Theorem zrhpsgnmhm 19930

Description: Embedding of permutation signs into an arbitrary ring is a homomorphism. (Contributed by SO, 9-Jul-2018.)

Assertion

Ref	Expression
zrhpsgnmhm	|- ( ( R e. Ring /\ A e. Fin ) -> ( ( ZRHom ` R ) o. (pmSgn ` A ) ) e. ( ( SymGrp ` A ) MndHom (mulGrp ` R ) ) )

Proof of Theorem zrhpsgnmhm

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2622	. . . 4 |- ( ZRHom ` R ) = ( ZRHom ` R )
2	1	zrhrhm 19860	. . 3 |- ( R e. Ring -> ( ZRHom ` R ) e. (ℤring RingHom R ) )
3		eqid 2622	. . . 4 |- (mulGrp ` ℤring ) = (mulGrp ` ℤring )
4		eqid 2622	. . . 4 |- (mulGrp ` R ) = (mulGrp ` R )
5	3, 4	rhmmhm 18722	. . 3 |- ( ( ZRHom ` R ) e. (ℤring RingHom R ) -> ( ZRHom ` R ) e. ( (mulGrp ` ℤring ) MndHom (mulGrp ` R ) ) )
6	2, 5	syl 17	. 2 |- ( R e. Ring -> ( ZRHom ` R ) e. ( (mulGrp ` ℤring ) MndHom (mulGrp ` R ) ) )
7		eqid 2622	. . . . 5 |- ( SymGrp ` A ) = ( SymGrp ` A )
8		eqid 2622	. . . . 5 |- (pmSgn ` A ) = (pmSgn ` A )
9		eqid 2622	. . . . 5 |- ( (mulGrp ` ℂfld ) ↾s { 1 , -u 1 } ) = ( (mulGrp ` ℂfld ) ↾s { 1 , -u 1 } )
10	7, 8, 9	psgnghm2 19927	. . . 4 |- ( A e. Fin -> (pmSgn ` A ) e. ( ( SymGrp ` A ) GrpHom ( (mulGrp ` ℂfld ) ↾s { 1 , -u 1 } ) ) )
11		ghmmhm 17670	. . . 4 |- ( (pmSgn ` A ) e. ( ( SymGrp ` A ) GrpHom ( (mulGrp ` ℂfld ) ↾s { 1 , -u 1 } ) ) -> (pmSgn ` A ) e. ( ( SymGrp ` A ) MndHom ( (mulGrp ` ℂfld ) ↾s { 1 , -u 1 } ) ) )
12	10, 11	syl 17	. . 3 |- ( A e. Fin -> (pmSgn ` A ) e. ( ( SymGrp ` A ) MndHom ( (mulGrp ` ℂfld ) ↾s { 1 , -u 1 } ) ) )
13		eqid 2622	. . . . . . . 8 |- ( (mulGrp ` ℂfld ) ↾s ( CC \ { 0 } ) ) = ( (mulGrp ` ℂfld ) ↾s ( CC \ { 0 } ) )
14	13	cnmsgnsubg 19923	. . . . . . 7 |- { 1 , -u 1 } e. (SubGrp ` ( (mulGrp ` ℂfld ) ↾s ( CC \ { 0 } ) ) )
15		subgsubm 17616	. . . . . . 7 |- ( { 1 , -u 1 } e. (SubGrp ` ( (mulGrp ` ℂfld ) ↾s ( CC \ { 0 } ) ) ) -> { 1 , -u 1 } e. (SubMnd ` ( (mulGrp ` ℂfld ) ↾s ( CC \ { 0 } ) ) ) )
16	14, 15	ax-mp 5	. . . . . 6 |- { 1 , -u 1 } e. (SubMnd ` ( (mulGrp ` ℂfld ) ↾s ( CC \ { 0 } ) ) )
17		cnring 19768	. . . . . . 7 |- ℂfld e. Ring
18		cnfldbas 19750	. . . . . . . . 9 |- CC = ( Base ` ℂfld )
19		cnfld0 19770	. . . . . . . . 9 |- 0 = ( 0g ` ℂfld )
20		cndrng 19775	. . . . . . . . 9 |- ℂfld e. DivRing
21	18, 19, 20	drngui 18753	. . . . . . . 8 |- ( CC \ { 0 } ) = (Unit ` ℂfld )
22		eqid 2622	. . . . . . . 8 |- (mulGrp ` ℂfld ) = (mulGrp ` ℂfld )
23	21, 22	unitsubm 18670	. . . . . . 7 |- (ℂfld e. Ring -> ( CC \ { 0 } ) e. (SubMnd ` (mulGrp ` ℂfld ) ) )
24	13	subsubm 17357	. . . . . . 7 |- ( ( CC \ { 0 } ) e. (SubMnd ` (mulGrp ` ℂfld ) ) -> ( { 1 , -u 1 } e. (SubMnd ` ( (mulGrp ` ℂfld ) ↾s ( CC \ { 0 } ) ) ) <-> ( { 1 , -u 1 } e. (SubMnd ` (mulGrp ` ℂfld ) ) /\ { 1 , -u 1 } C_ ( CC \ { 0 } ) ) ) )
25	17, 23, 24	mp2b 10	. . . . . 6 |- ( { 1 , -u 1 } e. (SubMnd ` ( (mulGrp ` ℂfld ) ↾s ( CC \ { 0 } ) ) ) <-> ( { 1 , -u 1 } e. (SubMnd ` (mulGrp ` ℂfld ) ) /\ { 1 , -u 1 } C_ ( CC \ { 0 } ) ) )
26	16, 25	mpbi 220	. . . . 5 |- ( { 1 , -u 1 } e. (SubMnd ` (mulGrp ` ℂfld ) ) /\ { 1 , -u 1 } C_ ( CC \ { 0 } ) )
27	26	simpli 474	. . . 4 |- { 1 , -u 1 } e. (SubMnd ` (mulGrp ` ℂfld ) )
28		1z 11407	. . . . 5 |- 1 e. ZZ
29		neg1z 11413	. . . . 5 |- -u 1 e. ZZ
30		prssi 4353	. . . . 5 |- ( ( 1 e. ZZ /\ -u 1 e. ZZ ) -> { 1 , -u 1 } C_ ZZ )
31	28, 29, 30	mp2an 708	. . . 4 |- { 1 , -u 1 } C_ ZZ
32		zsubrg 19799	. . . . 5 |- ZZ e. (SubRing ` ℂfld )
33	22	subrgsubm 18793	. . . . 5 |- ( ZZ e. (SubRing ` ℂfld ) -> ZZ e. (SubMnd ` (mulGrp ` ℂfld ) ) )
34		zringmpg 19840	. . . . . . 7 |- ( (mulGrp ` ℂfld ) ↾s ZZ ) = (mulGrp ` ℤring )
35	34	eqcomi 2631	. . . . . 6 |- (mulGrp ` ℤring ) = ( (mulGrp ` ℂfld ) ↾s ZZ )
36	35	subsubm 17357	. . . . 5 |- ( ZZ e. (SubMnd ` (mulGrp ` ℂfld ) ) -> ( { 1 , -u 1 } e. (SubMnd ` (mulGrp ` ℤring ) ) <-> ( { 1 , -u 1 } e. (SubMnd ` (mulGrp ` ℂfld ) ) /\ { 1 , -u 1 } C_ ZZ ) ) )
37	32, 33, 36	mp2b 10	. . . 4 |- ( { 1 , -u 1 } e. (SubMnd ` (mulGrp ` ℤring ) ) <-> ( { 1 , -u 1 } e. (SubMnd ` (mulGrp ` ℂfld ) ) /\ { 1 , -u 1 } C_ ZZ ) )
38	27, 31, 37	mpbir2an 955	. . 3 |- { 1 , -u 1 } e. (SubMnd ` (mulGrp ` ℤring ) )
39		zex 11386	. . . . . 6 |- ZZ e. _V
40		ressabs 15939	. . . . . 6 |- ( ( ZZ e. _V /\ { 1 , -u 1 } C_ ZZ ) -> ( ( (mulGrp ` ℂfld ) ↾s ZZ ) ↾s { 1 , -u 1 } ) = ( (mulGrp ` ℂfld ) ↾s { 1 , -u 1 } ) )
41	39, 31, 40	mp2an 708	. . . . 5 |- ( ( (mulGrp ` ℂfld ) ↾s ZZ ) ↾s { 1 , -u 1 } ) = ( (mulGrp ` ℂfld ) ↾s { 1 , -u 1 } )
42	34	oveq1i 6660	. . . . 5 |- ( ( (mulGrp ` ℂfld ) ↾s ZZ ) ↾s { 1 , -u 1 } ) = ( (mulGrp ` ℤring ) ↾s { 1 , -u 1 } )
43	41, 42	eqtr3i 2646	. . . 4 |- ( (mulGrp ` ℂfld ) ↾s { 1 , -u 1 } ) = ( (mulGrp ` ℤring ) ↾s { 1 , -u 1 } )
44	43	resmhm2 17360	. . 3 |- ( ( (pmSgn ` A ) e. ( ( SymGrp ` A ) MndHom ( (mulGrp ` ℂfld ) ↾s { 1 , -u 1 } ) ) /\ { 1 , -u 1 } e. (SubMnd ` (mulGrp ` ℤring ) ) ) -> (pmSgn ` A ) e. ( ( SymGrp ` A ) MndHom (mulGrp ` ℤring ) ) )
45	12, 38, 44	sylancl 694	. 2 |- ( A e. Fin -> (pmSgn ` A ) e. ( ( SymGrp ` A ) MndHom (mulGrp ` ℤring ) ) )
46		mhmco 17362	. 2 |- ( ( ( ZRHom ` R ) e. ( (mulGrp ` ℤring ) MndHom (mulGrp ` R ) ) /\ (pmSgn ` A ) e. ( ( SymGrp ` A ) MndHom (mulGrp ` ℤring ) ) ) -> ( ( ZRHom ` R ) o. (pmSgn ` A ) ) e. ( ( SymGrp ` A ) MndHom (mulGrp ` R ) ) )
47	6, 45, 46	syl2an 494	1 |- ( ( R e. Ring /\ A e. Fin ) -> ( ( ZRHom ` R ) o. (pmSgn ` A ) ) e. ( ( SymGrp ` A ) MndHom (mulGrp ` R ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   _Vcvv 3200   \ cdif 3571   C_ wss 3574   {csn 4177   {cpr 4179   o. ccom 5118   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   Fincfn 7955   CCcc 9934   0cc0 9936   1c1 9937   -ucneg 10267   ZZcz 11377   ↾_s cress 15858   MndHom cmhm 17333  SubMndcsubmnd 17334  SubGrpcsubg 17588   GrpHom cghm 17657   SymGrpcsymg 17797  pmSgncpsgn 17909  mulGrpcmgp 18489   Ringcrg 18547   RingHom crh 18712  SubRingcsubrg 18776  ℂ_fldccnfld 19746  ℤ_ringzring 19818   ZRHomczrh 19848

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-addf 10015  ax-mulf 10016

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-xor 1465  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-ot 4186  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-iin 4523  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-tpos 7352  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-2o 7561  df-oadd 7564  df-er 7742  df-map 7859  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-card 8765  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-4 11081  df-5 11082  df-6 11083  df-7 11084  df-8 11085  df-9 11086  df-n0 11293  df-xnn0 11364  df-z 11378  df-dec 11494  df-uz 11688  df-rp 11833  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-seq 12802  df-exp 12861  df-hash 13118  df-word 13299  df-lsw 13300  df-concat 13301  df-s1 13302  df-substr 13303  df-splice 13304  df-reverse 13305  df-s2 13593  df-struct 15859  df-ndx 15860  df-slot 15861  df-base 15863  df-sets 15864  df-ress 15865  df-plusg 15954  df-mulr 15955  df-starv 15956  df-tset 15960  df-ple 15961  df-ds 15964  df-unif 15965  df-0g 16102  df-gsum 16103  df-mre 16246  df-mrc 16247  df-acs 16249  df-mgm 17242  df-sgrp 17284  df-mnd 17295  df-mhm 17335  df-submnd 17336  df-grp 17425  df-minusg 17426  df-mulg 17541  df-subg 17591  df-ghm 17658  df-gim 17701  df-oppg 17776  df-symg 17798  df-pmtr 17862  df-psgn 17911  df-cmn 18195  df-abl 18196  df-mgp 18490  df-ur 18502  df-ring 18549  df-cring 18550  df-oppr 18623  df-dvdsr 18641  df-unit 18642  df-invr 18672  df-dvr 18683  df-rnghom 18715  df-drng 18749  df-subrg 18778  df-cnfld 19747  df-zring 19819  df-zrh 19852

This theorem is referenced by:  madetsumid  20267  mdetleib2  20394  mdetf  20401  mdetdiaglem  20404  mdetrlin  20408  mdetrsca  20409  mdetralt  20414  mdetunilem7  20424  mdetunilem8  20425