Theorem i1ff 23443

Description: A simple function is a function on the reals. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Jun-2014.)

Assertion

Ref	Expression
i1ff	|- ( F e. dom S.1 -> F : RR --> RR )

Proof of Theorem i1ff

Step	Hyp	Ref	Expression
1		isi1f 23441	. . 3 |- ( F e. dom S.1 <-> ( F e. MblFn /\ ( F : RR --> RR /\ ran F e. Fin /\ ( vol ` ( `' F " ( RR \ { 0 } ) ) ) e. RR ) ) )
2	1	simprbi 480	. 2 |- ( F e. dom S.1 -> ( F : RR --> RR /\ ran F e. Fin /\ ( vol ` ( `' F " ( RR \ { 0 } ) ) ) e. RR ) )
3	2	simp1d 1073	1 |- ( F e. dom S.1 -> F : RR --> RR )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ w3a 1037   e. wcel 1990   \ cdif 3571   {csn 4177   `'ccnv 5113   dom cdm 5114   ran crn 5115   "cima 5117   -->wf 5884   ` cfv 5888   Fincfn 7955   RRcr 9935   0cc0 9936   volcvol 23232  MblFncmbf 23383   S.1citg1 23384

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pr 4906

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ral 2917  df-rex 2918  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-id 5024  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-fv 5896  df-sum 14417  df-itg1 23389

This theorem is referenced by:  i1fima  23445  i1fima2  23446  i1f0rn  23449  itg1val2  23451  itg1cl  23452  itg1ge0  23453  i1faddlem  23460  i1fmullem  23461  i1fadd  23462  i1fmul  23463  itg1addlem4  23466  itg1addlem5  23467  i1fmulclem  23469  i1fmulc  23470  itg1mulc  23471  i1fres  23472  i1fpos  23473  i1fposd  23474  i1fsub  23475  itg1sub  23476  itg10a  23477  itg1ge0a  23478  itg1lea  23479  itg1le  23480  itg1climres  23481  mbfi1fseqlem5  23486  mbfi1fseqlem6  23487  mbfi1flimlem  23489  mbfmullem2  23491  itg2itg1  23503  itg20  23504  itg2le  23506  itg2seq  23509  itg2uba  23510  itg2lea  23511  itg2mulclem  23513  itg2splitlem  23515  itg2split  23516  itg2monolem1  23517  itg2i1fseqle  23521  itg2i1fseq  23522  itg2addlem  23525  i1fibl  23574  itgitg1  23575  itg2addnclem  33461  itg2addnclem2  33462  itg2addnclem3  33463  itg2addnc  33464  ftc1anclem3  33487  ftc1anclem4  33488  ftc1anclem5  33489  ftc1anclem6  33490  ftc1anclem7  33491  ftc1anclem8  33492  ftc1anc  33493