Theorem madetsumid 20267

Description: The identity summand in the Leibniz' formula of a determinant for a square matrix over a commutative ring. (Contributed by AV, 29-Dec-2018.)

Hypotheses

Ref	Expression
madetsumid.a	|- A = ( N Mat R )
madetsumid.b	|- B = ( Base ` A )
madetsumid.u	|- U = (mulGrp ` R )
madetsumid.y	|- Y = ( ZRHom ` R )
madetsumid.s	|- S = (pmSgn ` N )
madetsumid.t	|- .x. = ( .r ` R )

Assertion

Ref	Expression
madetsumid	|- ( ( R e. CRing /\ M e. B /\ P = ( _I |` N ) ) -> ( ( ( Y o. S ) ` P ) .x. ( U gsumg ( r e. N |-> ( ( P ` r ) M r ) ) ) ) = ( U gsumg ( r e. N |-> ( r M r ) ) ) )

Distinct variable groups:   B, r   M, r   N, r   R, r   P, r

Allowed substitution hints:   A( r)   S( r)   .x. ( r)   U( r)   Y( r)

Proof of Theorem madetsumid

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fveq2 6191	. . . 4 |- ( P = ( _I |` N ) -> ( ( Y o. S ) ` P ) = ( ( Y o. S ) ` ( _I |` N ) ) )
2		fveq1 6190	. . . . . . 7 |- ( P = ( _I |` N ) -> ( P ` r ) = ( ( _I |` N ) ` r ) )
3	2	oveq1d 6665	. . . . . 6 |- ( P = ( _I |` N ) -> ( ( P ` r ) M r ) = ( ( ( _I |` N ) ` r ) M r ) )
4	3	mpteq2dv 4745	. . . . 5 |- ( P = ( _I |` N ) -> ( r e. N |-> ( ( P ` r ) M r ) ) = ( r e. N |-> ( ( ( _I |` N ) ` r ) M r ) ) )
5	4	oveq2d 6666	. . . 4 |- ( P = ( _I |` N ) -> ( U gsumg ( r e. N |-> ( ( P ` r ) M r ) ) ) = ( U gsumg ( r e. N |-> ( ( ( _I |` N ) ` r ) M r ) ) ) )
6	1, 5	oveq12d 6668	. . 3 |- ( P = ( _I |` N ) -> ( ( ( Y o. S ) ` P ) .x. ( U gsumg ( r e. N |-> ( ( P ` r ) M r ) ) ) ) = ( ( ( Y o. S ) ` ( _I |` N ) ) .x. ( U gsumg ( r e. N |-> ( ( ( _I |` N ) ` r ) M r ) ) ) ) )
7	6	3ad2ant3 1084	. 2 |- ( ( R e. CRing /\ M e. B /\ P = ( _I |` N ) ) -> ( ( ( Y o. S ) ` P ) .x. ( U gsumg ( r e. N |-> ( ( P ` r ) M r ) ) ) ) = ( ( ( Y o. S ) ` ( _I |` N ) ) .x. ( U gsumg ( r e. N |-> ( ( ( _I |` N ) ` r ) M r ) ) ) ) )
8		madetsumid.a	. . . . . . 7 |- A = ( N Mat R )
9		madetsumid.b	. . . . . . 7 |- B = ( Base ` A )
10	8, 9	matrcl 20218	. . . . . 6 |- ( M e. B -> ( N e. Fin /\ R e. _V ) )
11	10	simpld 475	. . . . 5 |- ( M e. B -> N e. Fin )
12		madetsumid.y	. . . . . . . . . 10 |- Y = ( ZRHom ` R )
13		madetsumid.s	. . . . . . . . . 10 |- S = (pmSgn ` N )
14	12, 13	coeq12i 5285	. . . . . . . . 9 |- ( Y o. S ) = ( ( ZRHom ` R ) o. (pmSgn ` N ) )
15	14	a1i 11	. . . . . . . 8 |- ( ( R e. CRing /\ N e. Fin ) -> ( Y o. S ) = ( ( ZRHom ` R ) o. (pmSgn ` N ) ) )
16		eqid 2622	. . . . . . . . . 10 |- ( SymGrp ` N ) = ( SymGrp ` N )
17	16	symgid 17821	. . . . . . . . 9 |- ( N e. Fin -> ( _I |` N ) = ( 0g ` ( SymGrp ` N ) ) )
18	17	adantl 482	. . . . . . . 8 |- ( ( R e. CRing /\ N e. Fin ) -> ( _I |` N ) = ( 0g ` ( SymGrp ` N ) ) )
19	15, 18	fveq12d 6197	. . . . . . 7 |- ( ( R e. CRing /\ N e. Fin ) -> ( ( Y o. S ) ` ( _I |` N ) ) = ( ( ( ZRHom ` R ) o. (pmSgn ` N ) ) ` ( 0g ` ( SymGrp ` N ) ) ) )
20		crngring 18558	. . . . . . . . 9 |- ( R e. CRing -> R e. Ring )
21		zrhpsgnmhm 19930	. . . . . . . . . 10 |- ( ( R e. Ring /\ N e. Fin ) -> ( ( ZRHom ` R ) o. (pmSgn ` N ) ) e. ( ( SymGrp ` N ) MndHom (mulGrp ` R ) ) )
22		madetsumid.u	. . . . . . . . . . 11 |- U = (mulGrp ` R )
23	22	oveq2i 6661	. . . . . . . . . 10 |- ( ( SymGrp ` N ) MndHom U ) = ( ( SymGrp ` N ) MndHom (mulGrp ` R ) )
24	21, 23	syl6eleqr 2712	. . . . . . . . 9 |- ( ( R e. Ring /\ N e. Fin ) -> ( ( ZRHom ` R ) o. (pmSgn ` N ) ) e. ( ( SymGrp ` N ) MndHom U ) )
25	20, 24	sylan 488	. . . . . . . 8 |- ( ( R e. CRing /\ N e. Fin ) -> ( ( ZRHom ` R ) o. (pmSgn ` N ) ) e. ( ( SymGrp ` N ) MndHom U ) )
26		eqid 2622	. . . . . . . . 9 |- ( 0g ` ( SymGrp ` N ) ) = ( 0g ` ( SymGrp ` N ) )
27		eqid 2622	. . . . . . . . . 10 |- ( 1r ` R ) = ( 1r ` R )
28	22, 27	ringidval 18503	. . . . . . . . 9 |- ( 1r ` R ) = ( 0g ` U )
29	26, 28	mhm0 17343	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ZRHom ` R ) o. (pmSgn ` N ) ) e. ( ( SymGrp ` N ) MndHom U ) -> ( ( ( ZRHom ` R ) o. (pmSgn ` N ) ) ` ( 0g ` ( SymGrp ` N ) ) ) = ( 1r ` R ) )
30	25, 29	syl 17	. . . . . . 7 |- ( ( R e. CRing /\ N e. Fin ) -> ( ( ( ZRHom ` R ) o. (pmSgn ` N ) ) ` ( 0g ` ( SymGrp ` N ) ) ) = ( 1r ` R ) )
31	19, 30	eqtrd 2656	. . . . . 6 |- ( ( R e. CRing /\ N e. Fin ) -> ( ( Y o. S ) ` ( _I |` N ) ) = ( 1r ` R ) )
32		fvresi 6439	. . . . . . . . . 10 |- ( r e. N -> ( ( _I |` N ) ` r ) = r )
33	32	adantl 482	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( R e. CRing /\ N e. Fin ) /\ r e. N ) -> ( ( _I |` N ) ` r ) = r )
34	33	oveq1d 6665	. . . . . . . 8 |- ( ( ( R e. CRing /\ N e. Fin ) /\ r e. N ) -> ( ( ( _I |` N ) ` r ) M r ) = ( r M r ) )
35	34	mpteq2dva 4744	. . . . . . 7 |- ( ( R e. CRing /\ N e. Fin ) -> ( r e. N |-> ( ( ( _I |` N ) ` r ) M r ) ) = ( r e. N |-> ( r M r ) ) )
36	35	oveq2d 6666	. . . . . 6 |- ( ( R e. CRing /\ N e. Fin ) -> ( U gsumg ( r e. N |-> ( ( ( _I |` N ) ` r ) M r ) ) ) = ( U gsumg ( r e. N |-> ( r M r ) ) ) )
37	31, 36	oveq12d 6668	. . . . 5 |- ( ( R e. CRing /\ N e. Fin ) -> ( ( ( Y o. S ) ` ( _I |` N ) ) .x. ( U gsumg ( r e. N |-> ( ( ( _I |` N ) ` r ) M r ) ) ) ) = ( ( 1r ` R ) .x. ( U gsumg ( r e. N |-> ( r M r ) ) ) ) )
38	11, 37	sylan2 491	. . . 4 |- ( ( R e. CRing /\ M e. B ) -> ( ( ( Y o. S ) ` ( _I |` N ) ) .x. ( U gsumg ( r e. N |-> ( ( ( _I |` N ) ` r ) M r ) ) ) ) = ( ( 1r ` R ) .x. ( U gsumg ( r e. N |-> ( r M r ) ) ) ) )
39	20	adantr 481	. . . . 5 |- ( ( R e. CRing /\ M e. B ) -> R e. Ring )
40	8, 9, 22	matgsumcl 20266	. . . . 5 |- ( ( R e. CRing /\ M e. B ) -> ( U gsumg ( r e. N |-> ( r M r ) ) ) e. ( Base ` R ) )
41		eqid 2622	. . . . . 6 |- ( Base ` R ) = ( Base ` R )
42		madetsumid.t	. . . . . 6 |- .x. = ( .r ` R )
43	41, 42, 27	ringlidm 18571	. . . . 5 |- ( ( R e. Ring /\ ( U gsumg ( r e. N |-> ( r M r ) ) ) e. ( Base ` R ) ) -> ( ( 1r ` R ) .x. ( U gsumg ( r e. N |-> ( r M r ) ) ) ) = ( U gsumg ( r e. N |-> ( r M r ) ) ) )
44	39, 40, 43	syl2anc 693	. . . 4 |- ( ( R e. CRing /\ M e. B ) -> ( ( 1r ` R ) .x. ( U gsumg ( r e. N |-> ( r M r ) ) ) ) = ( U gsumg ( r e. N |-> ( r M r ) ) ) )
45	38, 44	eqtrd 2656	. . 3 |- ( ( R e. CRing /\ M e. B ) -> ( ( ( Y o. S ) ` ( _I |` N ) ) .x. ( U gsumg ( r e. N |-> ( ( ( _I |` N ) ` r ) M r ) ) ) ) = ( U gsumg ( r e. N |-> ( r M r ) ) ) )
46	45	3adant3 1081	. 2 |- ( ( R e. CRing /\ M e. B /\ P = ( _I |` N ) ) -> ( ( ( Y o. S ) ` ( _I |` N ) ) .x. ( U gsumg ( r e. N |-> ( ( ( _I |` N ) ` r ) M r ) ) ) ) = ( U gsumg ( r e. N |-> ( r M r ) ) ) )
47	7, 46	eqtrd 2656	1 |- ( ( R e. CRing /\ M e. B /\ P = ( _I |` N ) ) -> ( ( ( Y o. S ) ` P ) .x. ( U gsumg ( r e. N |-> ( ( P ` r ) M r ) ) ) ) = ( U gsumg ( r e. N |-> ( r M r ) ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   _Vcvv 3200   |-> cmpt 4729   _I cid 5023   |` cres 5116   o. ccom 5118   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   Fincfn 7955   Basecbs 15857   .rcmulr 15942   0gc0g 16100   gsum_g cgsu 16101   MndHom cmhm 17333   SymGrpcsymg 17797  pmSgncpsgn 17909  mulGrpcmgp 18489   1rcur 18501   Ringcrg 18547   CRingccrg 18548   ZRHomczrh 19848   Mat cmat 20213

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-addf 10015  ax-mulf 10016

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-xor 1465  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-ot 4186  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-iin 4523  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-supp 7296  df-tpos 7352  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-2o 7561  df-oadd 7564  df-er 7742  df-map 7859  df-ixp 7909  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-fsupp 8276  df-sup 8348  df-oi 8415  df-card 8765  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-4 11081  df-5 11082  df-6 11083  df-7 11084  df-8 11085  df-9 11086  df-n0 11293  df-xnn0 11364  df-z 11378  df-dec 11494  df-uz 11688  df-rp 11833  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-seq 12802  df-exp 12861  df-hash 13118  df-word 13299  df-lsw 13300  df-concat 13301  df-s1 13302  df-substr 13303  df-splice 13304  df-reverse 13305  df-s2 13593  df-struct 15859  df-ndx 15860  df-slot 15861  df-base 15863  df-sets 15864  df-ress 15865  df-plusg 15954  df-mulr 15955  df-starv 15956  df-sca 15957  df-vsca 15958  df-ip 15959  df-tset 15960  df-ple 15961  df-ds 15964  df-unif 15965  df-hom 15966  df-cco 15967  df-0g 16102  df-gsum 16103  df-prds 16108  df-pws 16110  df-mre 16246  df-mrc 16247  df-acs 16249  df-mgm 17242  df-sgrp 17284  df-mnd 17295  df-mhm 17335  df-submnd 17336  df-grp 17425  df-minusg 17426  df-mulg 17541  df-subg 17591  df-ghm 17658  df-gim 17701  df-cntz 17750  df-oppg 17776  df-symg 17798  df-pmtr 17862  df-psgn 17911  df-cmn 18195  df-abl 18196  df-mgp 18490  df-ur 18502  df-ring 18549  df-cring 18550  df-oppr 18623  df-dvdsr 18641  df-unit 18642  df-invr 18672  df-dvr 18683  df-rnghom 18715  df-drng 18749  df-subrg 18778  df-sra 19172  df-rgmod 19173  df-cnfld 19747  df-zring 19819  df-zrh 19852  df-dsmm 20076  df-frlm 20091  df-mat 20214

This theorem is referenced by:  mdetdiag  20405