Theorem dignn0flhalflem1 42409

Description: Lemma 1 for dignn0flhalf 42412. (Contributed by AV, 7-Jun-2012.)

Assertion

Ref	Expression
dignn0flhalflem1	|- ( ( A e. ZZ /\ ( ( A - 1 ) / 2 ) e. NN /\ N e. NN ) -> ( |_ ` ( ( A / ( 2 ^ N ) ) - 1 ) ) < ( |_ ` ( ( A - 1 ) / ( 2 ^ N ) ) ) )

Proof of Theorem dignn0flhalflem1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zre 11381	. . . . . 6 |- ( A e. ZZ -> A e. RR )
2	1	3ad2ant1 1082	. . . . 5 |- ( ( A e. ZZ /\ ( ( A - 1 ) / 2 ) e. NN /\ N e. NN ) -> A e. RR )
3		2rp 11837	. . . . . . . . 9 |- 2 e. RR+
4	3	a1i 11	. . . . . . . 8 |- ( N e. NN -> 2 e. RR+ )
5		nnz 11399	. . . . . . . 8 |- ( N e. NN -> N e. ZZ )
6	4, 5	rpexpcld 13032	. . . . . . 7 |- ( N e. NN -> ( 2 ^ N ) e. RR+ )
7	6	rpred 11872	. . . . . 6 |- ( N e. NN -> ( 2 ^ N ) e. RR )
8	7	3ad2ant3 1084	. . . . 5 |- ( ( A e. ZZ /\ ( ( A - 1 ) / 2 ) e. NN /\ N e. NN ) -> ( 2 ^ N ) e. RR )
9	2, 8	resubcld 10458	. . . 4 |- ( ( A e. ZZ /\ ( ( A - 1 ) / 2 ) e. NN /\ N e. NN ) -> ( A - ( 2 ^ N ) ) e. RR )
10	6	3ad2ant3 1084	. . . . 5 |- ( ( A e. ZZ /\ ( ( A - 1 ) / 2 ) e. NN /\ N e. NN ) -> ( 2 ^ N ) e. RR+ )
11	9, 10	modcld 12674	. . . 4 |- ( ( A e. ZZ /\ ( ( A - 1 ) / 2 ) e. NN /\ N e. NN ) -> ( ( A - ( 2 ^ N ) ) mod ( 2 ^ N ) ) e. RR )
12	9, 11	resubcld 10458	. . 3 |- ( ( A e. ZZ /\ ( ( A - 1 ) / 2 ) e. NN /\ N e. NN ) -> ( ( A - ( 2 ^ N ) ) - ( ( A - ( 2 ^ N ) ) mod ( 2 ^ N ) ) ) e. RR )
13		peano2zm 11420	. . . . . 6 |- ( A e. ZZ -> ( A - 1 ) e. ZZ )
14	13	zred 11482	. . . . 5 |- ( A e. ZZ -> ( A - 1 ) e. RR )
15	14	3ad2ant1 1082	. . . 4 |- ( ( A e. ZZ /\ ( ( A - 1 ) / 2 ) e. NN /\ N e. NN ) -> ( A - 1 ) e. RR )
16	15, 10	modcld 12674	. . . 4 |- ( ( A e. ZZ /\ ( ( A - 1 ) / 2 ) e. NN /\ N e. NN ) -> ( ( A - 1 ) mod ( 2 ^ N ) ) e. RR )
17	15, 16	resubcld 10458	. . 3 |- ( ( A e. ZZ /\ ( ( A - 1 ) / 2 ) e. NN /\ N e. NN ) -> ( ( A - 1 ) - ( ( A - 1 ) mod ( 2 ^ N ) ) ) e. RR )
18		1red 10055	. . . . . 6 |- ( ( A e. ZZ /\ ( ( A - 1 ) / 2 ) e. NN /\ N e. NN ) -> 1 e. RR )
19	18, 16	readdcld 10069	. . . . 5 |- ( ( A e. ZZ /\ ( ( A - 1 ) / 2 ) e. NN /\ N e. NN ) -> ( 1 + ( ( A - 1 ) mod ( 2 ^ N ) ) ) e. RR )
20	8, 11	readdcld 10069	. . . . 5 |- ( ( A e. ZZ /\ ( ( A - 1 ) / 2 ) e. NN /\ N e. NN ) -> ( ( 2 ^ N ) + ( ( A - ( 2 ^ N ) ) mod ( 2 ^ N ) ) ) e. RR )
21		2nn 11185	. . . . . . . . . . . . . 14 |- 2 e. NN
22	21	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( N e. NN -> 2 e. NN )
23		nnnn0 11299	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( N e. NN -> N e. NN0 )
24	22, 23	nnexpcld 13030	. . . . . . . . . . . 12 |- ( N e. NN -> ( 2 ^ N ) e. NN )
25	24	anim2i 593	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( A e. ZZ /\ N e. NN ) -> ( A e. ZZ /\ ( 2 ^ N ) e. NN ) )
26	25	3adant2 1080	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A e. ZZ /\ ( ( A - 1 ) / 2 ) e. NN /\ N e. NN ) -> ( A e. ZZ /\ ( 2 ^ N ) e. NN ) )
27		m1modmmod 42316	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A e. ZZ /\ ( 2 ^ N ) e. NN ) -> ( ( ( A - 1 ) mod ( 2 ^ N ) ) - ( A mod ( 2 ^ N ) ) ) = if ( ( A mod ( 2 ^ N ) ) = 0 , ( ( 2 ^ N ) - 1 ) , -u 1 ) )
28	26, 27	syl 17	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. ZZ /\ ( ( A - 1 ) / 2 ) e. NN /\ N e. NN ) -> ( ( ( A - 1 ) mod ( 2 ^ N ) ) - ( A mod ( 2 ^ N ) ) ) = if ( ( A mod ( 2 ^ N ) ) = 0 , ( ( 2 ^ N ) - 1 ) , -u 1 ) )
29		nnz 11399	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( A - 1 ) / 2 ) e. NN -> ( ( A - 1 ) / 2 ) e. ZZ )
30	29	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( A e. ZZ /\ N e. NN ) -> ( ( ( A - 1 ) / 2 ) e. NN -> ( ( A - 1 ) / 2 ) e. ZZ ) )
31		zcn 11382	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( A e. ZZ -> A e. CC )
32		xp1d2m1eqxm1d2 11286	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( A e. CC -> ( ( ( A + 1 ) / 2 ) - 1 ) = ( ( A - 1 ) / 2 ) )
33	32	eqcomd 2628	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( A e. CC -> ( ( A - 1 ) / 2 ) = ( ( ( A + 1 ) / 2 ) - 1 ) )
34	31, 33	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( A e. ZZ -> ( ( A - 1 ) / 2 ) = ( ( ( A + 1 ) / 2 ) - 1 ) )
35	34	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( A e. ZZ /\ N e. NN ) -> ( ( A - 1 ) / 2 ) = ( ( ( A + 1 ) / 2 ) - 1 ) )
36	35	eleq1d 2686	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( A e. ZZ /\ N e. NN ) -> ( ( ( A - 1 ) / 2 ) e. ZZ <-> ( ( ( A + 1 ) / 2 ) - 1 ) e. ZZ ) )
37		peano2z 11418	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( A + 1 ) / 2 ) - 1 ) e. ZZ -> ( ( ( ( A + 1 ) / 2 ) - 1 ) + 1 ) e. ZZ )
38	31	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( A e. ZZ /\ N e. NN ) -> A e. CC )
39		1cnd 10056	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( A e. ZZ /\ N e. NN ) -> 1 e. CC )
40	38, 39	addcld 10059	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( A e. ZZ /\ N e. NN ) -> ( A + 1 ) e. CC )
41	40	halfcld 11277	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( A e. ZZ /\ N e. NN ) -> ( ( A + 1 ) / 2 ) e. CC )
42	41, 39	npcand 10396	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( A e. ZZ /\ N e. NN ) -> ( ( ( ( A + 1 ) / 2 ) - 1 ) + 1 ) = ( ( A + 1 ) / 2 ) )
43	42	eleq1d 2686	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( A e. ZZ /\ N e. NN ) -> ( ( ( ( ( A + 1 ) / 2 ) - 1 ) + 1 ) e. ZZ <-> ( ( A + 1 ) / 2 ) e. ZZ ) )
44	37, 43	syl5ib 234	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( A e. ZZ /\ N e. NN ) -> ( ( ( ( A + 1 ) / 2 ) - 1 ) e. ZZ -> ( ( A + 1 ) / 2 ) e. ZZ ) )
45	36, 44	sylbid 230	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( A e. ZZ /\ N e. NN ) -> ( ( ( A - 1 ) / 2 ) e. ZZ -> ( ( A + 1 ) / 2 ) e. ZZ ) )
46		mod0 12675	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( A e. RR /\ ( 2 ^ N ) e. RR+ ) -> ( ( A mod ( 2 ^ N ) ) = 0 <-> ( A / ( 2 ^ N ) ) e. ZZ ) )
47	1, 6, 46	syl2an 494	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( A e. ZZ /\ N e. NN ) -> ( ( A mod ( 2 ^ N ) ) = 0 <-> ( A / ( 2 ^ N ) ) e. ZZ ) )
48	22	nnzd 11481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( N e. NN -> 2 e. ZZ )
49		nnm1nn0 11334	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( N e. NN -> ( N - 1 ) e. NN0 )
50		zexpcl 12875	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( 2 e. ZZ /\ ( N - 1 ) e. NN0 ) -> ( 2 ^ ( N - 1 ) ) e. ZZ )
51	48, 49, 50	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( N e. NN -> ( 2 ^ ( N - 1 ) ) e. ZZ )
52	51	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( A e. ZZ /\ N e. NN ) -> ( 2 ^ ( N - 1 ) ) e. ZZ )
53	52	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( A e. ZZ /\ N e. NN ) /\ ( A / ( 2 ^ N ) ) e. ZZ ) -> ( 2 ^ ( N - 1 ) ) e. ZZ )
54		simpr 477	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( A e. ZZ /\ N e. NN ) /\ ( A / ( 2 ^ N ) ) e. ZZ ) -> ( A / ( 2 ^ N ) ) e. ZZ )
55	53, 54	zmulcld 11488	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( A e. ZZ /\ N e. NN ) /\ ( A / ( 2 ^ N ) ) e. ZZ ) -> ( ( 2 ^ ( N - 1 ) ) x. ( A / ( 2 ^ N ) ) ) e. ZZ )
56	55	ex 450	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( A e. ZZ /\ N e. NN ) -> ( ( A / ( 2 ^ N ) ) e. ZZ -> ( ( 2 ^ ( N - 1 ) ) x. ( A / ( 2 ^ N ) ) ) e. ZZ ) )
57	5	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 |- ( ( A e. ZZ /\ N e. NN ) -> N e. ZZ )
58	57	zcnd 11483	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- ( ( A e. ZZ /\ N e. NN ) -> N e. CC )
59	58, 39	negsubd 10398	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( ( A e. ZZ /\ N e. NN ) -> ( N + -u 1 ) = ( N - 1 ) )
60	59	eqcomd 2628	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ( A e. ZZ /\ N e. NN ) -> ( N - 1 ) = ( N + -u 1 ) )
61	60	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( A e. ZZ /\ N e. NN ) -> ( ( N - 1 ) - N ) = ( ( N + -u 1 ) - N ) )
62	39	negcld 10379	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ( A e. ZZ /\ N e. NN ) -> -u 1 e. CC )
63	58, 62	pncan2d 10394	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( A e. ZZ /\ N e. NN ) -> ( ( N + -u 1 ) - N ) = -u 1 )
64	61, 63	eqtrd 2656	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( A e. ZZ /\ N e. NN ) -> ( ( N - 1 ) - N ) = -u 1 )
65	64	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( A e. ZZ /\ N e. NN ) -> ( 2 ^ ( ( N - 1 ) - N ) ) = ( 2 ^ -u 1 ) )
66		2cnd 11093	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( A e. ZZ /\ N e. NN ) -> 2 e. CC )
67		2ne0 11113	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- 2 =/= 0
68	67	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( A e. ZZ /\ N e. NN ) -> 2 =/= 0 )
69		1zzd 11408	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( N e. NN -> 1 e. ZZ )
70	5, 69	zsubcld 11487	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( N e. NN -> ( N - 1 ) e. ZZ )
71	70, 5	jca 554	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( N e. NN -> ( ( N - 1 ) e. ZZ /\ N e. ZZ ) )
72	71	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( A e. ZZ /\ N e. NN ) -> ( ( N - 1 ) e. ZZ /\ N e. ZZ ) )
73		expsub 12908	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( ( 2 e. CC /\ 2 =/= 0 ) /\ ( ( N - 1 ) e. ZZ /\ N e. ZZ ) ) -> ( 2 ^ ( ( N - 1 ) - N ) ) = ( ( 2 ^ ( N - 1 ) ) / ( 2 ^ N ) ) )
74	66, 68, 72, 73	syl21anc 1325	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( A e. ZZ /\ N e. NN ) -> ( 2 ^ ( ( N - 1 ) - N ) ) = ( ( 2 ^ ( N - 1 ) ) / ( 2 ^ N ) ) )
75		expn1 12870	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( 2 e. CC -> ( 2 ^ -u 1 ) = ( 1 / 2 ) )
76	66, 75	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( A e. ZZ /\ N e. NN ) -> ( 2 ^ -u 1 ) = ( 1 / 2 ) )
77	65, 74, 76	3eqtr3d 2664	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( A e. ZZ /\ N e. NN ) -> ( ( 2 ^ ( N - 1 ) ) / ( 2 ^ N ) ) = ( 1 / 2 ) )
78	77	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( A e. ZZ /\ N e. NN ) -> ( A x. ( ( 2 ^ ( N - 1 ) ) / ( 2 ^ N ) ) ) = ( A x. ( 1 / 2 ) ) )
79		2cnd 11093	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( N e. NN -> 2 e. CC )
80	79, 49	expcld 13008	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( N e. NN -> ( 2 ^ ( N - 1 ) ) e. CC )
81	80	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( A e. ZZ /\ N e. NN ) -> ( 2 ^ ( N - 1 ) ) e. CC )
82	3	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( A e. ZZ /\ N e. NN ) -> 2 e. RR+ )
83	82, 57	rpexpcld 13032	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( A e. ZZ /\ N e. NN ) -> ( 2 ^ N ) e. RR+ )
84	83	rpcnne0d 11881	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( A e. ZZ /\ N e. NN ) -> ( ( 2 ^ N ) e. CC /\ ( 2 ^ N ) =/= 0 ) )
85		div12 10707	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( 2 ^ ( N - 1 ) ) e. CC /\ A e. CC /\ ( ( 2 ^ N ) e. CC /\ ( 2 ^ N ) =/= 0 ) ) -> ( ( 2 ^ ( N - 1 ) ) x. ( A / ( 2 ^ N ) ) ) = ( A x. ( ( 2 ^ ( N - 1 ) ) / ( 2 ^ N ) ) ) )
86	81, 38, 84, 85	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( A e. ZZ /\ N e. NN ) -> ( ( 2 ^ ( N - 1 ) ) x. ( A / ( 2 ^ N ) ) ) = ( A x. ( ( 2 ^ ( N - 1 ) ) / ( 2 ^ N ) ) ) )
87	38, 66, 68	divrecd 10804	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( A e. ZZ /\ N e. NN ) -> ( A / 2 ) = ( A x. ( 1 / 2 ) ) )
88	78, 86, 87	3eqtr4d 2666	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( A e. ZZ /\ N e. NN ) -> ( ( 2 ^ ( N - 1 ) ) x. ( A / ( 2 ^ N ) ) ) = ( A / 2 ) )
89	88	eleq1d 2686	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( A e. ZZ /\ N e. NN ) -> ( ( ( 2 ^ ( N - 1 ) ) x. ( A / ( 2 ^ N ) ) ) e. ZZ <-> ( A / 2 ) e. ZZ ) )
90	56, 89	sylibd 229	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( A e. ZZ /\ N e. NN ) -> ( ( A / ( 2 ^ N ) ) e. ZZ -> ( A / 2 ) e. ZZ ) )
91	47, 90	sylbid 230	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( A e. ZZ /\ N e. NN ) -> ( ( A mod ( 2 ^ N ) ) = 0 -> ( A / 2 ) e. ZZ ) )
92		zeo2 11464	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( A e. ZZ -> ( ( A / 2 ) e. ZZ <-> -. ( ( A + 1 ) / 2 ) e. ZZ ) )
93	92	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( A e. ZZ /\ N e. NN ) -> ( ( A / 2 ) e. ZZ <-> -. ( ( A + 1 ) / 2 ) e. ZZ ) )
94	91, 93	sylibd 229	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( A e. ZZ /\ N e. NN ) -> ( ( A mod ( 2 ^ N ) ) = 0 -> -. ( ( A + 1 ) / 2 ) e. ZZ ) )
95	94	necon2ad 2809	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( A e. ZZ /\ N e. NN ) -> ( ( ( A + 1 ) / 2 ) e. ZZ -> ( A mod ( 2 ^ N ) ) =/= 0 ) )
96	30, 45, 95	3syld 60	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( A e. ZZ /\ N e. NN ) -> ( ( ( A - 1 ) / 2 ) e. NN -> ( A mod ( 2 ^ N ) ) =/= 0 ) )
97	96	ex 450	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( A e. ZZ -> ( N e. NN -> ( ( ( A - 1 ) / 2 ) e. NN -> ( A mod ( 2 ^ N ) ) =/= 0 ) ) )
98	97	com23 86	. . . . . . . . . . . 12 |- ( A e. ZZ -> ( ( ( A - 1 ) / 2 ) e. NN -> ( N e. NN -> ( A mod ( 2 ^ N ) ) =/= 0 ) ) )
99	98	3imp 1256	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( A e. ZZ /\ ( ( A - 1 ) / 2 ) e. NN /\ N e. NN ) -> ( A mod ( 2 ^ N ) ) =/= 0 )
100	99	neneqd 2799	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A e. ZZ /\ ( ( A - 1 ) / 2 ) e. NN /\ N e. NN ) -> -. ( A mod ( 2 ^ N ) ) = 0 )
101	100	iffalsed 4097	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. ZZ /\ ( ( A - 1 ) / 2 ) e. NN /\ N e. NN ) -> if ( ( A mod ( 2 ^ N ) ) = 0 , ( ( 2 ^ N ) - 1 ) , -u 1 ) = -u 1 )
102	28, 101	eqtrd 2656	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. ZZ /\ ( ( A - 1 ) / 2 ) e. NN /\ N e. NN ) -> ( ( ( A - 1 ) mod ( 2 ^ N ) ) - ( A mod ( 2 ^ N ) ) ) = -u 1 )
103		neg1lt0 11127	. . . . . . . . . 10 |- -u 1 < 0
104		2re 11090	. . . . . . . . . . . . 13 |- 2 e. RR
105		1lt2 11194	. . . . . . . . . . . . 13 |- 1 < 2
106		expgt1 12898	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( 2 e. RR /\ N e. NN /\ 1 < 2 ) -> 1 < ( 2 ^ N ) )
107	104, 105, 106	mp3an13 1415	. . . . . . . . . . . 12 |- ( N e. NN -> 1 < ( 2 ^ N ) )
108		1red 10055	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( N e. NN -> 1 e. RR )
109	108, 7	posdifd 10614	. . . . . . . . . . . 12 |- ( N e. NN -> ( 1 < ( 2 ^ N ) <-> 0 < ( ( 2 ^ N ) - 1 ) ) )
110	107, 109	mpbid 222	. . . . . . . . . . 11 |- ( N e. NN -> 0 < ( ( 2 ^ N ) - 1 ) )
111	108	renegcld 10457	. . . . . . . . . . . 12 |- ( N e. NN -> -u 1 e. RR )
112		0red 10041	. . . . . . . . . . . 12 |- ( N e. NN -> 0 e. RR )
113	7, 108	resubcld 10458	. . . . . . . . . . . 12 |- ( N e. NN -> ( ( 2 ^ N ) - 1 ) e. RR )
114		lttr 10114	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( -u 1 e. RR /\ 0 e. RR /\ ( ( 2 ^ N ) - 1 ) e. RR ) -> ( ( -u 1 < 0 /\ 0 < ( ( 2 ^ N ) - 1 ) ) -> -u 1 < ( ( 2 ^ N ) - 1 ) ) )
115	111, 112, 113, 114	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . 11 |- ( N e. NN -> ( ( -u 1 < 0 /\ 0 < ( ( 2 ^ N ) - 1 ) ) -> -u 1 < ( ( 2 ^ N ) - 1 ) ) )
116	110, 115	mpan2d 710	. . . . . . . . . 10 |- ( N e. NN -> ( -u 1 < 0 -> -u 1 < ( ( 2 ^ N ) - 1 ) ) )
117	103, 116	mpi 20	. . . . . . . . 9 |- ( N e. NN -> -u 1 < ( ( 2 ^ N ) - 1 ) )
118	117	3ad2ant3 1084	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. ZZ /\ ( ( A - 1 ) / 2 ) e. NN /\ N e. NN ) -> -u 1 < ( ( 2 ^ N ) - 1 ) )
119	102, 118	eqbrtrd 4675	. . . . . . 7 |- ( ( A e. ZZ /\ ( ( A - 1 ) / 2 ) e. NN /\ N e. NN ) -> ( ( ( A - 1 ) mod ( 2 ^ N ) ) - ( A mod ( 2 ^ N ) ) ) < ( ( 2 ^ N ) - 1 ) )
120	2, 10	modcld 12674	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. ZZ /\ ( ( A - 1 ) / 2 ) e. NN /\ N e. NN ) -> ( A mod ( 2 ^ N ) ) e. RR )
121		ltsubadd2b 42306	. . . . . . . 8 |- ( ( ( 1 e. RR /\ ( 2 ^ N ) e. RR ) /\ ( ( A mod ( 2 ^ N ) ) e. RR /\ ( ( A - 1 ) mod ( 2 ^ N ) ) e. RR ) ) -> ( ( ( ( A - 1 ) mod ( 2 ^ N ) ) - ( A mod ( 2 ^ N ) ) ) < ( ( 2 ^ N ) - 1 ) <-> ( 1 + ( ( A - 1 ) mod ( 2 ^ N ) ) ) < ( ( 2 ^ N ) + ( A mod ( 2 ^ N ) ) ) ) )
122	18, 8, 120, 16, 121	syl22anc 1327	. . . . . . 7 |- ( ( A e. ZZ /\ ( ( A - 1 ) / 2 ) e. NN /\ N e. NN ) -> ( ( ( ( A - 1 ) mod ( 2 ^ N ) ) - ( A mod ( 2 ^ N ) ) ) < ( ( 2 ^ N ) - 1 ) <-> ( 1 + ( ( A - 1 ) mod ( 2 ^ N ) ) ) < ( ( 2 ^ N ) + ( A mod ( 2 ^ N ) ) ) ) )
123	119, 122	mpbid 222	. . . . . 6 |- ( ( A e. ZZ /\ ( ( A - 1 ) / 2 ) e. NN /\ N e. NN ) -> ( 1 + ( ( A - 1 ) mod ( 2 ^ N ) ) ) < ( ( 2 ^ N ) + ( A mod ( 2 ^ N ) ) ) )
124		modid0 12696	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( 2 ^ N ) e. RR+ -> ( ( 2 ^ N ) mod ( 2 ^ N ) ) = 0 )
125	10, 124	syl 17	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( A e. ZZ /\ ( ( A - 1 ) / 2 ) e. NN /\ N e. NN ) -> ( ( 2 ^ N ) mod ( 2 ^ N ) ) = 0 )
126	125	oveq2d 6666	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A e. ZZ /\ ( ( A - 1 ) / 2 ) e. NN /\ N e. NN ) -> ( ( A mod ( 2 ^ N ) ) - ( ( 2 ^ N ) mod ( 2 ^ N ) ) ) = ( ( A mod ( 2 ^ N ) ) - 0 ) )
127	120	recnd 10068	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( A e. ZZ /\ ( ( A - 1 ) / 2 ) e. NN /\ N e. NN ) -> ( A mod ( 2 ^ N ) ) e. CC )
128	127	subid1d 10381	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A e. ZZ /\ ( ( A - 1 ) / 2 ) e. NN /\ N e. NN ) -> ( ( A mod ( 2 ^ N ) ) - 0 ) = ( A mod ( 2 ^ N ) ) )
129	126, 128	eqtrd 2656	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. ZZ /\ ( ( A - 1 ) / 2 ) e. NN /\ N e. NN ) -> ( ( A mod ( 2 ^ N ) ) - ( ( 2 ^ N ) mod ( 2 ^ N ) ) ) = ( A mod ( 2 ^ N ) ) )
130	129	oveq1d 6665	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. ZZ /\ ( ( A - 1 ) / 2 ) e. NN /\ N e. NN ) -> ( ( ( A mod ( 2 ^ N ) ) - ( ( 2 ^ N ) mod ( 2 ^ N ) ) ) mod ( 2 ^ N ) ) = ( ( A mod ( 2 ^ N ) ) mod ( 2 ^ N ) ) )
131		modsubmodmod 12729	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. RR /\ ( 2 ^ N ) e. RR /\ ( 2 ^ N ) e. RR+ ) -> ( ( ( A mod ( 2 ^ N ) ) - ( ( 2 ^ N ) mod ( 2 ^ N ) ) ) mod ( 2 ^ N ) ) = ( ( A - ( 2 ^ N ) ) mod ( 2 ^ N ) ) )
132	2, 8, 10, 131	syl3anc 1326	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. ZZ /\ ( ( A - 1 ) / 2 ) e. NN /\ N e. NN ) -> ( ( ( A mod ( 2 ^ N ) ) - ( ( 2 ^ N ) mod ( 2 ^ N ) ) ) mod ( 2 ^ N ) ) = ( ( A - ( 2 ^ N ) ) mod ( 2 ^ N ) ) )
133		modabs2 12704	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. RR /\ ( 2 ^ N ) e. RR+ ) -> ( ( A mod ( 2 ^ N ) ) mod ( 2 ^ N ) ) = ( A mod ( 2 ^ N ) ) )
134	2, 10, 133	syl2anc 693	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. ZZ /\ ( ( A - 1 ) / 2 ) e. NN /\ N e. NN ) -> ( ( A mod ( 2 ^ N ) ) mod ( 2 ^ N ) ) = ( A mod ( 2 ^ N ) ) )
135	130, 132, 134	3eqtr3d 2664	. . . . . . 7 |- ( ( A e. ZZ /\ ( ( A - 1 ) / 2 ) e. NN /\ N e. NN ) -> ( ( A - ( 2 ^ N ) ) mod ( 2 ^ N ) ) = ( A mod ( 2 ^ N ) ) )
136	135	oveq2d 6666	. . . . . 6 |- ( ( A e. ZZ /\ ( ( A - 1 ) / 2 ) e. NN /\ N e. NN ) -> ( ( 2 ^ N ) + ( ( A - ( 2 ^ N ) ) mod ( 2 ^ N ) ) ) = ( ( 2 ^ N ) + ( A mod ( 2 ^ N ) ) ) )
137	123, 136	breqtrrd 4681	. . . . 5 |- ( ( A e. ZZ /\ ( ( A - 1 ) / 2 ) e. NN /\ N e. NN ) -> ( 1 + ( ( A - 1 ) mod ( 2 ^ N ) ) ) < ( ( 2 ^ N ) + ( ( A - ( 2 ^ N ) ) mod ( 2 ^ N ) ) ) )
138	19, 20, 2, 137	ltsub2dd 10640	. . . 4 |- ( ( A e. ZZ /\ ( ( A - 1 ) / 2 ) e. NN /\ N e. NN ) -> ( A - ( ( 2 ^ N ) + ( ( A - ( 2 ^ N ) ) mod ( 2 ^ N ) ) ) ) < ( A - ( 1 + ( ( A - 1 ) mod ( 2 ^ N ) ) ) ) )
139	31	3ad2ant1 1082	. . . . 5 |- ( ( A e. ZZ /\ ( ( A - 1 ) / 2 ) e. NN /\ N e. NN ) -> A e. CC )
140	8	recnd 10068	. . . . 5 |- ( ( A e. ZZ /\ ( ( A - 1 ) / 2 ) e. NN /\ N e. NN ) -> ( 2 ^ N ) e. CC )
141	11	recnd 10068	. . . . 5 |- ( ( A e. ZZ /\ ( ( A - 1 ) / 2 ) e. NN /\ N e. NN ) -> ( ( A - ( 2 ^ N ) ) mod ( 2 ^ N ) ) e. CC )
142	139, 140, 141	subsub4d 10423	. . . 4 |- ( ( A e. ZZ /\ ( ( A - 1 ) / 2 ) e. NN /\ N e. NN ) -> ( ( A - ( 2 ^ N ) ) - ( ( A - ( 2 ^ N ) ) mod ( 2 ^ N ) ) ) = ( A - ( ( 2 ^ N ) + ( ( A - ( 2 ^ N ) ) mod ( 2 ^ N ) ) ) ) )
143		1cnd 10056	. . . . 5 |- ( ( A e. ZZ /\ ( ( A - 1 ) / 2 ) e. NN /\ N e. NN ) -> 1 e. CC )
144	16	recnd 10068	. . . . 5 |- ( ( A e. ZZ /\ ( ( A - 1 ) / 2 ) e. NN /\ N e. NN ) -> ( ( A - 1 ) mod ( 2 ^ N ) ) e. CC )
145	139, 143, 144	subsub4d 10423	. . . 4 |- ( ( A e. ZZ /\ ( ( A - 1 ) / 2 ) e. NN /\ N e. NN ) -> ( ( A - 1 ) - ( ( A - 1 ) mod ( 2 ^ N ) ) ) = ( A - ( 1 + ( ( A - 1 ) mod ( 2 ^ N ) ) ) ) )
146	138, 142, 145	3brtr4d 4685	. . 3 |- ( ( A e. ZZ /\ ( ( A - 1 ) / 2 ) e. NN /\ N e. NN ) -> ( ( A - ( 2 ^ N ) ) - ( ( A - ( 2 ^ N ) ) mod ( 2 ^ N ) ) ) < ( ( A - 1 ) - ( ( A - 1 ) mod ( 2 ^ N ) ) ) )
147	12, 17, 10, 146	ltdiv1dd 11929	. 2 |- ( ( A e. ZZ /\ ( ( A - 1 ) / 2 ) e. NN /\ N e. NN ) -> ( ( ( A - ( 2 ^ N ) ) - ( ( A - ( 2 ^ N ) ) mod ( 2 ^ N ) ) ) / ( 2 ^ N ) ) < ( ( ( A - 1 ) - ( ( A - 1 ) mod ( 2 ^ N ) ) ) / ( 2 ^ N ) ) )
148	7	recnd 10068	. . . . 5 |- ( N e. NN -> ( 2 ^ N ) e. CC )
149	148	3ad2ant3 1084	. . . 4 |- ( ( A e. ZZ /\ ( ( A - 1 ) / 2 ) e. NN /\ N e. NN ) -> ( 2 ^ N ) e. CC )
150	67	a1i 11	. . . . . 6 |- ( N e. NN -> 2 =/= 0 )
151	79, 150, 5	expne0d 13014	. . . . 5 |- ( N e. NN -> ( 2 ^ N ) =/= 0 )
152	151	3ad2ant3 1084	. . . 4 |- ( ( A e. ZZ /\ ( ( A - 1 ) / 2 ) e. NN /\ N e. NN ) -> ( 2 ^ N ) =/= 0 )
153		divsub1dir 42307	. . . . 5 |- ( ( A e. CC /\ ( 2 ^ N ) e. CC /\ ( 2 ^ N ) =/= 0 ) -> ( ( A / ( 2 ^ N ) ) - 1 ) = ( ( A - ( 2 ^ N ) ) / ( 2 ^ N ) ) )
154	153	fveq2d 6195	. . . 4 |- ( ( A e. CC /\ ( 2 ^ N ) e. CC /\ ( 2 ^ N ) =/= 0 ) -> ( |_ ` ( ( A / ( 2 ^ N ) ) - 1 ) ) = ( |_ ` ( ( A - ( 2 ^ N ) ) / ( 2 ^ N ) ) ) )
155	139, 149, 152, 154	syl3anc 1326	. . 3 |- ( ( A e. ZZ /\ ( ( A - 1 ) / 2 ) e. NN /\ N e. NN ) -> ( |_ ` ( ( A / ( 2 ^ N ) ) - 1 ) ) = ( |_ ` ( ( A - ( 2 ^ N ) ) / ( 2 ^ N ) ) ) )
156		fldivmod 42313	. . . 4 |- ( ( ( A - ( 2 ^ N ) ) e. RR /\ ( 2 ^ N ) e. RR+ ) -> ( |_ ` ( ( A - ( 2 ^ N ) ) / ( 2 ^ N ) ) ) = ( ( ( A - ( 2 ^ N ) ) - ( ( A - ( 2 ^ N ) ) mod ( 2 ^ N ) ) ) / ( 2 ^ N ) ) )
157	9, 10, 156	syl2anc 693	. . 3 |- ( ( A e. ZZ /\ ( ( A - 1 ) / 2 ) e. NN /\ N e. NN ) -> ( |_ ` ( ( A - ( 2 ^ N ) ) / ( 2 ^ N ) ) ) = ( ( ( A - ( 2 ^ N ) ) - ( ( A - ( 2 ^ N ) ) mod ( 2 ^ N ) ) ) / ( 2 ^ N ) ) )
158	155, 157	eqtrd 2656	. 2 |- ( ( A e. ZZ /\ ( ( A - 1 ) / 2 ) e. NN /\ N e. NN ) -> ( |_ ` ( ( A / ( 2 ^ N ) ) - 1 ) ) = ( ( ( A - ( 2 ^ N ) ) - ( ( A - ( 2 ^ N ) ) mod ( 2 ^ N ) ) ) / ( 2 ^ N ) ) )
159		fldivmod 42313	. . 3 |- ( ( ( A - 1 ) e. RR /\ ( 2 ^ N ) e. RR+ ) -> ( |_ ` ( ( A - 1 ) / ( 2 ^ N ) ) ) = ( ( ( A - 1 ) - ( ( A - 1 ) mod ( 2 ^ N ) ) ) / ( 2 ^ N ) ) )
160	15, 10, 159	syl2anc 693	. 2 |- ( ( A e. ZZ /\ ( ( A - 1 ) / 2 ) e. NN /\ N e. NN ) -> ( |_ ` ( ( A - 1 ) / ( 2 ^ N ) ) ) = ( ( ( A - 1 ) - ( ( A - 1 ) mod ( 2 ^ N ) ) ) / ( 2 ^ N ) ) )
161	147, 158, 160	3brtr4d 4685	1 |- ( ( A e. ZZ /\ ( ( A - 1 ) / 2 ) e. NN /\ N e. NN ) -> ( |_ ` ( ( A / ( 2 ^ N ) ) - 1 ) ) < ( |_ ` ( ( A - 1 ) / ( 2 ^ N ) ) ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   =/= wne 2794   ifcif 4086   class class class wbr 4653   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   CCcc 9934   RRcr 9935   0cc0 9936   1c1 9937   + caddc 9939   x. cmul 9941   < clt 10074   - cmin 10266   -ucneg 10267   / cdiv 10684   NNcn 11020   2c2 11070   NN0cn0 11292   ZZcz 11377   RR+crp 11832   |_cfl 12591   mod cmo 12668   ^cexp 12860

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-sup 8348  df-inf 8349  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-rp 11833  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-fl 12593  df-mod 12669  df-seq 12802  df-exp 12861

This theorem is referenced by:  dignn0flhalflem2  42410