Theorem iunhoiioolem 40889

Description: A n-dimensional open interval expressed as the indexed union of half-open intervals. One side of the double inclusion. (Contributed by Glauco Siliprandi, 8-Apr-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
iunhoiioolem.K	|- F/ k ph
iunhoiioolem.x	|- ( ph -> X e. Fin )
iunhoiioolem.n	|- ( ph -> X =/= (/) )
iunhoiioolem.a	|- ( ( ph /\ k e. X ) -> A e. RR )
iunhoiioolem.b	|- ( ( ph /\ k e. X ) -> B e. RR* )
iunhoiioolem.f	|- ( ph -> F e. X_ k e. X ( A (,) B ) )
iunhoiioolem.c	|- C = inf ( ran ( k e. X |-> ( ( F ` k ) - A ) ) , RR , < )

Assertion

Ref	Expression
iunhoiioolem	|- ( ph -> F e. U_ n e. NN X_ k e. X ( ( A + ( 1 / n ) ) [,) B ) )

Distinct variable groups:   C, n   k, F, n   k, X   ph, n

Allowed substitution hints:   ph( k)   A( k, n)   B( k, n)   C( k)   X( n)

Proof of Theorem iunhoiioolem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		iunhoiioolem.K	. . . . . 6 |- F/ k ph
2		eqid 2622	. . . . . 6 |- ( k e. X |-> ( ( F ` k ) - A ) ) = ( k e. X |-> ( ( F ` k ) - A ) )
3		iunhoiioolem.f	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> F e. X_ k e. X ( A (,) B ) )
4		ixpf 7930	. . . . . . . . . . 11 |- ( F e. X_ k e. X ( A (,) B ) -> F : X --> U_ k e. X ( A (,) B ) )
5	3, 4	syl 17	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> F : X --> U_ k e. X ( A (,) B ) )
6		ioossre 12235	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( A (,) B ) C_ RR
7	6	rgenw 2924	. . . . . . . . . . . 12 |- A. k e. X ( A (,) B ) C_ RR
8	7	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> A. k e. X ( A (,) B ) C_ RR )
9		iunss 4561	. . . . . . . . . . 11 |- ( U_ k e. X ( A (,) B ) C_ RR <-> A. k e. X ( A (,) B ) C_ RR )
10	8, 9	sylibr 224	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> U_ k e. X ( A (,) B ) C_ RR )
11	5, 10	fssd 6057	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> F : X --> RR )
12	11	ffvelrnda 6359	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ k e. X ) -> ( F ` k ) e. RR )
13		iunhoiioolem.a	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ k e. X ) -> A e. RR )
14	12, 13	resubcld 10458	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ k e. X ) -> ( ( F ` k ) - A ) e. RR )
15	13	rexrd 10089	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ k e. X ) -> A e. RR* )
16		iunhoiioolem.b	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ k e. X ) -> B e. RR* )
17	3	adantr 481	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ k e. X ) -> F e. X_ k e. X ( A (,) B ) )
18		simpr 477	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ k e. X ) -> k e. X )
19		fvixp2 39389	. . . . . . . . . 10 |- ( ( F e. X_ k e. X ( A (,) B ) /\ k e. X ) -> ( F ` k ) e. ( A (,) B ) )
20	17, 18, 19	syl2anc 693	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ k e. X ) -> ( F ` k ) e. ( A (,) B ) )
21		ioogtlb 39717	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ ( F ` k ) e. ( A (,) B ) ) -> A < ( F ` k ) )
22	15, 16, 20, 21	syl3anc 1326	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ k e. X ) -> A < ( F ` k ) )
23	13, 12	posdifd 10614	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ k e. X ) -> ( A < ( F ` k ) <-> 0 < ( ( F ` k ) - A ) ) )
24	22, 23	mpbid 222	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ k e. X ) -> 0 < ( ( F ` k ) - A ) )
25	14, 24	elrpd 11869	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ k e. X ) -> ( ( F ` k ) - A ) e. RR+ )
26	1, 2, 25	rnmptssd 39385	. . . . 5 |- ( ph -> ran ( k e. X |-> ( ( F ` k ) - A ) ) C_ RR+ )
27		iunhoiioolem.c	. . . . . 6 |- C = inf ( ran ( k e. X |-> ( ( F ` k ) - A ) ) , RR , < )
28		ltso 10118	. . . . . . . 8 |- < Or RR
29	28	a1i 11	. . . . . . 7 |- ( ph -> < Or RR )
30		iunhoiioolem.x	. . . . . . . 8 |- ( ph -> X e. Fin )
31	2	rnmptfi 39351	. . . . . . . 8 |- ( X e. Fin -> ran ( k e. X |-> ( ( F ` k ) - A ) ) e. Fin )
32	30, 31	syl 17	. . . . . . 7 |- ( ph -> ran ( k e. X |-> ( ( F ` k ) - A ) ) e. Fin )
33		iunhoiioolem.n	. . . . . . . 8 |- ( ph -> X =/= (/) )
34	1, 25, 2, 33	rnmptn0 39413	. . . . . . 7 |- ( ph -> ran ( k e. X |-> ( ( F ` k ) - A ) ) =/= (/) )
35	1, 2, 14	rnmptssd 39385	. . . . . . 7 |- ( ph -> ran ( k e. X |-> ( ( F ` k ) - A ) ) C_ RR )
36		fiinfcl 8407	. . . . . . 7 |- ( ( < Or RR /\ ( ran ( k e. X |-> ( ( F ` k ) - A ) ) e. Fin /\ ran ( k e. X |-> ( ( F ` k ) - A ) ) =/= (/) /\ ran ( k e. X |-> ( ( F ` k ) - A ) ) C_ RR ) ) -> inf ( ran ( k e. X |-> ( ( F ` k ) - A ) ) , RR , < ) e. ran ( k e. X |-> ( ( F ` k ) - A ) ) )
37	29, 32, 34, 35, 36	syl13anc 1328	. . . . . 6 |- ( ph -> inf ( ran ( k e. X |-> ( ( F ` k ) - A ) ) , RR , < ) e. ran ( k e. X |-> ( ( F ` k ) - A ) ) )
38	27, 37	syl5eqel 2705	. . . . 5 |- ( ph -> C e. ran ( k e. X |-> ( ( F ` k ) - A ) ) )
39	26, 38	sseldd 3604	. . . 4 |- ( ph -> C e. RR+ )
40		rpgtrecnn 39597	. . . 4 |- ( C e. RR+ -> E. n e. NN ( 1 / n ) < C )
41	39, 40	syl 17	. . 3 |- ( ph -> E. n e. NN ( 1 / n ) < C )
42	3	elexd 3214	. . . . . . . 8 |- ( ph -> F e. _V )
43	42	ad2antrr 762	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ ( 1 / n ) < C ) -> F e. _V )
44	5	ffnd 6046	. . . . . . . 8 |- ( ph -> F Fn X )
45	44	ad2antrr 762	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ ( 1 / n ) < C ) -> F Fn X )
46		nfv 1843	. . . . . . . . . 10 |- F/ k n e. NN
47	1, 46	nfan 1828	. . . . . . . . 9 |- F/ k ( ph /\ n e. NN )
48		nfcv 2764	. . . . . . . . . 10 |- F/_ k ( 1 / n )
49		nfcv 2764	. . . . . . . . . 10 |- F/_ k <
50		nfmpt1 4747	. . . . . . . . . . . . 13 |- F/_ k ( k e. X |-> ( ( F ` k ) - A ) )
51	50	nfrn 5368	. . . . . . . . . . . 12 |- F/_ k ran ( k e. X |-> ( ( F ` k ) - A ) )
52		nfcv 2764	. . . . . . . . . . . 12 |- F/_ k RR
53	51, 52, 49	nfinf 8388	. . . . . . . . . . 11 |- F/_ kinf ( ran ( k e. X |-> ( ( F ` k ) - A ) ) , RR , < )
54	27, 53	nfcxfr 2762	. . . . . . . . . 10 |- F/_ k C
55	48, 49, 54	nfbr 4699	. . . . . . . . 9 |- F/ k ( 1 / n ) < C
56	47, 55	nfan 1828	. . . . . . . 8 |- F/ k ( ( ph /\ n e. NN ) /\ ( 1 / n ) < C )
57	13	adantlr 751	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ k e. X ) -> A e. RR )
58		nnrecre 11057	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( n e. NN -> ( 1 / n ) e. RR )
59	58	ad2antlr 763	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ k e. X ) -> ( 1 / n ) e. RR )
60	57, 59	readdcld 10069	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ k e. X ) -> ( A + ( 1 / n ) ) e. RR )
61	60	rexrd 10089	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ k e. X ) -> ( A + ( 1 / n ) ) e. RR* )
62	61	adantlr 751	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ ( 1 / n ) < C ) /\ k e. X ) -> ( A + ( 1 / n ) ) e. RR* )
63	16	adantlr 751	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ k e. X ) -> B e. RR* )
64	63	adantlr 751	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ ( 1 / n ) < C ) /\ k e. X ) -> B e. RR* )
65		ressxr 10083	. . . . . . . . . . . . . 14 |- RR C_ RR*
66	65	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> RR C_ RR* )
67	11, 66	fssd 6057	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> F : X --> RR* )
68	67	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ ( 1 / n ) < C ) -> F : X --> RR* )
69	68	ffvelrnda 6359	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ ( 1 / n ) < C ) /\ k e. X ) -> ( F ` k ) e. RR* )
70	60	adantlr 751	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ ( 1 / n ) < C ) /\ k e. X ) -> ( A + ( 1 / n ) ) e. RR )
71	12	ad4ant14 1293	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ ( 1 / n ) < C ) /\ k e. X ) -> ( F ` k ) e. RR )
72	59	adantlr 751	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ ( 1 / n ) < C ) /\ k e. X ) -> ( 1 / n ) e. RR )
73	35, 38	sseldd 3604	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> C e. RR )
74	73	ad3antrrr 766	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ ( 1 / n ) < C ) /\ k e. X ) -> C e. RR )
75	14	ad4ant14 1293	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ ( 1 / n ) < C ) /\ k e. X ) -> ( ( F ` k ) - A ) e. RR )
76		simplr 792	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ ( 1 / n ) < C ) /\ k e. X ) -> ( 1 / n ) < C )
77	35	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ k e. X ) -> ran ( k e. X |-> ( ( F ` k ) - A ) ) C_ RR )
78	32	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ k e. X ) -> ran ( k e. X |-> ( ( F ` k ) - A ) ) e. Fin )
79		id 22	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( k e. X -> k e. X )
80		ovexd 6680	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( k e. X -> ( ( F ` k ) - A ) e. _V )
81	2	elrnmpt1 5374	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( k e. X /\ ( ( F ` k ) - A ) e. _V ) -> ( ( F ` k ) - A ) e. ran ( k e. X |-> ( ( F ` k ) - A ) ) )
82	79, 80, 81	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( k e. X -> ( ( F ` k ) - A ) e. ran ( k e. X |-> ( ( F ` k ) - A ) ) )
83	82	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ k e. X ) -> ( ( F ` k ) - A ) e. ran ( k e. X |-> ( ( F ` k ) - A ) ) )
84		infrefilb 39600	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ran ( k e. X |-> ( ( F ` k ) - A ) ) C_ RR /\ ran ( k e. X |-> ( ( F ` k ) - A ) ) e. Fin /\ ( ( F ` k ) - A ) e. ran ( k e. X |-> ( ( F ` k ) - A ) ) ) -> inf ( ran ( k e. X |-> ( ( F ` k ) - A ) ) , RR , < ) <_ ( ( F ` k ) - A ) )
85	77, 78, 83, 84	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ k e. X ) -> inf ( ran ( k e. X |-> ( ( F ` k ) - A ) ) , RR , < ) <_ ( ( F ` k ) - A ) )
86	27, 85	syl5eqbr 4688	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ k e. X ) -> C <_ ( ( F ` k ) - A ) )
87	86	adantlr 751	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ ( 1 / n ) < C ) /\ k e. X ) -> C <_ ( ( F ` k ) - A ) )
88	72, 74, 75, 76, 87	ltletrd 10197	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ ( 1 / n ) < C ) /\ k e. X ) -> ( 1 / n ) < ( ( F ` k ) - A ) )
89	57	adantlr 751	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ ( 1 / n ) < C ) /\ k e. X ) -> A e. RR )
90	89, 72, 71	ltaddsub2d 10628	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ ( 1 / n ) < C ) /\ k e. X ) -> ( ( A + ( 1 / n ) ) < ( F ` k ) <-> ( 1 / n ) < ( ( F ` k ) - A ) ) )
91	88, 90	mpbird 247	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ ( 1 / n ) < C ) /\ k e. X ) -> ( A + ( 1 / n ) ) < ( F ` k ) )
92	70, 71, 91	ltled 10185	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ ( 1 / n ) < C ) /\ k e. X ) -> ( A + ( 1 / n ) ) <_ ( F ` k ) )
93		iooltub 39735	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ ( F ` k ) e. ( A (,) B ) ) -> ( F ` k ) < B )
94	15, 16, 20, 93	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ k e. X ) -> ( F ` k ) < B )
95	94	ad4ant14 1293	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ ( 1 / n ) < C ) /\ k e. X ) -> ( F ` k ) < B )
96	62, 64, 69, 92, 95	elicod 12224	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ ( 1 / n ) < C ) /\ k e. X ) -> ( F ` k ) e. ( ( A + ( 1 / n ) ) [,) B ) )
97	96	ex 450	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ ( 1 / n ) < C ) -> ( k e. X -> ( F ` k ) e. ( ( A + ( 1 / n ) ) [,) B ) ) )
98	56, 97	ralrimi 2957	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ ( 1 / n ) < C ) -> A. k e. X ( F ` k ) e. ( ( A + ( 1 / n ) ) [,) B ) )
99	43, 45, 98	3jca 1242	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ ( 1 / n ) < C ) -> ( F e. _V /\ F Fn X /\ A. k e. X ( F ` k ) e. ( ( A + ( 1 / n ) ) [,) B ) ) )
100		elixp2 7912	. . . . . 6 |- ( F e. X_ k e. X ( ( A + ( 1 / n ) ) [,) B ) <-> ( F e. _V /\ F Fn X /\ A. k e. X ( F ` k ) e. ( ( A + ( 1 / n ) ) [,) B ) ) )
101	99, 100	sylibr 224	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ ( 1 / n ) < C ) -> F e. X_ k e. X ( ( A + ( 1 / n ) ) [,) B ) )
102	101	ex 450	. . . 4 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> ( ( 1 / n ) < C -> F e. X_ k e. X ( ( A + ( 1 / n ) ) [,) B ) ) )
103	102	reximdva 3017	. . 3 |- ( ph -> ( E. n e. NN ( 1 / n ) < C -> E. n e. NN F e. X_ k e. X ( ( A + ( 1 / n ) ) [,) B ) ) )
104	41, 103	mpd 15	. 2 |- ( ph -> E. n e. NN F e. X_ k e. X ( ( A + ( 1 / n ) ) [,) B ) )
105		eliun 4524	. 2 |- ( F e. U_ n e. NN X_ k e. X ( ( A + ( 1 / n ) ) [,) B ) <-> E. n e. NN F e. X_ k e. X ( ( A + ( 1 / n ) ) [,) B ) )
106	104, 105	sylibr 224	1 |- ( ph -> F e. U_ n e. NN X_ k e. X ( ( A + ( 1 / n ) ) [,) B ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   F/wnf 1708   e. wcel 1990   =/= wne 2794   A.wral 2912   E.wrex 2913   _Vcvv 3200   C_ wss 3574   (/)c0 3915   U_ciun 4520   class class class wbr 4653   |-> cmpt 4729   Or wor 5034   ran crn 5115   Fn wfn 5883   -->wf 5884   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   X_cixp 7908   Fincfn 7955  infcinf 8347   RRcr 9935   0cc0 9936   1c1 9937   + caddc 9939   RR*cxr 10073   < clt 10074   <_ cle 10075   - cmin 10266   / cdiv 10684   NNcn 11020   RR+crp 11832   (,)cioo 12175   [,)cico 12177

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-oadd 7564  df-er 7742  df-ixp 7909  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-sup 8348  df-inf 8349  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-rp 11833  df-ioo 12179  df-ico 12181  df-fl 12593

This theorem is referenced by:  iunhoiioo  40890