Theorem lcmfunsnlem1 15350

Description: Lemma for lcmfdvds 15355 and lcmfunsnlem 15354 (Induction step part 1). (Contributed by AV, 25-Aug-2020.)

Assertion

Ref	Expression
lcmfunsnlem1	|- ( ( ( z e. ZZ /\ y C_ ZZ /\ y e. Fin ) /\ ( A. k e. ZZ ( A. m e. y m || k -> (lcm ` y ) || k ) /\ A. n e. ZZ (lcm ` ( y u. { n } ) ) = ( (lcm ` y ) lcm n ) ) ) -> A. k e. ZZ ( A. m e. ( y u. { z } ) m || k -> (lcm ` ( y u. { z } ) ) || k ) )

Distinct variable groups:   y, m, z   k, n, y, z   k, m

Proof of Theorem lcmfunsnlem1

Dummy variable l is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nfv 1843	. . 3 |- F/ k ( z e. ZZ /\ y C_ ZZ /\ y e. Fin )
2		nfra1 2941	. . . 4 |- F/ k A. k e. ZZ ( A. m e. y m || k -> (lcm ` y ) || k )
3		nfv 1843	. . . 4 |- F/ k A. n e. ZZ (lcm ` ( y u. { n } ) ) = ( (lcm ` y ) lcm n )
4	2, 3	nfan 1828	. . 3 |- F/ k ( A. k e. ZZ ( A. m e. y m || k -> (lcm ` y ) || k ) /\ A. n e. ZZ (lcm ` ( y u. { n } ) ) = ( (lcm ` y ) lcm n ) )
5	1, 4	nfan 1828	. 2 |- F/ k ( ( z e. ZZ /\ y C_ ZZ /\ y e. Fin ) /\ ( A. k e. ZZ ( A. m e. y m || k -> (lcm ` y ) || k ) /\ A. n e. ZZ (lcm ` ( y u. { n } ) ) = ( (lcm ` y ) lcm n ) ) )
6		breq2 4657	. . . . . . . 8 |- ( k = l -> ( m || k <-> m || l ) )
7	6	ralbidv 2986	. . . . . . 7 |- ( k = l -> ( A. m e. y m || k <-> A. m e. y m || l ) )
8		breq2 4657	. . . . . . 7 |- ( k = l -> ( (lcm ` y ) || k <-> (lcm ` y ) || l ) )
9	7, 8	imbi12d 334	. . . . . 6 |- ( k = l -> ( ( A. m e. y m || k -> (lcm ` y ) || k ) <-> ( A. m e. y m || l -> (lcm ` y ) || l ) ) )
10	9	cbvralv 3171	. . . . 5 |- ( A. k e. ZZ ( A. m e. y m || k -> (lcm ` y ) || k ) <-> A. l e. ZZ ( A. m e. y m || l -> (lcm ` y ) || l ) )
11		breq2 4657	. . . . . . . . . 10 |- ( l = k -> ( m || l <-> m || k ) )
12	11	ralbidv 2986	. . . . . . . . 9 |- ( l = k -> ( A. m e. y m || l <-> A. m e. y m || k ) )
13		breq2 4657	. . . . . . . . 9 |- ( l = k -> ( (lcm ` y ) || l <-> (lcm ` y ) || k ) )
14	12, 13	imbi12d 334	. . . . . . . 8 |- ( l = k -> ( ( A. m e. y m || l -> (lcm ` y ) || l ) <-> ( A. m e. y m || k -> (lcm ` y ) || k ) ) )
15	14	rspcv 3305	. . . . . . 7 |- ( k e. ZZ -> ( A. l e. ZZ ( A. m e. y m || l -> (lcm ` y ) || l ) -> ( A. m e. y m || k -> (lcm ` y ) || k ) ) )
16	15	adantl 482	. . . . . 6 |- ( ( ( z e. ZZ /\ y C_ ZZ /\ y e. Fin ) /\ k e. ZZ ) -> ( A. l e. ZZ ( A. m e. y m || l -> (lcm ` y ) || l ) -> ( A. m e. y m || k -> (lcm ` y ) || k ) ) )
17		sneq 4187	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( n = z -> { n } = { z } )
18	17	uneq2d 3767	. . . . . . . . . . . 12 |- ( n = z -> ( y u. { n } ) = ( y u. { z } ) )
19	18	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . 11 |- ( n = z -> (lcm ` ( y u. { n } ) ) = (lcm ` ( y u. { z } ) ) )
20		oveq2 6658	. . . . . . . . . . 11 |- ( n = z -> ( (lcm ` y ) lcm n ) = ( (lcm ` y ) lcm z ) )
21	19, 20	eqeq12d 2637	. . . . . . . . . 10 |- ( n = z -> ( (lcm ` ( y u. { n } ) ) = ( (lcm ` y ) lcm n ) <-> (lcm ` ( y u. { z } ) ) = ( (lcm ` y ) lcm z ) ) )
22	21	rspcv 3305	. . . . . . . . 9 |- ( z e. ZZ -> ( A. n e. ZZ (lcm ` ( y u. { n } ) ) = ( (lcm ` y ) lcm n ) -> (lcm ` ( y u. { z } ) ) = ( (lcm ` y ) lcm z ) ) )
23	22	3ad2ant1 1082	. . . . . . . 8 |- ( ( z e. ZZ /\ y C_ ZZ /\ y e. Fin ) -> ( A. n e. ZZ (lcm ` ( y u. { n } ) ) = ( (lcm ` y ) lcm n ) -> (lcm ` ( y u. { z } ) ) = ( (lcm ` y ) lcm z ) ) )
24	23	adantr 481	. . . . . . 7 |- ( ( ( z e. ZZ /\ y C_ ZZ /\ y e. Fin ) /\ k e. ZZ ) -> ( A. n e. ZZ (lcm ` ( y u. { n } ) ) = ( (lcm ` y ) lcm n ) -> (lcm ` ( y u. { z } ) ) = ( (lcm ` y ) lcm z ) ) )
25		simpr 477	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( z e. ZZ /\ y C_ ZZ /\ y e. Fin ) /\ k e. ZZ ) -> k e. ZZ )
26		lcmfcl 15341	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( y C_ ZZ /\ y e. Fin ) -> (lcm ` y ) e. NN0 )
27	26	nn0zd 11480	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( y C_ ZZ /\ y e. Fin ) -> (lcm ` y ) e. ZZ )
28	27	3adant1 1079	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( z e. ZZ /\ y C_ ZZ /\ y e. Fin ) -> (lcm ` y ) e. ZZ )
29	28	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( z e. ZZ /\ y C_ ZZ /\ y e. Fin ) /\ k e. ZZ ) -> (lcm ` y ) e. ZZ )
30		simpl1 1064	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( z e. ZZ /\ y C_ ZZ /\ y e. Fin ) /\ k e. ZZ ) -> z e. ZZ )
31	25, 29, 30	3jca 1242	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( z e. ZZ /\ y C_ ZZ /\ y e. Fin ) /\ k e. ZZ ) -> ( k e. ZZ /\ (lcm ` y ) e. ZZ /\ z e. ZZ ) )
32	31	adantr 481	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( z e. ZZ /\ y C_ ZZ /\ y e. Fin ) /\ k e. ZZ ) /\ ( A. m e. y m || k -> (lcm ` y ) || k ) ) -> ( k e. ZZ /\ (lcm ` y ) e. ZZ /\ z e. ZZ ) )
33	32	adantr 481	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( z e. ZZ /\ y C_ ZZ /\ y e. Fin ) /\ k e. ZZ ) /\ ( A. m e. y m || k -> (lcm ` y ) || k ) ) /\ A. m e. ( y u. { z } ) m || k ) -> ( k e. ZZ /\ (lcm ` y ) e. ZZ /\ z e. ZZ ) )
34		ssun1 3776	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- y C_ ( y u. { z } )
35		ssralv 3666	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( y C_ ( y u. { z } ) -> ( A. m e. ( y u. { z } ) m || k -> A. m e. y m || k ) )
36	34, 35	mp1i 13	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( z e. ZZ /\ y C_ ZZ /\ y e. Fin ) /\ k e. ZZ ) -> ( A. m e. ( y u. { z } ) m || k -> A. m e. y m || k ) )
37	36	imim1d 82	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( z e. ZZ /\ y C_ ZZ /\ y e. Fin ) /\ k e. ZZ ) -> ( ( A. m e. y m || k -> (lcm ` y ) || k ) -> ( A. m e. ( y u. { z } ) m || k -> (lcm ` y ) || k ) ) )
38	37	imp31 448	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( z e. ZZ /\ y C_ ZZ /\ y e. Fin ) /\ k e. ZZ ) /\ ( A. m e. y m || k -> (lcm ` y ) || k ) ) /\ A. m e. ( y u. { z } ) m || k ) -> (lcm ` y ) || k )
39		snidg 4206	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( z e. ZZ -> z e. { z } )
40	39	olcd 408	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( z e. ZZ -> ( z e. y \/ z e. { z } ) )
41		elun 3753	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( z e. ( y u. { z } ) <-> ( z e. y \/ z e. { z } ) )
42	40, 41	sylibr 224	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( z e. ZZ -> z e. ( y u. { z } ) )
43		breq1 4656	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( m = z -> ( m || k <-> z || k ) )
44	43	rspcv 3305	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( z e. ( y u. { z } ) -> ( A. m e. ( y u. { z } ) m || k -> z || k ) )
45	42, 44	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( z e. ZZ -> ( A. m e. ( y u. { z } ) m || k -> z || k ) )
46	45	3ad2ant1 1082	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( z e. ZZ /\ y C_ ZZ /\ y e. Fin ) -> ( A. m e. ( y u. { z } ) m || k -> z || k ) )
47	46	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( z e. ZZ /\ y C_ ZZ /\ y e. Fin ) /\ k e. ZZ ) -> ( A. m e. ( y u. { z } ) m || k -> z || k ) )
48	47	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( z e. ZZ /\ y C_ ZZ /\ y e. Fin ) /\ k e. ZZ ) /\ ( A. m e. y m || k -> (lcm ` y ) || k ) ) -> ( A. m e. ( y u. { z } ) m || k -> z || k ) )
49	48	imp 445	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( z e. ZZ /\ y C_ ZZ /\ y e. Fin ) /\ k e. ZZ ) /\ ( A. m e. y m || k -> (lcm ` y ) || k ) ) /\ A. m e. ( y u. { z } ) m || k ) -> z || k )
50	38, 49	jca 554	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( z e. ZZ /\ y C_ ZZ /\ y e. Fin ) /\ k e. ZZ ) /\ ( A. m e. y m || k -> (lcm ` y ) || k ) ) /\ A. m e. ( y u. { z } ) m || k ) -> ( (lcm ` y ) || k /\ z || k ) )
51		lcmdvds 15321	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( k e. ZZ /\ (lcm ` y ) e. ZZ /\ z e. ZZ ) -> ( ( (lcm ` y ) || k /\ z || k ) -> ( (lcm ` y ) lcm z ) || k ) )
52	33, 50, 51	sylc 65	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( z e. ZZ /\ y C_ ZZ /\ y e. Fin ) /\ k e. ZZ ) /\ ( A. m e. y m || k -> (lcm ` y ) || k ) ) /\ A. m e. ( y u. { z } ) m || k ) -> ( (lcm ` y ) lcm z ) || k )
53		breq1 4656	. . . . . . . . . . 11 |- ( (lcm ` ( y u. { z } ) ) = ( (lcm ` y ) lcm z ) -> ( (lcm ` ( y u. { z } ) ) || k <-> ( (lcm ` y ) lcm z ) || k ) )
54	52, 53	syl5ibrcom 237	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( z e. ZZ /\ y C_ ZZ /\ y e. Fin ) /\ k e. ZZ ) /\ ( A. m e. y m || k -> (lcm ` y ) || k ) ) /\ A. m e. ( y u. { z } ) m || k ) -> ( (lcm ` ( y u. { z } ) ) = ( (lcm ` y ) lcm z ) -> (lcm ` ( y u. { z } ) ) || k ) )
55	54	ex 450	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( z e. ZZ /\ y C_ ZZ /\ y e. Fin ) /\ k e. ZZ ) /\ ( A. m e. y m || k -> (lcm ` y ) || k ) ) -> ( A. m e. ( y u. { z } ) m || k -> ( (lcm ` ( y u. { z } ) ) = ( (lcm ` y ) lcm z ) -> (lcm ` ( y u. { z } ) ) || k ) ) )
56	55	com23 86	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( z e. ZZ /\ y C_ ZZ /\ y e. Fin ) /\ k e. ZZ ) /\ ( A. m e. y m || k -> (lcm ` y ) || k ) ) -> ( (lcm ` ( y u. { z } ) ) = ( (lcm ` y ) lcm z ) -> ( A. m e. ( y u. { z } ) m || k -> (lcm ` ( y u. { z } ) ) || k ) ) )
57	56	ex 450	. . . . . . 7 |- ( ( ( z e. ZZ /\ y C_ ZZ /\ y e. Fin ) /\ k e. ZZ ) -> ( ( A. m e. y m || k -> (lcm ` y ) || k ) -> ( (lcm ` ( y u. { z } ) ) = ( (lcm ` y ) lcm z ) -> ( A. m e. ( y u. { z } ) m || k -> (lcm ` ( y u. { z } ) ) || k ) ) ) )
58	24, 57	syl5d 73	. . . . . 6 |- ( ( ( z e. ZZ /\ y C_ ZZ /\ y e. Fin ) /\ k e. ZZ ) -> ( ( A. m e. y m || k -> (lcm ` y ) || k ) -> ( A. n e. ZZ (lcm ` ( y u. { n } ) ) = ( (lcm ` y ) lcm n ) -> ( A. m e. ( y u. { z } ) m || k -> (lcm ` ( y u. { z } ) ) || k ) ) ) )
59	16, 58	syld 47	. . . . 5 |- ( ( ( z e. ZZ /\ y C_ ZZ /\ y e. Fin ) /\ k e. ZZ ) -> ( A. l e. ZZ ( A. m e. y m || l -> (lcm ` y ) || l ) -> ( A. n e. ZZ (lcm ` ( y u. { n } ) ) = ( (lcm ` y ) lcm n ) -> ( A. m e. ( y u. { z } ) m || k -> (lcm ` ( y u. { z } ) ) || k ) ) ) )
60	10, 59	syl5bi 232	. . . 4 |- ( ( ( z e. ZZ /\ y C_ ZZ /\ y e. Fin ) /\ k e. ZZ ) -> ( A. k e. ZZ ( A. m e. y m || k -> (lcm ` y ) || k ) -> ( A. n e. ZZ (lcm ` ( y u. { n } ) ) = ( (lcm ` y ) lcm n ) -> ( A. m e. ( y u. { z } ) m || k -> (lcm ` ( y u. { z } ) ) || k ) ) ) )
61	60	impd 447	. . 3 |- ( ( ( z e. ZZ /\ y C_ ZZ /\ y e. Fin ) /\ k e. ZZ ) -> ( ( A. k e. ZZ ( A. m e. y m || k -> (lcm ` y ) || k ) /\ A. n e. ZZ (lcm ` ( y u. { n } ) ) = ( (lcm ` y ) lcm n ) ) -> ( A. m e. ( y u. { z } ) m || k -> (lcm ` ( y u. { z } ) ) || k ) ) )
62	61	impancom 456	. 2 |- ( ( ( z e. ZZ /\ y C_ ZZ /\ y e. Fin ) /\ ( A. k e. ZZ ( A. m e. y m || k -> (lcm ` y ) || k ) /\ A. n e. ZZ (lcm ` ( y u. { n } ) ) = ( (lcm ` y ) lcm n ) ) ) -> ( k e. ZZ -> ( A. m e. ( y u. { z } ) m || k -> (lcm ` ( y u. { z } ) ) || k ) ) )
63	5, 62	ralrimi 2957	1 |- ( ( ( z e. ZZ /\ y C_ ZZ /\ y e. Fin ) /\ ( A. k e. ZZ ( A. m e. y m || k -> (lcm ` y ) || k ) /\ A. n e. ZZ (lcm ` ( y u. { n } ) ) = ( (lcm ` y ) lcm n ) ) ) -> A. k e. ZZ ( A. m e. ( y u. { z } ) m || k -> (lcm ` ( y u. { z } ) ) || k ) )

Syntax hints:   -> wi 4   \/ wo 383   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   A.wral 2912   u. cun 3572   C_ wss 3574   {csn 4177   class class class wbr 4653   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   Fincfn 7955   ZZcz 11377   || cdvds 14983   lcm clcm 15301  lcmclcmf 15302

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-fal 1489  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-oadd 7564  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-sup 8348  df-inf 8349  df-oi 8415  df-card 8765  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-rp 11833  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-fl 12593  df-mod 12669  df-seq 12802  df-exp 12861  df-hash 13118  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-clim 14219  df-prod 14636  df-dvds 14984  df-gcd 15217  df-lcm 15303  df-lcmf 15304

This theorem is referenced by:  lcmfunsnlem  15354