Theorem carsgclctunlem3 30382

Description: Lemma for carsgclctun 30383. (Contributed by Thierry Arnoux, 24-May-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
carsgval.1	|- ( ph -> O e. V )
carsgval.2	|- ( ph -> M : ~P O --> ( 0 [,] +oo ) )
carsgsiga.1	|- ( ph -> ( M ` (/) ) = 0 )
carsgsiga.2	|- ( ( ph /\ x ~<_ om /\ x C_ ~P O ) -> ( M ` U. x ) <_ Σ* y e. x ( M ` y ) )
carsgsiga.3	|- ( ( ph /\ x C_ y /\ y e. ~P O ) -> ( M ` x ) <_ ( M ` y ) )
carsgclctun.1	|- ( ph -> A ~<_ om )
carsgclctun.2	|- ( ph -> A C_ (toCaraSiga ` M ) )
carsgclctunlem3.1	|- ( ph -> E e. ~P O )

Assertion

Ref	Expression
carsgclctunlem3	|- ( ph -> ( ( M ` ( E i^i U. A ) ) +e ( M ` ( E \ U. A ) ) ) <_ ( M ` E ) )

Distinct variable groups:   x, A, y   x, E, y   x, M, y   x, O, y   ph, x, y

Allowed substitution hints:   V( x, y)

Proof of Theorem carsgclctunlem3

Dummy variables e f k n z g are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		iccssxr 12256	. . . . . . 7 |- ( 0 [,] +oo ) C_ RR*
2		carsgval.2	. . . . . . . 8 |- ( ph -> M : ~P O --> ( 0 [,] +oo ) )
3		carsgclctunlem3.1	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> E e. ~P O )
4	3	elpwincl1 29357	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( E i^i U. A ) e. ~P O )
5	2, 4	ffvelrnd 6360	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( M ` ( E i^i U. A ) ) e. ( 0 [,] +oo ) )
6	1, 5	sseldi 3601	. . . . . 6 |- ( ph -> ( M ` ( E i^i U. A ) ) e. RR* )
7	3	elpwdifcl 29358	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( E \ U. A ) e. ~P O )
8	2, 7	ffvelrnd 6360	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( M ` ( E \ U. A ) ) e. ( 0 [,] +oo ) )
9	1, 8	sseldi 3601	. . . . . 6 |- ( ph -> ( M ` ( E \ U. A ) ) e. RR* )
10	6, 9	xaddcld 12131	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( M ` ( E i^i U. A ) ) +e ( M ` ( E \ U. A ) ) ) e. RR* )
11	10	adantr 481	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( M ` E ) = +oo ) -> ( ( M ` ( E i^i U. A ) ) +e ( M ` ( E \ U. A ) ) ) e. RR* )
12		pnfge 11964	. . . 4 |- ( ( ( M ` ( E i^i U. A ) ) +e ( M ` ( E \ U. A ) ) ) e. RR* -> ( ( M ` ( E i^i U. A ) ) +e ( M ` ( E \ U. A ) ) ) <_ +oo )
13	11, 12	syl 17	. . 3 |- ( ( ph /\ ( M ` E ) = +oo ) -> ( ( M ` ( E i^i U. A ) ) +e ( M ` ( E \ U. A ) ) ) <_ +oo )
14		simpr 477	. . 3 |- ( ( ph /\ ( M ` E ) = +oo ) -> ( M ` E ) = +oo )
15	13, 14	breqtrrd 4681	. 2 |- ( ( ph /\ ( M ` E ) = +oo ) -> ( ( M ` ( E i^i U. A ) ) +e ( M ` ( E \ U. A ) ) ) <_ ( M ` E ) )
16		unieq 4444	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( A = (/) -> U. A = U. (/) )
17		uni0 4465	. . . . . . . . . . . . 13 |- U. (/) = (/)
18	16, 17	syl6eq 2672	. . . . . . . . . . . 12 |- ( A = (/) -> U. A = (/) )
19	18	ineq2d 3814	. . . . . . . . . . 11 |- ( A = (/) -> ( E i^i U. A ) = ( E i^i (/) ) )
20		in0 3968	. . . . . . . . . . 11 |- ( E i^i (/) ) = (/)
21	19, 20	syl6eq 2672	. . . . . . . . . 10 |- ( A = (/) -> ( E i^i U. A ) = (/) )
22	21	fveq2d 6195	. . . . . . . . 9 |- ( A = (/) -> ( M ` ( E i^i U. A ) ) = ( M ` (/) ) )
23	18	difeq2d 3728	. . . . . . . . . . 11 |- ( A = (/) -> ( E \ U. A ) = ( E \ (/) ) )
24		dif0 3950	. . . . . . . . . . 11 |- ( E \ (/) ) = E
25	23, 24	syl6eq 2672	. . . . . . . . . 10 |- ( A = (/) -> ( E \ U. A ) = E )
26	25	fveq2d 6195	. . . . . . . . 9 |- ( A = (/) -> ( M ` ( E \ U. A ) ) = ( M ` E ) )
27	22, 26	oveq12d 6668	. . . . . . . 8 |- ( A = (/) -> ( ( M ` ( E i^i U. A ) ) +e ( M ` ( E \ U. A ) ) ) = ( ( M ` (/) ) +e ( M ` E ) ) )
28	27	adantl 482	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ A = (/) ) -> ( ( M ` ( E i^i U. A ) ) +e ( M ` ( E \ U. A ) ) ) = ( ( M ` (/) ) +e ( M ` E ) ) )
29		carsgsiga.1	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( M ` (/) ) = 0 )
30	29	adantr 481	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ A = (/) ) -> ( M ` (/) ) = 0 )
31	30	oveq1d 6665	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ A = (/) ) -> ( ( M ` (/) ) +e ( M ` E ) ) = ( 0 +e ( M ` E ) ) )
32	2, 3	ffvelrnd 6360	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( M ` E ) e. ( 0 [,] +oo ) )
33	1, 32	sseldi 3601	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( M ` E ) e. RR* )
34	33	adantr 481	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ A = (/) ) -> ( M ` E ) e. RR* )
35		xaddid2 12073	. . . . . . . 8 |- ( ( M ` E ) e. RR* -> ( 0 +e ( M ` E ) ) = ( M ` E ) )
36	34, 35	syl 17	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ A = (/) ) -> ( 0 +e ( M ` E ) ) = ( M ` E ) )
37	28, 31, 36	3eqtrd 2660	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ A = (/) ) -> ( ( M ` ( E i^i U. A ) ) +e ( M ` ( E \ U. A ) ) ) = ( M ` E ) )
38	37, 34	eqeltrd 2701	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ A = (/) ) -> ( ( M ` ( E i^i U. A ) ) +e ( M ` ( E \ U. A ) ) ) e. RR* )
39		xeqlelt 29538	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( M ` ( E i^i U. A ) ) +e ( M ` ( E \ U. A ) ) ) e. RR* /\ ( M ` E ) e. RR* ) -> ( ( ( M ` ( E i^i U. A ) ) +e ( M ` ( E \ U. A ) ) ) = ( M ` E ) <-> ( ( ( M ` ( E i^i U. A ) ) +e ( M ` ( E \ U. A ) ) ) <_ ( M ` E ) /\ -. ( ( M ` ( E i^i U. A ) ) +e ( M ` ( E \ U. A ) ) ) < ( M ` E ) ) ) )
40	38, 34, 39	syl2anc 693	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ A = (/) ) -> ( ( ( M ` ( E i^i U. A ) ) +e ( M ` ( E \ U. A ) ) ) = ( M ` E ) <-> ( ( ( M ` ( E i^i U. A ) ) +e ( M ` ( E \ U. A ) ) ) <_ ( M ` E ) /\ -. ( ( M ` ( E i^i U. A ) ) +e ( M ` ( E \ U. A ) ) ) < ( M ` E ) ) ) )
41	37, 40	mpbid 222	. . . . 5 |- ( ( ph /\ A = (/) ) -> ( ( ( M ` ( E i^i U. A ) ) +e ( M ` ( E \ U. A ) ) ) <_ ( M ` E ) /\ -. ( ( M ` ( E i^i U. A ) ) +e ( M ` ( E \ U. A ) ) ) < ( M ` E ) ) )
42	41	simpld 475	. . . 4 |- ( ( ph /\ A = (/) ) -> ( ( M ` ( E i^i U. A ) ) +e ( M ` ( E \ U. A ) ) ) <_ ( M ` E ) )
43	42	adantlr 751	. . 3 |- ( ( ( ph /\ ( M ` E ) =/= +oo ) /\ A = (/) ) -> ( ( M ` ( E i^i U. A ) ) +e ( M ` ( E \ U. A ) ) ) <_ ( M ` E ) )
44		carsgclctun.2	. . . . . . . 8 |- ( ph -> A C_ (toCaraSiga ` M ) )
45		fvex 6201	. . . . . . . . 9 |- (toCaraSiga ` M ) e. _V
46	45	ssex 4802	. . . . . . . 8 |- ( A C_ (toCaraSiga ` M ) -> A e. _V )
47		0sdomg 8089	. . . . . . . 8 |- ( A e. _V -> ( (/) ~< A <-> A =/= (/) ) )
48	44, 46, 47	3syl 18	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( (/) ~< A <-> A =/= (/) ) )
49	48	biimpar 502	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ A =/= (/) ) -> (/) ~< A )
50	49	adantlr 751	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ ( M ` E ) =/= +oo ) /\ A =/= (/) ) -> (/) ~< A )
51		carsgclctun.1	. . . . . . 7 |- ( ph -> A ~<_ om )
52		nnenom 12779	. . . . . . . 8 |- NN ~~ om
53	52	ensymi 8006	. . . . . . 7 |- om ~~ NN
54		domentr 8015	. . . . . . 7 |- ( ( A ~<_ om /\ om ~~ NN ) -> A ~<_ NN )
55	51, 53, 54	sylancl 694	. . . . . 6 |- ( ph -> A ~<_ NN )
56	55	ad2antrr 762	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ ( M ` E ) =/= +oo ) /\ A =/= (/) ) -> A ~<_ NN )
57		fodomr 8111	. . . . 5 |- ( ( (/) ~< A /\ A ~<_ NN ) -> E. f f : NN -onto-> A )
58	50, 56, 57	syl2anc 693	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ ( M ` E ) =/= +oo ) /\ A =/= (/) ) -> E. f f : NN -onto-> A )
59		fveq2 6191	. . . . . . . . . 10 |- ( n = k -> ( f ` n ) = ( f ` k ) )
60	59	iundisj 23316	. . . . . . . . 9 |- U_ n e. NN ( f ` n ) = U_ n e. NN ( ( f ` n ) \ U_ k e. ( 1..^ n ) ( f ` k ) )
61		fofn 6117	. . . . . . . . . . . 12 |- ( f : NN -onto-> A -> f Fn NN )
62		fniunfv 6505	. . . . . . . . . . . 12 |- ( f Fn NN -> U_ n e. NN ( f ` n ) = U. ran f )
63	61, 62	syl 17	. . . . . . . . . . 11 |- ( f : NN -onto-> A -> U_ n e. NN ( f ` n ) = U. ran f )
64		forn 6118	. . . . . . . . . . . 12 |- ( f : NN -onto-> A -> ran f = A )
65	64	unieqd 4446	. . . . . . . . . . 11 |- ( f : NN -onto-> A -> U. ran f = U. A )
66	63, 65	eqtrd 2656	. . . . . . . . . 10 |- ( f : NN -onto-> A -> U_ n e. NN ( f ` n ) = U. A )
67	66	adantl 482	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ ( M ` E ) =/= +oo ) /\ A =/= (/) ) /\ f : NN -onto-> A ) -> U_ n e. NN ( f ` n ) = U. A )
68	60, 67	syl5eqr 2670	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ ( M ` E ) =/= +oo ) /\ A =/= (/) ) /\ f : NN -onto-> A ) -> U_ n e. NN ( ( f ` n ) \ U_ k e. ( 1..^ n ) ( f ` k ) ) = U. A )
69	68	ineq2d 3814	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ph /\ ( M ` E ) =/= +oo ) /\ A =/= (/) ) /\ f : NN -onto-> A ) -> ( E i^i U_ n e. NN ( ( f ` n ) \ U_ k e. ( 1..^ n ) ( f ` k ) ) ) = ( E i^i U. A ) )
70	69	fveq2d 6195	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ph /\ ( M ` E ) =/= +oo ) /\ A =/= (/) ) /\ f : NN -onto-> A ) -> ( M ` ( E i^i U_ n e. NN ( ( f ` n ) \ U_ k e. ( 1..^ n ) ( f ` k ) ) ) ) = ( M ` ( E i^i U. A ) ) )
71	68	difeq2d 3728	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ph /\ ( M ` E ) =/= +oo ) /\ A =/= (/) ) /\ f : NN -onto-> A ) -> ( E \ U_ n e. NN ( ( f ` n ) \ U_ k e. ( 1..^ n ) ( f ` k ) ) ) = ( E \ U. A ) )
72	71	fveq2d 6195	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ph /\ ( M ` E ) =/= +oo ) /\ A =/= (/) ) /\ f : NN -onto-> A ) -> ( M ` ( E \ U_ n e. NN ( ( f ` n ) \ U_ k e. ( 1..^ n ) ( f ` k ) ) ) ) = ( M ` ( E \ U. A ) ) )
73	70, 72	oveq12d 6668	. . . . 5 |- ( ( ( ( ph /\ ( M ` E ) =/= +oo ) /\ A =/= (/) ) /\ f : NN -onto-> A ) -> ( ( M ` ( E i^i U_ n e. NN ( ( f ` n ) \ U_ k e. ( 1..^ n ) ( f ` k ) ) ) ) +e ( M ` ( E \ U_ n e. NN ( ( f ` n ) \ U_ k e. ( 1..^ n ) ( f ` k ) ) ) ) ) = ( ( M ` ( E i^i U. A ) ) +e ( M ` ( E \ U. A ) ) ) )
74		carsgval.1	. . . . . . 7 |- ( ph -> O e. V )
75	74	ad3antrrr 766	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ph /\ ( M ` E ) =/= +oo ) /\ A =/= (/) ) /\ f : NN -onto-> A ) -> O e. V )
76	2	ad3antrrr 766	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ph /\ ( M ` E ) =/= +oo ) /\ A =/= (/) ) /\ f : NN -onto-> A ) -> M : ~P O --> ( 0 [,] +oo ) )
77	29	ad3antrrr 766	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ph /\ ( M ` E ) =/= +oo ) /\ A =/= (/) ) /\ f : NN -onto-> A ) -> ( M ` (/) ) = 0 )
78		carsgsiga.2	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x ~<_ om /\ x C_ ~P O ) -> ( M ` U. x ) <_ Σ* y e. x ( M ` y ) )
79	78	3adant1r 1319	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ ( M ` E ) =/= +oo ) /\ x ~<_ om /\ x C_ ~P O ) -> ( M ` U. x ) <_ Σ* y e. x ( M ` y ) )
80	79	3adant1r 1319	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ph /\ ( M ` E ) =/= +oo ) /\ A =/= (/) ) /\ x ~<_ om /\ x C_ ~P O ) -> ( M ` U. x ) <_ Σ* y e. x ( M ` y ) )
81	80	3adant1r 1319	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( M ` E ) =/= +oo ) /\ A =/= (/) ) /\ f : NN -onto-> A ) /\ x ~<_ om /\ x C_ ~P O ) -> ( M ` U. x ) <_ Σ* y e. x ( M ` y ) )
82		carsgsiga.3	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x C_ y /\ y e. ~P O ) -> ( M ` x ) <_ ( M ` y ) )
83	82	3adant1r 1319	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ ( M ` E ) =/= +oo ) /\ x C_ y /\ y e. ~P O ) -> ( M ` x ) <_ ( M ` y ) )
84	83	3adant1r 1319	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ph /\ ( M ` E ) =/= +oo ) /\ A =/= (/) ) /\ x C_ y /\ y e. ~P O ) -> ( M ` x ) <_ ( M ` y ) )
85	84	3adant1r 1319	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( M ` E ) =/= +oo ) /\ A =/= (/) ) /\ f : NN -onto-> A ) /\ x C_ y /\ y e. ~P O ) -> ( M ` x ) <_ ( M ` y ) )
86	59	iundisj2 23317	. . . . . . 7 |- Disj n e. NN ( ( f ` n ) \ U_ k e. ( 1..^ n ) ( f ` k ) )
87	86	a1i 11	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ph /\ ( M ` E ) =/= +oo ) /\ A =/= (/) ) /\ f : NN -onto-> A ) -> Disj n e. NN ( ( f ` n ) \ U_ k e. ( 1..^ n ) ( f ` k ) ) )
88	75	adantr 481	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( M ` E ) =/= +oo ) /\ A =/= (/) ) /\ f : NN -onto-> A ) /\ n e. NN ) -> O e. V )
89	76	adantr 481	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( M ` E ) =/= +oo ) /\ A =/= (/) ) /\ f : NN -onto-> A ) /\ n e. NN ) -> M : ~P O --> ( 0 [,] +oo ) )
90	44	ad4antr 768	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( M ` E ) =/= +oo ) /\ A =/= (/) ) /\ f : NN -onto-> A ) /\ n e. NN ) -> A C_ (toCaraSiga ` M ) )
91		fof 6115	. . . . . . . . . 10 |- ( f : NN -onto-> A -> f : NN --> A )
92	91	ad2antlr 763	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( M ` E ) =/= +oo ) /\ A =/= (/) ) /\ f : NN -onto-> A ) /\ n e. NN ) -> f : NN --> A )
93		simpr 477	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( M ` E ) =/= +oo ) /\ A =/= (/) ) /\ f : NN -onto-> A ) /\ n e. NN ) -> n e. NN )
94	92, 93	ffvelrnd 6360	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( M ` E ) =/= +oo ) /\ A =/= (/) ) /\ f : NN -onto-> A ) /\ n e. NN ) -> ( f ` n ) e. A )
95	90, 94	sseldd 3604	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( M ` E ) =/= +oo ) /\ A =/= (/) ) /\ f : NN -onto-> A ) /\ n e. NN ) -> ( f ` n ) e. (toCaraSiga ` M ) )
96	77	adantr 481	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( M ` E ) =/= +oo ) /\ A =/= (/) ) /\ f : NN -onto-> A ) /\ n e. NN ) -> ( M ` (/) ) = 0 )
97	81	3adant1r 1319	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ ( M ` E ) =/= +oo ) /\ A =/= (/) ) /\ f : NN -onto-> A ) /\ n e. NN ) /\ x ~<_ om /\ x C_ ~P O ) -> ( M ` U. x ) <_ Σ* y e. x ( M ` y ) )
98	88, 89, 96, 97	carsgsigalem 30377	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ ( M ` E ) =/= +oo ) /\ A =/= (/) ) /\ f : NN -onto-> A ) /\ n e. NN ) /\ e e. ~P O /\ g e. ~P O ) -> ( M ` ( e u. g ) ) <_ ( ( M ` e ) +e ( M ` g ) ) )
99	91	ad3antlr 767	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ ( M ` E ) =/= +oo ) /\ A =/= (/) ) /\ f : NN -onto-> A ) /\ n e. NN ) /\ k e. ( 1..^ n ) ) -> f : NN --> A )
100		fzossnn 12516	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( 1..^ n ) C_ NN
101	100	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( M ` E ) =/= +oo ) /\ A =/= (/) ) /\ f : NN -onto-> A ) /\ n e. NN ) -> ( 1..^ n ) C_ NN )
102	101	sselda 3603	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ ( M ` E ) =/= +oo ) /\ A =/= (/) ) /\ f : NN -onto-> A ) /\ n e. NN ) /\ k e. ( 1..^ n ) ) -> k e. NN )
103	99, 102	ffvelrnd 6360	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ ( M ` E ) =/= +oo ) /\ A =/= (/) ) /\ f : NN -onto-> A ) /\ n e. NN ) /\ k e. ( 1..^ n ) ) -> ( f ` k ) e. A )
104	103	ralrimiva 2966	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( M ` E ) =/= +oo ) /\ A =/= (/) ) /\ f : NN -onto-> A ) /\ n e. NN ) -> A. k e. ( 1..^ n ) ( f ` k ) e. A )
105		dfiun2g 4552	. . . . . . . . 9 |- ( A. k e. ( 1..^ n ) ( f ` k ) e. A -> U_ k e. ( 1..^ n ) ( f ` k ) = U. { z | E. k e. ( 1..^ n ) z = ( f ` k ) } )
106	104, 105	syl 17	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( M ` E ) =/= +oo ) /\ A =/= (/) ) /\ f : NN -onto-> A ) /\ n e. NN ) -> U_ k e. ( 1..^ n ) ( f ` k ) = U. { z | E. k e. ( 1..^ n ) z = ( f ` k ) } )
107		eqid 2622	. . . . . . . . . . . 12 |- ( k e. ( 1..^ n ) |-> ( f ` k ) ) = ( k e. ( 1..^ n ) |-> ( f ` k ) )
108	107	rnmpt 5371	. . . . . . . . . . 11 |- ran ( k e. ( 1..^ n ) |-> ( f ` k ) ) = { z | E. k e. ( 1..^ n ) z = ( f ` k ) }
109		fzofi 12773	. . . . . . . . . . . 12 |- ( 1..^ n ) e. Fin
110		mptfi 8265	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( 1..^ n ) e. Fin -> ( k e. ( 1..^ n ) |-> ( f ` k ) ) e. Fin )
111		rnfi 8249	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( k e. ( 1..^ n ) |-> ( f ` k ) ) e. Fin -> ran ( k e. ( 1..^ n ) |-> ( f ` k ) ) e. Fin )
112	109, 110, 111	mp2b 10	. . . . . . . . . . 11 |- ran ( k e. ( 1..^ n ) |-> ( f ` k ) ) e. Fin
113	108, 112	eqeltrri 2698	. . . . . . . . . 10 |- { z | E. k e. ( 1..^ n ) z = ( f ` k ) } e. Fin
114	113	a1i 11	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( M ` E ) =/= +oo ) /\ A =/= (/) ) /\ f : NN -onto-> A ) /\ n e. NN ) -> { z | E. k e. ( 1..^ n ) z = ( f ` k ) } e. Fin )
115	90	adantr 481	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ ( M ` E ) =/= +oo ) /\ A =/= (/) ) /\ f : NN -onto-> A ) /\ n e. NN ) /\ k e. ( 1..^ n ) ) -> A C_ (toCaraSiga ` M ) )
116	115, 103	sseldd 3604	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ ( M ` E ) =/= +oo ) /\ A =/= (/) ) /\ f : NN -onto-> A ) /\ n e. NN ) /\ k e. ( 1..^ n ) ) -> ( f ` k ) e. (toCaraSiga ` M ) )
117	116	ralrimiva 2966	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( M ` E ) =/= +oo ) /\ A =/= (/) ) /\ f : NN -onto-> A ) /\ n e. NN ) -> A. k e. ( 1..^ n ) ( f ` k ) e. (toCaraSiga ` M ) )
118	107	rnmptss 6392	. . . . . . . . . . 11 |- ( A. k e. ( 1..^ n ) ( f ` k ) e. (toCaraSiga ` M ) -> ran ( k e. ( 1..^ n ) |-> ( f ` k ) ) C_ (toCaraSiga ` M ) )
119	117, 118	syl 17	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( M ` E ) =/= +oo ) /\ A =/= (/) ) /\ f : NN -onto-> A ) /\ n e. NN ) -> ran ( k e. ( 1..^ n ) |-> ( f ` k ) ) C_ (toCaraSiga ` M ) )
120	108, 119	syl5eqssr 3650	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( M ` E ) =/= +oo ) /\ A =/= (/) ) /\ f : NN -onto-> A ) /\ n e. NN ) -> { z | E. k e. ( 1..^ n ) z = ( f ` k ) } C_ (toCaraSiga ` M ) )
121	88, 89, 96, 97, 114, 120	fiunelcarsg 30378	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( M ` E ) =/= +oo ) /\ A =/= (/) ) /\ f : NN -onto-> A ) /\ n e. NN ) -> U. { z | E. k e. ( 1..^ n ) z = ( f ` k ) } e. (toCaraSiga ` M ) )
122	106, 121	eqeltrd 2701	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( M ` E ) =/= +oo ) /\ A =/= (/) ) /\ f : NN -onto-> A ) /\ n e. NN ) -> U_ k e. ( 1..^ n ) ( f ` k ) e. (toCaraSiga ` M ) )
123	88, 89, 95, 98, 122	difelcarsg2 30375	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( M ` E ) =/= +oo ) /\ A =/= (/) ) /\ f : NN -onto-> A ) /\ n e. NN ) -> ( ( f ` n ) \ U_ k e. ( 1..^ n ) ( f ` k ) ) e. (toCaraSiga ` M ) )
124	3	ad3antrrr 766	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ph /\ ( M ` E ) =/= +oo ) /\ A =/= (/) ) /\ f : NN -onto-> A ) -> E e. ~P O )
125		simpllr 799	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ph /\ ( M ` E ) =/= +oo ) /\ A =/= (/) ) /\ f : NN -onto-> A ) -> ( M ` E ) =/= +oo )
126	75, 76, 77, 81, 85, 87, 123, 124, 125	carsgclctunlem2 30381	. . . . 5 |- ( ( ( ( ph /\ ( M ` E ) =/= +oo ) /\ A =/= (/) ) /\ f : NN -onto-> A ) -> ( ( M ` ( E i^i U_ n e. NN ( ( f ` n ) \ U_ k e. ( 1..^ n ) ( f ` k ) ) ) ) +e ( M ` ( E \ U_ n e. NN ( ( f ` n ) \ U_ k e. ( 1..^ n ) ( f ` k ) ) ) ) ) <_ ( M ` E ) )
127	73, 126	eqbrtrrd 4677	. . . 4 |- ( ( ( ( ph /\ ( M ` E ) =/= +oo ) /\ A =/= (/) ) /\ f : NN -onto-> A ) -> ( ( M ` ( E i^i U. A ) ) +e ( M ` ( E \ U. A ) ) ) <_ ( M ` E ) )
128	58, 127	exlimddv 1863	. . 3 |- ( ( ( ph /\ ( M ` E ) =/= +oo ) /\ A =/= (/) ) -> ( ( M ` ( E i^i U. A ) ) +e ( M ` ( E \ U. A ) ) ) <_ ( M ` E ) )
129	43, 128	pm2.61dane 2881	. 2 |- ( ( ph /\ ( M ` E ) =/= +oo ) -> ( ( M ` ( E i^i U. A ) ) +e ( M ` ( E \ U. A ) ) ) <_ ( M ` E ) )
130	15, 129	pm2.61dane 2881	1 |- ( ph -> ( ( M ` ( E i^i U. A ) ) +e ( M ` ( E \ U. A ) ) ) <_ ( M ` E ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   E.wex 1704   e. wcel 1990   {cab 2608   =/= wne 2794   A.wral 2912   E.wrex 2913   _Vcvv 3200   \ cdif 3571   i^i cin 3573   C_ wss 3574   (/)c0 3915   ~Pcpw 4158   U.cuni 4436   U_ciun 4520  Disj wdisj 4620   class class class wbr 4653   |-> cmpt 4729   ran crn 5115   Fn wfn 5883   -->wf 5884   -onto->wfo 5886   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   omcom 7065   ~~ cen 7952   ~<_ cdom 7953   ~< csdm 7954   Fincfn 7955   0cc0 9936   1c1 9937   +oocpnf 10071   RR*cxr 10073   < clt 10074   <_ cle 10075   NNcn 11020   +ecxad 11944   [,]cicc 12178  ..^cfzo 12465  Σ^*cesum 30089  toCaraSigaccarsg 30363

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538  ax-ac2 9285  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014  ax-addf 10015  ax-mulf 10016

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-fal 1489  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-iin 4523  df-disj 4621  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-of 6897  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-supp 7296  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-2o 7561  df-oadd 7564  df-er 7742  df-map 7859  df-pm 7860  df-ixp 7909  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-fsupp 8276  df-fi 8317  df-sup 8348  df-inf 8349  df-oi 8415  df-card 8765  df-acn 8768  df-ac 8939  df-cda 8990  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-4 11081  df-5 11082  df-6 11083  df-7 11084  df-8 11085  df-9 11086  df-n0 11293  df-z 11378  df-dec 11494  df-uz 11688  df-q 11789  df-rp 11833  df-xneg 11946  df-xadd 11947  df-xmul 11948  df-ioo 12179  df-ioc 12180  df-ico 12181  df-icc 12182  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-fl 12593  df-mod 12669  df-seq 12802  df-exp 12861  df-fac 13061  df-bc 13090  df-hash 13118  df-shft 13807  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-limsup 14202  df-clim 14219  df-rlim 14220  df-sum 14417  df-ef 14798  df-sin 14800  df-cos 14801  df-pi 14803  df-struct 15859  df-ndx 15860  df-slot 15861  df-base 15863  df-sets 15864  df-ress 15865  df-plusg 15954  df-mulr 15955  df-starv 15956  df-sca 15957  df-vsca 15958  df-ip 15959  df-tset 15960  df-ple 15961  df-ds 15964  df-unif 15965  df-hom 15966  df-cco 15967  df-rest 16083  df-topn 16084  df-0g 16102  df-gsum 16103  df-topgen 16104  df-pt 16105  df-prds 16108  df-ordt 16161  df-xrs 16162  df-qtop 16167  df-imas 16168  df-xps 16170  df-mre 16246  df-mrc 16247  df-acs 16249  df-ps 17200  df-tsr 17201  df-plusf 17241  df-mgm 17242  df-sgrp 17284  df-mnd 17295  df-mhm 17335  df-submnd 17336  df-grp 17425  df-minusg 17426  df-sbg 17427  df-mulg 17541  df-subg 17591  df-cntz 17750  df-cmn 18195  df-abl 18196  df-mgp 18490  df-ur 18502  df-ring 18549  df-cring 18550  df-subrg 18778  df-abv 18817  df-lmod 18865  df-scaf 18866  df-sra 19172  df-rgmod 19173  df-psmet 19738  df-xmet 19739  df-met 19740  df-bl 19741  df-mopn 19742  df-fbas 19743  df-fg 19744  df-cnfld 19747  df-top 20699  df-topon 20716  df-topsp 20737  df-bases 20750  df-cld 20823  df-ntr 20824  df-cls 20825  df-nei 20902  df-lp 20940  df-perf 20941  df-cn 21031  df-cnp 21032  df-haus 21119  df-tx 21365  df-hmeo 21558  df-fil 21650  df-fm 21742  df-flim 21743  df-flf 21744  df-tmd 21876  df-tgp 21877  df-tsms 21930  df-trg 21963  df-xms 22125  df-ms 22126  df-tms 22127  df-nm 22387  df-ngp 22388  df-nrg 22390  df-nlm 22391  df-ii 22680  df-cncf 22681  df-limc 23630  df-dv 23631  df-log 24303  df-esum 30090  df-carsg 30364

This theorem is referenced by:  carsgclctun  30383