Theorem lcmfun 15358

Description: The lcm function for a union of sets of integers. (Contributed by AV, 27-Aug-2020.)

Assertion

Ref	Expression
lcmfun	|- ( ( ( Y C_ ZZ /\ Y e. Fin ) /\ ( Z C_ ZZ /\ Z e. Fin ) ) -> (lcm ` ( Y u. Z ) ) = ( (lcm ` Y ) lcm (lcm ` Z ) ) )

Proof of Theorem lcmfun

Dummy variables x y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cleq1lem 13721	. . . . . 6 |- ( x = (/) -> ( ( x C_ ZZ /\ ( Y C_ ZZ /\ Y e. Fin ) ) <-> ( (/) C_ ZZ /\ ( Y C_ ZZ /\ Y e. Fin ) ) ) )
2		uneq2 3761	. . . . . . . . 9 |- ( x = (/) -> ( Y u. x ) = ( Y u. (/) ) )
3		un0 3967	. . . . . . . . 9 |- ( Y u. (/) ) = Y
4	2, 3	syl6eq 2672	. . . . . . . 8 |- ( x = (/) -> ( Y u. x ) = Y )
5	4	fveq2d 6195	. . . . . . 7 |- ( x = (/) -> (lcm ` ( Y u. x ) ) = (lcm ` Y ) )
6		fveq2 6191	. . . . . . . . 9 |- ( x = (/) -> (lcm ` x ) = (lcm ` (/) ) )
7		lcmf0 15347	. . . . . . . . 9 |- (lcm ` (/) ) = 1
8	6, 7	syl6eq 2672	. . . . . . . 8 |- ( x = (/) -> (lcm ` x ) = 1 )
9	8	oveq2d 6666	. . . . . . 7 |- ( x = (/) -> ( (lcm ` Y ) lcm (lcm ` x ) ) = ( (lcm ` Y ) lcm 1 ) )
10	5, 9	eqeq12d 2637	. . . . . 6 |- ( x = (/) -> ( (lcm ` ( Y u. x ) ) = ( (lcm ` Y ) lcm (lcm ` x ) ) <-> (lcm ` Y ) = ( (lcm ` Y ) lcm 1 ) ) )
11	1, 10	imbi12d 334	. . . . 5 |- ( x = (/) -> ( ( ( x C_ ZZ /\ ( Y C_ ZZ /\ Y e. Fin ) ) -> (lcm ` ( Y u. x ) ) = ( (lcm ` Y ) lcm (lcm ` x ) ) ) <-> ( ( (/) C_ ZZ /\ ( Y C_ ZZ /\ Y e. Fin ) ) -> (lcm ` Y ) = ( (lcm ` Y ) lcm 1 ) ) ) )
12		cleq1lem 13721	. . . . . 6 |- ( x = y -> ( ( x C_ ZZ /\ ( Y C_ ZZ /\ Y e. Fin ) ) <-> ( y C_ ZZ /\ ( Y C_ ZZ /\ Y e. Fin ) ) ) )
13		uneq2 3761	. . . . . . . 8 |- ( x = y -> ( Y u. x ) = ( Y u. y ) )
14	13	fveq2d 6195	. . . . . . 7 |- ( x = y -> (lcm ` ( Y u. x ) ) = (lcm ` ( Y u. y ) ) )
15		fveq2 6191	. . . . . . . 8 |- ( x = y -> (lcm ` x ) = (lcm ` y ) )
16	15	oveq2d 6666	. . . . . . 7 |- ( x = y -> ( (lcm ` Y ) lcm (lcm ` x ) ) = ( (lcm ` Y ) lcm (lcm ` y ) ) )
17	14, 16	eqeq12d 2637	. . . . . 6 |- ( x = y -> ( (lcm ` ( Y u. x ) ) = ( (lcm ` Y ) lcm (lcm ` x ) ) <-> (lcm ` ( Y u. y ) ) = ( (lcm ` Y ) lcm (lcm ` y ) ) ) )
18	12, 17	imbi12d 334	. . . . 5 |- ( x = y -> ( ( ( x C_ ZZ /\ ( Y C_ ZZ /\ Y e. Fin ) ) -> (lcm ` ( Y u. x ) ) = ( (lcm ` Y ) lcm (lcm ` x ) ) ) <-> ( ( y C_ ZZ /\ ( Y C_ ZZ /\ Y e. Fin ) ) -> (lcm ` ( Y u. y ) ) = ( (lcm ` Y ) lcm (lcm ` y ) ) ) ) )
19		cleq1lem 13721	. . . . . 6 |- ( x = ( y u. { z } ) -> ( ( x C_ ZZ /\ ( Y C_ ZZ /\ Y e. Fin ) ) <-> ( ( y u. { z } ) C_ ZZ /\ ( Y C_ ZZ /\ Y e. Fin ) ) ) )
20		uneq2 3761	. . . . . . . 8 |- ( x = ( y u. { z } ) -> ( Y u. x ) = ( Y u. ( y u. { z } ) ) )
21	20	fveq2d 6195	. . . . . . 7 |- ( x = ( y u. { z } ) -> (lcm ` ( Y u. x ) ) = (lcm ` ( Y u. ( y u. { z } ) ) ) )
22		fveq2 6191	. . . . . . . 8 |- ( x = ( y u. { z } ) -> (lcm ` x ) = (lcm ` ( y u. { z } ) ) )
23	22	oveq2d 6666	. . . . . . 7 |- ( x = ( y u. { z } ) -> ( (lcm ` Y ) lcm (lcm ` x ) ) = ( (lcm ` Y ) lcm (lcm ` ( y u. { z } ) ) ) )
24	21, 23	eqeq12d 2637	. . . . . 6 |- ( x = ( y u. { z } ) -> ( (lcm ` ( Y u. x ) ) = ( (lcm ` Y ) lcm (lcm ` x ) ) <-> (lcm ` ( Y u. ( y u. { z } ) ) ) = ( (lcm ` Y ) lcm (lcm ` ( y u. { z } ) ) ) ) )
25	19, 24	imbi12d 334	. . . . 5 |- ( x = ( y u. { z } ) -> ( ( ( x C_ ZZ /\ ( Y C_ ZZ /\ Y e. Fin ) ) -> (lcm ` ( Y u. x ) ) = ( (lcm ` Y ) lcm (lcm ` x ) ) ) <-> ( ( ( y u. { z } ) C_ ZZ /\ ( Y C_ ZZ /\ Y e. Fin ) ) -> (lcm ` ( Y u. ( y u. { z } ) ) ) = ( (lcm ` Y ) lcm (lcm ` ( y u. { z } ) ) ) ) ) )
26		cleq1lem 13721	. . . . . 6 |- ( x = Z -> ( ( x C_ ZZ /\ ( Y C_ ZZ /\ Y e. Fin ) ) <-> ( Z C_ ZZ /\ ( Y C_ ZZ /\ Y e. Fin ) ) ) )
27		uneq2 3761	. . . . . . . 8 |- ( x = Z -> ( Y u. x ) = ( Y u. Z ) )
28	27	fveq2d 6195	. . . . . . 7 |- ( x = Z -> (lcm ` ( Y u. x ) ) = (lcm ` ( Y u. Z ) ) )
29		fveq2 6191	. . . . . . . 8 |- ( x = Z -> (lcm ` x ) = (lcm ` Z ) )
30	29	oveq2d 6666	. . . . . . 7 |- ( x = Z -> ( (lcm ` Y ) lcm (lcm ` x ) ) = ( (lcm ` Y ) lcm (lcm ` Z ) ) )
31	28, 30	eqeq12d 2637	. . . . . 6 |- ( x = Z -> ( (lcm ` ( Y u. x ) ) = ( (lcm ` Y ) lcm (lcm ` x ) ) <-> (lcm ` ( Y u. Z ) ) = ( (lcm ` Y ) lcm (lcm ` Z ) ) ) )
32	26, 31	imbi12d 334	. . . . 5 |- ( x = Z -> ( ( ( x C_ ZZ /\ ( Y C_ ZZ /\ Y e. Fin ) ) -> (lcm ` ( Y u. x ) ) = ( (lcm ` Y ) lcm (lcm ` x ) ) ) <-> ( ( Z C_ ZZ /\ ( Y C_ ZZ /\ Y e. Fin ) ) -> (lcm ` ( Y u. Z ) ) = ( (lcm ` Y ) lcm (lcm ` Z ) ) ) ) )
33		lcmfcl 15341	. . . . . . . . . 10 |- ( ( Y C_ ZZ /\ Y e. Fin ) -> (lcm ` Y ) e. NN0 )
34	33	nn0zd 11480	. . . . . . . . 9 |- ( ( Y C_ ZZ /\ Y e. Fin ) -> (lcm ` Y ) e. ZZ )
35		lcm1 15323	. . . . . . . . 9 |- ( (lcm ` Y ) e. ZZ -> ( (lcm ` Y ) lcm 1 ) = ( abs ` (lcm ` Y ) ) )
36	34, 35	syl 17	. . . . . . . 8 |- ( ( Y C_ ZZ /\ Y e. Fin ) -> ( (lcm ` Y ) lcm 1 ) = ( abs ` (lcm ` Y ) ) )
37		nn0re 11301	. . . . . . . . . . 11 |- ( (lcm ` Y ) e. NN0 -> (lcm ` Y ) e. RR )
38		nn0ge0 11318	. . . . . . . . . . 11 |- ( (lcm ` Y ) e. NN0 -> 0 <_ (lcm ` Y ) )
39	37, 38	jca 554	. . . . . . . . . 10 |- ( (lcm ` Y ) e. NN0 -> ( (lcm ` Y ) e. RR /\ 0 <_ (lcm ` Y ) ) )
40	33, 39	syl 17	. . . . . . . . 9 |- ( ( Y C_ ZZ /\ Y e. Fin ) -> ( (lcm ` Y ) e. RR /\ 0 <_ (lcm ` Y ) ) )
41		absid 14036	. . . . . . . . 9 |- ( ( (lcm ` Y ) e. RR /\ 0 <_ (lcm ` Y ) ) -> ( abs ` (lcm ` Y ) ) = (lcm ` Y ) )
42	40, 41	syl 17	. . . . . . . 8 |- ( ( Y C_ ZZ /\ Y e. Fin ) -> ( abs ` (lcm ` Y ) ) = (lcm ` Y ) )
43	36, 42	eqtrd 2656	. . . . . . 7 |- ( ( Y C_ ZZ /\ Y e. Fin ) -> ( (lcm ` Y ) lcm 1 ) = (lcm ` Y ) )
44	43	adantl 482	. . . . . 6 |- ( ( (/) C_ ZZ /\ ( Y C_ ZZ /\ Y e. Fin ) ) -> ( (lcm ` Y ) lcm 1 ) = (lcm ` Y ) )
45	44	eqcomd 2628	. . . . 5 |- ( ( (/) C_ ZZ /\ ( Y C_ ZZ /\ Y e. Fin ) ) -> (lcm ` Y ) = ( (lcm ` Y ) lcm 1 ) )
46		unass 3770	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( Y u. y ) u. { z } ) = ( Y u. ( y u. { z } ) )
47	46	eqcomi 2631	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( Y u. ( y u. { z } ) ) = ( ( Y u. y ) u. { z } )
48	47	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( y e. Fin /\ ( ( y u. { z } ) C_ ZZ /\ ( Y C_ ZZ /\ Y e. Fin ) ) ) -> ( Y u. ( y u. { z } ) ) = ( ( Y u. y ) u. { z } ) )
49	48	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( y e. Fin /\ ( ( y u. { z } ) C_ ZZ /\ ( Y C_ ZZ /\ Y e. Fin ) ) ) -> (lcm ` ( Y u. ( y u. { z } ) ) ) = (lcm ` ( ( Y u. y ) u. { z } ) ) )
50		simpl 473	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( Y C_ ZZ /\ Y e. Fin ) -> Y C_ ZZ )
51	50	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( y u. { z } ) C_ ZZ /\ ( Y C_ ZZ /\ Y e. Fin ) ) -> Y C_ ZZ )
52		unss 3787	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( y C_ ZZ /\ { z } C_ ZZ ) <-> ( y u. { z } ) C_ ZZ )
53		simpl 473	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( y C_ ZZ /\ { z } C_ ZZ ) -> y C_ ZZ )
54	52, 53	sylbir 225	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( y u. { z } ) C_ ZZ -> y C_ ZZ )
55	54	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( y u. { z } ) C_ ZZ /\ ( Y C_ ZZ /\ Y e. Fin ) ) -> y C_ ZZ )
56	51, 55	unssd 3789	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( y u. { z } ) C_ ZZ /\ ( Y C_ ZZ /\ Y e. Fin ) ) -> ( Y u. y ) C_ ZZ )
57	56	adantl 482	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( y e. Fin /\ ( ( y u. { z } ) C_ ZZ /\ ( Y C_ ZZ /\ Y e. Fin ) ) ) -> ( Y u. y ) C_ ZZ )
58		unfi 8227	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( Y e. Fin /\ y e. Fin ) -> ( Y u. y ) e. Fin )
59	58	ex 450	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( Y e. Fin -> ( y e. Fin -> ( Y u. y ) e. Fin ) )
60	59	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( Y C_ ZZ /\ Y e. Fin ) -> ( y e. Fin -> ( Y u. y ) e. Fin ) )
61	60	adantl 482	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( y u. { z } ) C_ ZZ /\ ( Y C_ ZZ /\ Y e. Fin ) ) -> ( y e. Fin -> ( Y u. y ) e. Fin ) )
62	61	impcom 446	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( y e. Fin /\ ( ( y u. { z } ) C_ ZZ /\ ( Y C_ ZZ /\ Y e. Fin ) ) ) -> ( Y u. y ) e. Fin )
63		vex 3203	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- z e. _V
64	63	snss 4316	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( z e. ZZ <-> { z } C_ ZZ )
65	64	biimpri 218	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( { z } C_ ZZ -> z e. ZZ )
66	65	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( y C_ ZZ /\ { z } C_ ZZ ) -> z e. ZZ )
67	52, 66	sylbir 225	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( y u. { z } ) C_ ZZ -> z e. ZZ )
68	67	adantr 481	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( y u. { z } ) C_ ZZ /\ ( Y C_ ZZ /\ Y e. Fin ) ) -> z e. ZZ )
69	68	adantl 482	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( y e. Fin /\ ( ( y u. { z } ) C_ ZZ /\ ( Y C_ ZZ /\ Y e. Fin ) ) ) -> z e. ZZ )
70		lcmfunsn 15357	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( Y u. y ) C_ ZZ /\ ( Y u. y ) e. Fin /\ z e. ZZ ) -> (lcm ` ( ( Y u. y ) u. { z } ) ) = ( (lcm ` ( Y u. y ) ) lcm z ) )
71	57, 62, 69, 70	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( y e. Fin /\ ( ( y u. { z } ) C_ ZZ /\ ( Y C_ ZZ /\ Y e. Fin ) ) ) -> (lcm ` ( ( Y u. y ) u. { z } ) ) = ( (lcm ` ( Y u. y ) ) lcm z ) )
72	49, 71	eqtrd 2656	. . . . . . . . . 10 |- ( ( y e. Fin /\ ( ( y u. { z } ) C_ ZZ /\ ( Y C_ ZZ /\ Y e. Fin ) ) ) -> (lcm ` ( Y u. ( y u. { z } ) ) ) = ( (lcm ` ( Y u. y ) ) lcm z ) )
73	72	adantr 481	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( y e. Fin /\ ( ( y u. { z } ) C_ ZZ /\ ( Y C_ ZZ /\ Y e. Fin ) ) ) /\ ( ( y C_ ZZ /\ ( Y C_ ZZ /\ Y e. Fin ) ) -> (lcm ` ( Y u. y ) ) = ( (lcm ` Y ) lcm (lcm ` y ) ) ) ) -> (lcm ` ( Y u. ( y u. { z } ) ) ) = ( (lcm ` ( Y u. y ) ) lcm z ) )
74	54	anim1i 592	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( y u. { z } ) C_ ZZ /\ ( Y C_ ZZ /\ Y e. Fin ) ) -> ( y C_ ZZ /\ ( Y C_ ZZ /\ Y e. Fin ) ) )
75	74	adantl 482	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( y e. Fin /\ ( ( y u. { z } ) C_ ZZ /\ ( Y C_ ZZ /\ Y e. Fin ) ) ) -> ( y C_ ZZ /\ ( Y C_ ZZ /\ Y e. Fin ) ) )
76		id 22	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( y C_ ZZ /\ ( Y C_ ZZ /\ Y e. Fin ) ) -> (lcm ` ( Y u. y ) ) = ( (lcm ` Y ) lcm (lcm ` y ) ) ) -> ( ( y C_ ZZ /\ ( Y C_ ZZ /\ Y e. Fin ) ) -> (lcm ` ( Y u. y ) ) = ( (lcm ` Y ) lcm (lcm ` y ) ) ) )
77	75, 76	mpan9 486	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( y e. Fin /\ ( ( y u. { z } ) C_ ZZ /\ ( Y C_ ZZ /\ Y e. Fin ) ) ) /\ ( ( y C_ ZZ /\ ( Y C_ ZZ /\ Y e. Fin ) ) -> (lcm ` ( Y u. y ) ) = ( (lcm ` Y ) lcm (lcm ` y ) ) ) ) -> (lcm ` ( Y u. y ) ) = ( (lcm ` Y ) lcm (lcm ` y ) ) )
78	77	oveq1d 6665	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( y e. Fin /\ ( ( y u. { z } ) C_ ZZ /\ ( Y C_ ZZ /\ Y e. Fin ) ) ) /\ ( ( y C_ ZZ /\ ( Y C_ ZZ /\ Y e. Fin ) ) -> (lcm ` ( Y u. y ) ) = ( (lcm ` Y ) lcm (lcm ` y ) ) ) ) -> ( (lcm ` ( Y u. y ) ) lcm z ) = ( ( (lcm ` Y ) lcm (lcm ` y ) ) lcm z ) )
79	34	adantl 482	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( y u. { z } ) C_ ZZ /\ ( Y C_ ZZ /\ Y e. Fin ) ) -> (lcm ` Y ) e. ZZ )
80	79	adantl 482	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( y e. Fin /\ ( ( y u. { z } ) C_ ZZ /\ ( Y C_ ZZ /\ Y e. Fin ) ) ) -> (lcm ` Y ) e. ZZ )
81	55	anim2i 593	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( y e. Fin /\ ( ( y u. { z } ) C_ ZZ /\ ( Y C_ ZZ /\ Y e. Fin ) ) ) -> ( y e. Fin /\ y C_ ZZ ) )
82	81	ancomd 467	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( y e. Fin /\ ( ( y u. { z } ) C_ ZZ /\ ( Y C_ ZZ /\ Y e. Fin ) ) ) -> ( y C_ ZZ /\ y e. Fin ) )
83		lcmfcl 15341	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( y C_ ZZ /\ y e. Fin ) -> (lcm ` y ) e. NN0 )
84	82, 83	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( y e. Fin /\ ( ( y u. { z } ) C_ ZZ /\ ( Y C_ ZZ /\ Y e. Fin ) ) ) -> (lcm ` y ) e. NN0 )
85	84	nn0zd 11480	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( y e. Fin /\ ( ( y u. { z } ) C_ ZZ /\ ( Y C_ ZZ /\ Y e. Fin ) ) ) -> (lcm ` y ) e. ZZ )
86		lcmass 15327	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( (lcm ` Y ) e. ZZ /\ (lcm ` y ) e. ZZ /\ z e. ZZ ) -> ( ( (lcm ` Y ) lcm (lcm ` y ) ) lcm z ) = ( (lcm ` Y ) lcm ( (lcm ` y ) lcm z ) ) )
87	80, 85, 69, 86	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( y e. Fin /\ ( ( y u. { z } ) C_ ZZ /\ ( Y C_ ZZ /\ Y e. Fin ) ) ) -> ( ( (lcm ` Y ) lcm (lcm ` y ) ) lcm z ) = ( (lcm ` Y ) lcm ( (lcm ` y ) lcm z ) ) )
88	87	adantr 481	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( y e. Fin /\ ( ( y u. { z } ) C_ ZZ /\ ( Y C_ ZZ /\ Y e. Fin ) ) ) /\ ( ( y C_ ZZ /\ ( Y C_ ZZ /\ Y e. Fin ) ) -> (lcm ` ( Y u. y ) ) = ( (lcm ` Y ) lcm (lcm ` y ) ) ) ) -> ( ( (lcm ` Y ) lcm (lcm ` y ) ) lcm z ) = ( (lcm ` Y ) lcm ( (lcm ` y ) lcm z ) ) )
89	78, 88	eqtrd 2656	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( y e. Fin /\ ( ( y u. { z } ) C_ ZZ /\ ( Y C_ ZZ /\ Y e. Fin ) ) ) /\ ( ( y C_ ZZ /\ ( Y C_ ZZ /\ Y e. Fin ) ) -> (lcm ` ( Y u. y ) ) = ( (lcm ` Y ) lcm (lcm ` y ) ) ) ) -> ( (lcm ` ( Y u. y ) ) lcm z ) = ( (lcm ` Y ) lcm ( (lcm ` y ) lcm z ) ) )
90	73, 89	eqtrd 2656	. . . . . . . 8 |- ( ( ( y e. Fin /\ ( ( y u. { z } ) C_ ZZ /\ ( Y C_ ZZ /\ Y e. Fin ) ) ) /\ ( ( y C_ ZZ /\ ( Y C_ ZZ /\ Y e. Fin ) ) -> (lcm ` ( Y u. y ) ) = ( (lcm ` Y ) lcm (lcm ` y ) ) ) ) -> (lcm ` ( Y u. ( y u. { z } ) ) ) = ( (lcm ` Y ) lcm ( (lcm ` y ) lcm z ) ) )
91	53	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( y C_ ZZ /\ { z } C_ ZZ ) /\ y e. Fin ) -> y C_ ZZ )
92		simpr 477	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( y C_ ZZ /\ { z } C_ ZZ ) /\ y e. Fin ) -> y e. Fin )
93	66	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( y C_ ZZ /\ { z } C_ ZZ ) /\ y e. Fin ) -> z e. ZZ )
94	91, 92, 93	3jca 1242	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( y C_ ZZ /\ { z } C_ ZZ ) /\ y e. Fin ) -> ( y C_ ZZ /\ y e. Fin /\ z e. ZZ ) )
95	94	ex 450	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( y C_ ZZ /\ { z } C_ ZZ ) -> ( y e. Fin -> ( y C_ ZZ /\ y e. Fin /\ z e. ZZ ) ) )
96	52, 95	sylbir 225	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( y u. { z } ) C_ ZZ -> ( y e. Fin -> ( y C_ ZZ /\ y e. Fin /\ z e. ZZ ) ) )
97	96	adantr 481	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( y u. { z } ) C_ ZZ /\ ( Y C_ ZZ /\ Y e. Fin ) ) -> ( y e. Fin -> ( y C_ ZZ /\ y e. Fin /\ z e. ZZ ) ) )
98	97	impcom 446	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( y e. Fin /\ ( ( y u. { z } ) C_ ZZ /\ ( Y C_ ZZ /\ Y e. Fin ) ) ) -> ( y C_ ZZ /\ y e. Fin /\ z e. ZZ ) )
99		lcmfunsn 15357	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( y C_ ZZ /\ y e. Fin /\ z e. ZZ ) -> (lcm ` ( y u. { z } ) ) = ( (lcm ` y ) lcm z ) )
100	98, 99	syl 17	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( y e. Fin /\ ( ( y u. { z } ) C_ ZZ /\ ( Y C_ ZZ /\ Y e. Fin ) ) ) -> (lcm ` ( y u. { z } ) ) = ( (lcm ` y ) lcm z ) )
101	100	oveq2d 6666	. . . . . . . . . 10 |- ( ( y e. Fin /\ ( ( y u. { z } ) C_ ZZ /\ ( Y C_ ZZ /\ Y e. Fin ) ) ) -> ( (lcm ` Y ) lcm (lcm ` ( y u. { z } ) ) ) = ( (lcm ` Y ) lcm ( (lcm ` y ) lcm z ) ) )
102	101	eqeq2d 2632	. . . . . . . . 9 |- ( ( y e. Fin /\ ( ( y u. { z } ) C_ ZZ /\ ( Y C_ ZZ /\ Y e. Fin ) ) ) -> ( (lcm ` ( Y u. ( y u. { z } ) ) ) = ( (lcm ` Y ) lcm (lcm ` ( y u. { z } ) ) ) <-> (lcm ` ( Y u. ( y u. { z } ) ) ) = ( (lcm ` Y ) lcm ( (lcm ` y ) lcm z ) ) ) )
103	102	adantr 481	. . . . . . . 8 |- ( ( ( y e. Fin /\ ( ( y u. { z } ) C_ ZZ /\ ( Y C_ ZZ /\ Y e. Fin ) ) ) /\ ( ( y C_ ZZ /\ ( Y C_ ZZ /\ Y e. Fin ) ) -> (lcm ` ( Y u. y ) ) = ( (lcm ` Y ) lcm (lcm ` y ) ) ) ) -> ( (lcm ` ( Y u. ( y u. { z } ) ) ) = ( (lcm ` Y ) lcm (lcm ` ( y u. { z } ) ) ) <-> (lcm ` ( Y u. ( y u. { z } ) ) ) = ( (lcm ` Y ) lcm ( (lcm ` y ) lcm z ) ) ) )
104	90, 103	mpbird 247	. . . . . . 7 |- ( ( ( y e. Fin /\ ( ( y u. { z } ) C_ ZZ /\ ( Y C_ ZZ /\ Y e. Fin ) ) ) /\ ( ( y C_ ZZ /\ ( Y C_ ZZ /\ Y e. Fin ) ) -> (lcm ` ( Y u. y ) ) = ( (lcm ` Y ) lcm (lcm ` y ) ) ) ) -> (lcm ` ( Y u. ( y u. { z } ) ) ) = ( (lcm ` Y ) lcm (lcm ` ( y u. { z } ) ) ) )
105	104	exp31 630	. . . . . 6 |- ( y e. Fin -> ( ( ( y u. { z } ) C_ ZZ /\ ( Y C_ ZZ /\ Y e. Fin ) ) -> ( ( ( y C_ ZZ /\ ( Y C_ ZZ /\ Y e. Fin ) ) -> (lcm ` ( Y u. y ) ) = ( (lcm ` Y ) lcm (lcm ` y ) ) ) -> (lcm ` ( Y u. ( y u. { z } ) ) ) = ( (lcm ` Y ) lcm (lcm ` ( y u. { z } ) ) ) ) ) )
106	105	com23 86	. . . . 5 |- ( y e. Fin -> ( ( ( y C_ ZZ /\ ( Y C_ ZZ /\ Y e. Fin ) ) -> (lcm ` ( Y u. y ) ) = ( (lcm ` Y ) lcm (lcm ` y ) ) ) -> ( ( ( y u. { z } ) C_ ZZ /\ ( Y C_ ZZ /\ Y e. Fin ) ) -> (lcm ` ( Y u. ( y u. { z } ) ) ) = ( (lcm ` Y ) lcm (lcm ` ( y u. { z } ) ) ) ) ) )
107	11, 18, 25, 32, 45, 106	findcard2 8200	. . . 4 |- ( Z e. Fin -> ( ( Z C_ ZZ /\ ( Y C_ ZZ /\ Y e. Fin ) ) -> (lcm ` ( Y u. Z ) ) = ( (lcm ` Y ) lcm (lcm ` Z ) ) ) )
108	107	expd 452	. . 3 |- ( Z e. Fin -> ( Z C_ ZZ -> ( ( Y C_ ZZ /\ Y e. Fin ) -> (lcm ` ( Y u. Z ) ) = ( (lcm ` Y ) lcm (lcm ` Z ) ) ) ) )
109	108	impcom 446	. 2 |- ( ( Z C_ ZZ /\ Z e. Fin ) -> ( ( Y C_ ZZ /\ Y e. Fin ) -> (lcm ` ( Y u. Z ) ) = ( (lcm ` Y ) lcm (lcm ` Z ) ) ) )
110	109	impcom 446	1 |- ( ( ( Y C_ ZZ /\ Y e. Fin ) /\ ( Z C_ ZZ /\ Z e. Fin ) ) -> (lcm ` ( Y u. Z ) ) = ( (lcm ` Y ) lcm (lcm ` Z ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   u. cun 3572   C_ wss 3574   (/)c0 3915   {csn 4177   class class class wbr 4653   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   Fincfn 7955   RRcr 9935   0cc0 9936   1c1 9937   <_ cle 10075   NN0cn0 11292   ZZcz 11377   abscabs 13974   lcm clcm 15301  lcmclcmf 15302

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-fal 1489  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-oadd 7564  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-sup 8348  df-inf 8349  df-oi 8415  df-card 8765  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-rp 11833  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-fl 12593  df-mod 12669  df-seq 12802  df-exp 12861  df-hash 13118  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-clim 14219  df-prod 14636  df-dvds 14984  df-gcd 15217  df-lcm 15303  df-lcmf 15304

This theorem is referenced by:  lcmfass  15359