Theorem mat2pmatmhm 20538

Description: The transformation of matrices into polynomial matrices is a homomorphism of multiplicative monoids. (Contributed by AV, 29-Oct-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
mat2pmatbas.t	|- T = ( N matToPolyMat R )
mat2pmatbas.a	|- A = ( N Mat R )
mat2pmatbas.b	|- B = ( Base ` A )
mat2pmatbas.p	|- P = (Poly1 ` R )
mat2pmatbas.c	|- C = ( N Mat P )
mat2pmatbas0.h	|- H = ( Base ` C )

Assertion

Ref	Expression
mat2pmatmhm	|- ( ( N e. Fin /\ R e. CRing ) -> T e. ( (mulGrp ` A ) MndHom (mulGrp ` C ) ) )

Proof of Theorem mat2pmatmhm

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		crngring 18558	. . . . 5 |- ( R e. CRing -> R e. Ring )
2		mat2pmatbas.a	. . . . . 6 |- A = ( N Mat R )
3	2	matring 20249	. . . . 5 |- ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) -> A e. Ring )
4	1, 3	sylan2 491	. . . 4 |- ( ( N e. Fin /\ R e. CRing ) -> A e. Ring )
5		eqid 2622	. . . . 5 |- (mulGrp ` A ) = (mulGrp ` A )
6	5	ringmgp 18553	. . . 4 |- ( A e. Ring -> (mulGrp ` A ) e. Mnd )
7	4, 6	syl 17	. . 3 |- ( ( N e. Fin /\ R e. CRing ) -> (mulGrp ` A ) e. Mnd )
8		mat2pmatbas.p	. . . . . . 7 |- P = (Poly1 ` R )
9	8	ply1ring 19618	. . . . . 6 |- ( R e. Ring -> P e. Ring )
10	1, 9	syl 17	. . . . 5 |- ( R e. CRing -> P e. Ring )
11		mat2pmatbas.c	. . . . . 6 |- C = ( N Mat P )
12	11	matring 20249	. . . . 5 |- ( ( N e. Fin /\ P e. Ring ) -> C e. Ring )
13	10, 12	sylan2 491	. . . 4 |- ( ( N e. Fin /\ R e. CRing ) -> C e. Ring )
14		eqid 2622	. . . . 5 |- (mulGrp ` C ) = (mulGrp ` C )
15	14	ringmgp 18553	. . . 4 |- ( C e. Ring -> (mulGrp ` C ) e. Mnd )
16	13, 15	syl 17	. . 3 |- ( ( N e. Fin /\ R e. CRing ) -> (mulGrp ` C ) e. Mnd )
17	7, 16	jca 554	. 2 |- ( ( N e. Fin /\ R e. CRing ) -> ( (mulGrp ` A ) e. Mnd /\ (mulGrp ` C ) e. Mnd ) )
18		mat2pmatbas.t	. . . . 5 |- T = ( N matToPolyMat R )
19		mat2pmatbas.b	. . . . 5 |- B = ( Base ` A )
20		mat2pmatbas0.h	. . . . 5 |- H = ( Base ` C )
21	18, 2, 19, 8, 11, 20	mat2pmatf 20533	. . . 4 |- ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) -> T : B --> H )
22	1, 21	sylan2 491	. . 3 |- ( ( N e. Fin /\ R e. CRing ) -> T : B --> H )
23	18, 2, 19, 8, 11, 20	mat2pmatmul 20536	. . 3 |- ( ( N e. Fin /\ R e. CRing ) -> A. x e. B A. y e. B ( T ` ( x ( .r ` A ) y ) ) = ( ( T ` x ) ( .r ` C ) ( T ` y ) ) )
24	18, 2, 19, 8, 11, 20	mat2pmat1 20537	. . . 4 |- ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) -> ( T ` ( 1r ` A ) ) = ( 1r ` C ) )
25	1, 24	sylan2 491	. . 3 |- ( ( N e. Fin /\ R e. CRing ) -> ( T ` ( 1r ` A ) ) = ( 1r ` C ) )
26	22, 23, 25	3jca 1242	. 2 |- ( ( N e. Fin /\ R e. CRing ) -> ( T : B --> H /\ A. x e. B A. y e. B ( T ` ( x ( .r ` A ) y ) ) = ( ( T ` x ) ( .r ` C ) ( T ` y ) ) /\ ( T ` ( 1r ` A ) ) = ( 1r ` C ) ) )
27	5, 19	mgpbas 18495	. . 3 |- B = ( Base ` (mulGrp ` A ) )
28	14, 20	mgpbas 18495	. . 3 |- H = ( Base ` (mulGrp ` C ) )
29		eqid 2622	. . . 4 |- ( .r ` A ) = ( .r ` A )
30	5, 29	mgpplusg 18493	. . 3 |- ( .r ` A ) = ( +g ` (mulGrp ` A ) )
31		eqid 2622	. . . 4 |- ( .r ` C ) = ( .r ` C )
32	14, 31	mgpplusg 18493	. . 3 |- ( .r ` C ) = ( +g ` (mulGrp ` C ) )
33		eqid 2622	. . . 4 |- ( 1r ` A ) = ( 1r ` A )
34	5, 33	ringidval 18503	. . 3 |- ( 1r ` A ) = ( 0g ` (mulGrp ` A ) )
35		eqid 2622	. . . 4 |- ( 1r ` C ) = ( 1r ` C )
36	14, 35	ringidval 18503	. . 3 |- ( 1r ` C ) = ( 0g ` (mulGrp ` C ) )
37	27, 28, 30, 32, 34, 36	ismhm 17337	. 2 |- ( T e. ( (mulGrp ` A ) MndHom (mulGrp ` C ) ) <-> ( ( (mulGrp ` A ) e. Mnd /\ (mulGrp ` C ) e. Mnd ) /\ ( T : B --> H /\ A. x e. B A. y e. B ( T ` ( x ( .r ` A ) y ) ) = ( ( T ` x ) ( .r ` C ) ( T ` y ) ) /\ ( T ` ( 1r ` A ) ) = ( 1r ` C ) ) ) )
38	17, 26, 37	sylanbrc 698	1 |- ( ( N e. Fin /\ R e. CRing ) -> T e. ( (mulGrp ` A ) MndHom (mulGrp ` C ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   A.wral 2912   -->wf 5884   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   Fincfn 7955   Basecbs 15857   .rcmulr 15942   Mndcmnd 17294   MndHom cmhm 17333  mulGrpcmgp 18489   1rcur 18501   Ringcrg 18547   CRingccrg 18548  Poly₁cpl1 19547   Mat cmat 20213   matToPolyMat cmat2pmat 20509

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-ot 4186  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-iin 4523  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-of 6897  df-ofr 6898  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-supp 7296  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-2o 7561  df-oadd 7564  df-er 7742  df-map 7859  df-pm 7860  df-ixp 7909  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-fsupp 8276  df-sup 8348  df-oi 8415  df-card 8765  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-4 11081  df-5 11082  df-6 11083  df-7 11084  df-8 11085  df-9 11086  df-n0 11293  df-z 11378  df-dec 11494  df-uz 11688  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-seq 12802  df-hash 13118  df-struct 15859  df-ndx 15860  df-slot 15861  df-base 15863  df-sets 15864  df-ress 15865  df-plusg 15954  df-mulr 15955  df-sca 15957  df-vsca 15958  df-ip 15959  df-tset 15960  df-ple 15961  df-ds 15964  df-hom 15966  df-cco 15967  df-0g 16102  df-gsum 16103  df-prds 16108  df-pws 16110  df-mre 16246  df-mrc 16247  df-acs 16249  df-mgm 17242  df-sgrp 17284  df-mnd 17295  df-mhm 17335  df-submnd 17336  df-grp 17425  df-minusg 17426  df-sbg 17427  df-mulg 17541  df-subg 17591  df-ghm 17658  df-cntz 17750  df-cmn 18195  df-abl 18196  df-mgp 18490  df-ur 18502  df-ring 18549  df-cring 18550  df-rnghom 18715  df-subrg 18778  df-lmod 18865  df-lss 18933  df-sra 19172  df-rgmod 19173  df-assa 19312  df-ascl 19314  df-psr 19356  df-mpl 19358  df-opsr 19360  df-psr1 19550  df-ply1 19552  df-dsmm 20076  df-frlm 20091  df-mamu 20190  df-mat 20214  df-mat2pmat 20512

This theorem is referenced by:  mat2pmatrhm  20539  m2cpmmhm  20550  cayhamlem4  20693