ivthlem2 - Metamath Proof Explorer

	Metamath Proof Explorer		< Previous Next > Nearby theorems
Mirrors > Home > MPE Home > Th. List > ivthlem2		Structured version Visualization version Unicode version

Theorem ivthlem2 23221

Description: Lemma for ivth 23223. Show that the supremum of

cannot be less than

. If it was, continuity of

implies that there are points just above the supremum that are also less than

, a contradiction. (Contributed by Mario Carneiro, 17-Jun-2014.)

**Hypotheses**
Ref	Expression
ivth.1
ivth.2
ivth.3
ivth.4
ivth.5
ivth.7
ivth.8	$/\$
ivth.9	$/\$
ivth.10
ivth.11

**Assertion**
Ref	Expression
ivthlem2

Distinct variable groups:

Proof of Theorem ivthlem2 Dummy variables

are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ivth.7	. . . . 5
2	1	adantr 481	. . . 4 $/\$
3		ivth.5	. . . . . 6
4		ivth.11	. . . . . . . 8
5		ivth.10	. . . . . . . . . . . 12
6		ssrab2 3687	. . . . . . . . . . . 12
7	5, 6	eqsstri 3635	. . . . . . . . . . 11
8		ivth.1	. . . . . . . . . . . 12
9		ivth.2	. . . . . . . . . . . 12
10		iccssre 12255	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
11	8, 9, 10	syl2anc 693	. . . . . . . . . . 11
12	7, 11	syl5ss 3614	. . . . . . . . . 10
13		ivth.3	. . . . . . . . . . . . 13
14		ivth.4	. . . . . . . . . . . . 13
15		ivth.8	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
16		ivth.9	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
17	8, 9, 13, 14, 3, 1, 15, 16, 5	ivthlem1 23220	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
18	17	simpld 475	. . . . . . . . . . 11
19		ne0i 3921	. . . . . . . . . . 11
20	18, 19	syl 17	. . . . . . . . . 10
21	17	simprd 479	. . . . . . . . . . 11
22		breq2 4657	. . . . . . . . . . . . 13
23	22	ralbidv 2986	. . . . . . . . . . . 12
24	23	rspcev 3309	. . . . . . . . . . 11 $/\$
25	9, 21, 24	syl2anc 693	. . . . . . . . . 10
26	12, 20, 25	3jca 1242	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$
27		suprcl 10983	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$
28	26, 27	syl 17	. . . . . . . 8
29	4, 28	syl5eqel 2705	. . . . . . 7
30		suprub 10984	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$
31	26, 18, 30	syl2anc 693	. . . . . . . 8
32	31, 4	syl6breqr 4695	. . . . . . 7
33		suprleub 10989	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ $/\$
34	26, 9, 33	syl2anc 693	. . . . . . . . 9
35	21, 34	mpbird 247	. . . . . . . 8
36	4, 35	syl5eqbr 4688	. . . . . . 7
37		elicc2 12238	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$
38	8, 9, 37	syl2anc 693	. . . . . . 7 $/\$ $/\$
39	29, 32, 36, 38	mpbir3and 1245	. . . . . 6
40	3, 39	sseldd 3604	. . . . 5
41	40	adantr 481	. . . 4 $/\$
42	15	ralrimiva 2966	. . . . . . 7
43		fveq2 6191	. . . . . . . . 9
44	43	eleq1d 2686	. . . . . . . 8
45	44	rspcv 3305	. . . . . . 7
46	39, 42, 45	sylc 65	. . . . . 6
47		difrp 11868	. . . . . 6 $/\$
48	46, 13, 47	syl2anc 693	. . . . 5
49	48	biimpa 501	. . . 4 $/\$
50		cncfi 22697	. . . 4 $/\$ $/\$
51	2, 41, 49, 50	syl3anc 1326	. . 3 $/\$
52		ssralv 3666	. . . . . . 7
53	3, 52	syl 17	. . . . . 6
54	53	ad2antrr 762	. . . . 5 $/\$ $/\$
55	9	ad2antrr 762	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$
56	29	ad2antrr 762	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$
57		rphalfcl 11858	. . . . . . . . . . . 12
58	57	adantl 482	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$
59	58	rpred 11872	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$
60	56, 59	readdcld 10069	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$
61	55, 60	ifcld 4131	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$
62	8	ad2antrr 762	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$
63	32	ad2antrr 762	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$
64	16	simprd 479	. . . . . . . . . . . . . . 15
65	8	rexrd 10089	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
66	9	rexrd 10089	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
67	8, 9, 14	ltled 10185	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
68		ubicc2 12289	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$
69	65, 66, 67, 68	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
70		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
71	70	eleq1d 2686	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
72	71	rspcv 3305	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
73	69, 42, 72	sylc 65	. . . . . . . . . . . . . . . 16
74		lttr 10114	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$ $/\$
75	46, 13, 73, 74	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$
76	64, 75	mpan2d 710	. . . . . . . . . . . . . 14
77	76	imp 445	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
78	77	adantr 481	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$
79	46	ltnrd 10171	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
80		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
81	80	breq2d 4665	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
82	81	notbid 308	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
83	79, 82	syl5ibrcom 237	. . . . . . . . . . . . . . . 16
84	83	necon2ad 2809	. . . . . . . . . . . . . . 15
85	84, 36	jctild 566	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$
86	29, 9	ltlend 10182	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$
87	85, 86	sylibrd 249	. . . . . . . . . . . . 13
88	87	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$
89	78, 88	mpd 15	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$
90	56, 58	ltaddrpd 11905	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$
91		breq2 4657	. . . . . . . . . . . 12
92		breq2 4657	. . . . . . . . . . . 12
93	91, 92	ifboth 4124	. . . . . . . . . . 11 $/\$
94	89, 90, 93	syl2anc 693	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$
95	56, 61, 94	ltled 10185	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$
96	62, 56, 61, 63, 95	letrd 10194	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$
97		min1 12020	. . . . . . . . 9 $/\$
98	55, 60, 97	syl2anc 693	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$
99		elicc2 12238	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ $/\$
100	8, 9, 99	syl2anc 693	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$
101	100	ad2antrr 762	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
102	61, 96, 98, 101	mpbir3and 1245	. . . . . . 7 $/\$ $/\$
103	56, 61, 95	abssubge0d 14170	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$
104		rpre 11839	. . . . . . . . . . . 12
105	104	adantl 482	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$
106	56, 105	readdcld 10069	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$
107		min2 12021	. . . . . . . . . . 11 $/\$
108	55, 60, 107	syl2anc 693	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$
109		rphalflt 11860	. . . . . . . . . . . 12
110	109	adantl 482	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$
111	59, 105, 56, 110	ltadd2dd 10196	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$
112	61, 60, 106, 108, 111	lelttrd 10195	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$
113	61, 56, 105	ltsubadd2d 10625	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$
114	112, 113	mpbird 247	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$
115	103, 114	eqbrtrd 4675	. . . . . . 7 $/\$ $/\$
116		oveq1 6657	. . . . . . . . . . 11
117	116	fveq2d 6195	. . . . . . . . . 10
118	117	breq1d 4663	. . . . . . . . 9
119		breq2 4657	. . . . . . . . 9
120	118, 119	anbi12d 747	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$
121	120	rspcev 3309	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $/\$
122	102, 115, 94, 121	syl12anc 1324	. . . . . 6 $/\$ $/\$ $/\$
123		r19.29 3072	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
124		pm3.45 879	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$
125	124	imp 445	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$
126		simprr 796	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
127		simprl 794	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
128		simplll 798	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
129	128, 42	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
130		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
131	130	eleq1d 2686	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
132	131	rspcv 3305	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
133	127, 129, 132	sylc 65	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
134	128, 46	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
135	128, 13	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
136	135, 134	resubcld 10458	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
137	133, 134, 136	absdifltd 14172	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
138		ltle 10126	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$
139	133, 135, 138	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
140	134	recnd 10068	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
141	135	recnd 10068	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
142	140, 141	pncan3d 10395	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
143	142	breq2d 4665	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
144	130	breq1d 4663	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
145	144, 5	elrab2 3366	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$
146	145	baib 944	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
147	146	ad2antrl 764	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
148	139, 143, 147	3imtr4d 283	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
149		suprub 10984	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 $/\$ $/\$ $/\$
150	149, 4	syl6breqr 4695	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$ $/\$ $/\$
151	150	ex 450	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ $/\$
152	128, 26, 151	3syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
153	128, 11	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
154	153, 127	sseldd 3604	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
155	128, 29	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
156	154, 155	lenltd 10183	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
157	152, 156	sylibd 229	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
158	148, 157	syld 47	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
159	158	adantld 483	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
160	137, 159	sylbid 230	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
161	126, 160	mt2d 131	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
162	161	pm2.21d 118	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
163	162	expr 643	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $/\$
164	163	com23 86	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ $/\$
165	164	impd 447	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
166	125, 165	syl5 34	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
167	166	rexlimdva 3031	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
168	123, 167	syl5 34	. . . . . 6 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
169	122, 168	mpan2d 710	. . . . 5 $/\$ $/\$
170	54, 169	syld 47	. . . 4 $/\$ $/\$
171	170	rexlimdva 3031	. . 3 $/\$
172	51, 171	mpd 15	. 2 $/\$
173	172	pm2.01da 458	1

Colors of variables: wff setvar class

Syntax hints:

wn 3

wi 4

wb 196 $/\$ wa 384 $/\$ w3a 1037

wceq 1483

wcel 1990

wne 2794

wral 2912

wrex 2913

crab 2916

wss 3574

c0 3915

cif 4086 class class class wbr 4653

cfv 5888 (class class class)co 6650

csup 8346

cc 9934

cr 9935

caddc 9939

cxr 10073

clt 10074

cle 10075

cmin 10266

cdiv 10684

c2 11070

crp 11832

cicc 12178

cabs 13974

ccncf 22679

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1722 ax-4 1737 ax-5 1839 ax-6 1888 ax-7 1935 ax-8 1992 ax-9 1999 ax-10 2019 ax-11 2034 ax-12 2047 ax-13 2246 ax-ext 2602 ax-sep 4781 ax-nul 4789 ax-pow 4843 ax-pr 4906 ax-un 6949 ax-cnex 9992 ax-resscn 9993 ax-1cn 9994 ax-icn 9995 ax-addcl 9996 ax-addrcl 9997 ax-mulcl 9998 ax-mulrcl 9999 ax-mulcom 10000 ax-addass 10001 ax-mulass 10002 ax-distr 10003 ax-i2m1 10004 ax-1ne0 10005 ax-1rid 10006 ax-rnegex 10007 ax-rrecex 10008 ax-cnre 10009 ax-pre-lttri 10010 ax-pre-lttrn 10011 ax-pre-ltadd 10012 ax-pre-mulgt0 10013 ax-pre-sup 10014

This theorem depends on definitions: df-bi 197 df-or 385 df-an 386 df-3or 1038 df-3an 1039 df-tru 1486 df-ex 1705 df-nf 1710 df-sb 1881 df-eu 2474 df-mo 2475 df-clab 2609 df-cleq 2615 df-clel 2618 df-nfc 2753 df-ne 2795 df-nel 2898 df-ral 2917 df-rex 2918 df-reu 2919 df-rmo 2920 df-rab 2921 df-v 3202 df-sbc 3436 df-csb 3534 df-dif 3577 df-un 3579 df-in 3581 df-ss 3588 df-pss 3590 df-nul 3916 df-if 4087 df-pw 4160 df-sn 4178 df-pr 4180 df-tp 4182 df-op 4184 df-uni 4437 df-iun 4522 df-br 4654 df-opab 4713 df-mpt 4730 df-tr 4753 df-id 5024 df-eprel 5029 df-po 5035 df-so 5036 df-fr 5073 df-we 5075 df-xp 5120 df-rel 5121 df-cnv 5122 df-co 5123 df-dm 5124 df-rn 5125 df-res 5126 df-ima 5127 df-pred 5680 df-ord 5726 df-on 5727 df-lim 5728 df-suc 5729 df-iota 5851 df-fun 5890 df-fn 5891 df-f 5892 df-f1 5893 df-fo 5894 df-f1o 5895 df-fv 5896 df-riota 6611 df-ov 6653 df-oprab 6654 df-mpt2 6655 df-om 7066 df-2nd 7169 df-wrecs 7407 df-recs 7468 df-rdg 7506 df-er 7742 df-map 7859 df-en 7956 df-dom 7957 df-sdom 7958 df-sup 8348 df-pnf 10076 df-mnf 10077 df-xr 10078 df-ltxr 10079 df-le 10080 df-sub 10268 df-neg 10269 df-div 10685 df-nn 11021 df-2 11079 df-3 11080 df-n0 11293 df-z 11378 df-uz 11688 df-rp 11833 df-icc 12182 df-seq 12802 df-exp 12861 df-cj 13839 df-re 13840 df-im 13841 df-sqrt 13975 df-abs 13976 df-cncf 22681

This theorem is referenced by: ivthlem3 23222

W3C validator