Theorem difrp 11868

Description: Two ways to say one number is less than another. (Contributed by Mario Carneiro, 21-May-2014.)

Assertion

Ref	Expression
difrp	|- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( A < B <-> ( B - A ) e. RR+ ) )

Proof of Theorem difrp

Step	Hyp	Ref	Expression
1		posdif 10521	. 2 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( A < B <-> 0 < ( B - A ) ) )
2		resubcl 10345	. . . 4 |- ( ( B e. RR /\ A e. RR ) -> ( B - A ) e. RR )
3	2	ancoms 469	. . 3 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( B - A ) e. RR )
4		elrp 11834	. . . 4 |- ( ( B - A ) e. RR+ <-> ( ( B - A ) e. RR /\ 0 < ( B - A ) ) )
5	4	baib 944	. . 3 |- ( ( B - A ) e. RR -> ( ( B - A ) e. RR+ <-> 0 < ( B - A ) ) )
6	3, 5	syl 17	. 2 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( ( B - A ) e. RR+ <-> 0 < ( B - A ) ) )
7	1, 6	bitr4d 271	1 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( A < B <-> ( B - A ) e. RR+ ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   e. wcel 1990   class class class wbr 4653  (class class class)co 6650   RRcr 9935   0cc0 9936   < clt 10074   - cmin 10266   RR+crp 11832

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-id 5024  df-po 5035  df-so 5036  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-ltxr 10079  df-sub 10268  df-neg 10269  df-rp 11833

This theorem is referenced by:  xralrple  12036  lincmb01cmp  12315  iccf1o  12316  expmulnbnd  12996  fsumlt  14532  expcnv  14596  blssps  22229  blss  22230  icchmeo  22740  icopnfcnv  22741  icopnfhmeo  22742  ivthlem2  23221  ivthlem3  23222  c1liplem1  23759  lhop1lem  23776  ftc1lem4  23802  aaliou3lem7  24104  abelthlem7  24192  cosordlem  24277  logdivlti  24366  cxpaddlelem  24492  atantan  24650  birthdaylem3  24680  lgamgulmlem2  24756  lgamgulmlem3  24757  chtppilimlem2  25163  pntrlog2bndlem5  25270  pntlemd  25283  pntlemc  25284  ostth2lem1  25307  ttgcontlem1  25765  lt2addrd  29516  signsplypnf  30627  knoppndvlem20  32522  ftc1cnnclem  33483  cvgdvgrat  38512  sge0gtfsumgt  40660  hoidmvlelem3  40811  vonioolem1  40894  smfmullem1  40998  smfmullem2  40999  smfmullem3  41000