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| Mirrors > Home > MPE Home > Th. List > volsup | Structured version Visualization version Unicode version | ||
| Description: The volume of the limit of an increasing sequence of measurable sets is the limit of the volumes. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Aug-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 11-Dec-2016.) |
| Ref | Expression |
|---|---|
| volsup |
        ![/\](wedge.gif "/\"){kind=small}      
           |
,
are mutually distinct and
distinct from all other variables.| Step | Hyp | Ref | Expression |
|---|---|---|---|
| 1 | ffvelrn 6357 |
. . . . . . . . . . 11
| |
| 2 | 1 | ad2ant2r 783 |
. . . . . . . . . 10
 |
| 3 | fzofi 12773 |
. . . . . . . . . . 11
..^  | |
| 4 | simpll 790 |
. . . . . . . . . . . . 13
| |
| 5 | elfzouz 12474 |
. . . . . . . . . . . . . 14
..^
 | |
| 6 | nnuz 11723 |
. . . . . . . . . . . . . 14
| |
| 7 | 5, 6 | syl6eleqr 2712 |
. . . . . . . . . . . . 13
..^
|
| 8 | ffvelrn 6357 |
. . . . . . . . . . . . 13
| |
| 9 | 4, 7, 8 | syl2an 494 |
. . . . . . . . . . . 12
..^ |
| 10 | 9 | ralrimiva 2966 |
. . . . . . . . . . 11
..^ |
| 11 | finiunmbl 23312 |
. . . . . . . . . . 11
..^
..^  ..^ | |
| 12 | 3, 10, 11 | sylancr 695 |
. . . . . . . . . 10
..^ |
| 13 | difmbl 23311 |
. . . . . . . . . 10
..^ ![\](setminus.gif "\"){kind=small}
..^ | |
| 14 | 2, 12, 13 | syl2anc 693 |
. . . . . . . . 9
..^ |
| 15 | mblvol 23298 |
. . . . . . . . . . 11
..^
..^ 
..^ | |
| 16 | 14, 15 | syl 17 |
. . . . . . . . . 10
..^
..^ |
| 17 | difssd 3738 |
. . . . . . . . . . 11
..^ | |
| 18 | mblss 23299 |
. . . . . . . . . . . 12
| |
| 19 | 2, 18 | syl 17 |
. . . . . . . . . . 11
|
| 20 | mblvol 23298 |
. . . . . . . . . . . . 13
| |
| 21 | 2, 20 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . 12
|
| 22 | simprr 796 |
. . . . . . . . . . . 12
| |
| 23 | 21, 22 | eqeltrrd 2702 |
. . . . . . . . . . 11
|
| 24 | ovolsscl 23254 |
. . . . . . . . . . 11
..^ ..^ | |
| 25 | 17, 19, 23, 24 | syl3anc 1326 |
. . . . . . . . . 10
..^ |
| 26 | 16, 25 | eqeltrd 2701 |
. . . . . . . . 9
..^ |
| 27 | 14, 26 | jca 554 |
. . . . . . . 8
..^
..^ |
| 28 | 27 | expr 643 |
. . . . . . 7
..^ ..^ |
| 29 | 28 | ralimdva 2962 |
. . . . . 6
..^ ..^ |
| 30 | 29 | imp 445 |
. . . . 5
..^
..^ |
| 31 | fveq2 6191 |
. . . . . 6
| |
| 32 | 31 | iundisj2 23317 |
. . . . 5
Disj
..^ |
| 33 | eqid 2622 |
. . . . . 6
  ..^
..^ | |
| 34 | eqid 2622 |
. . . . . 6
..^ ..^ | |
| 35 | 33, 34 | voliun 23322 |
. . . . 5
..^
..^ Disj
..^
..^
..^
|
| 36 | 30, 32, 35 | sylancl 694 |
. . . 4
..^
..^
|
| 37 | 31 | iundisj 23316 |
. . . . . 6
..^ |
| 38 | ffn 6045 |
. . . . . . . 8
 | |
| 39 | 38 | ad2antrr 762 |
. . . . . . 7
|
| 40 | fniunfv 6505 |
. . . . . . 7
| |
| 41 | 39, 40 | syl 17 |
. . . . . 6
|
| 42 | 37, 41 | syl5eqr 2670 |
. . . . 5
..^ |
| 43 | 42 | fveq2d 6195 |
. . . 4
..^ |
| 44 | 1z 11407 |
. . . . . . . . . . 11
 | |
| 45 | seqfn 12813 |
. . . . . . . . . . 11
..^ | |
| 46 | 44, 45 | ax-mp 5 |
. . . . . . . . . 10
..^ |
| 47 | 6 | fneq2i 5986 |
. . . . . . . . . 10
..^ 
..^ |
| 48 | 46, 47 | mpbir 221 |
. . . . . . . . 9
..^ |
| 49 | 48 | a1i 11 |
. . . . . . . 8
..^ |
| 50 | volf 23297 |
. . . . . . . . . 10
 ![[,]](_icc.gif "[,]"){kind=small}  | |
| 51 | simpll 790 |
. . . . . . . . . 10
| |
| 52 | fco 6058 |
. . . . . . . . . 10
 | |
| 53 | 50, 51, 52 | sylancr 695 |
. . . . . . . . 9
|
| 54 | ffn 6045 |
. . . . . . . . 9
| |
| 55 | 53, 54 | syl 17 |
. . . . . . . 8
|
| 56 | fveq2 6191 |
. . . . . . . . . . . . 13
..^
..^ | |
| 57 | fveq2 6191 |
. . . . . . . . . . . . . 14
| |
| 58 | 57 | fveq2d 6195 |
. . . . . . . . . . . . 13
|
| 59 | 56, 58 | eqeq12d 2637 |
. . . . . . . . . . . 12
..^ ..^ |
| 60 | 59 | imbi2d 330 |
. . . . . . . . . . 11
..^
..^ |
| 61 | fveq2 6191 |
. . . . . . . . . . . . 13
..^
..^ | |
| 62 | fveq2 6191 |
. . . . . . . . . . . . . 14
| |
| 63 | 62 | fveq2d 6195 |
. . . . . . . . . . . . 13
|
| 64 | 61, 63 | eqeq12d 2637 |
. . . . . . . . . . . 12
..^ ..^ |
| 65 | 64 | imbi2d 330 |
. . . . . . . . . . 11
..^
..^ |
| 66 | fveq2 6191 |
. . . . . . . . . . . . 13
..^
..^ | |
| 67 | fveq2 6191 |
. . . . . . . . . . . . . 14
| |
| 68 | 67 | fveq2d 6195 |
. . . . . . . . . . . . 13
|
| 69 | 66, 68 | eqeq12d 2637 |
. . . . . . . . . . . 12
..^ ..^ |
| 70 | 69 | imbi2d 330 |
. . . . . . . . . . 11
..^
..^ |
| 71 | seq1 12814 |
. . . . . . . . . . . . . 14
..^
..^ | |
| 72 | 44, 71 | ax-mp 5 |
. . . . . . . . . . . . 13
..^
..^ |
| 73 | 1nn 11031 |
. . . . . . . . . . . . . 14
| |
| 74 | oveq2 6658 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
..^ ..^ | |
| 75 | fzo0 12492 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
..^  | |
| 76 | 74, 75 | syl6eq 2672 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
..^ |
| 77 | 76 | iuneq1d 4545 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
..^ |
| 78 | 0iun 4577 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
| |
| 79 | 77, 78 | syl6eq 2672 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
..^ |
| 80 | 79 | difeq2d 3728 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
..^
|
| 81 | dif0 3950 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
| |
| 82 | 80, 81 | syl6eq 2672 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
..^ |
| 83 | fveq2 6191 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
| |
| 84 | 82, 83 | eqtrd 2656 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
..^ |
| 85 | 84 | fveq2d 6195 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
..^ |
| 86 | fvex 6201 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
 | |
| 87 | 85, 34, 86 | fvmpt 6282 |
. . . . . . . . . . . . . 14
..^ |
| 88 | 73, 87 | ax-mp 5 |
. . . . . . . . . . . . 13
..^ |
| 89 | 72, 88 | eqtri 2644 |
. . . . . . . . . . . 12
..^ |
| 90 | 89 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . 11
..^ |
| 91 | oveq1 6657 |
. . . . . . . . . . . . . 14
..^
..^
..^ ..^ | |
| 92 | seqp1 12816 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
..^ ..^
..^ | |
| 93 | 92, 6 | eleq2s 2719 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
..^ ..^
..^ |
| 94 | 93 | adantl 482 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
..^ ..^
..^ |
| 95 | undif2 4044 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
 | |
| 96 | simpr 477 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
| |
| 97 | simpllr 799 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
| |
| 98 | fveq2 6191 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
| |
| 99 | oveq1 6657 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
| |
| 100 | 99 | fveq2d 6195 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
|
| 101 | 98, 100 | sseq12d 3634 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
|
| 102 | 101 | rspcv 3305 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
|
| 103 | 96, 97, 102 | sylc 65 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
|
| 104 | ssequn1 3783 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
| |
| 105 | 103, 104 | sylib 208 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
|
| 106 | 95, 105 | syl5req 2669 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
|
| 107 | 106 | fveq2d 6195 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
|
| 108 | simplll 798 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
| |
| 109 | 108, 96 | ffvelrnd 6360 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
|
| 110 | peano2nn 11032 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
| |
| 111 | 110 | adantl 482 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
|
| 112 | 108, 111 | ffvelrnd 6360 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
|
| 113 | difmbl 23311 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
| |
| 114 | 112, 109, 113 | syl2anc 693 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
|
| 115 | disjdif 4040 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
 | |
| 116 | 115 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
|
| 117 | simplr 792 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
| |
| 118 | fveq2 6191 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
| |
| 119 | 118 | fveq2d 6195 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
|
| 120 | 119 | eleq1d 2686 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
|
| 121 | 120 | rspcv 3305 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
|
| 122 | 96, 117, 121 | sylc 65 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
|
| 123 | mblvol 23298 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
| |
| 124 | 114, 123 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
|
| 125 | difssd 3738 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
| |
| 126 | mblss 23299 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
| |
| 127 | 112, 126 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
|
| 128 | mblvol 23298 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
| |
| 129 | 112, 128 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
|
| 130 | fveq2 6191 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
| |
| 131 | 130 | fveq2d 6195 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
|
| 132 | 131 | eleq1d 2686 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
|
| 133 | 132 | rspcv 3305 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
|
| 134 | 111, 117, 133 | sylc 65 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
|
| 135 | 129, 134 | eqeltrrd 2702 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
|
| 136 | ovolsscl 23254 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
| |
| 137 | 125, 127, 135, 136 | syl3anc 1326 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
|
| 138 | 124, 137 | eqeltrd 2701 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
|
| 139 | volun 23313 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
| |
| 140 | 109, 114, 116, 122, 138, 139 | syl32anc 1334 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
|
| 141 | 97 | adantr 481 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
 |
| 142 | elfznn 12370 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
| |
| 143 | 142 | adantl 482 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
|
| 144 | elfzuz3 12339 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
| |
| 145 | 144 | adantl 482 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
|
| 146 | volsuplem 23323 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
| |
| 147 | 141, 143, 145, 146 | syl12anc 1324 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
|
| 148 | 147 | ralrimiva 2966 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
|
| 149 | iunss 4561 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
| |
| 150 | 148, 149 | sylibr 224 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
|
| 151 | 96, 6 | syl6eleq 2711 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
|
| 152 | eluzfz2 12349 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
| |
| 153 | 151, 152 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
|
| 154 | fveq2 6191 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
| |
| 155 | 154 | ssiun2s 4564 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
|
| 156 | 153, 155 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
|
| 157 | 150, 156 | eqssd 3620 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
|
| 158 | 96 | nnzd 11481 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
|
| 159 | fzval3 12536 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
..^ | |
| 160 | 158, 159 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
..^ |
| 161 | 160 | iuneq1d 4545 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
..^ |
| 162 | 157, 161 | eqtr3d 2658 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
..^ |
| 163 | 162 | difeq2d 3728 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
..^ |
| 164 | 163 | fveq2d 6195 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
..^ |
| 165 | oveq2 6658 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
..^ ..^ | |
| 166 | 165 | iuneq1d 4545 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
..^ ..^ |
| 167 | 130, 166 | difeq12d 3729 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
..^ ..^ |
| 168 | 167 | fveq2d 6195 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
..^ ..^ |
| 169 | fvex 6201 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
..^ | |
| 170 | 168, 34, 169 | fvmpt 6282 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
..^ ..^ |
| 171 | 111, 170 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
..^
..^ |
| 172 | 164, 171 | eqtr4d 2659 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
..^ |
| 173 | 172 | oveq2d 6666 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
..^ |
| 174 | 107, 140, 173 | 3eqtrd 2660 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
..^ |
| 175 | 94, 174 | eqeq12d 2637 |
. . . . . . . . . . . . . 14
..^ ..^
..^ ..^ |
| 176 | 91, 175 | syl5ibr 236 |
. . . . . . . . . . . . 13
..^
..^ |
| 177 | 176 | expcom 451 |
. . . . . . . . . . . 12
..^
..^ |
| 178 | 177 | a2d 29 |
. . . . . . . . . . 11
..^
..^ |
| 179 | 60, 65, 70, 65, 90, 178 | nnind 11038 |
. . . . . . . . . 10
..^ |
| 180 | 179 | impcom 446 |
. . . . . . . . 9
..^ |
| 181 | fvco3 6275 |
. . . . . . . . . 10
| |
| 182 | 51, 181 | sylan 488 |
. . . . . . . . 9
|
| 183 | 180, 182 | eqtr4d 2659 |
. . . . . . . 8
..^ |
| 184 | 49, 55, 183 | eqfnfvd 6314 |
. . . . . . 7
..^ |
| 185 | 184 | rneqd 5353 |
. . . . . 6
..^ |
| 186 | rnco2 5642 |
. . . . . 6
| |
| 187 | 185, 186 | syl6eq 2672 |
. . . . 5
..^ |
| 188 | 187 | supeq1d 8352 |
. . . 4
..^
|
| 189 | 36, 43, 188 | 3eqtr3d 2664 |
. . 3
|
| 190 | 189 | ex 450 |
. 2
|
| 191 | rexnal 2995 |
. . 3
 
| |
| 192 | fniunfv 6505 |
. . . . . . . . . . . 12
| |
| 193 | 38, 192 | syl 17 |
. . . . . . . . . . 11
|
| 194 | ffvelrn 6357 |
. . . . . . . . . . . . 13
| |
| 195 | 194 | ralrimiva 2966 |
. . . . . . . . . . . 12
|
| 196 | iunmbl 23321 |
. . . . . . . . . . . 12
| |
| 197 | 195, 196 | syl 17 |
. . . . . . . . . . 11
|
| 198 | 193, 197 | eqeltrrd 2702 |
. . . . . . . . . 10
|
| 199 | 198 | ad2antrr 762 |
. . . . . . . . 9
|
| 200 | mblss 23299 |
. . . . . . . . 9
| |
| 201 | 199, 200 | syl 17 |
. . . . . . . 8
|
| 202 | ovolcl 23246 |
. . . . . . . 8
| |
| 203 | 201, 202 | syl 17 |
. . . . . . 7
|
| 204 | pnfge 11964 |
. . . . . . 7
 | |
| 205 | 203, 204 | syl 17 |
. . . . . 6
|
| 206 | simprr 796 |
. . . . . . . . 9
| |
| 207 | 1 | ad2ant2r 783 |
. . . . . . . . . . . . 13
|
| 208 | 207, 18 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . 12
|
| 209 | ovolcl 23246 |
. . . . . . . . . . . 12
| |
| 210 | 208, 209 | syl 17 |
. . . . . . . . . . 11
|
| 211 | xrrebnd 11999 |
. . . . . . . . . . 11
 | |
| 212 | 210, 211 | syl 17 |
. . . . . . . . . 10
|
| 213 | 207, 20 | syl 17 |
. . . . . . . . . . 11
|
| 214 | 213 | eleq1d 2686 |
. . . . . . . . . 10
|
| 215 | ovolge0 23249 |
. . . . . . . . . . . . 13
| |
| 216 | mnflt0 11959 |
. . . . . . . . . . . . . 14
| |
| 217 | mnfxr 10096 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
| |
| 218 | 0xr 10086 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
| |
| 219 | xrltletr 11988 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
| |
| 220 | 217, 218, 219 | mp3an12 1414 |
. . . . . . . . . . . . . 14
|
| 221 | 216, 220 | mpani 712 |
. . . . . . . . . . . . 13
|
| 222 | 209, 215, 221 | sylc 65 |
. . . . . . . . . . . 12
|
| 223 | 208, 222 | syl 17 |
. . . . . . . . . . 11
|
| 224 | 223 | biantrurd 529 |
. . . . . . . . . 10
|
| 225 | 212, 214, 224 | 3bitr4d 300 |
. . . . . . . . 9
|
| 226 | 206, 225 | mtbid 314 |
. . . . . . . 8
|
| 227 | nltpnft 11995 |
. . . . . . . . 9
| |
| 228 | 210, 227 | syl 17 |
. . . . . . . 8
|
| 229 | 226, 228 | mpbird 247 |
. . . . . . 7
|
| 230 | 38 | ad2antrr 762 |
. . . . . . . . . 10
|
| 231 | simprl 794 |
. . . . . . . . . 10
| |
| 232 | fnfvelrn 6356 |
. . . . . . . . . 10
| |
| 233 | 230, 231, 232 | syl2anc 693 |
. . . . . . . . 9
|
| 234 | elssuni 4467 |
. . . . . . . . 9
| |
| 235 | 233, 234 | syl 17 |
. . . . . . . 8
|
| 236 | ovolss 23253 |
. . . . . . . 8
| |
| 237 | 235, 201, 236 | syl2anc 693 |
. . . . . . 7
|
| 238 | 229, 237 | eqbrtrrd 4677 |
. . . . . 6
|
| 239 | pnfxr 10092 |
. . . . . . 7
| |
| 240 | xrletri3 11985 |
. . . . . . 7
| |
| 241 | 203, 239, 240 | sylancl 694 |
. . . . . 6
|
| 242 | 205, 238, 241 | mpbir2and 957 |
. . . . 5
|
| 243 | mblvol 23298 |
. . . . . 6
| |
| 244 | 199, 243 | syl 17 |
. . . . 5
|
| 245 | imassrn 5477 |
. . . . . . 7
| |
| 246 | frn 6053 |
. . . . . . . . 9
| |
| 247 | 50, 246 | ax-mp 5 |
. . . . . . . 8
|
| 248 | iccssxr 12256 |
. . . . . . . 8
| |
| 249 | 247, 248 | sstri 3612 |
. . . . . . 7
|
| 250 | 245, 249 | sstri 3612 |
. . . . . 6
|
| 251 | 213, 229 | eqtrd 2656 |
. . . . . . 7
|
| 252 | simpll 790 |
. . . . . . . 8
| |
| 253 | ffun 6048 |
. . . . . . . . . 10
 | |
| 254 | 50, 253 | ax-mp 5 |
. . . . . . . . 9
|
| 255 | frn 6053 |
. . . . . . . . 9
| |
| 256 | funfvima2 6493 |
. . . . . . . . 9
| |
| 257 | 254, 255, 256 | sylancr 695 |
. . . . . . . 8
|
| 258 | 252, 233, 257 | sylc 65 |
. . . . . . 7
|
| 259 | 251, 258 | eqeltrrd 2702 |
. . . . . 6
|
| 260 | supxrpnf 12148 |
. . . . . 6
| |
| 261 | 250, 259, 260 | sylancr 695 |
. . . . 5
|
| 262 | 242, 244, 261 | 3eqtr4d 2666 |
. . . 4
|
| 263 | 262 | rexlimdvaa 3032 |
. . 3
|
| 264 | 191, 263 | syl5bir 233 |
. 2
|
| 265 | 190, 264 | pm2.61d 170 |
1
|
| Colors of variables: wff setvar class |
| Syntax hints: wn 3
wi 4
wb 196 wa 384 wceq 1483 wcel 1990 wral 2912 wrex 2913 cdif 3571 cun 3572 cin 3573 wss 3574 c0 3915 cuni 4436 ciun 4520 Disj wdisj 4620 class class class wbr 4653
cmpt 4729 cdm 5114 crn 5115 cima 5117 ccom 5118 wfun 5882 wfn 5883 wf 5884 cfv 5888 (class class class)co 6650
cfn 7955
csup 8346
cr 9935
cc0 9936
c1 9937
caddc 9939 cpnf 10071 cmnf 10072 cxr 10073 clt 10074 cle 10075 cn 11020 cz 11377 cuz 11687 cicc 12178 cfz 12326 ..^cfzo 12465
cseq 12801
covol 23231 cvol 23232 |
| This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1722 ax-4 1737 ax-5 1839 ax-6 1888 ax-7 1935 ax-8 1992 ax-9 1999 ax-10 2019 ax-11 2034 ax-12 2047 ax-13 2246 ax-ext 2602 ax-rep 4771 ax-sep 4781 ax-nul 4789 ax-pow 4843 ax-pr 4906 ax-un 6949 ax-inf2 8538 ax-cc 9257 ax-cnex 9992 ax-resscn 9993 ax-1cn 9994 ax-icn 9995 ax-addcl 9996 ax-addrcl 9997 ax-mulcl 9998 ax-mulrcl 9999 ax-mulcom 10000 ax-addass 10001 ax-mulass 10002 ax-distr 10003 ax-i2m1 10004 ax-1ne0 10005 ax-1rid 10006 ax-rnegex 10007 ax-rrecex 10008 ax-cnre 10009 ax-pre-lttri 10010 ax-pre-lttrn 10011 ax-pre-ltadd 10012 ax-pre-mulgt0 10013 ax-pre-sup 10014 |
| This theorem depends on definitions: df-bi 197 df-or 385 df-an 386 df-3or 1038 df-3an 1039 df-tru 1486 df-fal 1489 df-ex 1705 df-nf 1710 df-sb 1881 df-eu 2474 df-mo 2475 df-clab 2609 df-cleq 2615 df-clel 2618 df-nfc 2753 df-ne 2795 df-nel 2898 df-ral 2917 df-rex 2918 df-reu 2919 df-rmo 2920 df-rab 2921 df-v 3202 df-sbc 3436 df-csb 3534 df-dif 3577 df-un 3579 df-in 3581 df-ss 3588 df-pss 3590 df-nul 3916 df-if 4087 df-pw 4160 df-sn 4178 df-pr 4180 df-tp 4182 df-op 4184 df-uni 4437 df-int 4476 df-iun 4522 df-disj 4621 df-br 4654 df-opab 4713 df-mpt 4730 df-tr 4753 df-id 5024 df-eprel 5029 df-po 5035 df-so 5036 df-fr 5073 df-se 5074 df-we 5075 df-xp 5120 df-rel 5121 df-cnv 5122 df-co 5123 df-dm 5124 df-rn 5125 df-res 5126 df-ima 5127 df-pred 5680 df-ord 5726 df-on 5727 df-lim 5728 df-suc 5729 df-iota 5851 df-fun 5890 df-fn 5891 df-f 5892 df-f1 5893 df-fo 5894 df-f1o 5895 df-fv 5896 df-isom 5897 df-riota 6611 df-ov 6653 df-oprab 6654 df-mpt2 6655 df-of 6897 df-om 7066 df-1st 7168 df-2nd 7169 df-wrecs 7407 df-recs 7468 df-rdg 7506 df-1o 7560 df-2o 7561 df-oadd 7564 df-er 7742 df-map 7859 df-pm 7860 df-en 7956 df-dom 7957 df-sdom 7958 df-fin 7959 df-sup 8348 df-inf 8349 df-oi 8415 df-card 8765 df-cda 8990 df-pnf 10076 df-mnf 10077 df-xr 10078 df-ltxr 10079 df-le 10080 df-sub 10268 df-neg 10269 df-div 10685 df-nn 11021 df-2 11079 df-3 11080 df-n0 11293 df-z 11378 df-uz 11688 df-q 11789 df-rp 11833 df-xadd 11947 df-ioo 12179 df-ico 12181 df-icc 12182 df-fz 12327 df-fzo 12466 df-fl 12593 df-seq 12802 df-exp 12861 df-hash 13118 df-cj 13839 df-re 13840 df-im 13841 df-sqrt 13975 df-abs 13976 df-clim 14219 df-rlim 14220 df-sum 14417 df-xmet 19739 df-met 19740 df-ovol 23233 df-vol 23234 |
| This theorem is referenced by: volsup2 23373 itg1climres 23481 itg2gt0 23527 |
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