Theorem m1modmmod 42316

Description: An integer decreased by 1 modulo a positive integer minus the integer modulo the same modulus is either -1 or the modulus minus 1. (Contributed by AV, 7-Jun-2020.)

Assertion

Ref	Expression
m1modmmod	|- ( ( A e. ZZ /\ N e. NN ) -> ( ( ( A - 1 ) mod N ) - ( A mod N ) ) = if ( ( A mod N ) = 0 , ( N - 1 ) , -u 1 ) )

Proof of Theorem m1modmmod

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oveq2 6658	. . . . 5 |- ( ( A mod N ) = 0 -> ( ( ( A - 1 ) mod N ) - ( A mod N ) ) = ( ( ( A - 1 ) mod N ) - 0 ) )
2	1	adantl 482	. . . 4 |- ( ( ( A e. ZZ /\ N e. NN ) /\ ( A mod N ) = 0 ) -> ( ( ( A - 1 ) mod N ) - ( A mod N ) ) = ( ( ( A - 1 ) mod N ) - 0 ) )
3		peano2zm 11420	. . . . . . . . . 10 |- ( A e. ZZ -> ( A - 1 ) e. ZZ )
4	3	zred 11482	. . . . . . . . 9 |- ( A e. ZZ -> ( A - 1 ) e. RR )
5	4	adantr 481	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. ZZ /\ N e. NN ) -> ( A - 1 ) e. RR )
6		nnrp 11842	. . . . . . . . 9 |- ( N e. NN -> N e. RR+ )
7	6	adantl 482	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. ZZ /\ N e. NN ) -> N e. RR+ )
8	5, 7	modcld 12674	. . . . . . 7 |- ( ( A e. ZZ /\ N e. NN ) -> ( ( A - 1 ) mod N ) e. RR )
9	8	recnd 10068	. . . . . 6 |- ( ( A e. ZZ /\ N e. NN ) -> ( ( A - 1 ) mod N ) e. CC )
10	9	subid1d 10381	. . . . 5 |- ( ( A e. ZZ /\ N e. NN ) -> ( ( ( A - 1 ) mod N ) - 0 ) = ( ( A - 1 ) mod N ) )
11	10	adantr 481	. . . 4 |- ( ( ( A e. ZZ /\ N e. NN ) /\ ( A mod N ) = 0 ) -> ( ( ( A - 1 ) mod N ) - 0 ) = ( ( A - 1 ) mod N ) )
12		mod0mul 42314	. . . . . 6 |- ( ( A e. ZZ /\ N e. NN ) -> ( ( A mod N ) = 0 -> E. x e. ZZ A = ( x x. N ) ) )
13	12	imp 445	. . . . 5 |- ( ( ( A e. ZZ /\ N e. NN ) /\ ( A mod N ) = 0 ) -> E. x e. ZZ A = ( x x. N ) )
14		oveq1 6657	. . . . . . . . . 10 |- ( A = ( x x. N ) -> ( A - 1 ) = ( ( x x. N ) - 1 ) )
15	14	oveq1d 6665	. . . . . . . . 9 |- ( A = ( x x. N ) -> ( ( A - 1 ) mod N ) = ( ( ( x x. N ) - 1 ) mod N ) )
16		zcn 11382	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( x e. ZZ -> x e. CC )
17		nncn 11028	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( N e. NN -> N e. CC )
18	17	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( A e. ZZ /\ N e. NN ) -> N e. CC )
19		mulcl 10020	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( x e. CC /\ N e. CC ) -> ( x x. N ) e. CC )
20	16, 18, 19	syl2anr 495	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( A e. ZZ /\ N e. NN ) /\ x e. ZZ ) -> ( x x. N ) e. CC )
21	18	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( A e. ZZ /\ N e. NN ) /\ x e. ZZ ) -> N e. CC )
22	20, 21	npcand 10396	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( A e. ZZ /\ N e. NN ) /\ x e. ZZ ) -> ( ( ( x x. N ) - N ) + N ) = ( x x. N ) )
23	22	eqcomd 2628	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( A e. ZZ /\ N e. NN ) /\ x e. ZZ ) -> ( x x. N ) = ( ( ( x x. N ) - N ) + N ) )
24	16	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( A e. ZZ /\ N e. NN ) /\ x e. ZZ ) -> x e. CC )
25	24, 21	mulsubfacd 10492	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( A e. ZZ /\ N e. NN ) /\ x e. ZZ ) -> ( ( x x. N ) - N ) = ( ( x - 1 ) x. N ) )
26	25	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( A e. ZZ /\ N e. NN ) /\ x e. ZZ ) -> ( ( ( x x. N ) - N ) + N ) = ( ( ( x - 1 ) x. N ) + N ) )
27	23, 26	eqtrd 2656	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( A e. ZZ /\ N e. NN ) /\ x e. ZZ ) -> ( x x. N ) = ( ( ( x - 1 ) x. N ) + N ) )
28	27	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( A e. ZZ /\ N e. NN ) /\ x e. ZZ ) -> ( ( x x. N ) - 1 ) = ( ( ( ( x - 1 ) x. N ) + N ) - 1 ) )
29		peano2zm 11420	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( x e. ZZ -> ( x - 1 ) e. ZZ )
30	29	zcnd 11483	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( x e. ZZ -> ( x - 1 ) e. CC )
31		mulcl 10020	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( x - 1 ) e. CC /\ N e. CC ) -> ( ( x - 1 ) x. N ) e. CC )
32	30, 18, 31	syl2anr 495	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( A e. ZZ /\ N e. NN ) /\ x e. ZZ ) -> ( ( x - 1 ) x. N ) e. CC )
33		1cnd 10056	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( A e. ZZ /\ N e. NN ) /\ x e. ZZ ) -> 1 e. CC )
34	32, 21, 33	addsubassd 10412	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( A e. ZZ /\ N e. NN ) /\ x e. ZZ ) -> ( ( ( ( x - 1 ) x. N ) + N ) - 1 ) = ( ( ( x - 1 ) x. N ) + ( N - 1 ) ) )
35	28, 34	eqtrd 2656	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( A e. ZZ /\ N e. NN ) /\ x e. ZZ ) -> ( ( x x. N ) - 1 ) = ( ( ( x - 1 ) x. N ) + ( N - 1 ) ) )
36	35	oveq1d 6665	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A e. ZZ /\ N e. NN ) /\ x e. ZZ ) -> ( ( ( x x. N ) - 1 ) mod N ) = ( ( ( ( x - 1 ) x. N ) + ( N - 1 ) ) mod N ) )
37		nnre 11027	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( N e. NN -> N e. RR )
38		peano2rem 10348	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( N e. RR -> ( N - 1 ) e. RR )
39	37, 38	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( N e. NN -> ( N - 1 ) e. RR )
40	39	recnd 10068	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( N e. NN -> ( N - 1 ) e. CC )
41	40	adantl 482	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( A e. ZZ /\ N e. NN ) -> ( N - 1 ) e. CC )
42	41	adantr 481	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( A e. ZZ /\ N e. NN ) /\ x e. ZZ ) -> ( N - 1 ) e. CC )
43	32, 42	addcomd 10238	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( A e. ZZ /\ N e. NN ) /\ x e. ZZ ) -> ( ( ( x - 1 ) x. N ) + ( N - 1 ) ) = ( ( N - 1 ) + ( ( x - 1 ) x. N ) ) )
44	43	oveq1d 6665	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A e. ZZ /\ N e. NN ) /\ x e. ZZ ) -> ( ( ( ( x - 1 ) x. N ) + ( N - 1 ) ) mod N ) = ( ( ( N - 1 ) + ( ( x - 1 ) x. N ) ) mod N ) )
45	39	adantl 482	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( A e. ZZ /\ N e. NN ) -> ( N - 1 ) e. RR )
46	45	adantr 481	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( A e. ZZ /\ N e. NN ) /\ x e. ZZ ) -> ( N - 1 ) e. RR )
47	7	adantr 481	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( A e. ZZ /\ N e. NN ) /\ x e. ZZ ) -> N e. RR+ )
48	29	adantl 482	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( A e. ZZ /\ N e. NN ) /\ x e. ZZ ) -> ( x - 1 ) e. ZZ )
49		modcyc 12705	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( N - 1 ) e. RR /\ N e. RR+ /\ ( x - 1 ) e. ZZ ) -> ( ( ( N - 1 ) + ( ( x - 1 ) x. N ) ) mod N ) = ( ( N - 1 ) mod N ) )
50	46, 47, 48, 49	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( A e. ZZ /\ N e. NN ) /\ x e. ZZ ) -> ( ( ( N - 1 ) + ( ( x - 1 ) x. N ) ) mod N ) = ( ( N - 1 ) mod N ) )
51	39, 6	jca 554	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( N e. NN -> ( ( N - 1 ) e. RR /\ N e. RR+ ) )
52	51	adantl 482	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( A e. ZZ /\ N e. NN ) -> ( ( N - 1 ) e. RR /\ N e. RR+ ) )
53	52	adantr 481	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( A e. ZZ /\ N e. NN ) /\ x e. ZZ ) -> ( ( N - 1 ) e. RR /\ N e. RR+ ) )
54		nnm1ge0 11445	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( N e. NN -> 0 <_ ( N - 1 ) )
55	54	adantl 482	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( A e. ZZ /\ N e. NN ) -> 0 <_ ( N - 1 ) )
56	55	adantr 481	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( A e. ZZ /\ N e. NN ) /\ x e. ZZ ) -> 0 <_ ( N - 1 ) )
57	37	ltm1d 10956	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( N e. NN -> ( N - 1 ) < N )
58	57	adantl 482	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( A e. ZZ /\ N e. NN ) -> ( N - 1 ) < N )
59	58	adantr 481	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( A e. ZZ /\ N e. NN ) /\ x e. ZZ ) -> ( N - 1 ) < N )
60		modid 12695	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( N - 1 ) e. RR /\ N e. RR+ ) /\ ( 0 <_ ( N - 1 ) /\ ( N - 1 ) < N ) ) -> ( ( N - 1 ) mod N ) = ( N - 1 ) )
61	53, 56, 59, 60	syl12anc 1324	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( A e. ZZ /\ N e. NN ) /\ x e. ZZ ) -> ( ( N - 1 ) mod N ) = ( N - 1 ) )
62	50, 61	eqtrd 2656	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A e. ZZ /\ N e. NN ) /\ x e. ZZ ) -> ( ( ( N - 1 ) + ( ( x - 1 ) x. N ) ) mod N ) = ( N - 1 ) )
63	36, 44, 62	3eqtrd 2660	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A e. ZZ /\ N e. NN ) /\ x e. ZZ ) -> ( ( ( x x. N ) - 1 ) mod N ) = ( N - 1 ) )
64	15, 63	sylan9eqr 2678	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( A e. ZZ /\ N e. NN ) /\ x e. ZZ ) /\ A = ( x x. N ) ) -> ( ( A - 1 ) mod N ) = ( N - 1 ) )
65	64	ex 450	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. ZZ /\ N e. NN ) /\ x e. ZZ ) -> ( A = ( x x. N ) -> ( ( A - 1 ) mod N ) = ( N - 1 ) ) )
66	65	rexlimdva 3031	. . . . . 6 |- ( ( A e. ZZ /\ N e. NN ) -> ( E. x e. ZZ A = ( x x. N ) -> ( ( A - 1 ) mod N ) = ( N - 1 ) ) )
67	66	adantr 481	. . . . 5 |- ( ( ( A e. ZZ /\ N e. NN ) /\ ( A mod N ) = 0 ) -> ( E. x e. ZZ A = ( x x. N ) -> ( ( A - 1 ) mod N ) = ( N - 1 ) ) )
68	13, 67	mpd 15	. . . 4 |- ( ( ( A e. ZZ /\ N e. NN ) /\ ( A mod N ) = 0 ) -> ( ( A - 1 ) mod N ) = ( N - 1 ) )
69	2, 11, 68	3eqtrrd 2661	. . 3 |- ( ( ( A e. ZZ /\ N e. NN ) /\ ( A mod N ) = 0 ) -> ( N - 1 ) = ( ( ( A - 1 ) mod N ) - ( A mod N ) ) )
70		df-ne 2795	. . . . 5 |- ( ( A mod N ) =/= 0 <-> -. ( A mod N ) = 0 )
71		modn0mul 42315	. . . . . 6 |- ( ( A e. ZZ /\ N e. NN ) -> ( ( A mod N ) =/= 0 -> E. x e. ZZ E. y e. ( 1..^ N ) A = ( ( x x. N ) + y ) ) )
72		oveq1 6657	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( A = ( ( x x. N ) + y ) -> ( A - 1 ) = ( ( ( x x. N ) + y ) - 1 ) )
73	72	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . . 12 |- ( A = ( ( x x. N ) + y ) -> ( ( A - 1 ) mod N ) = ( ( ( ( x x. N ) + y ) - 1 ) mod N ) )
74		oveq1 6657	. . . . . . . . . . . 12 |- ( A = ( ( x x. N ) + y ) -> ( A mod N ) = ( ( ( x x. N ) + y ) mod N ) )
75	73, 74	oveq12d 6668	. . . . . . . . . . 11 |- ( A = ( ( x x. N ) + y ) -> ( ( ( A - 1 ) mod N ) - ( A mod N ) ) = ( ( ( ( ( x x. N ) + y ) - 1 ) mod N ) - ( ( ( x x. N ) + y ) mod N ) ) )
76	16	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( x e. ZZ /\ y e. ( 1..^ N ) ) -> x e. CC )
77	76, 18, 19	syl2anr 495	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( A e. ZZ /\ N e. NN ) /\ ( x e. ZZ /\ y e. ( 1..^ N ) ) ) -> ( x x. N ) e. CC )
78		elfzoelz 12470	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( y e. ( 1..^ N ) -> y e. ZZ )
79	78	zcnd 11483	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( y e. ( 1..^ N ) -> y e. CC )
80	79	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( x e. ZZ /\ y e. ( 1..^ N ) ) -> y e. CC )
81	80	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( A e. ZZ /\ N e. NN ) /\ ( x e. ZZ /\ y e. ( 1..^ N ) ) ) -> y e. CC )
82		1cnd 10056	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( A e. ZZ /\ N e. NN ) /\ ( x e. ZZ /\ y e. ( 1..^ N ) ) ) -> 1 e. CC )
83	77, 81, 82	addsubassd 10412	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( A e. ZZ /\ N e. NN ) /\ ( x e. ZZ /\ y e. ( 1..^ N ) ) ) -> ( ( ( x x. N ) + y ) - 1 ) = ( ( x x. N ) + ( y - 1 ) ) )
84		peano2zm 11420	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( y e. ZZ -> ( y - 1 ) e. ZZ )
85	78, 84	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( y e. ( 1..^ N ) -> ( y - 1 ) e. ZZ )
86	85	zcnd 11483	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( y e. ( 1..^ N ) -> ( y - 1 ) e. CC )
87	86	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( x e. ZZ /\ y e. ( 1..^ N ) ) -> ( y - 1 ) e. CC )
88	87	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( A e. ZZ /\ N e. NN ) /\ ( x e. ZZ /\ y e. ( 1..^ N ) ) ) -> ( y - 1 ) e. CC )
89	77, 88	addcomd 10238	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( A e. ZZ /\ N e. NN ) /\ ( x e. ZZ /\ y e. ( 1..^ N ) ) ) -> ( ( x x. N ) + ( y - 1 ) ) = ( ( y - 1 ) + ( x x. N ) ) )
90	83, 89	eqtrd 2656	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( A e. ZZ /\ N e. NN ) /\ ( x e. ZZ /\ y e. ( 1..^ N ) ) ) -> ( ( ( x x. N ) + y ) - 1 ) = ( ( y - 1 ) + ( x x. N ) ) )
91	90	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( A e. ZZ /\ N e. NN ) /\ ( x e. ZZ /\ y e. ( 1..^ N ) ) ) -> ( ( ( ( x x. N ) + y ) - 1 ) mod N ) = ( ( ( y - 1 ) + ( x x. N ) ) mod N ) )
92	85	zred 11482	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( y e. ( 1..^ N ) -> ( y - 1 ) e. RR )
93	92	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( x e. ZZ /\ y e. ( 1..^ N ) ) -> ( y - 1 ) e. RR )
94	93	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( A e. ZZ /\ N e. NN ) /\ ( x e. ZZ /\ y e. ( 1..^ N ) ) ) -> ( y - 1 ) e. RR )
95	7	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( A e. ZZ /\ N e. NN ) /\ ( x e. ZZ /\ y e. ( 1..^ N ) ) ) -> N e. RR+ )
96		simprl 794	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( A e. ZZ /\ N e. NN ) /\ ( x e. ZZ /\ y e. ( 1..^ N ) ) ) -> x e. ZZ )
97		modcyc 12705	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( y - 1 ) e. RR /\ N e. RR+ /\ x e. ZZ ) -> ( ( ( y - 1 ) + ( x x. N ) ) mod N ) = ( ( y - 1 ) mod N ) )
98	94, 95, 96, 97	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( A e. ZZ /\ N e. NN ) /\ ( x e. ZZ /\ y e. ( 1..^ N ) ) ) -> ( ( ( y - 1 ) + ( x x. N ) ) mod N ) = ( ( y - 1 ) mod N ) )
99	91, 98	eqtrd 2656	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( A e. ZZ /\ N e. NN ) /\ ( x e. ZZ /\ y e. ( 1..^ N ) ) ) -> ( ( ( ( x x. N ) + y ) - 1 ) mod N ) = ( ( y - 1 ) mod N ) )
100	77, 81	addcomd 10238	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( A e. ZZ /\ N e. NN ) /\ ( x e. ZZ /\ y e. ( 1..^ N ) ) ) -> ( ( x x. N ) + y ) = ( y + ( x x. N ) ) )
101	100	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( A e. ZZ /\ N e. NN ) /\ ( x e. ZZ /\ y e. ( 1..^ N ) ) ) -> ( ( ( x x. N ) + y ) mod N ) = ( ( y + ( x x. N ) ) mod N ) )
102	78	zred 11482	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( y e. ( 1..^ N ) -> y e. RR )
103	102	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( x e. ZZ /\ y e. ( 1..^ N ) ) -> y e. RR )
104	103	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( A e. ZZ /\ N e. NN ) /\ ( x e. ZZ /\ y e. ( 1..^ N ) ) ) -> y e. RR )
105		modcyc 12705	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( y e. RR /\ N e. RR+ /\ x e. ZZ ) -> ( ( y + ( x x. N ) ) mod N ) = ( y mod N ) )
106	104, 95, 96, 105	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( A e. ZZ /\ N e. NN ) /\ ( x e. ZZ /\ y e. ( 1..^ N ) ) ) -> ( ( y + ( x x. N ) ) mod N ) = ( y mod N ) )
107	7, 103	anim12ci 591	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( A e. ZZ /\ N e. NN ) /\ ( x e. ZZ /\ y e. ( 1..^ N ) ) ) -> ( y e. RR /\ N e. RR+ ) )
108		elfzole1 12478	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( y e. ( 1..^ N ) -> 1 <_ y )
109		0lt1 10550	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- 0 < 1
110		0red 10041	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( y e. ( 1..^ N ) -> 0 e. RR )
111		1red 10055	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( y e. ( 1..^ N ) -> 1 e. RR )
112		ltleletr 10130	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( 0 e. RR /\ 1 e. RR /\ y e. RR ) -> ( ( 0 < 1 /\ 1 <_ y ) -> 0 <_ y ) )
113	110, 111, 102, 112	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( y e. ( 1..^ N ) -> ( ( 0 < 1 /\ 1 <_ y ) -> 0 <_ y ) )
114	109, 113	mpani 712	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( y e. ( 1..^ N ) -> ( 1 <_ y -> 0 <_ y ) )
115	108, 114	mpd 15	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( y e. ( 1..^ N ) -> 0 <_ y )
116		elfzolt2 12479	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( y e. ( 1..^ N ) -> y < N )
117	115, 116	jca 554	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( y e. ( 1..^ N ) -> ( 0 <_ y /\ y < N ) )
118	117	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( x e. ZZ /\ y e. ( 1..^ N ) ) -> ( 0 <_ y /\ y < N ) )
119	118	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( A e. ZZ /\ N e. NN ) /\ ( x e. ZZ /\ y e. ( 1..^ N ) ) ) -> ( 0 <_ y /\ y < N ) )
120	107, 119	jca 554	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( A e. ZZ /\ N e. NN ) /\ ( x e. ZZ /\ y e. ( 1..^ N ) ) ) -> ( ( y e. RR /\ N e. RR+ ) /\ ( 0 <_ y /\ y < N ) ) )
121		modid 12695	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( y e. RR /\ N e. RR+ ) /\ ( 0 <_ y /\ y < N ) ) -> ( y mod N ) = y )
122	120, 121	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( A e. ZZ /\ N e. NN ) /\ ( x e. ZZ /\ y e. ( 1..^ N ) ) ) -> ( y mod N ) = y )
123	101, 106, 122	3eqtrd 2660	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( A e. ZZ /\ N e. NN ) /\ ( x e. ZZ /\ y e. ( 1..^ N ) ) ) -> ( ( ( x x. N ) + y ) mod N ) = y )
124	99, 123	oveq12d 6668	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( A e. ZZ /\ N e. NN ) /\ ( x e. ZZ /\ y e. ( 1..^ N ) ) ) -> ( ( ( ( ( x x. N ) + y ) - 1 ) mod N ) - ( ( ( x x. N ) + y ) mod N ) ) = ( ( ( y - 1 ) mod N ) - y ) )
125	75, 124	sylan9eqr 2678	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( A e. ZZ /\ N e. NN ) /\ ( x e. ZZ /\ y e. ( 1..^ N ) ) ) /\ A = ( ( x x. N ) + y ) ) -> ( ( ( A - 1 ) mod N ) - ( A mod N ) ) = ( ( ( y - 1 ) mod N ) - y ) )
126	7, 93	anim12ci 591	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( A e. ZZ /\ N e. NN ) /\ ( x e. ZZ /\ y e. ( 1..^ N ) ) ) -> ( ( y - 1 ) e. RR /\ N e. RR+ ) )
127		elfzo2 12473	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( y e. ( 1..^ N ) <-> ( y e. ( ZZ>= ` 1 ) /\ N e. ZZ /\ y < N ) )
128		eluz2 11693	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( y e. ( ZZ>= ` 1 ) <-> ( 1 e. ZZ /\ y e. ZZ /\ 1 <_ y ) )
129		zre 11381	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( y e. ZZ -> y e. RR )
130		zre 11381	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( 1 e. ZZ -> 1 e. RR )
131		subge0 10541	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( y e. RR /\ 1 e. RR ) -> ( 0 <_ ( y - 1 ) <-> 1 <_ y ) )
132	129, 130, 131	syl2anr 495	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( 1 e. ZZ /\ y e. ZZ ) -> ( 0 <_ ( y - 1 ) <-> 1 <_ y ) )
133	132	biimp3ar 1433	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( 1 e. ZZ /\ y e. ZZ /\ 1 <_ y ) -> 0 <_ ( y - 1 ) )
134	128, 133	sylbi 207	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( y e. ( ZZ>= ` 1 ) -> 0 <_ ( y - 1 ) )
135	134	3ad2ant1 1082	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( y e. ( ZZ>= ` 1 ) /\ N e. ZZ /\ y < N ) -> 0 <_ ( y - 1 ) )
136	127, 135	sylbi 207	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( y e. ( 1..^ N ) -> 0 <_ ( y - 1 ) )
137	136	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( x e. ZZ /\ y e. ( 1..^ N ) ) -> 0 <_ ( y - 1 ) )
138	137	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( A e. ZZ /\ N e. NN ) /\ ( x e. ZZ /\ y e. ( 1..^ N ) ) ) -> 0 <_ ( y - 1 ) )
139		eluzelz 11697	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( y e. ( ZZ>= ` 1 ) -> y e. ZZ )
140	139	zred 11482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( y e. ( ZZ>= ` 1 ) -> y e. RR )
141		zre 11381	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( N e. ZZ -> N e. RR )
142		ltle 10126	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( y e. RR /\ N e. RR ) -> ( y < N -> y <_ N ) )
143	140, 141, 142	syl2an 494	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( y e. ( ZZ>= ` 1 ) /\ N e. ZZ ) -> ( y < N -> y <_ N ) )
144	143	3impia 1261	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( y e. ( ZZ>= ` 1 ) /\ N e. ZZ /\ y < N ) -> y <_ N )
145	139	anim1i 592	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( y e. ( ZZ>= ` 1 ) /\ N e. ZZ ) -> ( y e. ZZ /\ N e. ZZ ) )
146	145	3adant3 1081	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( y e. ( ZZ>= ` 1 ) /\ N e. ZZ /\ y < N ) -> ( y e. ZZ /\ N e. ZZ ) )
147		zlem1lt 11429	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( y e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( y <_ N <-> ( y - 1 ) < N ) )
148	146, 147	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( y e. ( ZZ>= ` 1 ) /\ N e. ZZ /\ y < N ) -> ( y <_ N <-> ( y - 1 ) < N ) )
149	144, 148	mpbid 222	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( y e. ( ZZ>= ` 1 ) /\ N e. ZZ /\ y < N ) -> ( y - 1 ) < N )
150	149	a1d 25	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( y e. ( ZZ>= ` 1 ) /\ N e. ZZ /\ y < N ) -> ( ( A e. ZZ /\ N e. NN ) -> ( y - 1 ) < N ) )
151	127, 150	sylbi 207	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( y e. ( 1..^ N ) -> ( ( A e. ZZ /\ N e. NN ) -> ( y - 1 ) < N ) )
152	151	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( x e. ZZ /\ y e. ( 1..^ N ) ) -> ( ( A e. ZZ /\ N e. NN ) -> ( y - 1 ) < N ) )
153	152	impcom 446	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( A e. ZZ /\ N e. NN ) /\ ( x e. ZZ /\ y e. ( 1..^ N ) ) ) -> ( y - 1 ) < N )
154		modid 12695	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( y - 1 ) e. RR /\ N e. RR+ ) /\ ( 0 <_ ( y - 1 ) /\ ( y - 1 ) < N ) ) -> ( ( y - 1 ) mod N ) = ( y - 1 ) )
155	126, 138, 153, 154	syl12anc 1324	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( A e. ZZ /\ N e. NN ) /\ ( x e. ZZ /\ y e. ( 1..^ N ) ) ) -> ( ( y - 1 ) mod N ) = ( y - 1 ) )
156	155	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( A e. ZZ /\ N e. NN ) /\ ( x e. ZZ /\ y e. ( 1..^ N ) ) ) -> ( ( ( y - 1 ) mod N ) - y ) = ( ( y - 1 ) - y ) )
157		1cnd 10056	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( y e. ( 1..^ N ) -> 1 e. CC )
158	79, 157, 79	sub32d 10424	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( y e. ( 1..^ N ) -> ( ( y - 1 ) - y ) = ( ( y - y ) - 1 ) )
159	79	subidd 10380	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( y e. ( 1..^ N ) -> ( y - y ) = 0 )
160	159	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( y e. ( 1..^ N ) -> ( ( y - y ) - 1 ) = ( 0 - 1 ) )
161	158, 160	eqtrd 2656	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( y e. ( 1..^ N ) -> ( ( y - 1 ) - y ) = ( 0 - 1 ) )
162	161	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( x e. ZZ /\ y e. ( 1..^ N ) ) -> ( ( y - 1 ) - y ) = ( 0 - 1 ) )
163	162	adantl 482	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( A e. ZZ /\ N e. NN ) /\ ( x e. ZZ /\ y e. ( 1..^ N ) ) ) -> ( ( y - 1 ) - y ) = ( 0 - 1 ) )
164		df-neg 10269	. . . . . . . . . . . . 13 |- -u 1 = ( 0 - 1 )
165	163, 164	syl6eqr 2674	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( A e. ZZ /\ N e. NN ) /\ ( x e. ZZ /\ y e. ( 1..^ N ) ) ) -> ( ( y - 1 ) - y ) = -u 1 )
166	156, 165	eqtrd 2656	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( A e. ZZ /\ N e. NN ) /\ ( x e. ZZ /\ y e. ( 1..^ N ) ) ) -> ( ( ( y - 1 ) mod N ) - y ) = -u 1 )
167	166	adantr 481	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( A e. ZZ /\ N e. NN ) /\ ( x e. ZZ /\ y e. ( 1..^ N ) ) ) /\ A = ( ( x x. N ) + y ) ) -> ( ( ( y - 1 ) mod N ) - y ) = -u 1 )
168	125, 167	eqtrd 2656	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( A e. ZZ /\ N e. NN ) /\ ( x e. ZZ /\ y e. ( 1..^ N ) ) ) /\ A = ( ( x x. N ) + y ) ) -> ( ( ( A - 1 ) mod N ) - ( A mod N ) ) = -u 1 )
169	168	eqcomd 2628	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( A e. ZZ /\ N e. NN ) /\ ( x e. ZZ /\ y e. ( 1..^ N ) ) ) /\ A = ( ( x x. N ) + y ) ) -> -u 1 = ( ( ( A - 1 ) mod N ) - ( A mod N ) ) )
170	169	ex 450	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. ZZ /\ N e. NN ) /\ ( x e. ZZ /\ y e. ( 1..^ N ) ) ) -> ( A = ( ( x x. N ) + y ) -> -u 1 = ( ( ( A - 1 ) mod N ) - ( A mod N ) ) ) )
171	170	rexlimdvva 3038	. . . . . 6 |- ( ( A e. ZZ /\ N e. NN ) -> ( E. x e. ZZ E. y e. ( 1..^ N ) A = ( ( x x. N ) + y ) -> -u 1 = ( ( ( A - 1 ) mod N ) - ( A mod N ) ) ) )
172	71, 171	syld 47	. . . . 5 |- ( ( A e. ZZ /\ N e. NN ) -> ( ( A mod N ) =/= 0 -> -u 1 = ( ( ( A - 1 ) mod N ) - ( A mod N ) ) ) )
173	70, 172	syl5bir 233	. . . 4 |- ( ( A e. ZZ /\ N e. NN ) -> ( -. ( A mod N ) = 0 -> -u 1 = ( ( ( A - 1 ) mod N ) - ( A mod N ) ) ) )
174	173	imp 445	. . 3 |- ( ( ( A e. ZZ /\ N e. NN ) /\ -. ( A mod N ) = 0 ) -> -u 1 = ( ( ( A - 1 ) mod N ) - ( A mod N ) ) )
175	69, 174	ifeqda 4121	. 2 |- ( ( A e. ZZ /\ N e. NN ) -> if ( ( A mod N ) = 0 , ( N - 1 ) , -u 1 ) = ( ( ( A - 1 ) mod N ) - ( A mod N ) ) )
176	175	eqcomd 2628	1 |- ( ( A e. ZZ /\ N e. NN ) -> ( ( ( A - 1 ) mod N ) - ( A mod N ) ) = if ( ( A mod N ) = 0 , ( N - 1 ) , -u 1 ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   =/= wne 2794   E.wrex 2913   ifcif 4086   class class class wbr 4653   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   CCcc 9934   RRcr 9935   0cc0 9936   1c1 9937   + caddc 9939   x. cmul 9941   < clt 10074   <_ cle 10075   - cmin 10266   -ucneg 10267   NNcn 11020   ZZcz 11377   ZZ>=cuz 11687   RR+crp 11832  ..^cfzo 12465   mod cmo 12668

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-sup 8348  df-inf 8349  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-rp 11833  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-fl 12593  df-mod 12669

This theorem is referenced by:  dignn0flhalflem1  42409