Theorem lcmfunsnlem2lem1 15351

Description: Lemma 1 for lcmfunsnlem2 15353. (Contributed by AV, 26-Aug-2020.)

Assertion

Ref	Expression
lcmfunsnlem2lem1	|- ( ( ( 0 e/ y /\ z =/= 0 /\ n =/= 0 ) /\ ( n e. ZZ /\ ( ( z e. ZZ /\ y C_ ZZ /\ y e. Fin ) /\ ( A. k e. ZZ ( A. m e. y m || k -> (lcm ` y ) || k ) /\ A. n e. ZZ (lcm ` ( y u. { n } ) ) = ( (lcm ` y ) lcm n ) ) ) ) ) -> A. k e. NN ( A. i e. ( ( y u. { z } ) u. { n } ) i || k -> ( (lcm ` ( y u. { z } ) ) lcm n ) <_ k ) )

Distinct variable groups:   y, m, z   k, n, y, z, m, i

Proof of Theorem lcmfunsnlem2lem1

Dummy variable l is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nfv 1843	. . 3 |- F/ k ( 0 e/ y /\ z =/= 0 /\ n =/= 0 )
2		nfv 1843	. . . 4 |- F/ k n e. ZZ
3		nfv 1843	. . . . 5 |- F/ k ( z e. ZZ /\ y C_ ZZ /\ y e. Fin )
4		nfra1 2941	. . . . . 6 |- F/ k A. k e. ZZ ( A. m e. y m || k -> (lcm ` y ) || k )
5		nfv 1843	. . . . . 6 |- F/ k A. n e. ZZ (lcm ` ( y u. { n } ) ) = ( (lcm ` y ) lcm n )
6	4, 5	nfan 1828	. . . . 5 |- F/ k ( A. k e. ZZ ( A. m e. y m || k -> (lcm ` y ) || k ) /\ A. n e. ZZ (lcm ` ( y u. { n } ) ) = ( (lcm ` y ) lcm n ) )
7	3, 6	nfan 1828	. . . 4 |- F/ k ( ( z e. ZZ /\ y C_ ZZ /\ y e. Fin ) /\ ( A. k e. ZZ ( A. m e. y m || k -> (lcm ` y ) || k ) /\ A. n e. ZZ (lcm ` ( y u. { n } ) ) = ( (lcm ` y ) lcm n ) ) )
8	2, 7	nfan 1828	. . 3 |- F/ k ( n e. ZZ /\ ( ( z e. ZZ /\ y C_ ZZ /\ y e. Fin ) /\ ( A. k e. ZZ ( A. m e. y m || k -> (lcm ` y ) || k ) /\ A. n e. ZZ (lcm ` ( y u. { n } ) ) = ( (lcm ` y ) lcm n ) ) ) )
9	1, 8	nfan 1828	. 2 |- F/ k ( ( 0 e/ y /\ z =/= 0 /\ n =/= 0 ) /\ ( n e. ZZ /\ ( ( z e. ZZ /\ y C_ ZZ /\ y e. Fin ) /\ ( A. k e. ZZ ( A. m e. y m || k -> (lcm ` y ) || k ) /\ A. n e. ZZ (lcm ` ( y u. { n } ) ) = ( (lcm ` y ) lcm n ) ) ) ) )
10		simprr 796	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( 0 e/ y /\ z =/= 0 /\ n =/= 0 ) /\ ( z e. ZZ /\ y C_ ZZ /\ y e. Fin ) ) /\ ( n e. ZZ /\ k e. NN ) ) -> k e. NN )
11		simp2 1062	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( z e. ZZ /\ y C_ ZZ /\ y e. Fin ) -> y C_ ZZ )
12		snssi 4339	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( z e. ZZ -> { z } C_ ZZ )
13	12	3ad2ant1 1082	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( z e. ZZ /\ y C_ ZZ /\ y e. Fin ) -> { z } C_ ZZ )
14	11, 13	unssd 3789	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( z e. ZZ /\ y C_ ZZ /\ y e. Fin ) -> ( y u. { z } ) C_ ZZ )
15		simp3 1063	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( z e. ZZ /\ y C_ ZZ /\ y e. Fin ) -> y e. Fin )
16		snfi 8038	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- { z } e. Fin
17		unfi 8227	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( y e. Fin /\ { z } e. Fin ) -> ( y u. { z } ) e. Fin )
18	15, 16, 17	sylancl 694	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( z e. ZZ /\ y C_ ZZ /\ y e. Fin ) -> ( y u. { z } ) e. Fin )
19	14, 18	jca 554	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( z e. ZZ /\ y C_ ZZ /\ y e. Fin ) -> ( ( y u. { z } ) C_ ZZ /\ ( y u. { z } ) e. Fin ) )
20		lcmfcl 15341	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( y u. { z } ) C_ ZZ /\ ( y u. { z } ) e. Fin ) -> (lcm ` ( y u. { z } ) ) e. NN0 )
21	19, 20	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( z e. ZZ /\ y C_ ZZ /\ y e. Fin ) -> (lcm ` ( y u. { z } ) ) e. NN0 )
22	21	nn0zd 11480	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( z e. ZZ /\ y C_ ZZ /\ y e. Fin ) -> (lcm ` ( y u. { z } ) ) e. ZZ )
23	22	adantl 482	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( 0 e/ y /\ z =/= 0 /\ n =/= 0 ) /\ ( z e. ZZ /\ y C_ ZZ /\ y e. Fin ) ) -> (lcm ` ( y u. { z } ) ) e. ZZ )
24	23	adantr 481	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( 0 e/ y /\ z =/= 0 /\ n =/= 0 ) /\ ( z e. ZZ /\ y C_ ZZ /\ y e. Fin ) ) /\ ( n e. ZZ /\ k e. NN ) ) -> (lcm ` ( y u. { z } ) ) e. ZZ )
25		simprl 794	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( 0 e/ y /\ z =/= 0 /\ n =/= 0 ) /\ ( z e. ZZ /\ y C_ ZZ /\ y e. Fin ) ) /\ ( n e. ZZ /\ k e. NN ) ) -> n e. ZZ )
26	10, 24, 25	3jca 1242	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( 0 e/ y /\ z =/= 0 /\ n =/= 0 ) /\ ( z e. ZZ /\ y C_ ZZ /\ y e. Fin ) ) /\ ( n e. ZZ /\ k e. NN ) ) -> ( k e. NN /\ (lcm ` ( y u. { z } ) ) e. ZZ /\ n e. ZZ ) )
27	14	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( 0 e/ y /\ z =/= 0 /\ n =/= 0 ) /\ ( z e. ZZ /\ y C_ ZZ /\ y e. Fin ) ) -> ( y u. { z } ) C_ ZZ )
28	18	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( 0 e/ y /\ z =/= 0 /\ n =/= 0 ) /\ ( z e. ZZ /\ y C_ ZZ /\ y e. Fin ) ) -> ( y u. { z } ) e. Fin )
29		df-nel 2898	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( 0 e/ y <-> -. 0 e. y )
30	29	biimpi 206	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( 0 e/ y -> -. 0 e. y )
31		elsni 4194	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( 0 e. { z } -> 0 = z )
32	31	eqcomd 2628	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( 0 e. { z } -> z = 0 )
33	32	necon3ai 2819	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( z =/= 0 -> -. 0 e. { z } )
34	30, 33	anim12i 590	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( 0 e/ y /\ z =/= 0 ) -> ( -. 0 e. y /\ -. 0 e. { z } ) )
35	34	3adant3 1081	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( 0 e/ y /\ z =/= 0 /\ n =/= 0 ) -> ( -. 0 e. y /\ -. 0 e. { z } ) )
36		df-nel 2898	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( 0 e/ ( y u. { z } ) <-> -. 0 e. ( y u. { z } ) )
37		ioran 511	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( -. ( 0 e. y \/ 0 e. { z } ) <-> ( -. 0 e. y /\ -. 0 e. { z } ) )
38		elun 3753	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( 0 e. ( y u. { z } ) <-> ( 0 e. y \/ 0 e. { z } ) )
39	37, 38	xchnxbir 323	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( -. 0 e. ( y u. { z } ) <-> ( -. 0 e. y /\ -. 0 e. { z } ) )
40	36, 39	bitri 264	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( 0 e/ ( y u. { z } ) <-> ( -. 0 e. y /\ -. 0 e. { z } ) )
41	35, 40	sylibr 224	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( 0 e/ y /\ z =/= 0 /\ n =/= 0 ) -> 0 e/ ( y u. { z } ) )
42	41	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( 0 e/ y /\ z =/= 0 /\ n =/= 0 ) /\ ( z e. ZZ /\ y C_ ZZ /\ y e. Fin ) ) -> 0 e/ ( y u. { z } ) )
43	27, 28, 42	3jca 1242	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( 0 e/ y /\ z =/= 0 /\ n =/= 0 ) /\ ( z e. ZZ /\ y C_ ZZ /\ y e. Fin ) ) -> ( ( y u. { z } ) C_ ZZ /\ ( y u. { z } ) e. Fin /\ 0 e/ ( y u. { z } ) ) )
44	43	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( 0 e/ y /\ z =/= 0 /\ n =/= 0 ) /\ ( z e. ZZ /\ y C_ ZZ /\ y e. Fin ) ) /\ ( n e. ZZ /\ k e. NN ) ) -> ( ( y u. { z } ) C_ ZZ /\ ( y u. { z } ) e. Fin /\ 0 e/ ( y u. { z } ) ) )
45		lcmfn0cl 15339	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( y u. { z } ) C_ ZZ /\ ( y u. { z } ) e. Fin /\ 0 e/ ( y u. { z } ) ) -> (lcm ` ( y u. { z } ) ) e. NN )
46	44, 45	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( 0 e/ y /\ z =/= 0 /\ n =/= 0 ) /\ ( z e. ZZ /\ y C_ ZZ /\ y e. Fin ) ) /\ ( n e. ZZ /\ k e. NN ) ) -> (lcm ` ( y u. { z } ) ) e. NN )
47	46	nnne0d 11065	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( 0 e/ y /\ z =/= 0 /\ n =/= 0 ) /\ ( z e. ZZ /\ y C_ ZZ /\ y e. Fin ) ) /\ ( n e. ZZ /\ k e. NN ) ) -> (lcm ` ( y u. { z } ) ) =/= 0 )
48	47	neneqd 2799	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( 0 e/ y /\ z =/= 0 /\ n =/= 0 ) /\ ( z e. ZZ /\ y C_ ZZ /\ y e. Fin ) ) /\ ( n e. ZZ /\ k e. NN ) ) -> -. (lcm ` ( y u. { z } ) ) = 0 )
49		neneq 2800	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( n =/= 0 -> -. n = 0 )
50	49	3ad2ant3 1084	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( 0 e/ y /\ z =/= 0 /\ n =/= 0 ) -> -. n = 0 )
51	50	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( 0 e/ y /\ z =/= 0 /\ n =/= 0 ) /\ ( z e. ZZ /\ y C_ ZZ /\ y e. Fin ) ) /\ ( n e. ZZ /\ k e. NN ) ) -> -. n = 0 )
52	48, 51	jca 554	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( 0 e/ y /\ z =/= 0 /\ n =/= 0 ) /\ ( z e. ZZ /\ y C_ ZZ /\ y e. Fin ) ) /\ ( n e. ZZ /\ k e. NN ) ) -> ( -. (lcm ` ( y u. { z } ) ) = 0 /\ -. n = 0 ) )
53		ioran 511	. . . . . . . . . . . 12 |- ( -. ( (lcm ` ( y u. { z } ) ) = 0 \/ n = 0 ) <-> ( -. (lcm ` ( y u. { z } ) ) = 0 /\ -. n = 0 ) )
54	52, 53	sylibr 224	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( 0 e/ y /\ z =/= 0 /\ n =/= 0 ) /\ ( z e. ZZ /\ y C_ ZZ /\ y e. Fin ) ) /\ ( n e. ZZ /\ k e. NN ) ) -> -. ( (lcm ` ( y u. { z } ) ) = 0 \/ n = 0 ) )
55	26, 54	jca 554	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( 0 e/ y /\ z =/= 0 /\ n =/= 0 ) /\ ( z e. ZZ /\ y C_ ZZ /\ y e. Fin ) ) /\ ( n e. ZZ /\ k e. NN ) ) -> ( ( k e. NN /\ (lcm ` ( y u. { z } ) ) e. ZZ /\ n e. ZZ ) /\ -. ( (lcm ` ( y u. { z } ) ) = 0 \/ n = 0 ) ) )
56	55	exp43 640	. . . . . . . . 9 |- ( ( 0 e/ y /\ z =/= 0 /\ n =/= 0 ) -> ( ( z e. ZZ /\ y C_ ZZ /\ y e. Fin ) -> ( n e. ZZ -> ( k e. NN -> ( ( k e. NN /\ (lcm ` ( y u. { z } ) ) e. ZZ /\ n e. ZZ ) /\ -. ( (lcm ` ( y u. { z } ) ) = 0 \/ n = 0 ) ) ) ) ) )
57	56	adantrd 484	. . . . . . . 8 |- ( ( 0 e/ y /\ z =/= 0 /\ n =/= 0 ) -> ( ( ( z e. ZZ /\ y C_ ZZ /\ y e. Fin ) /\ ( A. k e. ZZ ( A. m e. y m || k -> (lcm ` y ) || k ) /\ A. n e. ZZ (lcm ` ( y u. { n } ) ) = ( (lcm ` y ) lcm n ) ) ) -> ( n e. ZZ -> ( k e. NN -> ( ( k e. NN /\ (lcm ` ( y u. { z } ) ) e. ZZ /\ n e. ZZ ) /\ -. ( (lcm ` ( y u. { z } ) ) = 0 \/ n = 0 ) ) ) ) ) )
58	57	com23 86	. . . . . . 7 |- ( ( 0 e/ y /\ z =/= 0 /\ n =/= 0 ) -> ( n e. ZZ -> ( ( ( z e. ZZ /\ y C_ ZZ /\ y e. Fin ) /\ ( A. k e. ZZ ( A. m e. y m || k -> (lcm ` y ) || k ) /\ A. n e. ZZ (lcm ` ( y u. { n } ) ) = ( (lcm ` y ) lcm n ) ) ) -> ( k e. NN -> ( ( k e. NN /\ (lcm ` ( y u. { z } ) ) e. ZZ /\ n e. ZZ ) /\ -. ( (lcm ` ( y u. { z } ) ) = 0 \/ n = 0 ) ) ) ) ) )
59	58	imp32 449	. . . . . 6 |- ( ( ( 0 e/ y /\ z =/= 0 /\ n =/= 0 ) /\ ( n e. ZZ /\ ( ( z e. ZZ /\ y C_ ZZ /\ y e. Fin ) /\ ( A. k e. ZZ ( A. m e. y m || k -> (lcm ` y ) || k ) /\ A. n e. ZZ (lcm ` ( y u. { n } ) ) = ( (lcm ` y ) lcm n ) ) ) ) ) -> ( k e. NN -> ( ( k e. NN /\ (lcm ` ( y u. { z } ) ) e. ZZ /\ n e. ZZ ) /\ -. ( (lcm ` ( y u. { z } ) ) = 0 \/ n = 0 ) ) ) )
60	59	imp 445	. . . . 5 |- ( ( ( ( 0 e/ y /\ z =/= 0 /\ n =/= 0 ) /\ ( n e. ZZ /\ ( ( z e. ZZ /\ y C_ ZZ /\ y e. Fin ) /\ ( A. k e. ZZ ( A. m e. y m || k -> (lcm ` y ) || k ) /\ A. n e. ZZ (lcm ` ( y u. { n } ) ) = ( (lcm ` y ) lcm n ) ) ) ) ) /\ k e. NN ) -> ( ( k e. NN /\ (lcm ` ( y u. { z } ) ) e. ZZ /\ n e. ZZ ) /\ -. ( (lcm ` ( y u. { z } ) ) = 0 \/ n = 0 ) ) )
61	60	adantr 481	. . . 4 |- ( ( ( ( ( 0 e/ y /\ z =/= 0 /\ n =/= 0 ) /\ ( n e. ZZ /\ ( ( z e. ZZ /\ y C_ ZZ /\ y e. Fin ) /\ ( A. k e. ZZ ( A. m e. y m || k -> (lcm ` y ) || k ) /\ A. n e. ZZ (lcm ` ( y u. { n } ) ) = ( (lcm ` y ) lcm n ) ) ) ) ) /\ k e. NN ) /\ A. i e. ( ( y u. { z } ) u. { n } ) i || k ) -> ( ( k e. NN /\ (lcm ` ( y u. { z } ) ) e. ZZ /\ n e. ZZ ) /\ -. ( (lcm ` ( y u. { z } ) ) = 0 \/ n = 0 ) ) )
62		sneq 4187	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( n = z -> { n } = { z } )
63	62	uneq2d 3767	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( n = z -> ( y u. { n } ) = ( y u. { z } ) )
64	63	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( n = z -> (lcm ` ( y u. { n } ) ) = (lcm ` ( y u. { z } ) ) )
65		oveq2 6658	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( n = z -> ( (lcm ` y ) lcm n ) = ( (lcm ` y ) lcm z ) )
66	64, 65	eqeq12d 2637	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( n = z -> ( (lcm ` ( y u. { n } ) ) = ( (lcm ` y ) lcm n ) <-> (lcm ` ( y u. { z } ) ) = ( (lcm ` y ) lcm z ) ) )
67	66	rspcv 3305	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( z e. ZZ -> ( A. n e. ZZ (lcm ` ( y u. { n } ) ) = ( (lcm ` y ) lcm n ) -> (lcm ` ( y u. { z } ) ) = ( (lcm ` y ) lcm z ) ) )
68	67	3ad2ant1 1082	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( z e. ZZ /\ y C_ ZZ /\ y e. Fin ) -> ( A. n e. ZZ (lcm ` ( y u. { n } ) ) = ( (lcm ` y ) lcm n ) -> (lcm ` ( y u. { z } ) ) = ( (lcm ` y ) lcm z ) ) )
69		nnz 11399	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( k e. NN -> k e. ZZ )
70	69	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( n e. ZZ /\ k e. NN ) -> k e. ZZ )
71	70	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ( ( z e. ZZ /\ y C_ ZZ /\ y e. Fin ) /\ A. k e. ZZ ( A. m e. y m || k -> (lcm ` y ) || k ) ) /\ ( n e. ZZ /\ k e. NN ) ) -> k e. ZZ )
72		lcmfcl 15341	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ( y C_ ZZ /\ y e. Fin ) -> (lcm ` y ) e. NN0 )
73	72	nn0zd 11480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( y C_ ZZ /\ y e. Fin ) -> (lcm ` y ) e. ZZ )
74	73	3adant1 1079	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( z e. ZZ /\ y C_ ZZ /\ y e. Fin ) -> (lcm ` y ) e. ZZ )
75	74	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ( ( z e. ZZ /\ y C_ ZZ /\ y e. Fin ) /\ A. k e. ZZ ( A. m e. y m || k -> (lcm ` y ) || k ) ) /\ ( n e. ZZ /\ k e. NN ) ) -> (lcm ` y ) e. ZZ )
76		simpll1 1100	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ( ( z e. ZZ /\ y C_ ZZ /\ y e. Fin ) /\ A. k e. ZZ ( A. m e. y m || k -> (lcm ` y ) || k ) ) /\ ( n e. ZZ /\ k e. NN ) ) -> z e. ZZ )
77	71, 75, 76	3jca 1242	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( ( z e. ZZ /\ y C_ ZZ /\ y e. Fin ) /\ A. k e. ZZ ( A. m e. y m || k -> (lcm ` y ) || k ) ) /\ ( n e. ZZ /\ k e. NN ) ) -> ( k e. ZZ /\ (lcm ` y ) e. ZZ /\ z e. ZZ ) )
78	77	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ( ( ( z e. ZZ /\ y C_ ZZ /\ y e. Fin ) /\ A. k e. ZZ ( A. m e. y m || k -> (lcm ` y ) || k ) ) /\ ( n e. ZZ /\ k e. NN ) ) /\ ( 0 e/ y /\ z =/= 0 /\ n =/= 0 ) ) /\ A. i e. ( ( y u. { z } ) u. { n } ) i || k ) -> ( k e. ZZ /\ (lcm ` y ) e. ZZ /\ z e. ZZ ) )
79		elun1 3780	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 |- ( m e. y -> m e. ( y u. { z } ) )
80	79	orcd 407	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 |- ( m e. y -> ( m e. ( y u. { z } ) \/ m e. { n } ) )
81		elun 3753	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 |- ( m e. ( ( y u. { z } ) u. { n } ) <-> ( m e. ( y u. { z } ) \/ m e. { n } ) )
82	80, 81	sylibr 224	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 |- ( m e. y -> m e. ( ( y u. { z } ) u. { n } ) )
83		breq1 4656	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 |- ( i = m -> ( i || k <-> m || k ) )
84	83	rspcv 3305	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 |- ( m e. ( ( y u. { z } ) u. { n } ) -> ( A. i e. ( ( y u. { z } ) u. { n } ) i || k -> m || k ) )
85	82, 84	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 |- ( m e. y -> ( A. i e. ( ( y u. { z } ) u. { n } ) i || k -> m || k ) )
86	85	com12 32	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 |- ( A. i e. ( ( y u. { z } ) u. { n } ) i || k -> ( m e. y -> m || k ) )
87	86	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 |- ( ( ( z e. ZZ /\ y C_ ZZ /\ y e. Fin ) /\ A. i e. ( ( y u. { z } ) u. { n } ) i || k ) -> ( m e. y -> m || k ) )
88	87	ralrimiv 2965	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 |- ( ( ( z e. ZZ /\ y C_ ZZ /\ y e. Fin ) /\ A. i e. ( ( y u. { z } ) u. { n } ) i || k ) -> A. m e. y m || k )
89	88	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- ( ( ( ( z e. ZZ /\ y C_ ZZ /\ y e. Fin ) /\ A. i e. ( ( y u. { z } ) u. { n } ) i || k ) /\ ( ( n e. ZZ /\ k e. NN ) /\ ( 0 e/ y /\ z =/= 0 /\ n =/= 0 ) ) ) -> A. m e. y m || k )
90		breq2 4657	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 |- ( k = l -> ( m || k <-> m || l ) )
91	90	ralbidv 2986	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 |- ( k = l -> ( A. m e. y m || k <-> A. m e. y m || l ) )
92		breq2 4657	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 |- ( k = l -> ( (lcm ` y ) || k <-> (lcm ` y ) || l ) )
93	91, 92	imbi12d 334	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 |- ( k = l -> ( ( A. m e. y m || k -> (lcm ` y ) || k ) <-> ( A. m e. y m || l -> (lcm ` y ) || l ) ) )
94	93	cbvralv 3171	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 |- ( A. k e. ZZ ( A. m e. y m || k -> (lcm ` y ) || k ) <-> A. l e. ZZ ( A. m e. y m || l -> (lcm ` y ) || l ) )
95	70	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 |- ( ( ( n e. ZZ /\ k e. NN ) /\ ( 0 e/ y /\ z =/= 0 /\ n =/= 0 ) ) -> k e. ZZ )
96	95	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 |- ( ( ( ( z e. ZZ /\ y C_ ZZ /\ y e. Fin ) /\ A. i e. ( ( y u. { z } ) u. { n } ) i || k ) /\ ( ( n e. ZZ /\ k e. NN ) /\ ( 0 e/ y /\ z =/= 0 /\ n =/= 0 ) ) ) -> k e. ZZ )
97		breq2 4657	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 |- ( l = k -> ( m || l <-> m || k ) )
98	97	ralbidv 2986	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 |- ( l = k -> ( A. m e. y m || l <-> A. m e. y m || k ) )
99		breq2 4657	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 |- ( l = k -> ( (lcm ` y ) || l <-> (lcm ` y ) || k ) )
100	98, 99	imbi12d 334	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 |- ( l = k -> ( ( A. m e. y m || l -> (lcm ` y ) || l ) <-> ( A. m e. y m || k -> (lcm ` y ) || k ) ) )
101	100	rspcv 3305	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 |- ( k e. ZZ -> ( A. l e. ZZ ( A. m e. y m || l -> (lcm ` y ) || l ) -> ( A. m e. y m || k -> (lcm ` y ) || k ) ) )
102	96, 101	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 |- ( ( ( ( z e. ZZ /\ y C_ ZZ /\ y e. Fin ) /\ A. i e. ( ( y u. { z } ) u. { n } ) i || k ) /\ ( ( n e. ZZ /\ k e. NN ) /\ ( 0 e/ y /\ z =/= 0 /\ n =/= 0 ) ) ) -> ( A. l e. ZZ ( A. m e. y m || l -> (lcm ` y ) || l ) -> ( A. m e. y m || k -> (lcm ` y ) || k ) ) )
103	94, 102	syl5bi 232	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- ( ( ( ( z e. ZZ /\ y C_ ZZ /\ y e. Fin ) /\ A. i e. ( ( y u. { z } ) u. { n } ) i || k ) /\ ( ( n e. ZZ /\ k e. NN ) /\ ( 0 e/ y /\ z =/= 0 /\ n =/= 0 ) ) ) -> ( A. k e. ZZ ( A. m e. y m || k -> (lcm ` y ) || k ) -> ( A. m e. y m || k -> (lcm ` y ) || k ) ) )
104	89, 103	mpid 44	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( ( ( ( z e. ZZ /\ y C_ ZZ /\ y e. Fin ) /\ A. i e. ( ( y u. { z } ) u. { n } ) i || k ) /\ ( ( n e. ZZ /\ k e. NN ) /\ ( 0 e/ y /\ z =/= 0 /\ n =/= 0 ) ) ) -> ( A. k e. ZZ ( A. m e. y m || k -> (lcm ` y ) || k ) -> (lcm ` y ) || k ) )
105	104	exp31 630	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ( z e. ZZ /\ y C_ ZZ /\ y e. Fin ) -> ( A. i e. ( ( y u. { z } ) u. { n } ) i || k -> ( ( ( n e. ZZ /\ k e. NN ) /\ ( 0 e/ y /\ z =/= 0 /\ n =/= 0 ) ) -> ( A. k e. ZZ ( A. m e. y m || k -> (lcm ` y ) || k ) -> (lcm ` y ) || k ) ) ) )
106	105	com24 95	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( z e. ZZ /\ y C_ ZZ /\ y e. Fin ) -> ( A. k e. ZZ ( A. m e. y m || k -> (lcm ` y ) || k ) -> ( ( ( n e. ZZ /\ k e. NN ) /\ ( 0 e/ y /\ z =/= 0 /\ n =/= 0 ) ) -> ( A. i e. ( ( y u. { z } ) u. { n } ) i || k -> (lcm ` y ) || k ) ) ) )
107	106	imp 445	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( ( z e. ZZ /\ y C_ ZZ /\ y e. Fin ) /\ A. k e. ZZ ( A. m e. y m || k -> (lcm ` y ) || k ) ) -> ( ( ( n e. ZZ /\ k e. NN ) /\ ( 0 e/ y /\ z =/= 0 /\ n =/= 0 ) ) -> ( A. i e. ( ( y u. { z } ) u. { n } ) i || k -> (lcm ` y ) || k ) ) )
108	107	impl 650	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ( ( ( z e. ZZ /\ y C_ ZZ /\ y e. Fin ) /\ A. k e. ZZ ( A. m e. y m || k -> (lcm ` y ) || k ) ) /\ ( n e. ZZ /\ k e. NN ) ) /\ ( 0 e/ y /\ z =/= 0 /\ n =/= 0 ) ) -> ( A. i e. ( ( y u. { z } ) u. { n } ) i || k -> (lcm ` y ) || k ) )
109	108	imp 445	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( ( ( ( z e. ZZ /\ y C_ ZZ /\ y e. Fin ) /\ A. k e. ZZ ( A. m e. y m || k -> (lcm ` y ) || k ) ) /\ ( n e. ZZ /\ k e. NN ) ) /\ ( 0 e/ y /\ z =/= 0 /\ n =/= 0 ) ) /\ A. i e. ( ( y u. { z } ) u. { n } ) i || k ) -> (lcm ` y ) || k )
110		vsnid 4209	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- z e. { z }
111	110	olci 406	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( z e. y \/ z e. { z } )
112		elun 3753	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( z e. ( y u. { z } ) <-> ( z e. y \/ z e. { z } ) )
113	111, 112	mpbir 221	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- z e. ( y u. { z } )
114	113	orci 405	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( z e. ( y u. { z } ) \/ z e. { n } )
115		elun 3753	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( z e. ( ( y u. { z } ) u. { n } ) <-> ( z e. ( y u. { z } ) \/ z e. { n } ) )
116	114, 115	mpbir 221	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- z e. ( ( y u. { z } ) u. { n } )
117		breq1 4656	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( i = z -> ( i || k <-> z || k ) )
118	117	rspcv 3305	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( z e. ( ( y u. { z } ) u. { n } ) -> ( A. i e. ( ( y u. { z } ) u. { n } ) i || k -> z || k ) )
119	116, 118	mp1i 13	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ( ( ( z e. ZZ /\ y C_ ZZ /\ y e. Fin ) /\ A. k e. ZZ ( A. m e. y m || k -> (lcm ` y ) || k ) ) /\ ( n e. ZZ /\ k e. NN ) ) /\ ( 0 e/ y /\ z =/= 0 /\ n =/= 0 ) ) -> ( A. i e. ( ( y u. { z } ) u. { n } ) i || k -> z || k ) )
120	119	imp 445	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( ( ( ( z e. ZZ /\ y C_ ZZ /\ y e. Fin ) /\ A. k e. ZZ ( A. m e. y m || k -> (lcm ` y ) || k ) ) /\ ( n e. ZZ /\ k e. NN ) ) /\ ( 0 e/ y /\ z =/= 0 /\ n =/= 0 ) ) /\ A. i e. ( ( y u. { z } ) u. { n } ) i || k ) -> z || k )
121	109, 120	jca 554	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ( ( ( z e. ZZ /\ y C_ ZZ /\ y e. Fin ) /\ A. k e. ZZ ( A. m e. y m || k -> (lcm ` y ) || k ) ) /\ ( n e. ZZ /\ k e. NN ) ) /\ ( 0 e/ y /\ z =/= 0 /\ n =/= 0 ) ) /\ A. i e. ( ( y u. { z } ) u. { n } ) i || k ) -> ( (lcm ` y ) || k /\ z || k ) )
122		lcmdvds 15321	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( k e. ZZ /\ (lcm ` y ) e. ZZ /\ z e. ZZ ) -> ( ( (lcm ` y ) || k /\ z || k ) -> ( (lcm ` y ) lcm z ) || k ) )
123	78, 121, 122	sylc 65	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ( ( ( z e. ZZ /\ y C_ ZZ /\ y e. Fin ) /\ A. k e. ZZ ( A. m e. y m || k -> (lcm ` y ) || k ) ) /\ ( n e. ZZ /\ k e. NN ) ) /\ ( 0 e/ y /\ z =/= 0 /\ n =/= 0 ) ) /\ A. i e. ( ( y u. { z } ) u. { n } ) i || k ) -> ( (lcm ` y ) lcm z ) || k )
124		breq1 4656	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( (lcm ` ( y u. { z } ) ) = ( (lcm ` y ) lcm z ) -> ( (lcm ` ( y u. { z } ) ) || k <-> ( (lcm ` y ) lcm z ) || k ) )
125	123, 124	syl5ibr 236	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( (lcm ` ( y u. { z } ) ) = ( (lcm ` y ) lcm z ) -> ( ( ( ( ( ( z e. ZZ /\ y C_ ZZ /\ y e. Fin ) /\ A. k e. ZZ ( A. m e. y m || k -> (lcm ` y ) || k ) ) /\ ( n e. ZZ /\ k e. NN ) ) /\ ( 0 e/ y /\ z =/= 0 /\ n =/= 0 ) ) /\ A. i e. ( ( y u. { z } ) u. { n } ) i || k ) -> (lcm ` ( y u. { z } ) ) || k ) )
126	125	expd 452	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( (lcm ` ( y u. { z } ) ) = ( (lcm ` y ) lcm z ) -> ( ( ( ( ( z e. ZZ /\ y C_ ZZ /\ y e. Fin ) /\ A. k e. ZZ ( A. m e. y m || k -> (lcm ` y ) || k ) ) /\ ( n e. ZZ /\ k e. NN ) ) /\ ( 0 e/ y /\ z =/= 0 /\ n =/= 0 ) ) -> ( A. i e. ( ( y u. { z } ) u. { n } ) i || k -> (lcm ` ( y u. { z } ) ) || k ) ) )
127	126	exp5j 645	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( (lcm ` ( y u. { z } ) ) = ( (lcm ` y ) lcm z ) -> ( ( z e. ZZ /\ y C_ ZZ /\ y e. Fin ) -> ( A. k e. ZZ ( A. m e. y m || k -> (lcm ` y ) || k ) -> ( ( n e. ZZ /\ k e. NN ) -> ( ( 0 e/ y /\ z =/= 0 /\ n =/= 0 ) -> ( A. i e. ( ( y u. { z } ) u. { n } ) i || k -> (lcm ` ( y u. { z } ) ) || k ) ) ) ) ) )
128	127	com12 32	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( z e. ZZ /\ y C_ ZZ /\ y e. Fin ) -> ( (lcm ` ( y u. { z } ) ) = ( (lcm ` y ) lcm z ) -> ( A. k e. ZZ ( A. m e. y m || k -> (lcm ` y ) || k ) -> ( ( n e. ZZ /\ k e. NN ) -> ( ( 0 e/ y /\ z =/= 0 /\ n =/= 0 ) -> ( A. i e. ( ( y u. { z } ) u. { n } ) i || k -> (lcm ` ( y u. { z } ) ) || k ) ) ) ) ) )
129	68, 128	syld 47	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( z e. ZZ /\ y C_ ZZ /\ y e. Fin ) -> ( A. n e. ZZ (lcm ` ( y u. { n } ) ) = ( (lcm ` y ) lcm n ) -> ( A. k e. ZZ ( A. m e. y m || k -> (lcm ` y ) || k ) -> ( ( n e. ZZ /\ k e. NN ) -> ( ( 0 e/ y /\ z =/= 0 /\ n =/= 0 ) -> ( A. i e. ( ( y u. { z } ) u. { n } ) i || k -> (lcm ` ( y u. { z } ) ) || k ) ) ) ) ) )
130	129	com23 86	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( z e. ZZ /\ y C_ ZZ /\ y e. Fin ) -> ( A. k e. ZZ ( A. m e. y m || k -> (lcm ` y ) || k ) -> ( A. n e. ZZ (lcm ` ( y u. { n } ) ) = ( (lcm ` y ) lcm n ) -> ( ( n e. ZZ /\ k e. NN ) -> ( ( 0 e/ y /\ z =/= 0 /\ n =/= 0 ) -> ( A. i e. ( ( y u. { z } ) u. { n } ) i || k -> (lcm ` ( y u. { z } ) ) || k ) ) ) ) ) )
131	130	imp32 449	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( z e. ZZ /\ y C_ ZZ /\ y e. Fin ) /\ ( A. k e. ZZ ( A. m e. y m || k -> (lcm ` y ) || k ) /\ A. n e. ZZ (lcm ` ( y u. { n } ) ) = ( (lcm ` y ) lcm n ) ) ) -> ( ( n e. ZZ /\ k e. NN ) -> ( ( 0 e/ y /\ z =/= 0 /\ n =/= 0 ) -> ( A. i e. ( ( y u. { z } ) u. { n } ) i || k -> (lcm ` ( y u. { z } ) ) || k ) ) ) )
132	131	expd 452	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( z e. ZZ /\ y C_ ZZ /\ y e. Fin ) /\ ( A. k e. ZZ ( A. m e. y m || k -> (lcm ` y ) || k ) /\ A. n e. ZZ (lcm ` ( y u. { n } ) ) = ( (lcm ` y ) lcm n ) ) ) -> ( n e. ZZ -> ( k e. NN -> ( ( 0 e/ y /\ z =/= 0 /\ n =/= 0 ) -> ( A. i e. ( ( y u. { z } ) u. { n } ) i || k -> (lcm ` ( y u. { z } ) ) || k ) ) ) ) )
133	132	com34 91	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( z e. ZZ /\ y C_ ZZ /\ y e. Fin ) /\ ( A. k e. ZZ ( A. m e. y m || k -> (lcm ` y ) || k ) /\ A. n e. ZZ (lcm ` ( y u. { n } ) ) = ( (lcm ` y ) lcm n ) ) ) -> ( n e. ZZ -> ( ( 0 e/ y /\ z =/= 0 /\ n =/= 0 ) -> ( k e. NN -> ( A. i e. ( ( y u. { z } ) u. { n } ) i || k -> (lcm ` ( y u. { z } ) ) || k ) ) ) ) )
134	133	com12 32	. . . . . . . . . 10 |- ( n e. ZZ -> ( ( ( z e. ZZ /\ y C_ ZZ /\ y e. Fin ) /\ ( A. k e. ZZ ( A. m e. y m || k -> (lcm ` y ) || k ) /\ A. n e. ZZ (lcm ` ( y u. { n } ) ) = ( (lcm ` y ) lcm n ) ) ) -> ( ( 0 e/ y /\ z =/= 0 /\ n =/= 0 ) -> ( k e. NN -> ( A. i e. ( ( y u. { z } ) u. { n } ) i || k -> (lcm ` ( y u. { z } ) ) || k ) ) ) ) )
135	134	imp 445	. . . . . . . . 9 |- ( ( n e. ZZ /\ ( ( z e. ZZ /\ y C_ ZZ /\ y e. Fin ) /\ ( A. k e. ZZ ( A. m e. y m || k -> (lcm ` y ) || k ) /\ A. n e. ZZ (lcm ` ( y u. { n } ) ) = ( (lcm ` y ) lcm n ) ) ) ) -> ( ( 0 e/ y /\ z =/= 0 /\ n =/= 0 ) -> ( k e. NN -> ( A. i e. ( ( y u. { z } ) u. { n } ) i || k -> (lcm ` ( y u. { z } ) ) || k ) ) ) )
136	135	com12 32	. . . . . . . 8 |- ( ( 0 e/ y /\ z =/= 0 /\ n =/= 0 ) -> ( ( n e. ZZ /\ ( ( z e. ZZ /\ y C_ ZZ /\ y e. Fin ) /\ ( A. k e. ZZ ( A. m e. y m || k -> (lcm ` y ) || k ) /\ A. n e. ZZ (lcm ` ( y u. { n } ) ) = ( (lcm ` y ) lcm n ) ) ) ) -> ( k e. NN -> ( A. i e. ( ( y u. { z } ) u. { n } ) i || k -> (lcm ` ( y u. { z } ) ) || k ) ) ) )
137	136	imp 445	. . . . . . 7 |- ( ( ( 0 e/ y /\ z =/= 0 /\ n =/= 0 ) /\ ( n e. ZZ /\ ( ( z e. ZZ /\ y C_ ZZ /\ y e. Fin ) /\ ( A. k e. ZZ ( A. m e. y m || k -> (lcm ` y ) || k ) /\ A. n e. ZZ (lcm ` ( y u. { n } ) ) = ( (lcm ` y ) lcm n ) ) ) ) ) -> ( k e. NN -> ( A. i e. ( ( y u. { z } ) u. { n } ) i || k -> (lcm ` ( y u. { z } ) ) || k ) ) )
138	137	imp 445	. . . . . 6 |- ( ( ( ( 0 e/ y /\ z =/= 0 /\ n =/= 0 ) /\ ( n e. ZZ /\ ( ( z e. ZZ /\ y C_ ZZ /\ y e. Fin ) /\ ( A. k e. ZZ ( A. m e. y m || k -> (lcm ` y ) || k ) /\ A. n e. ZZ (lcm ` ( y u. { n } ) ) = ( (lcm ` y ) lcm n ) ) ) ) ) /\ k e. NN ) -> ( A. i e. ( ( y u. { z } ) u. { n } ) i || k -> (lcm ` ( y u. { z } ) ) || k ) )
139	138	imp 445	. . . . 5 |- ( ( ( ( ( 0 e/ y /\ z =/= 0 /\ n =/= 0 ) /\ ( n e. ZZ /\ ( ( z e. ZZ /\ y C_ ZZ /\ y e. Fin ) /\ ( A. k e. ZZ ( A. m e. y m || k -> (lcm ` y ) || k ) /\ A. n e. ZZ (lcm ` ( y u. { n } ) ) = ( (lcm ` y ) lcm n ) ) ) ) ) /\ k e. NN ) /\ A. i e. ( ( y u. { z } ) u. { n } ) i || k ) -> (lcm ` ( y u. { z } ) ) || k )
140		vsnid 4209	. . . . . . . . 9 |- n e. { n }
141	140	olci 406	. . . . . . . 8 |- ( n e. ( y u. { z } ) \/ n e. { n } )
142		elun 3753	. . . . . . . 8 |- ( n e. ( ( y u. { z } ) u. { n } ) <-> ( n e. ( y u. { z } ) \/ n e. { n } ) )
143	141, 142	mpbir 221	. . . . . . 7 |- n e. ( ( y u. { z } ) u. { n } )
144		breq1 4656	. . . . . . . 8 |- ( i = n -> ( i || k <-> n || k ) )
145	144	rspcv 3305	. . . . . . 7 |- ( n e. ( ( y u. { z } ) u. { n } ) -> ( A. i e. ( ( y u. { z } ) u. { n } ) i || k -> n || k ) )
146	143, 145	mp1i 13	. . . . . 6 |- ( ( ( ( 0 e/ y /\ z =/= 0 /\ n =/= 0 ) /\ ( n e. ZZ /\ ( ( z e. ZZ /\ y C_ ZZ /\ y e. Fin ) /\ ( A. k e. ZZ ( A. m e. y m || k -> (lcm ` y ) || k ) /\ A. n e. ZZ (lcm ` ( y u. { n } ) ) = ( (lcm ` y ) lcm n ) ) ) ) ) /\ k e. NN ) -> ( A. i e. ( ( y u. { z } ) u. { n } ) i || k -> n || k ) )
147	146	imp 445	. . . . 5 |- ( ( ( ( ( 0 e/ y /\ z =/= 0 /\ n =/= 0 ) /\ ( n e. ZZ /\ ( ( z e. ZZ /\ y C_ ZZ /\ y e. Fin ) /\ ( A. k e. ZZ ( A. m e. y m || k -> (lcm ` y ) || k ) /\ A. n e. ZZ (lcm ` ( y u. { n } ) ) = ( (lcm ` y ) lcm n ) ) ) ) ) /\ k e. NN ) /\ A. i e. ( ( y u. { z } ) u. { n } ) i || k ) -> n || k )
148	139, 147	jca 554	. . . 4 |- ( ( ( ( ( 0 e/ y /\ z =/= 0 /\ n =/= 0 ) /\ ( n e. ZZ /\ ( ( z e. ZZ /\ y C_ ZZ /\ y e. Fin ) /\ ( A. k e. ZZ ( A. m e. y m || k -> (lcm ` y ) || k ) /\ A. n e. ZZ (lcm ` ( y u. { n } ) ) = ( (lcm ` y ) lcm n ) ) ) ) ) /\ k e. NN ) /\ A. i e. ( ( y u. { z } ) u. { n } ) i || k ) -> ( (lcm ` ( y u. { z } ) ) || k /\ n || k ) )
149		lcmledvds 15312	. . . 4 |- ( ( ( k e. NN /\ (lcm ` ( y u. { z } ) ) e. ZZ /\ n e. ZZ ) /\ -. ( (lcm ` ( y u. { z } ) ) = 0 \/ n = 0 ) ) -> ( ( (lcm ` ( y u. { z } ) ) || k /\ n || k ) -> ( (lcm ` ( y u. { z } ) ) lcm n ) <_ k ) )
150	61, 148, 149	sylc 65	. . 3 |- ( ( ( ( ( 0 e/ y /\ z =/= 0 /\ n =/= 0 ) /\ ( n e. ZZ /\ ( ( z e. ZZ /\ y C_ ZZ /\ y e. Fin ) /\ ( A. k e. ZZ ( A. m e. y m || k -> (lcm ` y ) || k ) /\ A. n e. ZZ (lcm ` ( y u. { n } ) ) = ( (lcm ` y ) lcm n ) ) ) ) ) /\ k e. NN ) /\ A. i e. ( ( y u. { z } ) u. { n } ) i || k ) -> ( (lcm ` ( y u. { z } ) ) lcm n ) <_ k )
151	150	exp31 630	. 2 |- ( ( ( 0 e/ y /\ z =/= 0 /\ n =/= 0 ) /\ ( n e. ZZ /\ ( ( z e. ZZ /\ y C_ ZZ /\ y e. Fin ) /\ ( A. k e. ZZ ( A. m e. y m || k -> (lcm ` y ) || k ) /\ A. n e. ZZ (lcm ` ( y u. { n } ) ) = ( (lcm ` y ) lcm n ) ) ) ) ) -> ( k e. NN -> ( A. i e. ( ( y u. { z } ) u. { n } ) i || k -> ( (lcm ` ( y u. { z } ) ) lcm n ) <_ k ) ) )
152	9, 151	ralrimi 2957	1 |- ( ( ( 0 e/ y /\ z =/= 0 /\ n =/= 0 ) /\ ( n e. ZZ /\ ( ( z e. ZZ /\ y C_ ZZ /\ y e. Fin ) /\ ( A. k e. ZZ ( A. m e. y m || k -> (lcm ` y ) || k ) /\ A. n e. ZZ (lcm ` ( y u. { n } ) ) = ( (lcm ` y ) lcm n ) ) ) ) ) -> A. k e. NN ( A. i e. ( ( y u. { z } ) u. { n } ) i || k -> ( (lcm ` ( y u. { z } ) ) lcm n ) <_ k ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   \/ wo 383   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   =/= wne 2794   e/ wnel 2897   A.wral 2912   u. cun 3572   C_ wss 3574   {csn 4177   class class class wbr 4653   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   Fincfn 7955   0cc0 9936   <_ cle 10075   NNcn 11020   NN0cn0 11292   ZZcz 11377   || cdvds 14983   lcm clcm 15301  lcmclcmf 15302

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-fal 1489  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-oadd 7564  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-sup 8348  df-inf 8349  df-oi 8415  df-card 8765  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-rp 11833  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-fl 12593  df-mod 12669  df-seq 12802  df-exp 12861  df-hash 13118  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-clim 14219  df-prod 14636  df-dvds 14984  df-gcd 15217  df-lcm 15303  df-lcmf 15304

This theorem is referenced by:  lcmfunsnlem2lem2  15352