Theorem voliunlem1 23318

Description: Lemma for voliun 23322. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Mar-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
voliunlem.3	|- ( ph -> F : NN --> dom vol )
voliunlem.5	|- ( ph -> Disj i e. NN ( F ` i ) )
voliunlem1.6	|- H = ( n e. NN |-> ( vol* ` ( E i^i ( F ` n ) ) ) )
voliunlem1.7	|- ( ph -> E C_ RR )
voliunlem1.8	|- ( ph -> ( vol* ` E ) e. RR )

Assertion

Ref	Expression
voliunlem1	|- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( ( seq 1 ( + , H ) ` k ) + ( vol* ` ( E \ U. ran F ) ) ) <_ ( vol* ` E ) )

Distinct variable groups:   k, n, E   i, k, n, F   k, H   ph, k, n

Allowed substitution hints:   ph( i)   E( i)   H( i, n)

Proof of Theorem voliunlem1

Dummy variable z is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		voliunlem1.7	. . . . 5 |- ( ph -> E C_ RR )
2	1	adantr 481	. . . 4 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> E C_ RR )
3		voliunlem1.8	. . . . 5 |- ( ph -> ( vol* ` E ) e. RR )
4	3	adantr 481	. . . 4 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( vol* ` E ) e. RR )
5		difss 3737	. . . . 5 |- ( E \ U. ran F ) C_ E
6		ovolsscl 23254	. . . . 5 |- ( ( ( E \ U. ran F ) C_ E /\ E C_ RR /\ ( vol* ` E ) e. RR ) -> ( vol* ` ( E \ U. ran F ) ) e. RR )
7	5, 6	mp3an1 1411	. . . 4 |- ( ( E C_ RR /\ ( vol* ` E ) e. RR ) -> ( vol* ` ( E \ U. ran F ) ) e. RR )
8	2, 4, 7	syl2anc 693	. . 3 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( vol* ` ( E \ U. ran F ) ) e. RR )
9		difss 3737	. . . . 5 |- ( E \ U_ n e. ( 1 ... k ) ( F ` n ) ) C_ E
10		ovolsscl 23254	. . . . 5 |- ( ( ( E \ U_ n e. ( 1 ... k ) ( F ` n ) ) C_ E /\ E C_ RR /\ ( vol* ` E ) e. RR ) -> ( vol* ` ( E \ U_ n e. ( 1 ... k ) ( F ` n ) ) ) e. RR )
11	9, 10	mp3an1 1411	. . . 4 |- ( ( E C_ RR /\ ( vol* ` E ) e. RR ) -> ( vol* ` ( E \ U_ n e. ( 1 ... k ) ( F ` n ) ) ) e. RR )
12	2, 4, 11	syl2anc 693	. . 3 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( vol* ` ( E \ U_ n e. ( 1 ... k ) ( F ` n ) ) ) e. RR )
13		inss1 3833	. . . . 5 |- ( E i^i U_ n e. ( 1 ... k ) ( F ` n ) ) C_ E
14		ovolsscl 23254	. . . . 5 |- ( ( ( E i^i U_ n e. ( 1 ... k ) ( F ` n ) ) C_ E /\ E C_ RR /\ ( vol* ` E ) e. RR ) -> ( vol* ` ( E i^i U_ n e. ( 1 ... k ) ( F ` n ) ) ) e. RR )
15	13, 14	mp3an1 1411	. . . 4 |- ( ( E C_ RR /\ ( vol* ` E ) e. RR ) -> ( vol* ` ( E i^i U_ n e. ( 1 ... k ) ( F ` n ) ) ) e. RR )
16	2, 4, 15	syl2anc 693	. . 3 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( vol* ` ( E i^i U_ n e. ( 1 ... k ) ( F ` n ) ) ) e. RR )
17		elfznn 12370	. . . . . . . . 9 |- ( n e. ( 1 ... k ) -> n e. NN )
18		voliunlem.3	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> F : NN --> dom vol )
19		ffn 6045	. . . . . . . . . . . 12 |- ( F : NN --> dom vol -> F Fn NN )
20	18, 19	syl 17	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> F Fn NN )
21		fnfvelrn 6356	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( F Fn NN /\ n e. NN ) -> ( F ` n ) e. ran F )
22	20, 21	sylan 488	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> ( F ` n ) e. ran F )
23		elssuni 4467	. . . . . . . . . 10 |- ( ( F ` n ) e. ran F -> ( F ` n ) C_ U. ran F )
24	22, 23	syl 17	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> ( F ` n ) C_ U. ran F )
25	17, 24	sylan2 491	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ n e. ( 1 ... k ) ) -> ( F ` n ) C_ U. ran F )
26	25	ralrimiva 2966	. . . . . . 7 |- ( ph -> A. n e. ( 1 ... k ) ( F ` n ) C_ U. ran F )
27	26	adantr 481	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> A. n e. ( 1 ... k ) ( F ` n ) C_ U. ran F )
28		iunss 4561	. . . . . 6 |- ( U_ n e. ( 1 ... k ) ( F ` n ) C_ U. ran F <-> A. n e. ( 1 ... k ) ( F ` n ) C_ U. ran F )
29	27, 28	sylibr 224	. . . . 5 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> U_ n e. ( 1 ... k ) ( F ` n ) C_ U. ran F )
30	29	sscond 3747	. . . 4 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( E \ U. ran F ) C_ ( E \ U_ n e. ( 1 ... k ) ( F ` n ) ) )
31	9, 2	syl5ss 3614	. . . 4 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( E \ U_ n e. ( 1 ... k ) ( F ` n ) ) C_ RR )
32		ovolss 23253	. . . 4 |- ( ( ( E \ U. ran F ) C_ ( E \ U_ n e. ( 1 ... k ) ( F ` n ) ) /\ ( E \ U_ n e. ( 1 ... k ) ( F ` n ) ) C_ RR ) -> ( vol* ` ( E \ U. ran F ) ) <_ ( vol* ` ( E \ U_ n e. ( 1 ... k ) ( F ` n ) ) ) )
33	30, 31, 32	syl2anc 693	. . 3 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( vol* ` ( E \ U. ran F ) ) <_ ( vol* ` ( E \ U_ n e. ( 1 ... k ) ( F ` n ) ) ) )
34	8, 12, 16, 33	leadd2dd 10642	. 2 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( ( vol* ` ( E i^i U_ n e. ( 1 ... k ) ( F ` n ) ) ) + ( vol* ` ( E \ U. ran F ) ) ) <_ ( ( vol* ` ( E i^i U_ n e. ( 1 ... k ) ( F ` n ) ) ) + ( vol* ` ( E \ U_ n e. ( 1 ... k ) ( F ` n ) ) ) ) )
35		oveq2 6658	. . . . . . . . . . 11 |- ( z = 1 -> ( 1 ... z ) = ( 1 ... 1 ) )
36	35	iuneq1d 4545	. . . . . . . . . 10 |- ( z = 1 -> U_ n e. ( 1 ... z ) ( F ` n ) = U_ n e. ( 1 ... 1 ) ( F ` n ) )
37	36	eleq1d 2686	. . . . . . . . 9 |- ( z = 1 -> ( U_ n e. ( 1 ... z ) ( F ` n ) e. dom vol <-> U_ n e. ( 1 ... 1 ) ( F ` n ) e. dom vol ) )
38	36	ineq2d 3814	. . . . . . . . . . 11 |- ( z = 1 -> ( E i^i U_ n e. ( 1 ... z ) ( F ` n ) ) = ( E i^i U_ n e. ( 1 ... 1 ) ( F ` n ) ) )
39	38	fveq2d 6195	. . . . . . . . . 10 |- ( z = 1 -> ( vol* ` ( E i^i U_ n e. ( 1 ... z ) ( F ` n ) ) ) = ( vol* ` ( E i^i U_ n e. ( 1 ... 1 ) ( F ` n ) ) ) )
40		fveq2 6191	. . . . . . . . . 10 |- ( z = 1 -> ( seq 1 ( + , H ) ` z ) = ( seq 1 ( + , H ) ` 1 ) )
41	39, 40	eqeq12d 2637	. . . . . . . . 9 |- ( z = 1 -> ( ( vol* ` ( E i^i U_ n e. ( 1 ... z ) ( F ` n ) ) ) = ( seq 1 ( + , H ) ` z ) <-> ( vol* ` ( E i^i U_ n e. ( 1 ... 1 ) ( F ` n ) ) ) = ( seq 1 ( + , H ) ` 1 ) ) )
42	37, 41	anbi12d 747	. . . . . . . 8 |- ( z = 1 -> ( ( U_ n e. ( 1 ... z ) ( F ` n ) e. dom vol /\ ( vol* ` ( E i^i U_ n e. ( 1 ... z ) ( F ` n ) ) ) = ( seq 1 ( + , H ) ` z ) ) <-> ( U_ n e. ( 1 ... 1 ) ( F ` n ) e. dom vol /\ ( vol* ` ( E i^i U_ n e. ( 1 ... 1 ) ( F ` n ) ) ) = ( seq 1 ( + , H ) ` 1 ) ) ) )
43	42	imbi2d 330	. . . . . . 7 |- ( z = 1 -> ( ( ph -> ( U_ n e. ( 1 ... z ) ( F ` n ) e. dom vol /\ ( vol* ` ( E i^i U_ n e. ( 1 ... z ) ( F ` n ) ) ) = ( seq 1 ( + , H ) ` z ) ) ) <-> ( ph -> ( U_ n e. ( 1 ... 1 ) ( F ` n ) e. dom vol /\ ( vol* ` ( E i^i U_ n e. ( 1 ... 1 ) ( F ` n ) ) ) = ( seq 1 ( + , H ) ` 1 ) ) ) ) )
44		oveq2 6658	. . . . . . . . . . 11 |- ( z = k -> ( 1 ... z ) = ( 1 ... k ) )
45	44	iuneq1d 4545	. . . . . . . . . 10 |- ( z = k -> U_ n e. ( 1 ... z ) ( F ` n ) = U_ n e. ( 1 ... k ) ( F ` n ) )
46	45	eleq1d 2686	. . . . . . . . 9 |- ( z = k -> ( U_ n e. ( 1 ... z ) ( F ` n ) e. dom vol <-> U_ n e. ( 1 ... k ) ( F ` n ) e. dom vol ) )
47	45	ineq2d 3814	. . . . . . . . . . 11 |- ( z = k -> ( E i^i U_ n e. ( 1 ... z ) ( F ` n ) ) = ( E i^i U_ n e. ( 1 ... k ) ( F ` n ) ) )
48	47	fveq2d 6195	. . . . . . . . . 10 |- ( z = k -> ( vol* ` ( E i^i U_ n e. ( 1 ... z ) ( F ` n ) ) ) = ( vol* ` ( E i^i U_ n e. ( 1 ... k ) ( F ` n ) ) ) )
49		fveq2 6191	. . . . . . . . . 10 |- ( z = k -> ( seq 1 ( + , H ) ` z ) = ( seq 1 ( + , H ) ` k ) )
50	48, 49	eqeq12d 2637	. . . . . . . . 9 |- ( z = k -> ( ( vol* ` ( E i^i U_ n e. ( 1 ... z ) ( F ` n ) ) ) = ( seq 1 ( + , H ) ` z ) <-> ( vol* ` ( E i^i U_ n e. ( 1 ... k ) ( F ` n ) ) ) = ( seq 1 ( + , H ) ` k ) ) )
51	46, 50	anbi12d 747	. . . . . . . 8 |- ( z = k -> ( ( U_ n e. ( 1 ... z ) ( F ` n ) e. dom vol /\ ( vol* ` ( E i^i U_ n e. ( 1 ... z ) ( F ` n ) ) ) = ( seq 1 ( + , H ) ` z ) ) <-> ( U_ n e. ( 1 ... k ) ( F ` n ) e. dom vol /\ ( vol* ` ( E i^i U_ n e. ( 1 ... k ) ( F ` n ) ) ) = ( seq 1 ( + , H ) ` k ) ) ) )
52	51	imbi2d 330	. . . . . . 7 |- ( z = k -> ( ( ph -> ( U_ n e. ( 1 ... z ) ( F ` n ) e. dom vol /\ ( vol* ` ( E i^i U_ n e. ( 1 ... z ) ( F ` n ) ) ) = ( seq 1 ( + , H ) ` z ) ) ) <-> ( ph -> ( U_ n e. ( 1 ... k ) ( F ` n ) e. dom vol /\ ( vol* ` ( E i^i U_ n e. ( 1 ... k ) ( F ` n ) ) ) = ( seq 1 ( + , H ) ` k ) ) ) ) )
53		oveq2 6658	. . . . . . . . . . 11 |- ( z = ( k + 1 ) -> ( 1 ... z ) = ( 1 ... ( k + 1 ) ) )
54	53	iuneq1d 4545	. . . . . . . . . 10 |- ( z = ( k + 1 ) -> U_ n e. ( 1 ... z ) ( F ` n ) = U_ n e. ( 1 ... ( k + 1 ) ) ( F ` n ) )
55	54	eleq1d 2686	. . . . . . . . 9 |- ( z = ( k + 1 ) -> ( U_ n e. ( 1 ... z ) ( F ` n ) e. dom vol <-> U_ n e. ( 1 ... ( k + 1 ) ) ( F ` n ) e. dom vol ) )
56	54	ineq2d 3814	. . . . . . . . . . 11 |- ( z = ( k + 1 ) -> ( E i^i U_ n e. ( 1 ... z ) ( F ` n ) ) = ( E i^i U_ n e. ( 1 ... ( k + 1 ) ) ( F ` n ) ) )
57	56	fveq2d 6195	. . . . . . . . . 10 |- ( z = ( k + 1 ) -> ( vol* ` ( E i^i U_ n e. ( 1 ... z ) ( F ` n ) ) ) = ( vol* ` ( E i^i U_ n e. ( 1 ... ( k + 1 ) ) ( F ` n ) ) ) )
58		fveq2 6191	. . . . . . . . . 10 |- ( z = ( k + 1 ) -> ( seq 1 ( + , H ) ` z ) = ( seq 1 ( + , H ) ` ( k + 1 ) ) )
59	57, 58	eqeq12d 2637	. . . . . . . . 9 |- ( z = ( k + 1 ) -> ( ( vol* ` ( E i^i U_ n e. ( 1 ... z ) ( F ` n ) ) ) = ( seq 1 ( + , H ) ` z ) <-> ( vol* ` ( E i^i U_ n e. ( 1 ... ( k + 1 ) ) ( F ` n ) ) ) = ( seq 1 ( + , H ) ` ( k + 1 ) ) ) )
60	55, 59	anbi12d 747	. . . . . . . 8 |- ( z = ( k + 1 ) -> ( ( U_ n e. ( 1 ... z ) ( F ` n ) e. dom vol /\ ( vol* ` ( E i^i U_ n e. ( 1 ... z ) ( F ` n ) ) ) = ( seq 1 ( + , H ) ` z ) ) <-> ( U_ n e. ( 1 ... ( k + 1 ) ) ( F ` n ) e. dom vol /\ ( vol* ` ( E i^i U_ n e. ( 1 ... ( k + 1 ) ) ( F ` n ) ) ) = ( seq 1 ( + , H ) ` ( k + 1 ) ) ) ) )
61	60	imbi2d 330	. . . . . . 7 |- ( z = ( k + 1 ) -> ( ( ph -> ( U_ n e. ( 1 ... z ) ( F ` n ) e. dom vol /\ ( vol* ` ( E i^i U_ n e. ( 1 ... z ) ( F ` n ) ) ) = ( seq 1 ( + , H ) ` z ) ) ) <-> ( ph -> ( U_ n e. ( 1 ... ( k + 1 ) ) ( F ` n ) e. dom vol /\ ( vol* ` ( E i^i U_ n e. ( 1 ... ( k + 1 ) ) ( F ` n ) ) ) = ( seq 1 ( + , H ) ` ( k + 1 ) ) ) ) ) )
62		1z 11407	. . . . . . . . . . 11 |- 1 e. ZZ
63		fzsn 12383	. . . . . . . . . . 11 |- ( 1 e. ZZ -> ( 1 ... 1 ) = { 1 } )
64		iuneq1 4534	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( 1 ... 1 ) = { 1 } -> U_ n e. ( 1 ... 1 ) ( F ` n ) = U_ n e. { 1 } ( F ` n ) )
65	62, 63, 64	mp2b 10	. . . . . . . . . 10 |- U_ n e. ( 1 ... 1 ) ( F ` n ) = U_ n e. { 1 } ( F ` n )
66		1ex 10035	. . . . . . . . . . 11 |- 1 e. _V
67		fveq2 6191	. . . . . . . . . . 11 |- ( n = 1 -> ( F ` n ) = ( F ` 1 ) )
68	66, 67	iunxsn 4603	. . . . . . . . . 10 |- U_ n e. { 1 } ( F ` n ) = ( F ` 1 )
69	65, 68	eqtri 2644	. . . . . . . . 9 |- U_ n e. ( 1 ... 1 ) ( F ` n ) = ( F ` 1 )
70		1nn 11031	. . . . . . . . . 10 |- 1 e. NN
71		ffvelrn 6357	. . . . . . . . . 10 |- ( ( F : NN --> dom vol /\ 1 e. NN ) -> ( F ` 1 ) e. dom vol )
72	18, 70, 71	sylancl 694	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( F ` 1 ) e. dom vol )
73	69, 72	syl5eqel 2705	. . . . . . . 8 |- ( ph -> U_ n e. ( 1 ... 1 ) ( F ` n ) e. dom vol )
74	67	ineq2d 3814	. . . . . . . . . . . 12 |- ( n = 1 -> ( E i^i ( F ` n ) ) = ( E i^i ( F ` 1 ) ) )
75	74	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . 11 |- ( n = 1 -> ( vol* ` ( E i^i ( F ` n ) ) ) = ( vol* ` ( E i^i ( F ` 1 ) ) ) )
76		voliunlem1.6	. . . . . . . . . . 11 |- H = ( n e. NN |-> ( vol* ` ( E i^i ( F ` n ) ) ) )
77		fvex 6201	. . . . . . . . . . 11 |- ( vol* ` ( E i^i ( F ` 1 ) ) ) e. _V
78	75, 76, 77	fvmpt 6282	. . . . . . . . . 10 |- ( 1 e. NN -> ( H ` 1 ) = ( vol* ` ( E i^i ( F ` 1 ) ) ) )
79	70, 78	ax-mp 5	. . . . . . . . 9 |- ( H ` 1 ) = ( vol* ` ( E i^i ( F ` 1 ) ) )
80		seq1 12814	. . . . . . . . . 10 |- ( 1 e. ZZ -> ( seq 1 ( + , H ) ` 1 ) = ( H ` 1 ) )
81	62, 80	ax-mp 5	. . . . . . . . 9 |- ( seq 1 ( + , H ) ` 1 ) = ( H ` 1 )
82	69	ineq2i 3811	. . . . . . . . . 10 |- ( E i^i U_ n e. ( 1 ... 1 ) ( F ` n ) ) = ( E i^i ( F ` 1 ) )
83	82	fveq2i 6194	. . . . . . . . 9 |- ( vol* ` ( E i^i U_ n e. ( 1 ... 1 ) ( F ` n ) ) ) = ( vol* ` ( E i^i ( F ` 1 ) ) )
84	79, 81, 83	3eqtr4ri 2655	. . . . . . . 8 |- ( vol* ` ( E i^i U_ n e. ( 1 ... 1 ) ( F ` n ) ) ) = ( seq 1 ( + , H ) ` 1 )
85	73, 84	jctir 561	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( U_ n e. ( 1 ... 1 ) ( F ` n ) e. dom vol /\ ( vol* ` ( E i^i U_ n e. ( 1 ... 1 ) ( F ` n ) ) ) = ( seq 1 ( + , H ) ` 1 ) ) )
86		peano2nn 11032	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( k e. NN -> ( k + 1 ) e. NN )
87		ffvelrn 6357	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( F : NN --> dom vol /\ ( k + 1 ) e. NN ) -> ( F ` ( k + 1 ) ) e. dom vol )
88	18, 86, 87	syl2an 494	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( F ` ( k + 1 ) ) e. dom vol )
89		unmbl 23305	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( U_ n e. ( 1 ... k ) ( F ` n ) e. dom vol /\ ( F ` ( k + 1 ) ) e. dom vol ) -> ( U_ n e. ( 1 ... k ) ( F ` n ) u. ( F ` ( k + 1 ) ) ) e. dom vol )
90	89	ex 450	. . . . . . . . . . . 12 |- ( U_ n e. ( 1 ... k ) ( F ` n ) e. dom vol -> ( ( F ` ( k + 1 ) ) e. dom vol -> ( U_ n e. ( 1 ... k ) ( F ` n ) u. ( F ` ( k + 1 ) ) ) e. dom vol ) )
91	88, 90	syl5com 31	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( U_ n e. ( 1 ... k ) ( F ` n ) e. dom vol -> ( U_ n e. ( 1 ... k ) ( F ` n ) u. ( F ` ( k + 1 ) ) ) e. dom vol ) )
92		simpr 477	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> k e. NN )
93		nnuz 11723	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- NN = ( ZZ>= ` 1 )
94	92, 93	syl6eleq 2711	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> k e. ( ZZ>= ` 1 ) )
95		fzsuc 12388	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( k e. ( ZZ>= ` 1 ) -> ( 1 ... ( k + 1 ) ) = ( ( 1 ... k ) u. { ( k + 1 ) } ) )
96		iuneq1 4534	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( 1 ... ( k + 1 ) ) = ( ( 1 ... k ) u. { ( k + 1 ) } ) -> U_ n e. ( 1 ... ( k + 1 ) ) ( F ` n ) = U_ n e. ( ( 1 ... k ) u. { ( k + 1 ) } ) ( F ` n ) )
97	94, 95, 96	3syl 18	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> U_ n e. ( 1 ... ( k + 1 ) ) ( F ` n ) = U_ n e. ( ( 1 ... k ) u. { ( k + 1 ) } ) ( F ` n ) )
98		iunxun 4605	. . . . . . . . . . . . . 14 |- U_ n e. ( ( 1 ... k ) u. { ( k + 1 ) } ) ( F ` n ) = ( U_ n e. ( 1 ... k ) ( F ` n ) u. U_ n e. { ( k + 1 ) } ( F ` n ) )
99		ovex 6678	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( k + 1 ) e. _V
100		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( n = ( k + 1 ) -> ( F ` n ) = ( F ` ( k + 1 ) ) )
101	99, 100	iunxsn 4603	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- U_ n e. { ( k + 1 ) } ( F ` n ) = ( F ` ( k + 1 ) )
102	101	uneq2i 3764	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( U_ n e. ( 1 ... k ) ( F ` n ) u. U_ n e. { ( k + 1 ) } ( F ` n ) ) = ( U_ n e. ( 1 ... k ) ( F ` n ) u. ( F ` ( k + 1 ) ) )
103	98, 102	eqtri 2644	. . . . . . . . . . . . 13 |- U_ n e. ( ( 1 ... k ) u. { ( k + 1 ) } ) ( F ` n ) = ( U_ n e. ( 1 ... k ) ( F ` n ) u. ( F ` ( k + 1 ) ) )
104	97, 103	syl6eq 2672	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> U_ n e. ( 1 ... ( k + 1 ) ) ( F ` n ) = ( U_ n e. ( 1 ... k ) ( F ` n ) u. ( F ` ( k + 1 ) ) ) )
105	104	eleq1d 2686	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( U_ n e. ( 1 ... ( k + 1 ) ) ( F ` n ) e. dom vol <-> ( U_ n e. ( 1 ... k ) ( F ` n ) u. ( F ` ( k + 1 ) ) ) e. dom vol ) )
106	91, 105	sylibrd 249	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( U_ n e. ( 1 ... k ) ( F ` n ) e. dom vol -> U_ n e. ( 1 ... ( k + 1 ) ) ( F ` n ) e. dom vol ) )
107		oveq1 6657	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( vol* ` ( E i^i U_ n e. ( 1 ... k ) ( F ` n ) ) ) = ( seq 1 ( + , H ) ` k ) -> ( ( vol* ` ( E i^i U_ n e. ( 1 ... k ) ( F ` n ) ) ) + ( vol* ` ( E i^i ( F ` ( k + 1 ) ) ) ) ) = ( ( seq 1 ( + , H ) ` k ) + ( vol* ` ( E i^i ( F ` ( k + 1 ) ) ) ) ) )
108		inss1 3833	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( E i^i U_ n e. ( 1 ... ( k + 1 ) ) ( F ` n ) ) C_ E
109	108, 2	syl5ss 3614	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( E i^i U_ n e. ( 1 ... ( k + 1 ) ) ( F ` n ) ) C_ RR )
110		ovolsscl 23254	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( E i^i U_ n e. ( 1 ... ( k + 1 ) ) ( F ` n ) ) C_ E /\ E C_ RR /\ ( vol* ` E ) e. RR ) -> ( vol* ` ( E i^i U_ n e. ( 1 ... ( k + 1 ) ) ( F ` n ) ) ) e. RR )
111	108, 110	mp3an1 1411	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( E C_ RR /\ ( vol* ` E ) e. RR ) -> ( vol* ` ( E i^i U_ n e. ( 1 ... ( k + 1 ) ) ( F ` n ) ) ) e. RR )
112	2, 4, 111	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( vol* ` ( E i^i U_ n e. ( 1 ... ( k + 1 ) ) ( F ` n ) ) ) e. RR )
113		mblsplit 23300	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( F ` ( k + 1 ) ) e. dom vol /\ ( E i^i U_ n e. ( 1 ... ( k + 1 ) ) ( F ` n ) ) C_ RR /\ ( vol* ` ( E i^i U_ n e. ( 1 ... ( k + 1 ) ) ( F ` n ) ) ) e. RR ) -> ( vol* ` ( E i^i U_ n e. ( 1 ... ( k + 1 ) ) ( F ` n ) ) ) = ( ( vol* ` ( ( E i^i U_ n e. ( 1 ... ( k + 1 ) ) ( F ` n ) ) i^i ( F ` ( k + 1 ) ) ) ) + ( vol* ` ( ( E i^i U_ n e. ( 1 ... ( k + 1 ) ) ( F ` n ) ) \ ( F ` ( k + 1 ) ) ) ) ) )
114	88, 109, 112, 113	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( vol* ` ( E i^i U_ n e. ( 1 ... ( k + 1 ) ) ( F ` n ) ) ) = ( ( vol* ` ( ( E i^i U_ n e. ( 1 ... ( k + 1 ) ) ( F ` n ) ) i^i ( F ` ( k + 1 ) ) ) ) + ( vol* ` ( ( E i^i U_ n e. ( 1 ... ( k + 1 ) ) ( F ` n ) ) \ ( F ` ( k + 1 ) ) ) ) ) )
115		in32 3825	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( E i^i U_ n e. ( 1 ... ( k + 1 ) ) ( F ` n ) ) i^i ( F ` ( k + 1 ) ) ) = ( ( E i^i ( F ` ( k + 1 ) ) ) i^i U_ n e. ( 1 ... ( k + 1 ) ) ( F ` n ) )
116		inss2 3834	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( E i^i ( F ` ( k + 1 ) ) ) C_ ( F ` ( k + 1 ) )
117	86	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( k + 1 ) e. NN )
118	117, 93	syl6eleq 2711	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( k + 1 ) e. ( ZZ>= ` 1 ) )
119		eluzfz2 12349	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( k + 1 ) e. ( ZZ>= ` 1 ) -> ( k + 1 ) e. ( 1 ... ( k + 1 ) ) )
120	100	ssiun2s 4564	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( k + 1 ) e. ( 1 ... ( k + 1 ) ) -> ( F ` ( k + 1 ) ) C_ U_ n e. ( 1 ... ( k + 1 ) ) ( F ` n ) )
121	118, 119, 120	3syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( F ` ( k + 1 ) ) C_ U_ n e. ( 1 ... ( k + 1 ) ) ( F ` n ) )
122	116, 121	syl5ss 3614	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( E i^i ( F ` ( k + 1 ) ) ) C_ U_ n e. ( 1 ... ( k + 1 ) ) ( F ` n ) )
123		df-ss 3588	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( E i^i ( F ` ( k + 1 ) ) ) C_ U_ n e. ( 1 ... ( k + 1 ) ) ( F ` n ) <-> ( ( E i^i ( F ` ( k + 1 ) ) ) i^i U_ n e. ( 1 ... ( k + 1 ) ) ( F ` n ) ) = ( E i^i ( F ` ( k + 1 ) ) ) )
124	122, 123	sylib 208	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( ( E i^i ( F ` ( k + 1 ) ) ) i^i U_ n e. ( 1 ... ( k + 1 ) ) ( F ` n ) ) = ( E i^i ( F ` ( k + 1 ) ) ) )
125	115, 124	syl5eq 2668	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( ( E i^i U_ n e. ( 1 ... ( k + 1 ) ) ( F ` n ) ) i^i ( F ` ( k + 1 ) ) ) = ( E i^i ( F ` ( k + 1 ) ) ) )
126	125	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( vol* ` ( ( E i^i U_ n e. ( 1 ... ( k + 1 ) ) ( F ` n ) ) i^i ( F ` ( k + 1 ) ) ) ) = ( vol* ` ( E i^i ( F ` ( k + 1 ) ) ) ) )
127		indif2 3870	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( E i^i ( U_ n e. ( 1 ... ( k + 1 ) ) ( F ` n ) \ ( F ` ( k + 1 ) ) ) ) = ( ( E i^i U_ n e. ( 1 ... ( k + 1 ) ) ( F ` n ) ) \ ( F ` ( k + 1 ) ) )
128		uncom 3757	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( U_ n e. ( 1 ... k ) ( F ` n ) u. ( F ` ( k + 1 ) ) ) = ( ( F ` ( k + 1 ) ) u. U_ n e. ( 1 ... k ) ( F ` n ) )
129	104, 128	syl6req 2673	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( ( F ` ( k + 1 ) ) u. U_ n e. ( 1 ... k ) ( F ` n ) ) = U_ n e. ( 1 ... ( k + 1 ) ) ( F ` n ) )
130		voliunlem.5	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ph -> Disj i e. NN ( F ` i ) )
131	130	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( ph /\ k e. NN ) /\ n e. ( 1 ... k ) ) -> Disj i e. NN ( F ` i ) )
132	117	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( ph /\ k e. NN ) /\ n e. ( 1 ... k ) ) -> ( k + 1 ) e. NN )
133	17	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( ph /\ k e. NN ) /\ n e. ( 1 ... k ) ) -> n e. NN )
134	133	nnred 11035	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ( ph /\ k e. NN ) /\ n e. ( 1 ... k ) ) -> n e. RR )
135		elfzle2 12345	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( n e. ( 1 ... k ) -> n <_ k )
136	135	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( ( ph /\ k e. NN ) /\ n e. ( 1 ... k ) ) -> n <_ k )
137	92	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( ( ph /\ k e. NN ) /\ n e. ( 1 ... k ) ) -> k e. NN )
138		nnleltp1 11432	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( n e. NN /\ k e. NN ) -> ( n <_ k <-> n < ( k + 1 ) ) )
139	133, 137, 138	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( ( ph /\ k e. NN ) /\ n e. ( 1 ... k ) ) -> ( n <_ k <-> n < ( k + 1 ) ) )
140	136, 139	mpbid 222	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ( ph /\ k e. NN ) /\ n e. ( 1 ... k ) ) -> n < ( k + 1 ) )
141	134, 140	gtned 10172	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( ph /\ k e. NN ) /\ n e. ( 1 ... k ) ) -> ( k + 1 ) =/= n )
142		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( i = ( k + 1 ) -> ( F ` i ) = ( F ` ( k + 1 ) ) )
143		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( i = n -> ( F ` i ) = ( F ` n ) )
144	142, 143	disji2 4636	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( (Disj i e. NN ( F ` i ) /\ ( ( k + 1 ) e. NN /\ n e. NN ) /\ ( k + 1 ) =/= n ) -> ( ( F ` ( k + 1 ) ) i^i ( F ` n ) ) = (/) )
145	131, 132, 133, 141, 144	syl121anc 1331	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ph /\ k e. NN ) /\ n e. ( 1 ... k ) ) -> ( ( F ` ( k + 1 ) ) i^i ( F ` n ) ) = (/) )
146	145	iuneq2dv 4542	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> U_ n e. ( 1 ... k ) ( ( F ` ( k + 1 ) ) i^i ( F ` n ) ) = U_ n e. ( 1 ... k ) (/) )
147		iunin2 4584	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- U_ n e. ( 1 ... k ) ( ( F ` ( k + 1 ) ) i^i ( F ` n ) ) = ( ( F ` ( k + 1 ) ) i^i U_ n e. ( 1 ... k ) ( F ` n ) )
148		iun0 4576	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- U_ n e. ( 1 ... k ) (/) = (/)
149	146, 147, 148	3eqtr3g 2679	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( ( F ` ( k + 1 ) ) i^i U_ n e. ( 1 ... k ) ( F ` n ) ) = (/) )
150		uneqdifeq 4057	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( F ` ( k + 1 ) ) C_ U_ n e. ( 1 ... ( k + 1 ) ) ( F ` n ) /\ ( ( F ` ( k + 1 ) ) i^i U_ n e. ( 1 ... k ) ( F ` n ) ) = (/) ) -> ( ( ( F ` ( k + 1 ) ) u. U_ n e. ( 1 ... k ) ( F ` n ) ) = U_ n e. ( 1 ... ( k + 1 ) ) ( F ` n ) <-> ( U_ n e. ( 1 ... ( k + 1 ) ) ( F ` n ) \ ( F ` ( k + 1 ) ) ) = U_ n e. ( 1 ... k ) ( F ` n ) ) )
151	121, 149, 150	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( ( ( F ` ( k + 1 ) ) u. U_ n e. ( 1 ... k ) ( F ` n ) ) = U_ n e. ( 1 ... ( k + 1 ) ) ( F ` n ) <-> ( U_ n e. ( 1 ... ( k + 1 ) ) ( F ` n ) \ ( F ` ( k + 1 ) ) ) = U_ n e. ( 1 ... k ) ( F ` n ) ) )
152	129, 151	mpbid 222	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( U_ n e. ( 1 ... ( k + 1 ) ) ( F ` n ) \ ( F ` ( k + 1 ) ) ) = U_ n e. ( 1 ... k ) ( F ` n ) )
153	152	ineq2d 3814	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( E i^i ( U_ n e. ( 1 ... ( k + 1 ) ) ( F ` n ) \ ( F ` ( k + 1 ) ) ) ) = ( E i^i U_ n e. ( 1 ... k ) ( F ` n ) ) )
154	127, 153	syl5eqr 2670	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( ( E i^i U_ n e. ( 1 ... ( k + 1 ) ) ( F ` n ) ) \ ( F ` ( k + 1 ) ) ) = ( E i^i U_ n e. ( 1 ... k ) ( F ` n ) ) )
155	154	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( vol* ` ( ( E i^i U_ n e. ( 1 ... ( k + 1 ) ) ( F ` n ) ) \ ( F ` ( k + 1 ) ) ) ) = ( vol* ` ( E i^i U_ n e. ( 1 ... k ) ( F ` n ) ) ) )
156	126, 155	oveq12d 6668	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( ( vol* ` ( ( E i^i U_ n e. ( 1 ... ( k + 1 ) ) ( F ` n ) ) i^i ( F ` ( k + 1 ) ) ) ) + ( vol* ` ( ( E i^i U_ n e. ( 1 ... ( k + 1 ) ) ( F ` n ) ) \ ( F ` ( k + 1 ) ) ) ) ) = ( ( vol* ` ( E i^i ( F ` ( k + 1 ) ) ) ) + ( vol* ` ( E i^i U_ n e. ( 1 ... k ) ( F ` n ) ) ) ) )
157		inss1 3833	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( E i^i ( F ` ( k + 1 ) ) ) C_ E
158		ovolsscl 23254	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( E i^i ( F ` ( k + 1 ) ) ) C_ E /\ E C_ RR /\ ( vol* ` E ) e. RR ) -> ( vol* ` ( E i^i ( F ` ( k + 1 ) ) ) ) e. RR )
159	157, 158	mp3an1 1411	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( E C_ RR /\ ( vol* ` E ) e. RR ) -> ( vol* ` ( E i^i ( F ` ( k + 1 ) ) ) ) e. RR )
160	2, 4, 159	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( vol* ` ( E i^i ( F ` ( k + 1 ) ) ) ) e. RR )
161	160	recnd 10068	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( vol* ` ( E i^i ( F ` ( k + 1 ) ) ) ) e. CC )
162	16	recnd 10068	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( vol* ` ( E i^i U_ n e. ( 1 ... k ) ( F ` n ) ) ) e. CC )
163	161, 162	addcomd 10238	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( ( vol* ` ( E i^i ( F ` ( k + 1 ) ) ) ) + ( vol* ` ( E i^i U_ n e. ( 1 ... k ) ( F ` n ) ) ) ) = ( ( vol* ` ( E i^i U_ n e. ( 1 ... k ) ( F ` n ) ) ) + ( vol* ` ( E i^i ( F ` ( k + 1 ) ) ) ) ) )
164	114, 156, 163	3eqtrd 2660	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( vol* ` ( E i^i U_ n e. ( 1 ... ( k + 1 ) ) ( F ` n ) ) ) = ( ( vol* ` ( E i^i U_ n e. ( 1 ... k ) ( F ` n ) ) ) + ( vol* ` ( E i^i ( F ` ( k + 1 ) ) ) ) ) )
165		seqp1 12816	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( k e. ( ZZ>= ` 1 ) -> ( seq 1 ( + , H ) ` ( k + 1 ) ) = ( ( seq 1 ( + , H ) ` k ) + ( H ` ( k + 1 ) ) ) )
166	94, 165	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( seq 1 ( + , H ) ` ( k + 1 ) ) = ( ( seq 1 ( + , H ) ` k ) + ( H ` ( k + 1 ) ) ) )
167	100	ineq2d 3814	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( n = ( k + 1 ) -> ( E i^i ( F ` n ) ) = ( E i^i ( F ` ( k + 1 ) ) ) )
168	167	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( n = ( k + 1 ) -> ( vol* ` ( E i^i ( F ` n ) ) ) = ( vol* ` ( E i^i ( F ` ( k + 1 ) ) ) ) )
169		fvex 6201	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( vol* ` ( E i^i ( F ` ( k + 1 ) ) ) ) e. _V
170	168, 76, 169	fvmpt 6282	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( k + 1 ) e. NN -> ( H ` ( k + 1 ) ) = ( vol* ` ( E i^i ( F ` ( k + 1 ) ) ) ) )
171	117, 170	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( H ` ( k + 1 ) ) = ( vol* ` ( E i^i ( F ` ( k + 1 ) ) ) ) )
172	171	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( ( seq 1 ( + , H ) ` k ) + ( H ` ( k + 1 ) ) ) = ( ( seq 1 ( + , H ) ` k ) + ( vol* ` ( E i^i ( F ` ( k + 1 ) ) ) ) ) )
173	166, 172	eqtrd 2656	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( seq 1 ( + , H ) ` ( k + 1 ) ) = ( ( seq 1 ( + , H ) ` k ) + ( vol* ` ( E i^i ( F ` ( k + 1 ) ) ) ) ) )
174	164, 173	eqeq12d 2637	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( ( vol* ` ( E i^i U_ n e. ( 1 ... ( k + 1 ) ) ( F ` n ) ) ) = ( seq 1 ( + , H ) ` ( k + 1 ) ) <-> ( ( vol* ` ( E i^i U_ n e. ( 1 ... k ) ( F ` n ) ) ) + ( vol* ` ( E i^i ( F ` ( k + 1 ) ) ) ) ) = ( ( seq 1 ( + , H ) ` k ) + ( vol* ` ( E i^i ( F ` ( k + 1 ) ) ) ) ) ) )
175	107, 174	syl5ibr 236	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( ( vol* ` ( E i^i U_ n e. ( 1 ... k ) ( F ` n ) ) ) = ( seq 1 ( + , H ) ` k ) -> ( vol* ` ( E i^i U_ n e. ( 1 ... ( k + 1 ) ) ( F ` n ) ) ) = ( seq 1 ( + , H ) ` ( k + 1 ) ) ) )
176	106, 175	anim12d 586	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( ( U_ n e. ( 1 ... k ) ( F ` n ) e. dom vol /\ ( vol* ` ( E i^i U_ n e. ( 1 ... k ) ( F ` n ) ) ) = ( seq 1 ( + , H ) ` k ) ) -> ( U_ n e. ( 1 ... ( k + 1 ) ) ( F ` n ) e. dom vol /\ ( vol* ` ( E i^i U_ n e. ( 1 ... ( k + 1 ) ) ( F ` n ) ) ) = ( seq 1 ( + , H ) ` ( k + 1 ) ) ) ) )
177	176	expcom 451	. . . . . . . 8 |- ( k e. NN -> ( ph -> ( ( U_ n e. ( 1 ... k ) ( F ` n ) e. dom vol /\ ( vol* ` ( E i^i U_ n e. ( 1 ... k ) ( F ` n ) ) ) = ( seq 1 ( + , H ) ` k ) ) -> ( U_ n e. ( 1 ... ( k + 1 ) ) ( F ` n ) e. dom vol /\ ( vol* ` ( E i^i U_ n e. ( 1 ... ( k + 1 ) ) ( F ` n ) ) ) = ( seq 1 ( + , H ) ` ( k + 1 ) ) ) ) ) )
178	177	a2d 29	. . . . . . 7 |- ( k e. NN -> ( ( ph -> ( U_ n e. ( 1 ... k ) ( F ` n ) e. dom vol /\ ( vol* ` ( E i^i U_ n e. ( 1 ... k ) ( F ` n ) ) ) = ( seq 1 ( + , H ) ` k ) ) ) -> ( ph -> ( U_ n e. ( 1 ... ( k + 1 ) ) ( F ` n ) e. dom vol /\ ( vol* ` ( E i^i U_ n e. ( 1 ... ( k + 1 ) ) ( F ` n ) ) ) = ( seq 1 ( + , H ) ` ( k + 1 ) ) ) ) ) )
179	43, 52, 61, 52, 85, 178	nnind 11038	. . . . . 6 |- ( k e. NN -> ( ph -> ( U_ n e. ( 1 ... k ) ( F ` n ) e. dom vol /\ ( vol* ` ( E i^i U_ n e. ( 1 ... k ) ( F ` n ) ) ) = ( seq 1 ( + , H ) ` k ) ) ) )
180	179	impcom 446	. . . . 5 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( U_ n e. ( 1 ... k ) ( F ` n ) e. dom vol /\ ( vol* ` ( E i^i U_ n e. ( 1 ... k ) ( F ` n ) ) ) = ( seq 1 ( + , H ) ` k ) ) )
181	180	simprd 479	. . . 4 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( vol* ` ( E i^i U_ n e. ( 1 ... k ) ( F ` n ) ) ) = ( seq 1 ( + , H ) ` k ) )
182	181	eqcomd 2628	. . 3 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( seq 1 ( + , H ) ` k ) = ( vol* ` ( E i^i U_ n e. ( 1 ... k ) ( F ` n ) ) ) )
183	182	oveq1d 6665	. 2 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( ( seq 1 ( + , H ) ` k ) + ( vol* ` ( E \ U. ran F ) ) ) = ( ( vol* ` ( E i^i U_ n e. ( 1 ... k ) ( F ` n ) ) ) + ( vol* ` ( E \ U. ran F ) ) ) )
184	180	simpld 475	. . 3 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> U_ n e. ( 1 ... k ) ( F ` n ) e. dom vol )
185		mblsplit 23300	. . 3 |- ( ( U_ n e. ( 1 ... k ) ( F ` n ) e. dom vol /\ E C_ RR /\ ( vol* ` E ) e. RR ) -> ( vol* ` E ) = ( ( vol* ` ( E i^i U_ n e. ( 1 ... k ) ( F ` n ) ) ) + ( vol* ` ( E \ U_ n e. ( 1 ... k ) ( F ` n ) ) ) ) )
186	184, 2, 4, 185	syl3anc 1326	. 2 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( vol* ` E ) = ( ( vol* ` ( E i^i U_ n e. ( 1 ... k ) ( F ` n ) ) ) + ( vol* ` ( E \ U_ n e. ( 1 ... k ) ( F ` n ) ) ) ) )
187	34, 183, 186	3brtr4d 4685	1 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( ( seq 1 ( + , H ) ` k ) + ( vol* ` ( E \ U. ran F ) ) ) <_ ( vol* ` E ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   =/= wne 2794   A.wral 2912   \ cdif 3571   u. cun 3572   i^i cin 3573   C_ wss 3574   (/)c0 3915   {csn 4177   U.cuni 4436   U_ciun 4520  Disj wdisj 4620   class class class wbr 4653   |-> cmpt 4729   dom cdm 5114   ran crn 5115   Fn wfn 5883   -->wf 5884   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   RRcr 9935   1c1 9937   + caddc 9939   < clt 10074   <_ cle 10075   NNcn 11020   ZZcz 11377   ZZ>=cuz 11687   ...cfz 12326   seqcseq 12801   vol*covol 23231   volcvol 23232

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-disj 4621  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-er 7742  df-map 7859  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-sup 8348  df-inf 8349  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-q 11789  df-rp 11833  df-ioo 12179  df-ico 12181  df-icc 12182  df-fz 12327  df-fl 12593  df-seq 12802  df-exp 12861  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-ovol 23233  df-vol 23234

This theorem is referenced by:  voliunlem2  23319  voliunlem3  23320