6 |- ( ( f e. dom S.1 /\ g e. dom S.1 ) -> f e. dom S.1 )
13		simpr 477	. . . . . 6 |- ( ( f e. dom S.1 /\ g e. dom S.1 ) -> g e. dom S.1 )
14	12, 13	i1fadd 23462	. . . . 5 |- ( ( f e. dom S.1 /\ g e. dom S.1 ) -> ( f oF + g ) e. dom S.1 )
15	14	adantl 482	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( f e. dom S.1 /\ g e. dom S.1 ) ) -> ( f oF + g ) e. dom S.1 )
16		itg2add.p1	. . . 4 |- ( ph -> P : NN --> dom S.1 )
17		itg2add.q1	. . . 4 |- ( ph -> Q : NN --> dom S.1 )
18		nnex 11026	. . . . 5 |- NN e. _V
19	18	a1i 11	. . . 4 |- ( ph -> NN e. _V )
20		inidm 3822	. . . 4 |- ( NN i^i NN ) = NN
21	15, 16, 17, 19, 19, 20	off 6912	. . 3 |- ( ph -> ( P oF oF + Q ) : NN --> dom S.1 )
22		ge0addcl 12284	. . . . . . . . . 10 |- ( ( f e. ( 0 [,) +oo ) /\ g e. ( 0 [,) +oo ) ) -> ( f + g ) e. ( 0 [,) +oo ) )
23	22	adantl 482	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ m e. NN ) /\ ( f e. ( 0 [,) +oo ) /\ g e. ( 0 [,) +oo ) ) ) -> ( f + g ) e. ( 0 [,) +oo ) )
24	16	ffvelrnda 6359	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ m e. NN ) -> ( P ` m ) e. dom S.1 )
25		itg2add.p2	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> A. n e. NN ( 0p oR <_ ( P ` n ) /\ ( P ` n ) oR <_ ( P ` ( n + 1 ) ) ) )
26		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( n = m -> ( P ` n ) = ( P ` m ) )
27	26	breq2d 4665	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( n = m -> ( 0p oR <_ ( P ` n ) <-> 0p oR <_ ( P ` m ) ) )
28		oveq1 6657	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( n = m -> ( n + 1 ) = ( m + 1 ) )
29	28	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( n = m -> ( P ` ( n + 1 ) ) = ( P ` ( m + 1 ) ) )
30	26, 29	breq12d 4666	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( n = m -> ( ( P ` n ) oR <_ ( P ` ( n + 1 ) ) <-> ( P ` m ) oR <_ ( P ` ( m + 1 ) ) ) )
31	27, 30	anbi12d 747	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( n = m -> ( ( 0p oR <_ ( P ` n ) /\ ( P ` n ) oR <_ ( P ` ( n + 1 ) ) ) <-> ( 0p oR <_ ( P ` m ) /\ ( P ` m ) oR <_ ( P ` ( m + 1 ) ) ) ) )
32	31	rspccva 3308	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( A. n e. NN ( 0p oR <_ ( P ` n ) /\ ( P ` n ) oR <_ ( P ` ( n + 1 ) ) ) /\ m e. NN ) -> ( 0p oR <_ ( P ` m ) /\ ( P ` m ) oR <_ ( P ` ( m + 1 ) ) ) )
33	25, 32	sylan 488	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ m e. NN ) -> ( 0p oR <_ ( P ` m ) /\ ( P ` m ) oR <_ ( P ` ( m + 1 ) ) ) )
34	33	simpld 475	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ m e. NN ) -> 0p oR <_ ( P ` m ) )
35		breq2 4657	. . . . . . . . . . . 12 |- ( f = ( P ` m ) -> ( 0p oR <_ f <-> 0p oR <_ ( P ` m ) ) )
36		feq1 6026	. . . . . . . . . . . 12 |- ( f = ( P ` m ) -> ( f : RR --> ( 0 [,) +oo ) <-> ( P ` m ) : RR --> ( 0 [,) +oo ) ) )
37	35, 36	imbi12d 334	. . . . . . . . . . 11 |- ( f = ( P ` m ) -> ( ( 0p oR <_ f -> f : RR --> ( 0 [,) +oo ) ) <-> ( 0p oR <_ ( P ` m ) -> ( P ` m ) : RR --> ( 0 [,) +oo ) ) ) )
38		i1ff 23443	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( f e. dom S.1 -> f : RR --> RR )
39		ffn 6045	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( f : RR --> RR -> f Fn RR )
40	38, 39	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( f e. dom S.1 -> f Fn RR )
41	40	adantr 481	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( f e. dom S.1 /\ 0p oR <_ f ) -> f Fn RR )
42		0cn 10032	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- 0 e. CC
43		fnconstg 6093	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( 0 e. CC -> ( CC X. { 0 } ) Fn CC )
44	42, 43	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( CC X. { 0 } ) Fn CC
45		df-0p 23437	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- 0p = ( CC X. { 0 } )
46	45	fneq1i 5985	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( 0p Fn CC <-> ( CC X. { 0 } ) Fn CC )
47	44, 46	mpbir 221	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- 0p Fn CC
48	47	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( f e. dom S.1 -> 0p Fn CC )
49		cnex 10017	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- CC e. _V
50	49	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( f e. dom S.1 -> CC e. _V )
51	8	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( f e. dom S.1 -> RR e. _V )
52		ax-resscn 9993	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- RR C_ CC
53		sseqin2 3817	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( RR C_ CC <-> ( CC i^i RR ) = RR )
54	52, 53	mpbi 220	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( CC i^i RR ) = RR
55		0pval 23438	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( x e. CC -> ( 0p ` x ) = 0 )
56	55	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( f e. dom S.1 /\ x e. CC ) -> ( 0p ` x ) = 0 )
57		eqidd 2623	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( f e. dom S.1 /\ x e. RR ) -> ( f ` x ) = ( f ` x ) )
58	48, 40, 50, 51, 54, 56, 57	ofrfval 6905	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( f e. dom S.1 -> ( 0p oR <_ f <-> A. x e. RR 0 <_ ( f ` x ) ) )
59	58	biimpa 501	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( f e. dom S.1 /\ 0p oR <_ f ) -> A. x e. RR 0 <_ ( f ` x ) )
60	38	ffvelrnda 6359	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( f e. dom S.1 /\ x e. RR ) -> ( f ` x ) e. RR )
61		elrege0 12278	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( f ` x ) e. ( 0 [,) +oo ) <-> ( ( f ` x ) e. RR /\ 0 <_ ( f ` x ) ) )
62	61	simplbi2 655	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( f ` x ) e. RR -> ( 0 <_ ( f ` x ) -> ( f ` x ) e. ( 0 [,) +oo ) ) )
63	60, 62	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( f e. dom S.1 /\ x e. RR ) -> ( 0 <_ ( f ` x ) -> ( f ` x ) e. ( 0 [,) +oo ) ) )
64	63	ralimdva 2962	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( f e. dom S.1 -> ( A. x e. RR 0 <_ ( f ` x ) -> A. x e. RR ( f ` x ) e. ( 0 [,) +oo ) ) )
65	64	imp 445	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( f e. dom S.1 /\ A. x e. RR 0 <_ ( f ` x ) ) -> A. x e. RR ( f ` x ) e. ( 0 [,) +oo ) )
66	59, 65	syldan 487	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( f e. dom S.1 /\ 0p oR <_ f ) -> A. x e. RR ( f ` x ) e. ( 0 [,) +oo ) )
67		ffnfv 6388	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( f : RR --> ( 0 [,) +oo ) <-> ( f Fn RR /\ A. x e. RR ( f ` x ) e. ( 0 [,) +oo ) ) )
68	41, 66, 67	sylanbrc 698	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( f e. dom S.1 /\ 0p oR <_ f ) -> f : RR --> ( 0 [,) +oo ) )
69	68	ex 450	. . . . . . . . . . 11 |- ( f e. dom S.1 -> ( 0p oR <_ f -> f : RR --> ( 0 [,) +oo ) ) )
70	37, 69	vtoclga 3272	. . . . . . . . . 10 |- ( ( P ` m ) e. dom S.1 -> ( 0p oR <_ ( P ` m ) -> ( P ` m ) : RR --> ( 0 [,) +oo ) ) )
71	24, 34, 70	sylc 65	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ m e. NN ) -> ( P ` m ) : RR --> ( 0 [,) +oo ) )
72	17	ffvelrnda 6359	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ m e. NN ) -> ( Q ` m ) e. dom S.1 )
73		itg2add.q2	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> A. n e. NN ( 0p oR <_ ( Q ` n ) /\ ( Q ` n ) oR <_ ( Q ` ( n + 1 ) ) ) )
74		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( n = m -> ( Q ` n ) = ( Q ` m ) )
75	74	breq2d 4665	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( n = m -> ( 0p oR <_ ( Q ` n ) <-> 0p oR <_ ( Q ` m ) ) )
76	28	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( n = m -> ( Q ` ( n + 1 ) ) = ( Q ` ( m + 1 ) ) )
77	74, 76	breq12d 4666	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( n = m -> ( ( Q ` n ) oR <_ ( Q ` ( n + 1 ) ) <-> ( Q ` m ) oR <_ ( Q ` ( m + 1 ) ) ) )
78	75, 77	anbi12d 747	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( n = m -> ( ( 0p oR <_ ( Q ` n ) /\ ( Q ` n ) oR <_ ( Q ` ( n + 1 ) ) ) <-> ( 0p oR <_ ( Q ` m ) /\ ( Q ` m ) oR <_ ( Q ` ( m + 1 ) ) ) ) )
79	78	rspccva 3308	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( A. n e. NN ( 0p oR <_ ( Q ` n ) /\ ( Q ` n ) oR <_ ( Q ` ( n + 1 ) ) ) /\ m e. NN ) -> ( 0p oR <_ ( Q ` m ) /\ ( Q ` m ) oR <_ ( Q ` ( m + 1 ) ) ) )
80	73, 79	sylan 488	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ m e. NN ) -> ( 0p oR <_ ( Q ` m ) /\ ( Q ` m ) oR <_ ( Q ` ( m + 1 ) ) ) )
81	80	simpld 475	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ m e. NN ) -> 0p oR <_ ( Q ` m ) )
82		breq2 4657	. . . . . . . . . . . 12 |- ( f = ( Q ` m ) -> ( 0p oR <_ f <-> 0p oR <_ ( Q ` m ) ) )
83		feq1 6026	. . . . . . . . . . . 12 |- ( f = ( Q ` m ) -> ( f : RR --> ( 0 [,) +oo ) <-> ( Q ` m ) : RR --> ( 0 [,) +oo ) ) )
84	82, 83	imbi12d 334	. . . . . . . . . . 11 |- ( f = ( Q ` m ) -> ( ( 0p oR <_ f -> f : RR --> ( 0 [,) +oo ) ) <-> ( 0p oR <_ ( Q ` m ) -> ( Q ` m ) : RR --> ( 0 [,) +oo ) ) ) )
85	84, 69	vtoclga 3272	. . . . . . . . . 10 |- ( ( Q ` m ) e. dom S.1 -> ( 0p oR <_ ( Q ` m ) -> ( Q ` m ) : RR --> ( 0 [,) +oo ) ) )
86	72, 81, 85	sylc 65	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ m e. NN ) -> ( Q ` m ) : RR --> ( 0 [,) +oo ) )
87	8	a1i 11	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ m e. NN ) -> RR e. _V )
88	23, 71, 86, 87, 87, 10	off 6912	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ m e. NN ) -> ( ( P ` m ) oF + ( Q ` m ) ) : RR --> ( 0 [,) +oo ) )
89		0plef 23439	. . . . . . . 8 |- ( ( ( P ` m ) oF + ( Q ` m ) ) : RR --> ( 0 [,) +oo ) <-> ( ( ( P ` m ) oF + ( Q ` m ) ) : RR --> RR /\ 0p oR <_ ( ( P ` m ) oF + ( Q ` m ) ) ) )
90	88, 89	sylib 208	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ m e. NN ) -> ( ( ( P ` m ) oF + ( Q ` m ) ) : RR --> RR /\ 0p oR <_ ( ( P ` m ) oF + ( Q ` m ) ) ) )
91	90	simprd 479	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ m e. NN ) -> 0p oR <_ ( ( P ` m ) oF + ( Q ` m ) ) )
92		ffn 6045	. . . . . . . 8 |- ( P : NN --> dom S.1 -> P Fn NN )
93	16, 92	syl 17	. . . . . . 7 |- ( ph -> P Fn NN )
94		ffn 6045	. . . . . . . 8 |- ( Q : NN --> dom S.1 -> Q Fn NN )
95	17, 94	syl 17	. . . . . . 7 |- ( ph -> Q Fn NN )
96		eqidd 2623	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ m e. NN ) -> ( P ` m ) = ( P ` m ) )
97		eqidd 2623	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ m e. NN ) -> ( Q ` m ) = ( Q ` m ) )
98	93, 95, 19, 19, 20, 96, 97	ofval 6906	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ m e. NN ) -> ( ( P oF oF + Q ) ` m ) = ( ( P ` m ) oF + ( Q ` m ) ) )
99	91, 98	breqtrrd 4681	. . . . 5 |- ( ( ph /\ m e. NN ) -> 0p oR <_ ( ( P oF oF + Q ) ` m ) )
100		i1ff 23443	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( P ` m ) e. dom S.1 -> ( P ` m ) : RR --> RR )
101	24, 100	syl 17	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ m e. NN ) -> ( P ` m ) : RR --> RR )
102	101	ffvelrnda 6359	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ m e. NN ) /\ y e. RR ) -> ( ( P ` m ) ` y ) e. RR )
103		i1ff 23443	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( Q ` m ) e. dom S.1 -> ( Q ` m ) : RR --> RR )
104	72, 103	syl 17	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ m e. NN ) -> ( Q ` m ) : RR --> RR )
105	104	ffvelrnda 6359	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ m e. NN ) /\ y e. RR ) -> ( ( Q ` m ) ` y ) e. RR )
106		peano2nn 11032	. . . . . . . . . . . 12 |- ( m e. NN -> ( m + 1 ) e. NN )
107		ffvelrn 6357	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( P : NN --> dom S.1 /\ ( m + 1 ) e. NN ) -> ( P ` ( m + 1 ) ) e. dom S.1 )
108	16, 106, 107	syl2an 494	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ m e. NN ) -> ( P ` ( m + 1 ) ) e. dom S.1 )
109		i1ff 23443	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( P ` ( m + 1 ) ) e. dom S.1 -> ( P ` ( m + 1 ) ) : RR --> RR )
110	108, 109	syl 17	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ m e. NN ) -> ( P ` ( m + 1 ) ) : RR --> RR )
111	110	ffvelrnda 6359	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ m e. NN ) /\ y e. RR ) -> ( ( P ` ( m + 1 ) ) ` y ) e. RR )
112		ffvelrn 6357	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( Q : NN --> dom S.1 /\ ( m + 1 ) e. NN ) -> ( Q ` ( m + 1 ) ) e. dom S.1 )
113	17, 106, 112	syl2an 494	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ m e. NN ) -> ( Q ` ( m + 1 ) ) e. dom S.1 )
114		i1ff 23443	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( Q ` ( m + 1 ) ) e. dom S.1 -> ( Q ` ( m + 1 ) ) : RR --> RR )
115	113, 114	syl 17	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ m e. NN ) -> ( Q ` ( m + 1 ) ) : RR --> RR )
116	115	ffvelrnda 6359	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ m e. NN ) /\ y e. RR ) -> ( ( Q ` ( m + 1 ) ) ` y ) e. RR )
117	33	simprd 479	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ m e. NN ) -> ( P ` m ) oR <_ ( P ` ( m + 1 ) ) )
118		ffn 6045	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( P ` m ) : RR --> RR -> ( P ` m ) Fn RR )
119	101, 118	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ m e. NN ) -> ( P ` m ) Fn RR )
120		ffn 6045	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( P ` ( m + 1 ) ) : RR --> RR -> ( P ` ( m + 1 ) ) Fn RR )
121	110, 120	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ m e. NN ) -> ( P ` ( m + 1 ) ) Fn RR )
122		eqidd 2623	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ m e. NN ) /\ y e. RR ) -> ( ( P ` m ) ` y ) = ( ( P ` m ) ` y ) )
123		eqidd 2623	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ m e. NN ) /\ y e. RR ) -> ( ( P ` ( m + 1 ) ) ` y ) = ( ( P ` ( m + 1 ) ) ` y ) )
124	119, 121, 87, 87, 10, 122, 123	ofrfval 6905	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ m e. NN ) -> ( ( P ` m ) oR <_ ( P ` ( m + 1 ) ) <-> A. y e. RR ( ( P ` m ) ` y ) <_ ( ( P ` ( m + 1 ) ) ` y ) ) )
125	117, 124	mpbid 222	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ m e. NN ) -> A. y e. RR ( ( P ` m ) ` y ) <_ ( ( P ` ( m + 1 ) ) ` y ) )
126	125	r19.21bi 2932	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ m e. NN ) /\ y e. RR ) -> ( ( P ` m ) ` y ) <_ ( ( P ` ( m + 1 ) ) ` y ) )
127	80	simprd 479	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ m e. NN ) -> ( Q ` m ) oR <_ ( Q ` ( m + 1 ) ) )
128		ffn 6045	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( Q ` m ) : RR --> RR -> ( Q ` m ) Fn RR )
129	104, 128	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ m e. NN ) -> ( Q ` m ) Fn RR )
130		ffn 6045	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( Q ` ( m + 1 ) ) : RR --> RR -> ( Q ` ( m + 1 ) ) Fn RR )
131	115, 130	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ m e. NN ) -> ( Q ` ( m + 1 ) ) Fn RR )
132		eqidd 2623	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ m e. NN ) /\ y e. RR ) -> ( ( Q ` m ) ` y ) = ( ( Q ` m ) ` y ) )
133		eqidd 2623	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ m e. NN ) /\ y e. RR ) -> ( ( Q ` ( m + 1 ) ) ` y ) = ( ( Q ` ( m + 1 ) ) ` y ) )
134	129, 131, 87, 87, 10, 132, 133	ofrfval 6905	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ m e. NN ) -> ( ( Q ` m ) oR <_ ( Q ` ( m + 1 ) ) <-> A. y e. RR ( ( Q ` m ) ` y ) <_ ( ( Q ` ( m + 1 ) ) ` y ) ) )
135	127, 134	mpbid 222	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ m e. NN ) -> A. y e. RR ( ( Q ` m ) ` y ) <_ ( ( Q ` ( m + 1 ) ) ` y ) )
136	135	r19.21bi 2932	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ m e. NN ) /\ y e. RR ) -> ( ( Q ` m ) ` y ) <_ ( ( Q ` ( m + 1 ) ) ` y ) )
137	102, 105, 111, 116, 126, 136	le2addd 10646	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ m e. NN ) /\ y e. RR ) -> ( ( ( P ` m ) ` y ) + ( ( Q ` m ) ` y ) ) <_ ( ( ( P ` ( m + 1 ) ) ` y ) + ( ( Q ` ( m + 1 ) ) ` y ) ) )
138	137	ralrimiva 2966	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ m e. NN ) -> A. y e. RR ( ( ( P ` m ) ` y ) + ( ( Q ` m ) ` y ) ) <_ ( ( ( P ` ( m + 1 ) ) ` y ) + ( ( Q ` ( m + 1 ) ) ` y ) ) )
139	24, 72	i1fadd 23462	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ m e. NN ) -> ( ( P ` m ) oF + ( Q ` m ) ) e. dom S.1 )
140		i1ff 23443	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( P ` m ) oF + ( Q ` m ) ) e. dom S.1 -> ( ( P ` m ) oF + ( Q ` m ) ) : RR --> RR )
141		ffn 6045	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( P ` m ) oF + ( Q ` m ) ) : RR --> RR -> ( ( P ` m ) oF + ( Q ` m ) ) Fn RR )
142	139, 140, 141	3syl 18	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ m e. NN ) -> ( ( P ` m ) oF + ( Q ` m ) ) Fn RR )
143	108, 113	i1fadd 23462	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ m e. NN ) -> ( ( P ` ( m + 1 ) ) oF + ( Q ` ( m + 1 ) ) ) e. dom S.1 )
144		i1ff 23443	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( P ` ( m + 1 ) ) oF + ( Q ` ( m + 1 ) ) ) e. dom S.1 -> ( ( P ` ( m + 1 ) ) oF + ( Q ` ( m + 1 ) ) ) : RR --> RR )
145	143, 144	syl 17	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ m e. NN ) -> ( ( P ` ( m + 1 ) ) oF + ( Q ` ( m + 1 ) ) ) : RR --> RR )
146		ffn 6045	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( P ` ( m + 1 ) ) oF + ( Q ` ( m + 1 ) ) ) : RR --> RR -> ( ( P ` ( m + 1 ) ) oF + ( Q ` ( m + 1 ) ) ) Fn RR )
147	145, 146	syl 17	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ m e. NN ) -> ( ( P ` ( m + 1 ) ) oF + ( Q ` ( m + 1 ) ) ) Fn RR )
148	119, 129, 87, 87, 10, 122, 132	ofval 6906	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ m e. NN ) /\ y e. RR ) -> ( ( ( P ` m ) oF + ( Q ` m ) ) ` y ) = ( ( ( P ` m ) ` y ) + ( ( Q ` m ) ` y ) ) )
149	121, 131, 87, 87, 10, 123, 133	ofval 6906	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ m e. NN ) /\ y e. RR ) -> ( ( ( P ` ( m + 1 ) ) oF + ( Q ` ( m + 1 ) ) ) ` y ) = ( ( ( P ` ( m + 1 ) ) ` y ) + ( ( Q ` ( m + 1 ) ) ` y ) ) )
150	142, 147, 87, 87, 10, 148, 149	ofrfval 6905	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ m e. NN ) -> ( ( ( P ` m ) oF + ( Q ` m ) ) oR <_ ( ( P ` ( m + 1 ) ) oF + ( Q ` ( m + 1 ) ) ) <-> A. y e. RR ( ( ( P ` m ) ` y ) + ( ( Q ` m ) ` y ) ) <_ ( ( ( P ` ( m + 1 ) ) ` y ) + ( ( Q ` ( m + 1 ) ) ` y ) ) ) )
151	138, 150	mpbird 247	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ m e. NN ) -> ( ( P ` m ) oF + ( Q ` m ) ) oR <_ ( ( P ` ( m + 1 ) ) oF + ( Q ` ( m + 1 ) ) ) )
152		eqidd 2623	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( m + 1 ) e. NN ) -> ( P ` ( m + 1 ) ) = ( P ` ( m + 1 ) ) )
153		eqidd 2623	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( m + 1 ) e. NN ) -> ( Q ` ( m + 1 ) ) = ( Q ` ( m + 1 ) ) )
154	93, 95, 19, 19, 20, 152, 153	ofval 6906	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( m + 1 ) e. NN ) -> ( ( P oF oF + Q ) ` ( m + 1 ) ) = ( ( P ` ( m + 1 ) ) oF + ( Q ` ( m + 1 ) ) ) )
155	106, 154	sylan2 491	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ m e. NN ) -> ( ( P oF oF + Q ) ` ( m + 1 ) ) = ( ( P ` ( m + 1 ) ) oF + ( Q ` ( m + 1 ) ) ) )
156	151, 98, 155	3brtr4d 4685	. . . . 5 |- ( ( ph /\ m e. NN ) -> ( ( P oF oF + Q ) ` m ) oR <_ ( ( P oF oF + Q ) ` ( m + 1 ) ) )
157	99, 156	jca 554	. . . 4 |- ( ( ph /\ m e. NN ) -> ( 0p oR <_ ( ( P oF oF + Q ) ` m ) /\ ( ( P oF oF + Q ) ` m ) oR <_ ( ( P oF oF + Q ) ` ( m + 1 ) ) ) )
158	157	ralrimiva 2966	. . 3 |- ( ph -> A. m e. NN ( 0p oR <_ ( ( P oF oF + Q ) ` m ) /\ ( ( P oF oF + Q ) ` m ) oR <_ ( ( P oF oF + Q ) ` ( m + 1 ) ) ) )
159		fveq2 6191	. . . . . . . 8 |- ( n = m -> ( ( P oF oF + Q ) ` n ) = ( ( P oF oF + Q ) ` m ) )
160	159	fveq1d 6193	. . . . . . 7 |- ( n = m -> ( ( ( P oF oF + Q ) ` n ) ` y ) = ( ( ( P oF oF + Q ) ` m ) ` y ) )
161	160	cbvmptv 4750	. . . . . 6 |- ( n e. NN |-> ( ( ( P oF oF + Q ) ` n ) ` y ) ) = ( m e. NN |-> ( ( ( P oF oF + Q ) ` m ) ` y ) )
162		nnuz 11723	. . . . . . 7 |- NN = ( ZZ>= ` 1 )
163		1zzd 11408	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ y e. RR ) -> 1 e. ZZ )
164		itg2add.p3	. . . . . . . 8 |- ( ph -> A. x e. RR ( n e. NN |-> ( ( P ` n ) ` x ) ) ~~> ( F ` x ) )
165		fveq2 6191	. . . . . . . . . . 11 |- ( x = y -> ( ( P ` n ) ` x ) = ( ( P ` n ) ` y ) )
166	165	mpteq2dv 4745	. . . . . . . . . 10 |- ( x = y -> ( n e. NN |-> ( ( P ` n ) ` x ) ) = ( n e. NN |-> ( ( P ` n ) ` y ) ) )
167		fveq2 6191	. . . . . . . . . 10 |- ( x = y -> ( F ` x ) = ( F ` y ) )
168	166, 167	breq12d 4666	. . . . . . . . 9 |- ( x = y -> ( ( n e. NN |-> ( ( P ` n ) ` x ) ) ~~> ( F ` x ) <-> ( n e. NN |-> ( ( P ` n ) ` y ) ) ~~> ( F ` y ) ) )
169	168	rspccva 3308	. . . . . . . 8 |- ( ( A. x e. RR ( n e. NN |-> ( ( P ` n ) ` x ) ) ~~> ( F ` x ) /\ y e. RR ) -> ( n e. NN |-> ( ( P ` n ) ` y ) ) ~~> ( F ` y ) )
170	164, 169	sylan 488	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ y e. RR ) -> ( n e. NN |-> ( ( P ` n ) ` y ) ) ~~> ( F ` y ) )
171	18	mptex 6486	. . . . . . . 8 |- ( n e. NN |-> ( ( ( P oF oF + Q ) ` n ) ` y ) ) e. _V
172	171	a1i 11	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ y e. RR ) -> ( n e. NN |-> ( ( ( P oF oF + Q ) ` n ) ` y ) ) e. _V )
173		itg2add.q3	. . . . . . . 8 |- ( ph -> A. x e. RR ( n e. NN |-> ( ( Q ` n ) ` x ) ) ~~> ( G ` x ) )
174		fveq2 6191	. . . . . . . . . . 11 |- ( x = y -> ( ( Q ` n ) ` x ) = ( ( Q ` n ) ` y ) )
175	174	mpteq2dv 4745	. . . . . . . . . 10 |- ( x = y -> ( n e. NN |-> ( ( Q ` n ) ` x ) ) = ( n e. NN |-> ( ( Q ` n ) ` y ) ) )
176		fveq2 6191	. . . . . . . . . 10 |- ( x = y -> ( G ` x ) = ( G ` y ) )
177	175, 176	breq12d 4666	. . . . . . . . 9 |- ( x = y -> ( ( n e. NN |-> ( ( Q ` n ) ` x ) ) ~~> ( G ` x ) <-> ( n e. NN |-> ( ( Q ` n ) ` y ) ) ~~> ( G ` y ) ) )
178	177	rspccva 3308	. . . . . . . 8 |- ( ( A. x e. RR ( n e. NN |-> ( ( Q ` n ) ` x ) ) ~~> ( G ` x ) /\ y e. RR ) -> ( n e. NN |-> ( ( Q ` n ) ` y ) ) ~~> ( G ` y ) )
179	173, 178	sylan 488	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ y e. RR ) -> ( n e. NN |-> ( ( Q ` n ) ` y ) ) ~~> ( G ` y ) )
180	26	fveq1d 6193	. . . . . . . . . . 11 |- ( n = m -> ( ( P ` n ) ` y ) = ( ( P ` m ) ` y ) )
181		eqid 2622	. . . . . . . . . . 11 |- ( n e. NN |-> ( ( P ` n ) ` y ) ) = ( n e. NN |-> ( ( P ` n ) ` y ) )
182		fvex 6201	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( P ` m ) ` y ) e. _V
183	180, 181, 182	fvmpt 6282	. . . . . . . . . 10 |- ( m e. NN -> ( ( n e. NN |-> ( ( P ` n ) ` y ) ) ` m ) = ( ( P ` m ) ` y ) )
184	183	adantl 482	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ m e. NN ) -> ( ( n e. NN |-> ( ( P ` n ) ` y ) ) ` m ) = ( ( P ` m ) ` y ) )
185	102	an32s 846	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ m e. NN ) -> ( ( P ` m ) ` y ) e. RR )
186	184, 185	eqeltrd 2701	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ m e. NN ) -> ( ( n e. NN |-> ( ( P ` n ) ` y ) ) ` m ) e. RR )
187	186	recnd 10068	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ m e. NN ) -> ( ( n e. NN |-> ( ( P ` n ) ` y ) ) ` m ) e. CC )
188	74	fveq1d 6193	. . . . . . . . . . 11 |- ( n = m -> ( ( Q ` n ) ` y ) = ( ( Q ` m ) ` y ) )
189		eqid 2622	. . . . . . . . . . 11 |- ( n e. NN |-> ( ( Q ` n ) ` y ) ) = ( n e. NN |-> ( ( Q ` n ) ` y ) )
190		fvex 6201	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( Q ` m ) ` y ) e. _V
191	188, 189, 190	fvmpt 6282	. . . . . . . . . 10 |- ( m e. NN -> ( ( n e. NN |-> ( ( Q ` n ) ` y ) ) ` m ) = ( ( Q ` m ) ` y ) )
192	191	adantl 482	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ m e. NN ) -> ( ( n e. NN |-> ( ( Q ` n ) ` y ) ) ` m ) = ( ( Q ` m ) ` y ) )
193	105	an32s 846	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ m e. NN ) -> ( ( Q ` m ) ` y ) e. RR )
194	192, 193	eqeltrd 2701	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ m e. NN ) -> ( ( n e. NN |-> ( ( Q ` n ) ` y ) ) ` m ) e. RR )
195	194	recnd 10068	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ m e. NN ) -> ( ( n e. NN |-> ( ( Q ` n ) ` y ) ) ` m ) e. CC )
196	98	fveq1d 6193	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ m e. NN ) -> ( ( ( P oF oF + Q ) ` m ) ` y ) = ( ( ( P ` m ) oF + ( Q ` m ) ) ` y ) )
197	196	adantr 481	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ m e. NN ) /\ y e. RR ) -> ( ( ( P oF oF + Q ) ` m ) ` y ) = ( ( ( P ` m ) oF + ( Q ` m ) ) ` y ) )
198	197, 148	eqtrd 2656	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ m e. NN ) /\ y e. RR ) -> ( ( ( P oF oF + Q ) ` m ) ` y ) = ( ( ( P ` m ) ` y ) + ( ( Q ` m ) ` y ) ) )
199	198	an32s 846	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ m e. NN ) -> ( ( ( P oF oF + Q ) ` m ) ` y ) = ( ( ( P ` m ) ` y ) + ( ( Q ` m ) ` y ) ) )
200		eqid 2622	. . . . . . . . . 10 |- ( n e. NN |-> ( ( ( P oF oF + Q ) ` n ) ` y ) ) = ( n e. NN |-> ( ( ( P oF oF + Q ) ` n ) ` y ) )
201		fvex 6201	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( P oF oF + Q ) ` m ) ` y ) e. _V
202	160, 200, 201	fvmpt 6282	. . . . . . . . 9 |- ( m e. NN -> ( ( n e. NN |-> ( ( ( P oF oF + Q ) ` n ) ` y ) ) ` m ) = ( ( ( P oF oF + Q ) ` m ) ` y ) )
203	202	adantl 482	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ m e. NN ) -> ( ( n e. NN |-> ( ( ( P oF oF + Q ) ` n ) ` y ) ) ` m ) = ( ( ( P oF oF + Q ) ` m ) ` y ) )
204	184, 192	oveq12d 6668	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ m e. NN ) -> ( ( ( n e. NN |-> ( ( P ` n ) ` y ) ) ` m ) + ( ( n e. NN |-> ( ( Q ` n ) ` y ) ) ` m ) ) = ( ( ( P ` m ) ` y ) + ( ( Q ` m ) ` y ) ) )
205	199, 203, 204	3eqtr4d 2666	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ m e. NN ) -> ( ( n e. NN |-> ( ( ( P oF oF + Q ) ` n ) ` y ) ) ` m ) = ( ( ( n e. NN |-> ( ( P ` n ) ` y ) ) ` m ) + ( ( n e. NN |-> ( ( Q ` n ) ` y ) ) ` m ) ) )
206	162, 163, 170, 172, 179, 187, 195, 205	climadd 14362	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ y e. RR ) -> ( n e. NN |-> ( ( ( P oF oF + Q ) ` n ) ` y ) ) ~~> ( ( F ` y ) + ( G ` y ) ) )
207	161, 206	syl5eqbrr 4689	. . . . 5 |- ( ( ph /\ y e. RR ) -> ( m e. NN |-> ( ( ( P oF oF + Q ) ` m ) ` y ) ) ~~> ( ( F ` y ) + ( G ` y ) ) )
208		ffn 6045	. . . . . . 7 |- ( F : RR --> ( 0 [,) +oo ) -> F Fn RR )
209	6, 208	syl 17	. . . . . 6 |- ( ph -> F Fn RR )
210		ffn 6045	. . . . . . 7 |- ( G : RR --> ( 0 [,) +oo ) -> G Fn RR )
211	7, 210	syl 17	. . . . . 6 |- ( ph -> G Fn RR )
212		eqidd 2623	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ y e. RR ) -> ( F ` y ) = ( F ` y ) )
213		eqidd 2623	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ y e. RR ) -> ( G ` y ) = ( G ` y ) )
214	209, 211, 9, 9, 10, 212, 213	ofval 6906	. . . . 5 |- ( ( ph /\ y e. RR ) -> ( ( F oF + G ) ` y ) = ( ( F ` y ) + ( G ` y ) ) )
215	207, 214	breqtrrd 4681	. . . 4 |- ( ( ph /\ y e. RR ) -> ( m e. NN |-> ( ( ( P oF oF + Q ) ` m ) ` y ) ) ~~> ( ( F oF + G ) ` y ) )
216	215	ralrimiva 2966	. . 3 |- ( ph -> A. y e. RR ( m e. NN |-> ( ( ( P oF oF + Q ) ` m ) ` y ) ) ~~> ( ( F oF + G ) ` y ) )
217		fveq2 6191	. . . . 5 |- ( n = j -> ( ( P oF oF + Q ) ` n ) = ( ( P oF oF + Q ) ` j ) )
218	217	fveq2d 6195	. . . 4 |- ( n = j -> ( S.1 ` ( ( P oF oF + Q ) ` n ) ) = ( S.1 ` ( ( P oF oF + Q ) ` j ) ) )
219	218	cbvmptv 4750	. . 3 |- ( n e. NN |-> ( S.1 ` ( ( P oF oF + Q ) ` n ) ) ) = ( j e. NN |-> ( S.1 ` ( ( P oF oF + Q ) ` j ) ) )
220		itg2add.f3	. . . 4 |- ( ph -> ( S.2 ` F ) e. RR )
221		itg2add.g3	. . . 4 |- ( ph -> ( S.2 ` G ) e. RR )
222	220, 221	readdcld 10069	. . 3 |- ( ph -> ( ( S.2 ` F ) + ( S.2 ` G ) ) e. RR )
223	98	fveq2d 6195	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ m e. NN ) -> ( S.1 ` ( ( P oF oF + Q ) ` m ) ) = ( S.1 ` ( ( P ` m ) oF + ( Q ` m ) ) ) )
224	24, 72	itg1add 23468	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ m e. NN ) -> ( S.1 ` ( ( P ` m ) oF + ( Q ` m ) ) ) = ( ( S.1 ` ( P ` m ) ) + ( S.1 ` ( Q ` m ) ) ) )
225	223, 224	eqtrd 2656	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ m e. NN ) -> ( S.1 ` ( ( P oF oF + Q ) ` m ) ) = ( ( S.1 ` ( P ` m ) ) + ( S.1 ` ( Q ` m ) ) ) )
226		itg1cl 23452	. . . . . . . 8 |- ( ( P ` m ) e. dom S.1 -> ( S.1 ` ( P ` m ) ) e. RR )
227	24, 226	syl 17	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ m e. NN ) -> ( S.1 ` ( P ` m ) ) e. RR )
228		itg1cl 23452	. . . . . . . 8 |- ( ( Q ` m ) e. dom S.1 -> ( S.1 ` ( Q ` m ) ) e. RR )
229	72, 228	syl 17	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ m e. NN ) -> ( S.1 ` ( Q ` m ) ) e. RR )
230	220	adantr 481	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ m e. NN ) -> ( S.2 ` F ) e. RR )
231	221	adantr 481	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ m e. NN ) -> ( S.2 ` G ) e. RR )
232	6	adantr 481	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ m e. NN ) -> F : RR --> ( 0 [,) +oo ) )
233		icossicc 12260	. . . . . . . . 9 |- ( 0 [,) +oo ) C_ ( 0 [,] +oo )
234		fss 6056	. . . . . . . . 9 |- ( ( F : RR --> ( 0 [,) +oo ) /\ ( 0 [,) +oo ) C_ ( 0 [,] +oo ) ) -> F : RR --> ( 0 [,] +oo ) )
235	232, 233, 234	sylancl 694	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ m e. NN ) -> F : RR --> ( 0 [,] +oo ) )
236	1, 6, 16, 25, 164	itg2i1fseqle 23521	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ m e. NN ) -> ( P ` m ) oR <_ F )
237		itg2ub 23500	. . . . . . . 8 |- ( ( F : RR --> ( 0 [,] +oo ) /\ ( P ` m ) e. dom S.1 /\ ( P ` m ) oR <_ F ) -> ( S.1 ` ( P ` m ) ) <_ ( S.2 ` F ) )
238	235, 24, 236, 237	syl3anc 1326	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ m e. NN ) -> ( S.1 ` ( P ` m ) ) <_ ( S.2 ` F ) )
239	7	adantr 481	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ m e. NN ) -> G : RR --> ( 0 [,) +oo ) )
240		fss 6056	. . . . . . . . 9 |- ( ( G : RR --> ( 0 [,) +oo ) /\ ( 0 [,) +oo ) C_ ( 0 [,] +oo ) ) -> G : RR --> ( 0 [,] +oo ) )
241	239, 233, 240	sylancl 694	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ m e. NN ) -> G : RR --> ( 0 [,] +oo ) )
242	2, 7, 17, 73, 173	itg2i1fseqle 23521	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ m e. NN ) -> ( Q ` m ) oR <_ G )
243		itg2ub 23500	. . . . . . . 8 |- ( ( G : RR --> ( 0 [,] +oo ) /\ ( Q ` m ) e. dom S.1 /\ ( Q ` m ) oR <_ G ) -> ( S.1 ` ( Q ` m ) ) <_ ( S.2 ` G ) )
244	241, 72, 242, 243	syl3anc 1326	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ m e. NN ) -> ( S.1 ` ( Q ` m ) ) <_ ( S.2 ` G ) )
245	227, 229, 230, 231, 238, 244	le2addd 10646	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ m e. NN ) -> ( ( S.1 ` ( P ` m ) ) + ( S.1 ` ( Q ` m ) ) ) <_ ( ( S.2 ` F ) + ( S.2 ` G ) ) )
246	225, 245	eqbrtrd 4675	. . . . 5 |- ( ( ph /\ m e. NN ) -> ( S.1 ` ( ( P oF oF + Q ) ` m ) ) <_ ( ( S.2 ` F ) + ( S.2 ` G ) ) )
247	246	ralrimiva 2966	. . . 4 |- ( ph -> A. m e. NN ( S.1 ` ( ( P oF oF + Q ) ` m ) ) <_ ( ( S.2 ` F ) + ( S.2 ` G ) ) )
248		fveq2 6191	. . . . . . 7 |- ( m = k -> ( ( P oF oF + Q ) ` m ) = ( ( P oF oF + Q ) ` k ) )
249	248	fveq2d 6195	. . . . . 6 |- ( m = k -> ( S.1 ` ( ( P oF oF + Q ) ` m ) ) = ( S.1 ` ( ( P oF oF + Q ) ` k ) ) )
250	249	breq1d 4663	. . . . 5 |- ( m = k -> ( ( S.1 ` ( ( P oF oF + Q ) ` m ) ) <_ ( ( S.2 ` F ) + ( S.2 ` G ) ) <-> ( S.1 ` ( ( P oF oF + Q ) ` k ) ) <_ ( ( S.2 ` F ) + ( S.2 ` G ) ) ) )
251	250	rspccva 3308	. . . 4 |- ( ( A. m e. NN ( S.1 ` ( ( P oF oF + Q ) ` m ) ) <_ ( ( S.2 ` F ) + ( S.2 ` G ) ) /\ k e. NN ) -> ( S.1 ` ( ( P oF oF + Q ) ` k ) ) <_ ( ( S.2 ` F ) + ( S.2 ` G ) ) )
252	247, 251	sylan 488	. . 3 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( S.1 ` ( ( P oF oF + Q ) ` k ) ) <_ ( ( S.2 ` F ) + ( S.2 ` G ) ) )
253	3, 11, 21, 158, 216, 219, 222, 252	itg2i1fseq2 23523	. 2 |- ( ph -> ( n e. NN |-> ( S.1 ` ( ( P oF oF + Q ) ` n ) ) ) ~~> ( S.2 ` ( F oF + G ) ) )
254		1zzd 11408	. . 3 |- ( ph -> 1 e. ZZ )
255		eqid 2622	. . . 4 |- ( k e. NN |-> ( S.1 ` ( P ` k ) ) ) = ( k e. NN |-> ( S.1 ` ( P ` k ) ) )
256	1, 6, 16, 25, 164, 255, 220	itg2i1fseq3 23524	. . 3 |- ( ph -> ( k e. NN |-> ( S.1 ` ( P ` k ) ) ) ~~> ( S.2 ` F ) )
257	18	mptex 6486	. . . 4 |- ( n e. NN |-> ( S.1 ` ( ( P oF oF + Q ) ` n ) ) ) e. _V
258	257	a1i 11	. . 3 |- ( ph -> ( n e. NN |-> ( S.1 ` ( ( P oF oF + Q ) ` n ) ) ) e. _V )
259		eqid 2622	. . . 4 |- ( k e. NN |-> ( S.1 ` ( Q ` k ) ) ) = ( k e. NN |-> ( S.1 ` ( Q ` k ) ) )
260	2, 7, 17, 73, 173, 259, 221	itg2i1fseq3 23524	. . 3 |- ( ph -> ( k e. NN |-> ( S.1 ` ( Q ` k ) ) ) ~~> ( S.2 ` G ) )
261		fveq2 6191	. . . . . . 7 |- ( k = m -> ( P ` k ) = ( P ` m ) )
262	261	fveq2d 6195	. . . . . 6 |- ( k = m -> ( S.1 ` ( P ` k ) ) = ( S.1 ` ( P ` m ) ) )
263		fvex 6201	. . . . . 6 |- ( S.1 ` ( P ` m ) ) e. _V
264	262, 255, 263	fvmpt 6282	. . . . 5 |- ( m e. NN -> ( ( k e. NN |-> ( S.1 ` ( P ` k ) ) ) ` m ) = ( S.1 ` ( P ` m ) ) )
265	264	adantl 482	. . . 4 |- ( ( ph /\ m e. NN ) -> ( ( k e. NN |-> ( S.1 ` ( P ` k ) ) ) ` m ) = ( S.1 ` ( P ` m ) ) )
266	227	recnd 10068	. . . 4 |- ( ( ph /\ m e. NN ) -> ( S.1 ` ( P ` m ) ) e. CC )
267	265, 266	eqeltrd 2701	. . 3 |- ( ( ph /\ m e. NN ) -> ( ( k e. NN |-> ( S.1 ` ( P ` k ) ) ) ` m ) e. CC )
268		fveq2 6191	. . . . . . 7 |- ( k = m -> ( Q ` k ) = ( Q ` m ) )
269	268	fveq2d 6195	. . . . . 6 |- ( k = m -> ( S.1 ` ( Q ` k ) ) = ( S.1 ` ( Q ` m ) ) )
270		fvex 6201	. . . . . 6 |- ( S.1 ` ( Q ` m ) ) e. _V
271	269, 259, 270	fvmpt 6282	. . . . 5 |- ( m e. NN -> ( ( k e. NN |-> ( S.1 ` ( Q ` k ) ) ) ` m ) = ( S.1 ` ( Q ` m ) ) )
272	271	adantl 482	. . . 4 |- ( ( ph /\ m e. NN ) -> ( ( k e. NN |-> ( S.1 ` ( Q ` k ) ) ) ` m ) = ( S.1 ` ( Q ` m ) ) )
273	229	recnd 10068	. . . 4 |- ( ( ph /\ m e. NN ) -> ( S.1 ` ( Q ` m ) ) e. CC )
274	272, 273	eqeltrd 2701	. . 3 |- ( ( ph /\ m e. NN ) -> ( ( k e. NN |-> ( S.1 ` ( Q ` k ) ) ) ` m ) e. CC )
275		fveq2 6191	. . . . . . 7 |- ( j = m -> ( ( P oF oF + Q ) ` j ) = ( ( P oF oF + Q ) ` m ) )
276	275	fveq2d 6195	. . . . . 6 |- ( j = m -> ( S.1 ` ( ( P oF oF + Q ) ` j ) ) = ( S.1 ` ( ( P oF oF + Q ) ` m ) ) )
277		fvex 6201	. . . . . 6 |- ( S.1 ` ( ( P oF oF + Q ) ` m ) ) e. _V
278	276, 219, 277	fvmpt 6282	. . . . 5 |- ( m e. NN -> ( ( n e. NN |-> ( S.1 ` ( ( P oF oF + Q ) ` n ) ) ) ` m ) = ( S.1 ` ( ( P oF oF + Q ) ` m ) ) )
279	278	adantl 482	. . . 4 |- ( ( ph /\ m e. NN ) -> ( ( n e. NN |-> ( S.1 ` ( ( P oF oF + Q ) ` n ) ) ) ` m ) = ( S.1 ` ( ( P oF oF + Q ) ` m ) ) )
280	265, 272	oveq12d 6668	. . . 4 |- ( ( ph /\ m e. NN ) -> ( ( ( k e. NN |-> ( S.1 ` ( P ` k ) ) ) ` m ) + ( ( k e. NN |-> ( S.1 ` ( Q ` k ) ) ) ` m ) ) = ( ( S.1 ` ( P ` m ) ) + ( S.1 ` ( Q ` m ) ) ) )
281	225, 279, 280	3eqtr4d 2666	. . 3 |- ( ( ph /\ m e. NN ) -> ( ( n e. NN |-> ( S.1 ` ( ( P oF oF + Q ) ` n ) ) ) ` m ) = ( ( ( k e. NN |-> ( S.1 ` ( P ` k ) ) ) ` m ) + ( ( k e. NN |-> ( S.1 ` ( Q ` k ) ) ) ` m ) ) )
282	162, 254, 256, 258, 260, 267, 274, 281	climadd 14362	. 2 |- ( ph -> ( n e. NN |-> ( S.1 ` ( ( P oF oF + Q ) ` n ) ) ) ~~> ( ( S.2 ` F ) + ( S.2 ` G ) ) )
283		climuni 14283	. 2 |- ( ( ( n e. NN |-> ( S.1 ` ( ( P oF oF + Q ) ` n ) ) ) ~~> ( S.2 ` ( F oF + G ) ) /\ ( n e. NN |-> ( S.1 ` ( ( P oF oF + Q ) ` n ) ) ) ~~> ( ( S.2 ` F ) + ( S.2 ` G ) ) ) -> ( S.2 ` ( F oF + G ) ) = ( ( S.2 ` F ) + ( S.2 ` G ) ) )
284	253, 282, 283	syl2anc 693	1 |- ( ph -> ( S.2 ` ( F oF + G ) ) = ( ( S.2 ` F ) + ( S.2 ` G ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   A.wral 2912   _Vcvv 3200   i^i cin 3573   C_ wss 3574   {csn 4177   class class class wbr 4653   |-> cmpt 4729   X. cxp 5112   dom cdm 5114   Fn wfn 5883   -->wf 5884   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   oFcof 6895   oRcofr 6896   CCcc 9934   RRcr 9935   0cc0 9936   1c1 9937   + caddc 9939   +oocpnf 10071   <_ cle 10075   NNcn 11020   [,)cico 12177   [,]cicc 12178   ~~> cli 14215  MblFncmbf 23383   S.1citg1 23384   S.2citg2 23385   0pc0p 23436

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538  ax-cc 9257  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014  ax-addf 10015

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-fal 1489  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-disj 4621  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-of 6897  df-ofr 6898  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-2o 7561  df-oadd 7564  df-omul 7565  df-er 7742  df-map 7859  df-pm 7860  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-fi 8317  df-sup 8348  df-inf 8349  df-oi 8415  df-card 8765  df-acn 8768  df-cda 8990  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-q 11789  df-rp 11833  df-xneg 11946  df-xadd 11947  df-xmul 11948  df-ioo 12179  df-ioc 12180  df-ico 12181  df-icc 12182  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-fl 12593  df-seq 12802  df-exp 12861  df-hash 13118  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-clim 14219  df-rlim 14220  df-sum 14417  df-rest 16083  df-topgen 16104  df-psmet 19738  df-xmet 19739  df-met 19740  df-bl 19741  df-mopn 19742  df-top 20699  df-topon 20716  df-bases 20750  df-cmp 21190  df-ovol 23233  df-vol 23234  df-mbf 23388  df-itg1 23389  df-itg2 23390  df-0p 23437

This theorem is referenced by:  itg2add  23526