Theorem m2detleiblem1 20430

Description: Lemma 1 for m2detleib 20437. (Contributed by AV, 12-Dec-2018.)

Hypotheses

Ref	Expression
m2detleiblem1.n	|- N = { 1 , 2 }
m2detleiblem1.p	|- P = ( Base ` ( SymGrp ` N ) )
m2detleiblem1.y	|- Y = ( ZRHom ` R )
m2detleiblem1.s	|- S = (pmSgn ` N )
m2detleiblem1.o	|- .1. = ( 1r ` R )

Assertion

Ref	Expression
m2detleiblem1	|- ( ( R e. Ring /\ Q e. P ) -> ( Y ` ( S ` Q ) ) = ( ( (pmSgn ` N ) ` Q ) (.g ` R ) .1. ) )

Proof of Theorem m2detleiblem1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elpri 4197	. . . . 5 |- ( Q e. { { <. 1 , 1 >. , <. 2 , 2 >. } , { <. 1 , 2 >. , <. 2 , 1 >. } } -> ( Q = { <. 1 , 1 >. , <. 2 , 2 >. } \/ Q = { <. 1 , 2 >. , <. 2 , 1 >. } ) )
2		fveq2 6191	. . . . . . . 8 |- ( Q = { <. 1 , 1 >. , <. 2 , 2 >. } -> ( S ` Q ) = ( S ` { <. 1 , 1 >. , <. 2 , 2 >. } ) )
3		m2detleiblem1.n	. . . . . . . . 9 |- N = { 1 , 2 }
4		eqid 2622	. . . . . . . . 9 |- ( SymGrp ` N ) = ( SymGrp ` N )
5		m2detleiblem1.p	. . . . . . . . 9 |- P = ( Base ` ( SymGrp ` N ) )
6		eqid 2622	. . . . . . . . 9 |- ran (pmTrsp ` N ) = ran (pmTrsp ` N )
7		m2detleiblem1.s	. . . . . . . . 9 |- S = (pmSgn ` N )
8	3, 4, 5, 6, 7	psgnprfval1 17942	. . . . . . . 8 |- ( S ` { <. 1 , 1 >. , <. 2 , 2 >. } ) = 1
9	2, 8	syl6eq 2672	. . . . . . 7 |- ( Q = { <. 1 , 1 >. , <. 2 , 2 >. } -> ( S ` Q ) = 1 )
10		1z 11407	. . . . . . 7 |- 1 e. ZZ
11	9, 10	syl6eqel 2709	. . . . . 6 |- ( Q = { <. 1 , 1 >. , <. 2 , 2 >. } -> ( S ` Q ) e. ZZ )
12		fveq2 6191	. . . . . . . 8 |- ( Q = { <. 1 , 2 >. , <. 2 , 1 >. } -> ( S ` Q ) = ( S ` { <. 1 , 2 >. , <. 2 , 1 >. } ) )
13	3, 4, 5, 6, 7	psgnprfval2 17943	. . . . . . . 8 |- ( S ` { <. 1 , 2 >. , <. 2 , 1 >. } ) = -u 1
14	12, 13	syl6eq 2672	. . . . . . 7 |- ( Q = { <. 1 , 2 >. , <. 2 , 1 >. } -> ( S ` Q ) = -u 1 )
15		neg1z 11413	. . . . . . 7 |- -u 1 e. ZZ
16	14, 15	syl6eqel 2709	. . . . . 6 |- ( Q = { <. 1 , 2 >. , <. 2 , 1 >. } -> ( S ` Q ) e. ZZ )
17	11, 16	jaoi 394	. . . . 5 |- ( ( Q = { <. 1 , 1 >. , <. 2 , 2 >. } \/ Q = { <. 1 , 2 >. , <. 2 , 1 >. } ) -> ( S ` Q ) e. ZZ )
18	1, 17	syl 17	. . . 4 |- ( Q e. { { <. 1 , 1 >. , <. 2 , 2 >. } , { <. 1 , 2 >. , <. 2 , 1 >. } } -> ( S ` Q ) e. ZZ )
19		1ex 10035	. . . . 5 |- 1 e. _V
20		2nn 11185	. . . . 5 |- 2 e. NN
21	4, 5, 3	symg2bas 17818	. . . . 5 |- ( ( 1 e. _V /\ 2 e. NN ) -> P = { { <. 1 , 1 >. , <. 2 , 2 >. } , { <. 1 , 2 >. , <. 2 , 1 >. } } )
22	19, 20, 21	mp2an 708	. . . 4 |- P = { { <. 1 , 1 >. , <. 2 , 2 >. } , { <. 1 , 2 >. , <. 2 , 1 >. } }
23	18, 22	eleq2s 2719	. . 3 |- ( Q e. P -> ( S ` Q ) e. ZZ )
24		m2detleiblem1.y	. . . 4 |- Y = ( ZRHom ` R )
25		eqid 2622	. . . 4 |- (.g ` R ) = (.g ` R )
26		m2detleiblem1.o	. . . 4 |- .1. = ( 1r ` R )
27	24, 25, 26	zrhmulg 19858	. . 3 |- ( ( R e. Ring /\ ( S ` Q ) e. ZZ ) -> ( Y ` ( S ` Q ) ) = ( ( S ` Q ) (.g ` R ) .1. ) )
28	23, 27	sylan2 491	. 2 |- ( ( R e. Ring /\ Q e. P ) -> ( Y ` ( S ` Q ) ) = ( ( S ` Q ) (.g ` R ) .1. ) )
29	7	a1i 11	. . . 4 |- ( ( R e. Ring /\ Q e. P ) -> S = (pmSgn ` N ) )
30	29	fveq1d 6193	. . 3 |- ( ( R e. Ring /\ Q e. P ) -> ( S ` Q ) = ( (pmSgn ` N ) ` Q ) )
31	30	oveq1d 6665	. 2 |- ( ( R e. Ring /\ Q e. P ) -> ( ( S ` Q ) (.g ` R ) .1. ) = ( ( (pmSgn ` N ) ` Q ) (.g ` R ) .1. ) )
32	28, 31	eqtrd 2656	1 |- ( ( R e. Ring /\ Q e. P ) -> ( Y ` ( S ` Q ) ) = ( ( (pmSgn ` N ) ` Q ) (.g ` R ) .1. ) )

Syntax hints:   -> wi 4   \/ wo 383   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   _Vcvv 3200   {cpr 4179   <.cop 4183   ran crn 5115   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   1c1 9937   -ucneg 10267   NNcn 11020   2c2 11070   ZZcz 11377   Basecbs 15857  ._gcmg 17540   SymGrpcsymg 17797  pmTrspcpmtr 17861  pmSgncpsgn 17909   1rcur 18501   Ringcrg 18547   ZRHomczrh 19848

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-addf 10015  ax-mulf 10016

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-xor 1465  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-ot 4186  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-iin 4523  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-tpos 7352  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-2o 7561  df-oadd 7564  df-er 7742  df-map 7859  df-pm 7860  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-card 8765  df-cda 8990  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-4 11081  df-5 11082  df-6 11083  df-7 11084  df-8 11085  df-9 11086  df-n0 11293  df-xnn0 11364  df-z 11378  df-dec 11494  df-uz 11688  df-rp 11833  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-seq 12802  df-exp 12861  df-fac 13061  df-bc 13090  df-hash 13118  df-word 13299  df-lsw 13300  df-concat 13301  df-s1 13302  df-substr 13303  df-splice 13304  df-reverse 13305  df-s2 13593  df-struct 15859  df-ndx 15860  df-slot 15861  df-base 15863  df-sets 15864  df-ress 15865  df-plusg 15954  df-mulr 15955  df-starv 15956  df-tset 15960  df-ple 15961  df-ds 15964  df-unif 15965  df-0g 16102  df-gsum 16103  df-mre 16246  df-mrc 16247  df-acs 16249  df-mgm 17242  df-sgrp 17284  df-mnd 17295  df-mhm 17335  df-submnd 17336  df-grp 17425  df-minusg 17426  df-mulg 17541  df-subg 17591  df-ghm 17658  df-gim 17701  df-oppg 17776  df-symg 17798  df-pmtr 17862  df-psgn 17911  df-cmn 18195  df-mgp 18490  df-ur 18502  df-ring 18549  df-cring 18550  df-rnghom 18715  df-subrg 18778  df-cnfld 19747  df-zring 19819  df-zrh 19852

This theorem is referenced by:  m2detleiblem5  20431  m2detleiblem6  20432