voliunnfl - Mathbox for Brendan Leahy

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Theorem voliunnfl 33453

Description: voliun 23322 is incompatible with the Feferman-Levy model; in that model, therefore, the Lebesgue measure as we've defined it isn't actually a measure. (Contributed by Brendan Leahy, 16-Dec-2017.)

**Hypotheses**
Ref	Expression
voliunnfl.1
voliunnfl.2
voliunnfl.3	$/\$ $/\$ Disj

**Assertion**
Ref	Expression
voliunnfl	$/\$

Distinct variable group:

Allowed substitution hints:

(

)

(

)

Proof of Theorem voliunnfl Dummy variables

are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		unieq 4444	. . . . . . . . 9
2		uni0 4465	. . . . . . . . 9
3	1, 2	syl6eq 2672	. . . . . . . 8
4	3	fveq2d 6195	. . . . . . 7
5		0mbl 23307	. . . . . . . . 9
6		mblvol 23298	. . . . . . . . 9
7	5, 6	ax-mp 5	. . . . . . . 8
8		ovol0 23261	. . . . . . . 8
9	7, 8	eqtri 2644	. . . . . . 7
10	4, 9	syl6req 2673	. . . . . 6
11	10	a1d 25	. . . . 5 $/\$ $/\$
12		reldom 7961	. . . . . . . . . . 11
13	12	brrelexi 5158	. . . . . . . . . 10
14		0sdomg 8089	. . . . . . . . . 10
15	13, 14	syl 17	. . . . . . . . 9
16	15	biimparc 504	. . . . . . . 8 $/\$
17		fodomr 8111	. . . . . . . 8 $/\$
18	16, 17	sylancom 701	. . . . . . 7 $/\$
19		unissb 4469	. . . . . . . . . . . . 13
20	19	anbi1i 731	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$
21		r19.26 3064	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$
22	20, 21	bitr4i 267	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$
23		ovolctb2 23260	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$
24	23	ex 450	. . . . . . . . . . . . 13
25	24	imdistani 726	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$
26	25	ralimi 2952	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$
27	22, 26	sylbi 207	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$
28	27	ancoms 469	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$
29		foima 6120	. . . . . . . . . . . 12
30	29	raleqdv 3144	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$
31		fofn 6117	. . . . . . . . . . . 12
32		ssid 3624	. . . . . . . . . . . 12
33		sseq1 3626	. . . . . . . . . . . . . 14
34		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . . . . 15
35	34	eqeq1d 2624	. . . . . . . . . . . . . 14
36	33, 35	anbi12d 747	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$
37	36	ralima 6498	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$
38	31, 32, 37	sylancl 694	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$
39	30, 38	bitr3d 270	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$
40		difss 3737	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $\$ ..^
41		ovolssnul 23255	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $\$ ..^ $/\$ $/\$ $\$ ..^
42	40, 41	mp3an1 1411	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $\$ ..^
43		ssdifss 3741	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $\$ ..^
44		nulmbl 23303	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $\$ ..^ $/\$ $\$ ..^ $\$ ..^
45		mblvol 23298	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 $\$ ..^ $\$ ..^ $\$ ..^
46	45	eqeq1d 2624	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 $\$ ..^ $\$ ..^ $\$ ..^
47	46	biimpar 502	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 $\$ ..^ $/\$ $\$ ..^ $\$ ..^
48		0re 10040	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
49	47, 48	syl6eqel 2709	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 $\$ ..^ $/\$ $\$ ..^ $\$ ..^
50	49	expcom 451	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 $\$ ..^ $\$ ..^ $\$ ..^
51	50	ancld 576	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $\$ ..^ $\$ ..^ $\$ ..^ $/\$ $\$ ..^
52	51	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $\$ ..^ $/\$ $\$ ..^ $\$ ..^ $\$ ..^ $/\$ $\$ ..^
53	44, 52	mpd 15	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $\$ ..^ $/\$ $\$ ..^ $\$ ..^ $/\$ $\$ ..^
54	43, 53	sylan 488	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $\$ ..^ $\$ ..^ $/\$ $\$ ..^
55	42, 54	syldan 487	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $\$ ..^ $/\$ $\$ ..^
56	55	ralimi 2952	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $\$ ..^ $/\$ $\$ ..^
57		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
58		oveq2 6658	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ..^ ..^
59	58	iuneq1d 4545	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ..^ ..^
60	57, 59	difeq12d 3729	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $\$ ..^ $\$ ..^
61		eqid 2622	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $\$ ..^ $\$ ..^
62		fvex 6201	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
63		difexg 4808	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 $\$ ..^
64	62, 63	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $\$ ..^
65	60, 61, 64	fvmpt 6282	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $\$ ..^ $\$ ..^
66	65	eleq1d 2686	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $\$ ..^ $\$ ..^
67	65	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $\$ ..^ $\$ ..^
68	67	eleq1d 2686	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $\$ ..^ $\$ ..^
69	66, 68	anbi12d 747	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $\$ ..^ $/\$ $\$ ..^ $\$ ..^ $/\$ $\$ ..^
70	69	ralbiia 2979	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $\$ ..^ $/\$ $\$ ..^ $\$ ..^ $/\$ $\$ ..^
71		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
72		oveq2 6658	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ..^ ..^
73	72	iuneq1d 4545	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ..^ ..^
74	71, 73	difeq12d 3729	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $\$ ..^ $\$ ..^
75	74	eleq1d 2686	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $\$ ..^ $\$ ..^
76	74	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $\$ ..^ $\$ ..^
77	76	eleq1d 2686	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $\$ ..^ $\$ ..^
78	75, 77	anbi12d 747	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $\$ ..^ $/\$ $\$ ..^ $\$ ..^ $/\$ $\$ ..^
79	78	cbvralv 3171	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $\$ ..^ $/\$ $\$ ..^ $\$ ..^ $/\$ $\$ ..^
80	70, 79	bitri 264	. . . . . . . . . . . . . . 15 $\$ ..^ $/\$ $\$ ..^ $\$ ..^ $/\$ $\$ ..^
81	56, 80	sylibr 224	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $\$ ..^ $/\$ $\$ ..^
82		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . . . . . 16
83	82	iundisj2 23317	. . . . . . . . . . . . . . 15 Disj $\$ ..^
84		disjeq2 4624	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $\$ ..^ $\$ ..^ Disj $\$ ..^ Disj $\$ ..^
85	84, 65	mprg 2926	. . . . . . . . . . . . . . 15 Disj $\$ ..^ Disj $\$ ..^
86	83, 85	mpbir 221	. . . . . . . . . . . . . 14 Disj $\$ ..^
87		nnex 11026	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
88	87	mptex 6486	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $\$ ..^
89		fveq1 6190	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 $\$ ..^ $\$ ..^
90	89	eleq1d 2686	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $\$ ..^ $\$ ..^
91	89	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 $\$ ..^ $\$ ..^
92	91	eleq1d 2686	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $\$ ..^ $\$ ..^
93	90, 92	anbi12d 747	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $\$ ..^ $/\$ $\$ ..^ $/\$ $\$ ..^
94	93	ralbidv 2986	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $\$ ..^ $/\$ $\$ ..^ $/\$ $\$ ..^
95	89	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $\$ ..^ $/\$ $\$ ..^
96	95	disjeq2dv 4625	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $\$ ..^ Disj Disj $\$ ..^
97	94, 96	anbi12d 747	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $\$ ..^ $/\$ $/\$ Disj $\$ ..^ $/\$ $\$ ..^ $/\$ Disj $\$ ..^
98	89	iuneq2d 4547	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $\$ ..^ $\$ ..^
99	98	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $\$ ..^ $\$ ..^
100		voliunnfl.1	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
101		voliunnfl.2	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
102		seqeq3 12806	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
103	101, 102	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
104	100, 103	eqtri 2644	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
105	104	rneqi 5352	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
106	105	supeq1i 8353	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
107	91	mpteq2dv 4745	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 $\$ ..^ $\$ ..^
108	107	seqeq3d 12809	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 $\$ ..^ $\$ ..^
109	108	rneqd 5353	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $\$ ..^ $\$ ..^
110	109	supeq1d 8352	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $\$ ..^ $\$ ..^
111	106, 110	syl5eq 2668	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $\$ ..^ $\$ ..^
112	99, 111	eqeq12d 2637	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $\$ ..^ $\$ ..^ $\$ ..^
113	97, 112	imbi12d 334	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $\$ ..^ $/\$ $/\$ Disj $\$ ..^ $/\$ $\$ ..^ $/\$ Disj $\$ ..^ $\$ ..^ $\$ ..^
114		voliunnfl.3	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$ Disj
115	88, 113, 114	vtocl 3259	. . . . . . . . . . . . . . 15 $\$ ..^ $/\$ $\$ ..^ $/\$ Disj $\$ ..^ $\$ ..^ $\$ ..^
116	65	iuneq2i 4539	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $\$ ..^ $\$ ..^
117	116	fveq2i 6194	. . . . . . . . . . . . . . 15 $\$ ..^ $\$ ..^
118	67	mpteq2ia 4740	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $\$ ..^ $\$ ..^
119		seqeq3 12806	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $\$ ..^ $\$ ..^ $\$ ..^ $\$ ..^
120	118, 119	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $\$ ..^ $\$ ..^
121	120	rneqi 5352	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $\$ ..^ $\$ ..^
122	121	supeq1i 8353	. . . . . . . . . . . . . . 15 $\$ ..^ $\$ ..^
123	115, 117, 122	3eqtr3g 2679	. . . . . . . . . . . . . 14 $\$ ..^ $/\$ $\$ ..^ $/\$ Disj $\$ ..^ $\$ ..^ $\$ ..^
124	81, 86, 123	sylancl 694	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $\$ ..^ $\$ ..^
125	124	adantl 482	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $\$ ..^ $\$ ..^
126	82	iundisj 23316	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $\$ ..^
127		fofun 6116	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
128		funiunfv 6506	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
129	127, 128	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . 16
130	126, 129	syl5eqr 2670	. . . . . . . . . . . . . . 15 $\$ ..^
131	29	unieqd 4446	. . . . . . . . . . . . . . 15
132	130, 131	eqtrd 2656	. . . . . . . . . . . . . 14 $\$ ..^
133	132	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . . 13 $\$ ..^
134	133	adantr 481	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $\$ ..^
135	57	sseq1d 3632	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
136	57	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
137	136	eqeq1d 2624	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
138	135, 137	anbi12d 747	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$ $/\$
139	138	rspccva 3308	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ $/\$ $/\$
140		ssdifss 3741	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 $\$ ..^
141	140	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 $/\$ $\$ ..^
142		difss 3737	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 $\$ ..^
143		ovolssnul 23255	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 $\$ ..^ $/\$ $/\$ $\$ ..^
144	142, 143	mp3an1 1411	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 $/\$ $\$ ..^
145	141, 144	jca 554	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 $/\$ $\$ ..^ $/\$ $\$ ..^
146		nulmbl 23303	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 $\$ ..^ $/\$ $\$ ..^ $\$ ..^
147		mblvol 23298	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 $\$ ..^ $\$ ..^ $\$ ..^
148	145, 146, 147	3syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$ $\$ ..^ $\$ ..^
149	148, 144	eqtrd 2656	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ $\$ ..^
150	139, 149	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$ $\$ ..^
151	150	mpteq2dva 4744	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $\$ ..^
152	151	seqeq3d 12809	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $\$ ..^
153	152	rneqd 5353	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $\$ ..^
154	153	supeq1d 8352	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $\$ ..^
155		0cn 10032	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
156		ser1const 12857	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 $/\$
157	155, 156	mpan 706	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
158		nncn 11028	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
159	158	mul01d 10235	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
160	157, 159	eqtrd 2656	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
161	160	mpteq2ia 4740	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
162		fconstmpt 5163	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
163		seqeq3 12806	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
164	162, 163	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
165		1z 11407	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
166		seqfn 12813	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
167	165, 166	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
168		nnuz 11723	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
169	168	fneq2i 5986	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
170		dffn5 6241	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
171	169, 170	bitr3i 266	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
172	167, 171	mpbi 220	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
173	164, 172	eqtr3i 2646	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
174		fconstmpt 5163	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
175	161, 173, 174	3eqtr4i 2654	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
176	175	rneqi 5352	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
177		1nn 11031	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
178		ne0i 3921	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
179		rnxp 5564	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
180	177, 178, 179	mp2b 10	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
181	176, 180	eqtri 2644	. . . . . . . . . . . . . . . 16
182	181	supeq1i 8353	. . . . . . . . . . . . . . 15
183		xrltso 11974	. . . . . . . . . . . . . . . 16
184		0xr 10086	. . . . . . . . . . . . . . . 16
185		supsn 8378	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$
186	183, 184, 185	mp2an 708	. . . . . . . . . . . . . . 15
187	182, 186	eqtri 2644	. . . . . . . . . . . . . 14
188	154, 187	syl6eq 2672	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $\$ ..^
189	188	adantl 482	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $\$ ..^
190	125, 134, 189	3eqtr3rd 2665	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$
191	190	ex 450	. . . . . . . . . 10 $/\$
192	39, 191	sylbid 230	. . . . . . . . 9 $/\$
193	28, 192	syl5 34	. . . . . . . 8 $/\$
194	193	exlimiv 1858	. . . . . . 7 $/\$
195	18, 194	syl 17	. . . . . 6 $/\$ $/\$
196	195	expimpd 629	. . . . 5 $/\$ $/\$
197	11, 196	pm2.61ine 2877	. . . 4 $/\$ $/\$
198		renepnf 10087	. . . . . . 7
199	48, 198	mp1i 13	. . . . . 6
200		fveq2 6191	. . . . . . 7
201		rembl 23308	. . . . . . . . 9
202		mblvol 23298	. . . . . . . . 9
203	201, 202	ax-mp 5	. . . . . . . 8
204		ovolre 23293	. . . . . . . 8
205	203, 204	eqtri 2644	. . . . . . 7
206	200, 205	syl6eq 2672	. . . . . 6
207	199, 206	neeqtrrd 2868	. . . . 5
208	207	necon2i 2828	. . . 4
209	197, 208	syl 17	. . 3 $/\$ $/\$
210	209	expr 643	. 2 $/\$
211		eqimss 3657	. . 3
212	211	necon3bi 2820	. 2
213	210, 212	pm2.61d1 171	1 $/\$

Colors of variables: wff setvar class

Syntax hints:

wi 4

wb 196 $/\$ wa 384

wceq 1483

wex 1704

wcel 1990

wne 2794

wral 2912

cvv 3200 $\$ cdif 3571

wss 3574

c0 3915

csn 4177

cuni 4436

ciun 4520 Disj wdisj 4620 class class class wbr 4653

cmpt 4729

wor 5034

cxp 5112

cdm 5114

crn 5115

cima 5117

wfun 5882

wfn 5883

wfo 5886

cfv 5888 (class class class)co 6650

cdom 7953

csdm 7954

csup 8346

cc 9934

cr 9935

cc0 9936

c1 9937

caddc 9939

cmul 9941

cpnf 10071

cxr 10073

clt 10074

cn 11020

cz 11377

cuz 11687 ..^cfzo 12465

cseq 12801

covol 23231

cvol 23232

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1722 ax-4 1737 ax-5 1839 ax-6 1888 ax-7 1935 ax-8 1992 ax-9 1999 ax-10 2019 ax-11 2034 ax-12 2047 ax-13 2246 ax-ext 2602 ax-rep 4771 ax-sep 4781 ax-nul 4789 ax-pow 4843 ax-pr 4906 ax-un 6949 ax-inf2 8538 ax-cnex 9992 ax-resscn 9993 ax-1cn 9994 ax-icn 9995 ax-addcl 9996 ax-addrcl 9997 ax-mulcl 9998 ax-mulrcl 9999 ax-mulcom 10000 ax-addass 10001 ax-mulass 10002 ax-distr 10003 ax-i2m1 10004 ax-1ne0 10005 ax-1rid 10006 ax-rnegex 10007 ax-rrecex 10008 ax-cnre 10009 ax-pre-lttri 10010 ax-pre-lttrn 10011 ax-pre-ltadd 10012 ax-pre-mulgt0 10013 ax-pre-sup 10014

This theorem depends on definitions: df-bi 197 df-or 385 df-an 386 df-3or 1038 df-3an 1039 df-tru 1486 df-fal 1489 df-ex 1705 df-nf 1710 df-sb 1881 df-eu 2474 df-mo 2475 df-clab 2609 df-cleq 2615 df-clel 2618 df-nfc 2753 df-ne 2795 df-nel 2898 df-ral 2917 df-rex 2918 df-reu 2919 df-rmo 2920 df-rab 2921 df-v 3202 df-sbc 3436 df-csb 3534 df-dif 3577 df-un 3579 df-in 3581 df-ss 3588 df-pss 3590 df-nul 3916 df-if 4087 df-pw 4160 df-sn 4178 df-pr 4180 df-tp 4182 df-op 4184 df-uni 4437 df-int 4476 df-iun 4522 df-disj 4621 df-br 4654 df-opab 4713 df-mpt 4730 df-tr 4753 df-id 5024 df-eprel 5029 df-po 5035 df-so 5036 df-fr 5073 df-se 5074 df-we 5075 df-xp 5120 df-rel 5121 df-cnv 5122 df-co 5123 df-dm 5124 df-rn 5125 df-res 5126 df-ima 5127 df-pred 5680 df-ord 5726 df-on 5727 df-lim 5728 df-suc 5729 df-iota 5851 df-fun 5890 df-fn 5891 df-f 5892 df-f1 5893 df-fo 5894 df-f1o 5895 df-fv 5896 df-isom 5897 df-riota 6611 df-ov 6653 df-oprab 6654 df-mpt2 6655 df-of 6897 df-om 7066 df-1st 7168 df-2nd 7169 df-wrecs 7407 df-recs 7468 df-rdg 7506 df-1o 7560 df-2o 7561 df-oadd 7564 df-er 7742 df-map 7859 df-en 7956 df-dom 7957 df-sdom 7958 df-fin 7959 df-fi 8317 df-sup 8348 df-inf 8349 df-oi 8415 df-card 8765 df-cda 8990 df-pnf 10076 df-mnf 10077 df-xr 10078 df-ltxr 10079 df-le 10080 df-sub 10268 df-neg 10269 df-div 10685 df-nn 11021 df-2 11079 df-3 11080 df-n0 11293 df-z 11378 df-uz 11688 df-q 11789 df-rp 11833 df-xneg 11946 df-xadd 11947 df-xmul 11948 df-ioo 12179 df-ico 12181 df-icc 12182 df-fz 12327 df-fzo 12466 df-fl 12593 df-seq 12802 df-exp 12861 df-hash 13118 df-cj 13839 df-re 13840 df-im 13841 df-sqrt 13975 df-abs 13976 df-clim 14219 df-sum 14417 df-rest 16083 df-topgen 16104 df-psmet 19738 df-xmet 19739 df-met 19740 df-bl 19741 df-mopn 19742 df-top 20699 df-topon 20716 df-bases 20750 df-cmp 21190 df-ovol 23233 df-vol 23234

This theorem is referenced by: (None)

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