Theorem linc1 42214

Description: A vector is a linear combination of a set containing this vector. (Contributed by AV, 18-Apr-2019.) (Proof shortened by AV, 28-Jul-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
linc1.b	|- B = ( Base ` M )
linc1.s	|- S = (Scalar ` M )
linc1.0	|- .0. = ( 0g ` S )
linc1.1	|- .1. = ( 1r ` S )
linc1.f	|- F = ( x e. V |-> if ( x = X , .1. , .0. ) )

Assertion

Ref	Expression
linc1	|- ( ( M e. LMod /\ V e. ~P B /\ X e. V ) -> ( F ( linC ` M ) V ) = X )

Distinct variable groups:   x, B   x, M   x, V   x, X   x, .0.   x, .1.

Allowed substitution hints:   S( x)   F( x)

Proof of Theorem linc1

Dummy variables v y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp1 1061	. . 3 |- ( ( M e. LMod /\ V e. ~P B /\ X e. V ) -> M e. LMod )
2		linc1.s	. . . . . . . . . 10 |- S = (Scalar ` M )
3	2	lmodring 18871	. . . . . . . . 9 |- ( M e. LMod -> S e. Ring )
4	2	eqcomi 2631	. . . . . . . . . . . 12 |- (Scalar ` M ) = S
5	4	fveq2i 6194	. . . . . . . . . . 11 |- ( Base ` (Scalar ` M ) ) = ( Base ` S )
6		linc1.1	. . . . . . . . . . 11 |- .1. = ( 1r ` S )
7	5, 6	ringidcl 18568	. . . . . . . . . 10 |- ( S e. Ring -> .1. e. ( Base ` (Scalar ` M ) ) )
8		linc1.0	. . . . . . . . . . 11 |- .0. = ( 0g ` S )
9	5, 8	ring0cl 18569	. . . . . . . . . 10 |- ( S e. Ring -> .0. e. ( Base ` (Scalar ` M ) ) )
10	7, 9	jca 554	. . . . . . . . 9 |- ( S e. Ring -> ( .1. e. ( Base ` (Scalar ` M ) ) /\ .0. e. ( Base ` (Scalar ` M ) ) ) )
11	3, 10	syl 17	. . . . . . . 8 |- ( M e. LMod -> ( .1. e. ( Base ` (Scalar ` M ) ) /\ .0. e. ( Base ` (Scalar ` M ) ) ) )
12	11	3ad2ant1 1082	. . . . . . 7 |- ( ( M e. LMod /\ V e. ~P B /\ X e. V ) -> ( .1. e. ( Base ` (Scalar ` M ) ) /\ .0. e. ( Base ` (Scalar ` M ) ) ) )
13	12	adantr 481	. . . . . 6 |- ( ( ( M e. LMod /\ V e. ~P B /\ X e. V ) /\ x e. V ) -> ( .1. e. ( Base ` (Scalar ` M ) ) /\ .0. e. ( Base ` (Scalar ` M ) ) ) )
14		ifcl 4130	. . . . . 6 |- ( ( .1. e. ( Base ` (Scalar ` M ) ) /\ .0. e. ( Base ` (Scalar ` M ) ) ) -> if ( x = X , .1. , .0. ) e. ( Base ` (Scalar ` M ) ) )
15	13, 14	syl 17	. . . . 5 |- ( ( ( M e. LMod /\ V e. ~P B /\ X e. V ) /\ x e. V ) -> if ( x = X , .1. , .0. ) e. ( Base ` (Scalar ` M ) ) )
16		linc1.f	. . . . 5 |- F = ( x e. V |-> if ( x = X , .1. , .0. ) )
17	15, 16	fmptd 6385	. . . 4 |- ( ( M e. LMod /\ V e. ~P B /\ X e. V ) -> F : V --> ( Base ` (Scalar ` M ) ) )
18		fvex 6201	. . . . 5 |- ( Base ` (Scalar ` M ) ) e. _V
19		simp2 1062	. . . . 5 |- ( ( M e. LMod /\ V e. ~P B /\ X e. V ) -> V e. ~P B )
20		elmapg 7870	. . . . 5 |- ( ( ( Base ` (Scalar ` M ) ) e. _V /\ V e. ~P B ) -> ( F e. ( ( Base ` (Scalar ` M ) ) ^m V ) <-> F : V --> ( Base ` (Scalar ` M ) ) ) )
21	18, 19, 20	sylancr 695	. . . 4 |- ( ( M e. LMod /\ V e. ~P B /\ X e. V ) -> ( F e. ( ( Base ` (Scalar ` M ) ) ^m V ) <-> F : V --> ( Base ` (Scalar ` M ) ) ) )
22	17, 21	mpbird 247	. . 3 |- ( ( M e. LMod /\ V e. ~P B /\ X e. V ) -> F e. ( ( Base ` (Scalar ` M ) ) ^m V ) )
23		linc1.b	. . . . . . 7 |- B = ( Base ` M )
24	23	pweqi 4162	. . . . . 6 |- ~P B = ~P ( Base ` M )
25	24	eleq2i 2693	. . . . 5 |- ( V e. ~P B <-> V e. ~P ( Base ` M ) )
26	25	biimpi 206	. . . 4 |- ( V e. ~P B -> V e. ~P ( Base ` M ) )
27	26	3ad2ant2 1083	. . 3 |- ( ( M e. LMod /\ V e. ~P B /\ X e. V ) -> V e. ~P ( Base ` M ) )
28		lincval 42198	. . 3 |- ( ( M e. LMod /\ F e. ( ( Base ` (Scalar ` M ) ) ^m V ) /\ V e. ~P ( Base ` M ) ) -> ( F ( linC ` M ) V ) = ( M gsumg ( y e. V |-> ( ( F ` y ) ( .s ` M ) y ) ) ) )
29	1, 22, 27, 28	syl3anc 1326	. 2 |- ( ( M e. LMod /\ V e. ~P B /\ X e. V ) -> ( F ( linC ` M ) V ) = ( M gsumg ( y e. V |-> ( ( F ` y ) ( .s ` M ) y ) ) ) )
30		eqid 2622	. . 3 |- ( 0g ` M ) = ( 0g ` M )
31		lmodgrp 18870	. . . . 5 |- ( M e. LMod -> M e. Grp )
32		grpmnd 17429	. . . . 5 |- ( M e. Grp -> M e. Mnd )
33	31, 32	syl 17	. . . 4 |- ( M e. LMod -> M e. Mnd )
34	33	3ad2ant1 1082	. . 3 |- ( ( M e. LMod /\ V e. ~P B /\ X e. V ) -> M e. Mnd )
35		simp3 1063	. . 3 |- ( ( M e. LMod /\ V e. ~P B /\ X e. V ) -> X e. V )
36	1	adantr 481	. . . . 5 |- ( ( ( M e. LMod /\ V e. ~P B /\ X e. V ) /\ y e. V ) -> M e. LMod )
37		simpr 477	. . . . . . 7 |- ( ( ( M e. LMod /\ V e. ~P B /\ X e. V ) /\ y e. V ) -> y e. V )
38		eqid 2622	. . . . . . . . . . 11 |- ( Base ` S ) = ( Base ` S )
39	2, 38, 6	lmod1cl 18890	. . . . . . . . . 10 |- ( M e. LMod -> .1. e. ( Base ` S ) )
40	39	3ad2ant1 1082	. . . . . . . . 9 |- ( ( M e. LMod /\ V e. ~P B /\ X e. V ) -> .1. e. ( Base ` S ) )
41	40	adantr 481	. . . . . . . 8 |- ( ( ( M e. LMod /\ V e. ~P B /\ X e. V ) /\ y e. V ) -> .1. e. ( Base ` S ) )
42	2, 38, 8	lmod0cl 18889	. . . . . . . . . 10 |- ( M e. LMod -> .0. e. ( Base ` S ) )
43	42	3ad2ant1 1082	. . . . . . . . 9 |- ( ( M e. LMod /\ V e. ~P B /\ X e. V ) -> .0. e. ( Base ` S ) )
44	43	adantr 481	. . . . . . . 8 |- ( ( ( M e. LMod /\ V e. ~P B /\ X e. V ) /\ y e. V ) -> .0. e. ( Base ` S ) )
45	41, 44	ifcld 4131	. . . . . . 7 |- ( ( ( M e. LMod /\ V e. ~P B /\ X e. V ) /\ y e. V ) -> if ( y = X , .1. , .0. ) e. ( Base ` S ) )
46		eqeq1 2626	. . . . . . . . 9 |- ( x = y -> ( x = X <-> y = X ) )
47	46	ifbid 4108	. . . . . . . 8 |- ( x = y -> if ( x = X , .1. , .0. ) = if ( y = X , .1. , .0. ) )
48	47, 16	fvmptg 6280	. . . . . . 7 |- ( ( y e. V /\ if ( y = X , .1. , .0. ) e. ( Base ` S ) ) -> ( F ` y ) = if ( y = X , .1. , .0. ) )
49	37, 45, 48	syl2anc 693	. . . . . 6 |- ( ( ( M e. LMod /\ V e. ~P B /\ X e. V ) /\ y e. V ) -> ( F ` y ) = if ( y = X , .1. , .0. ) )
50	49, 45	eqeltrd 2701	. . . . 5 |- ( ( ( M e. LMod /\ V e. ~P B /\ X e. V ) /\ y e. V ) -> ( F ` y ) e. ( Base ` S ) )
51		elelpwi 4171	. . . . . . . 8 |- ( ( y e. V /\ V e. ~P B ) -> y e. B )
52	51	expcom 451	. . . . . . 7 |- ( V e. ~P B -> ( y e. V -> y e. B ) )
53	52	3ad2ant2 1083	. . . . . 6 |- ( ( M e. LMod /\ V e. ~P B /\ X e. V ) -> ( y e. V -> y e. B ) )
54	53	imp 445	. . . . 5 |- ( ( ( M e. LMod /\ V e. ~P B /\ X e. V ) /\ y e. V ) -> y e. B )
55		eqid 2622	. . . . . 6 |- ( .s ` M ) = ( .s ` M )
56	23, 2, 55, 38	lmodvscl 18880	. . . . 5 |- ( ( M e. LMod /\ ( F ` y ) e. ( Base ` S ) /\ y e. B ) -> ( ( F ` y ) ( .s ` M ) y ) e. B )
57	36, 50, 54, 56	syl3anc 1326	. . . 4 |- ( ( ( M e. LMod /\ V e. ~P B /\ X e. V ) /\ y e. V ) -> ( ( F ` y ) ( .s ` M ) y ) e. B )
58		eqid 2622	. . . 4 |- ( y e. V |-> ( ( F ` y ) ( .s ` M ) y ) ) = ( y e. V |-> ( ( F ` y ) ( .s ` M ) y ) )
59	57, 58	fmptd 6385	. . 3 |- ( ( M e. LMod /\ V e. ~P B /\ X e. V ) -> ( y e. V |-> ( ( F ` y ) ( .s ` M ) y ) ) : V --> B )
60		fveq2 6191	. . . . . . 7 |- ( y = v -> ( F ` y ) = ( F ` v ) )
61		id 22	. . . . . . 7 |- ( y = v -> y = v )
62	60, 61	oveq12d 6668	. . . . . 6 |- ( y = v -> ( ( F ` y ) ( .s ` M ) y ) = ( ( F ` v ) ( .s ` M ) v ) )
63	62	cbvmptv 4750	. . . . 5 |- ( y e. V |-> ( ( F ` y ) ( .s ` M ) y ) ) = ( v e. V |-> ( ( F ` v ) ( .s ` M ) v ) )
64		fvexd 6203	. . . . 5 |- ( ( M e. LMod /\ V e. ~P B /\ X e. V ) -> ( 0g ` M ) e. _V )
65		ovexd 6680	. . . . 5 |- ( ( ( M e. LMod /\ V e. ~P B /\ X e. V ) /\ v e. V ) -> ( ( F ` v ) ( .s ` M ) v ) e. _V )
66	63, 19, 64, 65	mptsuppd 7318	. . . 4 |- ( ( M e. LMod /\ V e. ~P B /\ X e. V ) -> ( ( y e. V |-> ( ( F ` y ) ( .s ` M ) y ) ) supp ( 0g ` M ) ) = { v e. V | ( ( F ` v ) ( .s ` M ) v ) =/= ( 0g ` M ) } )
67		2a1 28	. . . . . . 7 |- ( v = X -> ( ( ( M e. LMod /\ V e. ~P B /\ X e. V ) /\ v e. V ) -> ( ( ( F ` v ) ( .s ` M ) v ) =/= ( 0g ` M ) -> v = X ) ) )
68		simprr 796	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( -. v = X /\ ( ( M e. LMod /\ V e. ~P B /\ X e. V ) /\ v e. V ) ) -> v e. V )
69		fvex 6201	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( 1r ` S ) e. _V
70	6, 69	eqeltri 2697	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- .1. e. _V
71		fvex 6201	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( 0g ` S ) e. _V
72	8, 71	eqeltri 2697	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- .0. e. _V
73	70, 72	ifex 4156	. . . . . . . . . . . . . 14 |- if ( v = X , .1. , .0. ) e. _V
74		eqeq1 2626	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( x = v -> ( x = X <-> v = X ) )
75	74	ifbid 4108	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( x = v -> if ( x = X , .1. , .0. ) = if ( v = X , .1. , .0. ) )
76	75, 16	fvmptg 6280	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( v e. V /\ if ( v = X , .1. , .0. ) e. _V ) -> ( F ` v ) = if ( v = X , .1. , .0. ) )
77	68, 73, 76	sylancl 694	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( -. v = X /\ ( ( M e. LMod /\ V e. ~P B /\ X e. V ) /\ v e. V ) ) -> ( F ` v ) = if ( v = X , .1. , .0. ) )
78		iffalse 4095	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( -. v = X -> if ( v = X , .1. , .0. ) = .0. )
79	78	adantr 481	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( -. v = X /\ ( ( M e. LMod /\ V e. ~P B /\ X e. V ) /\ v e. V ) ) -> if ( v = X , .1. , .0. ) = .0. )
80	77, 79	eqtrd 2656	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( -. v = X /\ ( ( M e. LMod /\ V e. ~P B /\ X e. V ) /\ v e. V ) ) -> ( F ` v ) = .0. )
81	80	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( -. v = X /\ ( ( M e. LMod /\ V e. ~P B /\ X e. V ) /\ v e. V ) ) -> ( ( F ` v ) ( .s ` M ) v ) = ( .0. ( .s ` M ) v ) )
82	1	adantr 481	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( M e. LMod /\ V e. ~P B /\ X e. V ) /\ v e. V ) -> M e. LMod )
83	82	adantl 482	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( -. v = X /\ ( ( M e. LMod /\ V e. ~P B /\ X e. V ) /\ v e. V ) ) -> M e. LMod )
84		elelpwi 4171	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( v e. V /\ V e. ~P B ) -> v e. B )
85	84	expcom 451	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( V e. ~P B -> ( v e. V -> v e. B ) )
86	85	3ad2ant2 1083	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( M e. LMod /\ V e. ~P B /\ X e. V ) -> ( v e. V -> v e. B ) )
87	86	imp 445	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( M e. LMod /\ V e. ~P B /\ X e. V ) /\ v e. V ) -> v e. B )
88	87	adantl 482	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( -. v = X /\ ( ( M e. LMod /\ V e. ~P B /\ X e. V ) /\ v e. V ) ) -> v e. B )
89	23, 2, 55, 8, 30	lmod0vs 18896	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( M e. LMod /\ v e. B ) -> ( .0. ( .s ` M ) v ) = ( 0g ` M ) )
90	83, 88, 89	syl2anc 693	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( -. v = X /\ ( ( M e. LMod /\ V e. ~P B /\ X e. V ) /\ v e. V ) ) -> ( .0. ( .s ` M ) v ) = ( 0g ` M ) )
91	81, 90	eqtrd 2656	. . . . . . . . . 10 |- ( ( -. v = X /\ ( ( M e. LMod /\ V e. ~P B /\ X e. V ) /\ v e. V ) ) -> ( ( F ` v ) ( .s ` M ) v ) = ( 0g ` M ) )
92	91	neeq1d 2853	. . . . . . . . 9 |- ( ( -. v = X /\ ( ( M e. LMod /\ V e. ~P B /\ X e. V ) /\ v e. V ) ) -> ( ( ( F ` v ) ( .s ` M ) v ) =/= ( 0g ` M ) <-> ( 0g ` M ) =/= ( 0g ` M ) ) )
93		eqneqall 2805	. . . . . . . . . 10 |- ( ( 0g ` M ) = ( 0g ` M ) -> ( ( 0g ` M ) =/= ( 0g ` M ) -> v = X ) )
94	30, 93	ax-mp 5	. . . . . . . . 9 |- ( ( 0g ` M ) =/= ( 0g ` M ) -> v = X )
95	92, 94	syl6bi 243	. . . . . . . 8 |- ( ( -. v = X /\ ( ( M e. LMod /\ V e. ~P B /\ X e. V ) /\ v e. V ) ) -> ( ( ( F ` v ) ( .s ` M ) v ) =/= ( 0g ` M ) -> v = X ) )
96	95	ex 450	. . . . . . 7 |- ( -. v = X -> ( ( ( M e. LMod /\ V e. ~P B /\ X e. V ) /\ v e. V ) -> ( ( ( F ` v ) ( .s ` M ) v ) =/= ( 0g ` M ) -> v = X ) ) )
97	67, 96	pm2.61i 176	. . . . . 6 |- ( ( ( M e. LMod /\ V e. ~P B /\ X e. V ) /\ v e. V ) -> ( ( ( F ` v ) ( .s ` M ) v ) =/= ( 0g ` M ) -> v = X ) )
98	97	ralrimiva 2966	. . . . 5 |- ( ( M e. LMod /\ V e. ~P B /\ X e. V ) -> A. v e. V ( ( ( F ` v ) ( .s ` M ) v ) =/= ( 0g ` M ) -> v = X ) )
99		rabsssn 4215	. . . . 5 |- ( { v e. V | ( ( F ` v ) ( .s ` M ) v ) =/= ( 0g ` M ) } C_ { X } <-> A. v e. V ( ( ( F ` v ) ( .s ` M ) v ) =/= ( 0g ` M ) -> v = X ) )
100	98, 99	sylibr 224	. . . 4 |- ( ( M e. LMod /\ V e. ~P B /\ X e. V ) -> { v e. V | ( ( F ` v ) ( .s ` M ) v ) =/= ( 0g ` M ) } C_ { X } )
101	66, 100	eqsstrd 3639	. . 3 |- ( ( M e. LMod /\ V e. ~P B /\ X e. V ) -> ( ( y e. V |-> ( ( F ` y ) ( .s ` M ) y ) ) supp ( 0g ` M ) ) C_ { X } )
102	23, 30, 34, 19, 35, 59, 101	gsumpt 18361	. 2 |- ( ( M e. LMod /\ V e. ~P B /\ X e. V ) -> ( M gsumg ( y e. V |-> ( ( F ` y ) ( .s ` M ) y ) ) ) = ( ( y e. V |-> ( ( F ` y ) ( .s ` M ) y ) ) ` X ) )
103		ovex 6678	. . . 4 |- ( ( F ` X ) ( .s ` M ) X ) e. _V
104		fveq2 6191	. . . . . 6 |- ( y = X -> ( F ` y ) = ( F ` X ) )
105		id 22	. . . . . 6 |- ( y = X -> y = X )
106	104, 105	oveq12d 6668	. . . . 5 |- ( y = X -> ( ( F ` y ) ( .s ` M ) y ) = ( ( F ` X ) ( .s ` M ) X ) )
107	106, 58	fvmptg 6280	. . . 4 |- ( ( X e. V /\ ( ( F ` X ) ( .s ` M ) X ) e. _V ) -> ( ( y e. V |-> ( ( F ` y ) ( .s ` M ) y ) ) ` X ) = ( ( F ` X ) ( .s ` M ) X ) )
108	35, 103, 107	sylancl 694	. . 3 |- ( ( M e. LMod /\ V e. ~P B /\ X e. V ) -> ( ( y e. V |-> ( ( F ` y ) ( .s ` M ) y ) ) ` X ) = ( ( F ` X ) ( .s ` M ) X ) )
109		iftrue 4092	. . . . . 6 |- ( x = X -> if ( x = X , .1. , .0. ) = .1. )
110	109, 16	fvmptg 6280	. . . . 5 |- ( ( X e. V /\ .1. e. _V ) -> ( F ` X ) = .1. )
111	35, 70, 110	sylancl 694	. . . 4 |- ( ( M e. LMod /\ V e. ~P B /\ X e. V ) -> ( F ` X ) = .1. )
112	111	oveq1d 6665	. . 3 |- ( ( M e. LMod /\ V e. ~P B /\ X e. V ) -> ( ( F ` X ) ( .s ` M ) X ) = ( .1. ( .s ` M ) X ) )
113		elelpwi 4171	. . . . . 6 |- ( ( X e. V /\ V e. ~P B ) -> X e. B )
114	113	ancoms 469	. . . . 5 |- ( ( V e. ~P B /\ X e. V ) -> X e. B )
115	114	3adant1 1079	. . . 4 |- ( ( M e. LMod /\ V e. ~P B /\ X e. V ) -> X e. B )
116	23, 2, 55, 6	lmodvs1 18891	. . . 4 |- ( ( M e. LMod /\ X e. B ) -> ( .1. ( .s ` M ) X ) = X )
117	1, 115, 116	syl2anc 693	. . 3 |- ( ( M e. LMod /\ V e. ~P B /\ X e. V ) -> ( .1. ( .s ` M ) X ) = X )
118	108, 112, 117	3eqtrd 2660	. 2 |- ( ( M e. LMod /\ V e. ~P B /\ X e. V ) -> ( ( y e. V |-> ( ( F ` y ) ( .s ` M ) y ) ) ` X ) = X )
119	29, 102, 118	3eqtrd 2660	1 |- ( ( M e. LMod /\ V e. ~P B /\ X e. V ) -> ( F ( linC ` M ) V ) = X )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   =/= wne 2794   A.wral 2912   {crab 2916   _Vcvv 3200   C_ wss 3574   ifcif 4086   ~Pcpw 4158   {csn 4177   |-> cmpt 4729   -->wf 5884   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   supp csupp 7295   ^m cmap 7857   Basecbs 15857  Scalarcsca 15944   .scvsca 15945   0gc0g 16100   gsum_g cgsu 16101   Mndcmnd 17294   Grpcgrp 17422   1rcur 18501   Ringcrg 18547   LModclmod 18863   linC clinc 42193

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-iin 4523  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-supp 7296  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-oadd 7564  df-er 7742  df-map 7859  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-fsupp 8276  df-oi 8415  df-card 8765  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-nn 11021  df-2 11079  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-seq 12802  df-hash 13118  df-ndx 15860  df-slot 15861  df-base 15863  df-sets 15864  df-ress 15865  df-plusg 15954  df-0g 16102  df-gsum 16103  df-mre 16246  df-mrc 16247  df-acs 16249  df-mgm 17242  df-sgrp 17284  df-mnd 17295  df-submnd 17336  df-grp 17425  df-mulg 17541  df-cntz 17750  df-cmn 18195  df-mgp 18490  df-ur 18502  df-ring 18549  df-lmod 18865  df-linc 42195

This theorem is referenced by:  lcoss  42225