Theorem lcmfunsnlem 15354

Description: Lemma for lcmfdvds 15355 and lcmfunsn 15357. These two theorems must be proven simultaneously by induction on the cardinality of a finite set Y, because they depend on each other. This can be seen by the two parts lcmfunsnlem1 15350 and lcmfunsnlem2 15353 of the induction step, each of them using both induction hypotheses. (Contributed by AV, 26-Aug-2020.)

Assertion

Ref	Expression
lcmfunsnlem	|- ( ( Y C_ ZZ /\ Y e. Fin ) -> ( A. k e. ZZ ( A. m e. Y m || k -> (lcm ` Y ) || k ) /\ A. n e. ZZ (lcm ` ( Y u. { n } ) ) = ( (lcm ` Y ) lcm n ) ) )

Distinct variable group:   k, n, m, Y

Proof of Theorem lcmfunsnlem

Dummy variables x y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sseq1 3626	. . . 4 |- ( x = (/) -> ( x C_ ZZ <-> (/) C_ ZZ ) )
2		raleq 3138	. . . . . . 7 |- ( x = (/) -> ( A. m e. x m || k <-> A. m e. (/) m || k ) )
3		fveq2 6191	. . . . . . . 8 |- ( x = (/) -> (lcm ` x ) = (lcm ` (/) ) )
4	3	breq1d 4663	. . . . . . 7 |- ( x = (/) -> ( (lcm ` x ) || k <-> (lcm ` (/) ) || k ) )
5	2, 4	imbi12d 334	. . . . . 6 |- ( x = (/) -> ( ( A. m e. x m || k -> (lcm ` x ) || k ) <-> ( A. m e. (/) m || k -> (lcm ` (/) ) || k ) ) )
6	5	ralbidv 2986	. . . . 5 |- ( x = (/) -> ( A. k e. ZZ ( A. m e. x m || k -> (lcm ` x ) || k ) <-> A. k e. ZZ ( A. m e. (/) m || k -> (lcm ` (/) ) || k ) ) )
7		uneq1 3760	. . . . . . . 8 |- ( x = (/) -> ( x u. { n } ) = ( (/) u. { n } ) )
8	7	fveq2d 6195	. . . . . . 7 |- ( x = (/) -> (lcm ` ( x u. { n } ) ) = (lcm ` ( (/) u. { n } ) ) )
9	3	oveq1d 6665	. . . . . . 7 |- ( x = (/) -> ( (lcm ` x ) lcm n ) = ( (lcm ` (/) ) lcm n ) )
10	8, 9	eqeq12d 2637	. . . . . 6 |- ( x = (/) -> ( (lcm ` ( x u. { n } ) ) = ( (lcm ` x ) lcm n ) <-> (lcm ` ( (/) u. { n } ) ) = ( (lcm ` (/) ) lcm n ) ) )
11	10	ralbidv 2986	. . . . 5 |- ( x = (/) -> ( A. n e. ZZ (lcm ` ( x u. { n } ) ) = ( (lcm ` x ) lcm n ) <-> A. n e. ZZ (lcm ` ( (/) u. { n } ) ) = ( (lcm ` (/) ) lcm n ) ) )
12	6, 11	anbi12d 747	. . . 4 |- ( x = (/) -> ( ( A. k e. ZZ ( A. m e. x m || k -> (lcm ` x ) || k ) /\ A. n e. ZZ (lcm ` ( x u. { n } ) ) = ( (lcm ` x ) lcm n ) ) <-> ( A. k e. ZZ ( A. m e. (/) m || k -> (lcm ` (/) ) || k ) /\ A. n e. ZZ (lcm ` ( (/) u. { n } ) ) = ( (lcm ` (/) ) lcm n ) ) ) )
13	1, 12	imbi12d 334	. . 3 |- ( x = (/) -> ( ( x C_ ZZ -> ( A. k e. ZZ ( A. m e. x m || k -> (lcm ` x ) || k ) /\ A. n e. ZZ (lcm ` ( x u. { n } ) ) = ( (lcm ` x ) lcm n ) ) ) <-> ( (/) C_ ZZ -> ( A. k e. ZZ ( A. m e. (/) m || k -> (lcm ` (/) ) || k ) /\ A. n e. ZZ (lcm ` ( (/) u. { n } ) ) = ( (lcm ` (/) ) lcm n ) ) ) ) )
14		sseq1 3626	. . . 4 |- ( x = y -> ( x C_ ZZ <-> y C_ ZZ ) )
15		raleq 3138	. . . . . . 7 |- ( x = y -> ( A. m e. x m || k <-> A. m e. y m || k ) )
16		fveq2 6191	. . . . . . . 8 |- ( x = y -> (lcm ` x ) = (lcm ` y ) )
17	16	breq1d 4663	. . . . . . 7 |- ( x = y -> ( (lcm ` x ) || k <-> (lcm ` y ) || k ) )
18	15, 17	imbi12d 334	. . . . . 6 |- ( x = y -> ( ( A. m e. x m || k -> (lcm ` x ) || k ) <-> ( A. m e. y m || k -> (lcm ` y ) || k ) ) )
19	18	ralbidv 2986	. . . . 5 |- ( x = y -> ( A. k e. ZZ ( A. m e. x m || k -> (lcm ` x ) || k ) <-> A. k e. ZZ ( A. m e. y m || k -> (lcm ` y ) || k ) ) )
20		uneq1 3760	. . . . . . . 8 |- ( x = y -> ( x u. { n } ) = ( y u. { n } ) )
21	20	fveq2d 6195	. . . . . . 7 |- ( x = y -> (lcm ` ( x u. { n } ) ) = (lcm ` ( y u. { n } ) ) )
22	16	oveq1d 6665	. . . . . . 7 |- ( x = y -> ( (lcm ` x ) lcm n ) = ( (lcm ` y ) lcm n ) )
23	21, 22	eqeq12d 2637	. . . . . 6 |- ( x = y -> ( (lcm ` ( x u. { n } ) ) = ( (lcm ` x ) lcm n ) <-> (lcm ` ( y u. { n } ) ) = ( (lcm ` y ) lcm n ) ) )
24	23	ralbidv 2986	. . . . 5 |- ( x = y -> ( A. n e. ZZ (lcm ` ( x u. { n } ) ) = ( (lcm ` x ) lcm n ) <-> A. n e. ZZ (lcm ` ( y u. { n } ) ) = ( (lcm ` y ) lcm n ) ) )
25	19, 24	anbi12d 747	. . . 4 |- ( x = y -> ( ( A. k e. ZZ ( A. m e. x m || k -> (lcm ` x ) || k ) /\ A. n e. ZZ (lcm ` ( x u. { n } ) ) = ( (lcm ` x ) lcm n ) ) <-> ( A. k e. ZZ ( A. m e. y m || k -> (lcm ` y ) || k ) /\ A. n e. ZZ (lcm ` ( y u. { n } ) ) = ( (lcm ` y ) lcm n ) ) ) )
26	14, 25	imbi12d 334	. . 3 |- ( x = y -> ( ( x C_ ZZ -> ( A. k e. ZZ ( A. m e. x m || k -> (lcm ` x ) || k ) /\ A. n e. ZZ (lcm ` ( x u. { n } ) ) = ( (lcm ` x ) lcm n ) ) ) <-> ( y C_ ZZ -> ( A. k e. ZZ ( A. m e. y m || k -> (lcm ` y ) || k ) /\ A. n e. ZZ (lcm ` ( y u. { n } ) ) = ( (lcm ` y ) lcm n ) ) ) ) )
27		sseq1 3626	. . . 4 |- ( x = ( y u. { z } ) -> ( x C_ ZZ <-> ( y u. { z } ) C_ ZZ ) )
28		raleq 3138	. . . . . . 7 |- ( x = ( y u. { z } ) -> ( A. m e. x m || k <-> A. m e. ( y u. { z } ) m || k ) )
29		fveq2 6191	. . . . . . . 8 |- ( x = ( y u. { z } ) -> (lcm ` x ) = (lcm ` ( y u. { z } ) ) )
30	29	breq1d 4663	. . . . . . 7 |- ( x = ( y u. { z } ) -> ( (lcm ` x ) || k <-> (lcm ` ( y u. { z } ) ) || k ) )
31	28, 30	imbi12d 334	. . . . . 6 |- ( x = ( y u. { z } ) -> ( ( A. m e. x m || k -> (lcm ` x ) || k ) <-> ( A. m e. ( y u. { z } ) m || k -> (lcm ` ( y u. { z } ) ) || k ) ) )
32	31	ralbidv 2986	. . . . 5 |- ( x = ( y u. { z } ) -> ( A. k e. ZZ ( A. m e. x m || k -> (lcm ` x ) || k ) <-> A. k e. ZZ ( A. m e. ( y u. { z } ) m || k -> (lcm ` ( y u. { z } ) ) || k ) ) )
33		uneq1 3760	. . . . . . . 8 |- ( x = ( y u. { z } ) -> ( x u. { n } ) = ( ( y u. { z } ) u. { n } ) )
34	33	fveq2d 6195	. . . . . . 7 |- ( x = ( y u. { z } ) -> (lcm ` ( x u. { n } ) ) = (lcm ` ( ( y u. { z } ) u. { n } ) ) )
35	29	oveq1d 6665	. . . . . . 7 |- ( x = ( y u. { z } ) -> ( (lcm ` x ) lcm n ) = ( (lcm ` ( y u. { z } ) ) lcm n ) )
36	34, 35	eqeq12d 2637	. . . . . 6 |- ( x = ( y u. { z } ) -> ( (lcm ` ( x u. { n } ) ) = ( (lcm ` x ) lcm n ) <-> (lcm ` ( ( y u. { z } ) u. { n } ) ) = ( (lcm ` ( y u. { z } ) ) lcm n ) ) )
37	36	ralbidv 2986	. . . . 5 |- ( x = ( y u. { z } ) -> ( A. n e. ZZ (lcm ` ( x u. { n } ) ) = ( (lcm ` x ) lcm n ) <-> A. n e. ZZ (lcm ` ( ( y u. { z } ) u. { n } ) ) = ( (lcm ` ( y u. { z } ) ) lcm n ) ) )
38	32, 37	anbi12d 747	. . . 4 |- ( x = ( y u. { z } ) -> ( ( A. k e. ZZ ( A. m e. x m || k -> (lcm ` x ) || k ) /\ A. n e. ZZ (lcm ` ( x u. { n } ) ) = ( (lcm ` x ) lcm n ) ) <-> ( A. k e. ZZ ( A. m e. ( y u. { z } ) m || k -> (lcm ` ( y u. { z } ) ) || k ) /\ A. n e. ZZ (lcm ` ( ( y u. { z } ) u. { n } ) ) = ( (lcm ` ( y u. { z } ) ) lcm n ) ) ) )
39	27, 38	imbi12d 334	. . 3 |- ( x = ( y u. { z } ) -> ( ( x C_ ZZ -> ( A. k e. ZZ ( A. m e. x m || k -> (lcm ` x ) || k ) /\ A. n e. ZZ (lcm ` ( x u. { n } ) ) = ( (lcm ` x ) lcm n ) ) ) <-> ( ( y u. { z } ) C_ ZZ -> ( A. k e. ZZ ( A. m e. ( y u. { z } ) m || k -> (lcm ` ( y u. { z } ) ) || k ) /\ A. n e. ZZ (lcm ` ( ( y u. { z } ) u. { n } ) ) = ( (lcm ` ( y u. { z } ) ) lcm n ) ) ) ) )
40		sseq1 3626	. . . 4 |- ( x = Y -> ( x C_ ZZ <-> Y C_ ZZ ) )
41		raleq 3138	. . . . . . 7 |- ( x = Y -> ( A. m e. x m || k <-> A. m e. Y m || k ) )
42		fveq2 6191	. . . . . . . 8 |- ( x = Y -> (lcm ` x ) = (lcm ` Y ) )
43	42	breq1d 4663	. . . . . . 7 |- ( x = Y -> ( (lcm ` x ) || k <-> (lcm ` Y ) || k ) )
44	41, 43	imbi12d 334	. . . . . 6 |- ( x = Y -> ( ( A. m e. x m || k -> (lcm ` x ) || k ) <-> ( A. m e. Y m || k -> (lcm ` Y ) || k ) ) )
45	44	ralbidv 2986	. . . . 5 |- ( x = Y -> ( A. k e. ZZ ( A. m e. x m || k -> (lcm ` x ) || k ) <-> A. k e. ZZ ( A. m e. Y m || k -> (lcm ` Y ) || k ) ) )
46		uneq1 3760	. . . . . . . 8 |- ( x = Y -> ( x u. { n } ) = ( Y u. { n } ) )
47	46	fveq2d 6195	. . . . . . 7 |- ( x = Y -> (lcm ` ( x u. { n } ) ) = (lcm ` ( Y u. { n } ) ) )
48	42	oveq1d 6665	. . . . . . 7 |- ( x = Y -> ( (lcm ` x ) lcm n ) = ( (lcm ` Y ) lcm n ) )
49	47, 48	eqeq12d 2637	. . . . . 6 |- ( x = Y -> ( (lcm ` ( x u. { n } ) ) = ( (lcm ` x ) lcm n ) <-> (lcm ` ( Y u. { n } ) ) = ( (lcm ` Y ) lcm n ) ) )
50	49	ralbidv 2986	. . . . 5 |- ( x = Y -> ( A. n e. ZZ (lcm ` ( x u. { n } ) ) = ( (lcm ` x ) lcm n ) <-> A. n e. ZZ (lcm ` ( Y u. { n } ) ) = ( (lcm ` Y ) lcm n ) ) )
51	45, 50	anbi12d 747	. . . 4 |- ( x = Y -> ( ( A. k e. ZZ ( A. m e. x m || k -> (lcm ` x ) || k ) /\ A. n e. ZZ (lcm ` ( x u. { n } ) ) = ( (lcm ` x ) lcm n ) ) <-> ( A. k e. ZZ ( A. m e. Y m || k -> (lcm ` Y ) || k ) /\ A. n e. ZZ (lcm ` ( Y u. { n } ) ) = ( (lcm ` Y ) lcm n ) ) ) )
52	40, 51	imbi12d 334	. . 3 |- ( x = Y -> ( ( x C_ ZZ -> ( A. k e. ZZ ( A. m e. x m || k -> (lcm ` x ) || k ) /\ A. n e. ZZ (lcm ` ( x u. { n } ) ) = ( (lcm ` x ) lcm n ) ) ) <-> ( Y C_ ZZ -> ( A. k e. ZZ ( A. m e. Y m || k -> (lcm ` Y ) || k ) /\ A. n e. ZZ (lcm ` ( Y u. { n } ) ) = ( (lcm ` Y ) lcm n ) ) ) ) )
53		lcmf0 15347	. . . . . . . 8 |- (lcm ` (/) ) = 1
54		1dvds 14996	. . . . . . . 8 |- ( k e. ZZ -> 1 || k )
55	53, 54	syl5eqbr 4688	. . . . . . 7 |- ( k e. ZZ -> (lcm ` (/) ) || k )
56	55	a1d 25	. . . . . 6 |- ( k e. ZZ -> ( A. m e. (/) m || k -> (lcm ` (/) ) || k ) )
57	56	adantl 482	. . . . 5 |- ( ( (/) C_ ZZ /\ k e. ZZ ) -> ( A. m e. (/) m || k -> (lcm ` (/) ) || k ) )
58	57	ralrimiva 2966	. . . 4 |- ( (/) C_ ZZ -> A. k e. ZZ ( A. m e. (/) m || k -> (lcm ` (/) ) || k ) )
59		uncom 3757	. . . . . . . . . 10 |- ( (/) u. { n } ) = ( { n } u. (/) )
60		un0 3967	. . . . . . . . . 10 |- ( { n } u. (/) ) = { n }
61	59, 60	eqtri 2644	. . . . . . . . 9 |- ( (/) u. { n } ) = { n }
62	61	a1i 11	. . . . . . . 8 |- ( n e. ZZ -> ( (/) u. { n } ) = { n } )
63	62	fveq2d 6195	. . . . . . 7 |- ( n e. ZZ -> (lcm ` ( (/) u. { n } ) ) = (lcm ` { n } ) )
64		lcmfsn 15348	. . . . . . 7 |- ( n e. ZZ -> (lcm ` { n } ) = ( abs ` n ) )
65	53	a1i 11	. . . . . . . . 9 |- ( n e. ZZ -> (lcm ` (/) ) = 1 )
66	65	oveq1d 6665	. . . . . . . 8 |- ( n e. ZZ -> ( (lcm ` (/) ) lcm n ) = ( 1 lcm n ) )
67		1z 11407	. . . . . . . . 9 |- 1 e. ZZ
68		lcmcom 15306	. . . . . . . . 9 |- ( ( 1 e. ZZ /\ n e. ZZ ) -> ( 1 lcm n ) = ( n lcm 1 ) )
69	67, 68	mpan 706	. . . . . . . 8 |- ( n e. ZZ -> ( 1 lcm n ) = ( n lcm 1 ) )
70		lcm1 15323	. . . . . . . 8 |- ( n e. ZZ -> ( n lcm 1 ) = ( abs ` n ) )
71	66, 69, 70	3eqtrrd 2661	. . . . . . 7 |- ( n e. ZZ -> ( abs ` n ) = ( (lcm ` (/) ) lcm n ) )
72	63, 64, 71	3eqtrd 2660	. . . . . 6 |- ( n e. ZZ -> (lcm ` ( (/) u. { n } ) ) = ( (lcm ` (/) ) lcm n ) )
73	72	adantl 482	. . . . 5 |- ( ( (/) C_ ZZ /\ n e. ZZ ) -> (lcm ` ( (/) u. { n } ) ) = ( (lcm ` (/) ) lcm n ) )
74	73	ralrimiva 2966	. . . 4 |- ( (/) C_ ZZ -> A. n e. ZZ (lcm ` ( (/) u. { n } ) ) = ( (lcm ` (/) ) lcm n ) )
75	58, 74	jca 554	. . 3 |- ( (/) C_ ZZ -> ( A. k e. ZZ ( A. m e. (/) m || k -> (lcm ` (/) ) || k ) /\ A. n e. ZZ (lcm ` ( (/) u. { n } ) ) = ( (lcm ` (/) ) lcm n ) ) )
76		unss 3787	. . . . . . . 8 |- ( ( y C_ ZZ /\ { z } C_ ZZ ) <-> ( y u. { z } ) C_ ZZ )
77		simpl 473	. . . . . . . 8 |- ( ( y C_ ZZ /\ { z } C_ ZZ ) -> y C_ ZZ )
78	76, 77	sylbir 225	. . . . . . 7 |- ( ( y u. { z } ) C_ ZZ -> y C_ ZZ )
79	78	adantl 482	. . . . . 6 |- ( ( y e. Fin /\ ( y u. { z } ) C_ ZZ ) -> y C_ ZZ )
80		vex 3203	. . . . . . . . . . 11 |- z e. _V
81	80	snss 4316	. . . . . . . . . 10 |- ( z e. ZZ <-> { z } C_ ZZ )
82		lcmfunsnlem1 15350	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( z e. ZZ /\ y C_ ZZ /\ y e. Fin ) /\ ( A. k e. ZZ ( A. m e. y m || k -> (lcm ` y ) || k ) /\ A. n e. ZZ (lcm ` ( y u. { n } ) ) = ( (lcm ` y ) lcm n ) ) ) -> A. k e. ZZ ( A. m e. ( y u. { z } ) m || k -> (lcm ` ( y u. { z } ) ) || k ) )
83		lcmfunsnlem2 15353	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( z e. ZZ /\ y C_ ZZ /\ y e. Fin ) /\ ( A. k e. ZZ ( A. m e. y m || k -> (lcm ` y ) || k ) /\ A. n e. ZZ (lcm ` ( y u. { n } ) ) = ( (lcm ` y ) lcm n ) ) ) -> A. n e. ZZ (lcm ` ( ( y u. { z } ) u. { n } ) ) = ( (lcm ` ( y u. { z } ) ) lcm n ) )
84	82, 83	jca 554	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( z e. ZZ /\ y C_ ZZ /\ y e. Fin ) /\ ( A. k e. ZZ ( A. m e. y m || k -> (lcm ` y ) || k ) /\ A. n e. ZZ (lcm ` ( y u. { n } ) ) = ( (lcm ` y ) lcm n ) ) ) -> ( A. k e. ZZ ( A. m e. ( y u. { z } ) m || k -> (lcm ` ( y u. { z } ) ) || k ) /\ A. n e. ZZ (lcm ` ( ( y u. { z } ) u. { n } ) ) = ( (lcm ` ( y u. { z } ) ) lcm n ) ) )
85	84	3exp1 1283	. . . . . . . . . 10 |- ( z e. ZZ -> ( y C_ ZZ -> ( y e. Fin -> ( ( A. k e. ZZ ( A. m e. y m || k -> (lcm ` y ) || k ) /\ A. n e. ZZ (lcm ` ( y u. { n } ) ) = ( (lcm ` y ) lcm n ) ) -> ( A. k e. ZZ ( A. m e. ( y u. { z } ) m || k -> (lcm ` ( y u. { z } ) ) || k ) /\ A. n e. ZZ (lcm ` ( ( y u. { z } ) u. { n } ) ) = ( (lcm ` ( y u. { z } ) ) lcm n ) ) ) ) ) )
86	81, 85	sylbir 225	. . . . . . . . 9 |- ( { z } C_ ZZ -> ( y C_ ZZ -> ( y e. Fin -> ( ( A. k e. ZZ ( A. m e. y m || k -> (lcm ` y ) || k ) /\ A. n e. ZZ (lcm ` ( y u. { n } ) ) = ( (lcm ` y ) lcm n ) ) -> ( A. k e. ZZ ( A. m e. ( y u. { z } ) m || k -> (lcm ` ( y u. { z } ) ) || k ) /\ A. n e. ZZ (lcm ` ( ( y u. { z } ) u. { n } ) ) = ( (lcm ` ( y u. { z } ) ) lcm n ) ) ) ) ) )
87	86	impcom 446	. . . . . . . 8 |- ( ( y C_ ZZ /\ { z } C_ ZZ ) -> ( y e. Fin -> ( ( A. k e. ZZ ( A. m e. y m || k -> (lcm ` y ) || k ) /\ A. n e. ZZ (lcm ` ( y u. { n } ) ) = ( (lcm ` y ) lcm n ) ) -> ( A. k e. ZZ ( A. m e. ( y u. { z } ) m || k -> (lcm ` ( y u. { z } ) ) || k ) /\ A. n e. ZZ (lcm ` ( ( y u. { z } ) u. { n } ) ) = ( (lcm ` ( y u. { z } ) ) lcm n ) ) ) ) )
88	76, 87	sylbir 225	. . . . . . 7 |- ( ( y u. { z } ) C_ ZZ -> ( y e. Fin -> ( ( A. k e. ZZ ( A. m e. y m || k -> (lcm ` y ) || k ) /\ A. n e. ZZ (lcm ` ( y u. { n } ) ) = ( (lcm ` y ) lcm n ) ) -> ( A. k e. ZZ ( A. m e. ( y u. { z } ) m || k -> (lcm ` ( y u. { z } ) ) || k ) /\ A. n e. ZZ (lcm ` ( ( y u. { z } ) u. { n } ) ) = ( (lcm ` ( y u. { z } ) ) lcm n ) ) ) ) )
89	88	impcom 446	. . . . . 6 |- ( ( y e. Fin /\ ( y u. { z } ) C_ ZZ ) -> ( ( A. k e. ZZ ( A. m e. y m || k -> (lcm ` y ) || k ) /\ A. n e. ZZ (lcm ` ( y u. { n } ) ) = ( (lcm ` y ) lcm n ) ) -> ( A. k e. ZZ ( A. m e. ( y u. { z } ) m || k -> (lcm ` ( y u. { z } ) ) || k ) /\ A. n e. ZZ (lcm ` ( ( y u. { z } ) u. { n } ) ) = ( (lcm ` ( y u. { z } ) ) lcm n ) ) ) )
90	79, 89	embantd 59	. . . . 5 |- ( ( y e. Fin /\ ( y u. { z } ) C_ ZZ ) -> ( ( y C_ ZZ -> ( A. k e. ZZ ( A. m e. y m || k -> (lcm ` y ) || k ) /\ A. n e. ZZ (lcm ` ( y u. { n } ) ) = ( (lcm ` y ) lcm n ) ) ) -> ( A. k e. ZZ ( A. m e. ( y u. { z } ) m || k -> (lcm ` ( y u. { z } ) ) || k ) /\ A. n e. ZZ (lcm ` ( ( y u. { z } ) u. { n } ) ) = ( (lcm ` ( y u. { z } ) ) lcm n ) ) ) )
91	90	ex 450	. . . 4 |- ( y e. Fin -> ( ( y u. { z } ) C_ ZZ -> ( ( y C_ ZZ -> ( A. k e. ZZ ( A. m e. y m || k -> (lcm ` y ) || k ) /\ A. n e. ZZ (lcm ` ( y u. { n } ) ) = ( (lcm ` y ) lcm n ) ) ) -> ( A. k e. ZZ ( A. m e. ( y u. { z } ) m || k -> (lcm ` ( y u. { z } ) ) || k ) /\ A. n e. ZZ (lcm ` ( ( y u. { z } ) u. { n } ) ) = ( (lcm ` ( y u. { z } ) ) lcm n ) ) ) ) )
92	91	com23 86	. . 3 |- ( y e. Fin -> ( ( y C_ ZZ -> ( A. k e. ZZ ( A. m e. y m || k -> (lcm ` y ) || k ) /\ A. n e. ZZ (lcm ` ( y u. { n } ) ) = ( (lcm ` y ) lcm n ) ) ) -> ( ( y u. { z } ) C_ ZZ -> ( A. k e. ZZ ( A. m e. ( y u. { z } ) m || k -> (lcm ` ( y u. { z } ) ) || k ) /\ A. n e. ZZ (lcm ` ( ( y u. { z } ) u. { n } ) ) = ( (lcm ` ( y u. { z } ) ) lcm n ) ) ) ) )
93	13, 26, 39, 52, 75, 92	findcard2 8200	. 2 |- ( Y e. Fin -> ( Y C_ ZZ -> ( A. k e. ZZ ( A. m e. Y m || k -> (lcm ` Y ) || k ) /\ A. n e. ZZ (lcm ` ( Y u. { n } ) ) = ( (lcm ` Y ) lcm n ) ) ) )
94	93	impcom 446	1 |- ( ( Y C_ ZZ /\ Y e. Fin ) -> ( A. k e. ZZ ( A. m e. Y m || k -> (lcm ` Y ) || k ) /\ A. n e. ZZ (lcm ` ( Y u. { n } ) ) = ( (lcm ` Y ) lcm n ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   A.wral 2912   u. cun 3572   C_ wss 3574   (/)c0 3915   {csn 4177   class class class wbr 4653   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   Fincfn 7955   1c1 9937   ZZcz 11377   abscabs 13974   || cdvds 14983   lcm clcm 15301  lcmclcmf 15302

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-fal 1489  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-oadd 7564  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-sup 8348  df-inf 8349  df-oi 8415  df-card 8765  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-rp 11833  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-fl 12593  df-mod 12669  df-seq 12802  df-exp 12861  df-hash 13118  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-clim 14219  df-prod 14636  df-dvds 14984  df-gcd 15217  df-lcm 15303  df-lcmf 15304

This theorem is referenced by:  lcmfdvds  15355  lcmfunsn  15357