Theorem mat2pmatmul 20536

Description: The transformation of matrices into polynomial matrices preserves the multiplication. (Contributed by AV, 29-Oct-2019.) (Proof shortened by AV, 28-Nov-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
mat2pmatbas.t	|- T = ( N matToPolyMat R )
mat2pmatbas.a	|- A = ( N Mat R )
mat2pmatbas.b	|- B = ( Base ` A )
mat2pmatbas.p	|- P = (Poly1 ` R )
mat2pmatbas.c	|- C = ( N Mat P )
mat2pmatbas0.h	|- H = ( Base ` C )

Assertion

Ref	Expression
mat2pmatmul	|- ( ( N e. Fin /\ R e. CRing ) -> A. x e. B A. y e. B ( T ` ( x ( .r ` A ) y ) ) = ( ( T ` x ) ( .r ` C ) ( T ` y ) ) )

Distinct variable groups:   x, B, y   x, N, y   x, P, y   x, R, y   x, T, y   x, A, y   x, C, y   x, H, y

Proof of Theorem mat2pmatmul

Dummy variables m i j k l are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mat2pmatbas.a	. . . . . . . . . . . . 13 |- A = ( N Mat R )
2		eqid 2622	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( R maMul <. N , N , N >. ) = ( R maMul <. N , N , N >. )
3	1, 2	matmulr 20244	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( N e. Fin /\ R e. CRing ) -> ( R maMul <. N , N , N >. ) = ( .r ` A ) )
4	3	eqcomd 2628	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( N e. Fin /\ R e. CRing ) -> ( .r ` A ) = ( R maMul <. N , N , N >. ) )
5	4	oveqdr 6674	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( N e. Fin /\ R e. CRing ) /\ ( x e. B /\ y e. B ) ) -> ( x ( .r ` A ) y ) = ( x ( R maMul <. N , N , N >. ) y ) )
6		eqid 2622	. . . . . . . . . . 11 |- ( Base ` R ) = ( Base ` R )
7		eqid 2622	. . . . . . . . . . 11 |- ( .r ` R ) = ( .r ` R )
8		crngring 18558	. . . . . . . . . . . 12 |- ( R e. CRing -> R e. Ring )
9	8	ad2antlr 763	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( N e. Fin /\ R e. CRing ) /\ ( x e. B /\ y e. B ) ) -> R e. Ring )
10		simpll 790	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( N e. Fin /\ R e. CRing ) /\ ( x e. B /\ y e. B ) ) -> N e. Fin )
11		mat2pmatbas.b	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- B = ( Base ` A )
12	11	eleq2i 2693	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( x e. B <-> x e. ( Base ` A ) )
13	12	biimpi 206	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( x e. B -> x e. ( Base ` A ) )
14	13	adantr 481	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( x e. B /\ y e. B ) -> x e. ( Base ` A ) )
15	14	adantl 482	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( N e. Fin /\ R e. CRing ) /\ ( x e. B /\ y e. B ) ) -> x e. ( Base ` A ) )
16	1, 6	matbas2 20227	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( N e. Fin /\ R e. CRing ) -> ( ( Base ` R ) ^m ( N X. N ) ) = ( Base ` A ) )
17	16	adantr 481	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( N e. Fin /\ R e. CRing ) /\ ( x e. B /\ y e. B ) ) -> ( ( Base ` R ) ^m ( N X. N ) ) = ( Base ` A ) )
18	15, 17	eleqtrrd 2704	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( N e. Fin /\ R e. CRing ) /\ ( x e. B /\ y e. B ) ) -> x e. ( ( Base ` R ) ^m ( N X. N ) ) )
19	11	eleq2i 2693	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( y e. B <-> y e. ( Base ` A ) )
20	19	biimpi 206	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( y e. B -> y e. ( Base ` A ) )
21	20	ad2antll 765	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( N e. Fin /\ R e. CRing ) /\ ( x e. B /\ y e. B ) ) -> y e. ( Base ` A ) )
22	16	eleq2d 2687	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( N e. Fin /\ R e. CRing ) -> ( y e. ( ( Base ` R ) ^m ( N X. N ) ) <-> y e. ( Base ` A ) ) )
23	22	adantr 481	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( N e. Fin /\ R e. CRing ) /\ ( x e. B /\ y e. B ) ) -> ( y e. ( ( Base ` R ) ^m ( N X. N ) ) <-> y e. ( Base ` A ) ) )
24	21, 23	mpbird 247	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( N e. Fin /\ R e. CRing ) /\ ( x e. B /\ y e. B ) ) -> y e. ( ( Base ` R ) ^m ( N X. N ) ) )
25	2, 6, 7, 9, 10, 10, 10, 18, 24	mamuval 20192	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( N e. Fin /\ R e. CRing ) /\ ( x e. B /\ y e. B ) ) -> ( x ( R maMul <. N , N , N >. ) y ) = ( i e. N , j e. N |-> ( R gsumg ( m e. N |-> ( ( i x m ) ( .r ` R ) ( m y j ) ) ) ) ) )
26	5, 25	eqtrd 2656	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( N e. Fin /\ R e. CRing ) /\ ( x e. B /\ y e. B ) ) -> ( x ( .r ` A ) y ) = ( i e. N , j e. N |-> ( R gsumg ( m e. N |-> ( ( i x m ) ( .r ` R ) ( m y j ) ) ) ) ) )
27	26	3ad2ant1 1082	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. CRing ) /\ ( x e. B /\ y e. B ) ) /\ k e. N /\ l e. N ) -> ( x ( .r ` A ) y ) = ( i e. N , j e. N |-> ( R gsumg ( m e. N |-> ( ( i x m ) ( .r ` R ) ( m y j ) ) ) ) ) )
28		oveq1 6657	. . . . . . . . . . . 12 |- ( i = k -> ( i x m ) = ( k x m ) )
29		oveq2 6658	. . . . . . . . . . . 12 |- ( j = l -> ( m y j ) = ( m y l ) )
30	28, 29	oveqan12d 6669	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( i = k /\ j = l ) -> ( ( i x m ) ( .r ` R ) ( m y j ) ) = ( ( k x m ) ( .r ` R ) ( m y l ) ) )
31	30	mpteq2dv 4745	. . . . . . . . . 10 |- ( ( i = k /\ j = l ) -> ( m e. N |-> ( ( i x m ) ( .r ` R ) ( m y j ) ) ) = ( m e. N |-> ( ( k x m ) ( .r ` R ) ( m y l ) ) ) )
32	31	oveq2d 6666	. . . . . . . . 9 |- ( ( i = k /\ j = l ) -> ( R gsumg ( m e. N |-> ( ( i x m ) ( .r ` R ) ( m y j ) ) ) ) = ( R gsumg ( m e. N |-> ( ( k x m ) ( .r ` R ) ( m y l ) ) ) ) )
33	32	adantl 482	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. CRing ) /\ ( x e. B /\ y e. B ) ) /\ k e. N /\ l e. N ) /\ ( i = k /\ j = l ) ) -> ( R gsumg ( m e. N |-> ( ( i x m ) ( .r ` R ) ( m y j ) ) ) ) = ( R gsumg ( m e. N |-> ( ( k x m ) ( .r ` R ) ( m y l ) ) ) ) )
34		simp2 1062	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. CRing ) /\ ( x e. B /\ y e. B ) ) /\ k e. N /\ l e. N ) -> k e. N )
35		simp3 1063	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. CRing ) /\ ( x e. B /\ y e. B ) ) /\ k e. N /\ l e. N ) -> l e. N )
36		ovexd 6680	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. CRing ) /\ ( x e. B /\ y e. B ) ) /\ k e. N /\ l e. N ) -> ( R gsumg ( m e. N |-> ( ( k x m ) ( .r ` R ) ( m y l ) ) ) ) e. _V )
37	27, 33, 34, 35, 36	ovmpt2d 6788	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. CRing ) /\ ( x e. B /\ y e. B ) ) /\ k e. N /\ l e. N ) -> ( k ( x ( .r ` A ) y ) l ) = ( R gsumg ( m e. N |-> ( ( k x m ) ( .r ` R ) ( m y l ) ) ) ) )
38	37	fveq2d 6195	. . . . . 6 |- ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. CRing ) /\ ( x e. B /\ y e. B ) ) /\ k e. N /\ l e. N ) -> ( (algSc ` P ) ` ( k ( x ( .r ` A ) y ) l ) ) = ( (algSc ` P ) ` ( R gsumg ( m e. N |-> ( ( k x m ) ( .r ` R ) ( m y l ) ) ) ) ) )
39		eqid 2622	. . . . . . 7 |- ( 0g ` R ) = ( 0g ` R )
40		ringcmn 18581	. . . . . . . . . 10 |- ( R e. Ring -> R e. CMnd )
41	8, 40	syl 17	. . . . . . . . 9 |- ( R e. CRing -> R e. CMnd )
42	41	ad2antlr 763	. . . . . . . 8 |- ( ( ( N e. Fin /\ R e. CRing ) /\ ( x e. B /\ y e. B ) ) -> R e. CMnd )
43	42	3ad2ant1 1082	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. CRing ) /\ ( x e. B /\ y e. B ) ) /\ k e. N /\ l e. N ) -> R e. CMnd )
44		mat2pmatbas.p	. . . . . . . . . . . 12 |- P = (Poly1 ` R )
45	44	ply1ring 19618	. . . . . . . . . . 11 |- ( R e. Ring -> P e. Ring )
46	8, 45	syl 17	. . . . . . . . . 10 |- ( R e. CRing -> P e. Ring )
47		ringmnd 18556	. . . . . . . . . 10 |- ( P e. Ring -> P e. Mnd )
48	46, 47	syl 17	. . . . . . . . 9 |- ( R e. CRing -> P e. Mnd )
49	48	ad2antlr 763	. . . . . . . 8 |- ( ( ( N e. Fin /\ R e. CRing ) /\ ( x e. B /\ y e. B ) ) -> P e. Mnd )
50	49	3ad2ant1 1082	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. CRing ) /\ ( x e. B /\ y e. B ) ) /\ k e. N /\ l e. N ) -> P e. Mnd )
51	10	3ad2ant1 1082	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. CRing ) /\ ( x e. B /\ y e. B ) ) /\ k e. N /\ l e. N ) -> N e. Fin )
52		eqid 2622	. . . . . . . . . . . 12 |- (algSc ` P ) = (algSc ` P )
53		eqid 2622	. . . . . . . . . . . 12 |- (Scalar ` P ) = (Scalar ` P )
54	46	adantl 482	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( N e. Fin /\ R e. CRing ) -> P e. Ring )
55	44	ply1lmod 19622	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( R e. Ring -> P e. LMod )
56	8, 55	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( R e. CRing -> P e. LMod )
57	56	adantl 482	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( N e. Fin /\ R e. CRing ) -> P e. LMod )
58	52, 53, 54, 57	asclghm 19338	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( N e. Fin /\ R e. CRing ) -> (algSc ` P ) e. ( (Scalar ` P ) GrpHom P ) )
59	44	ply1sca 19623	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( R e. CRing -> R = (Scalar ` P ) )
60	59	adantl 482	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( N e. Fin /\ R e. CRing ) -> R = (Scalar ` P ) )
61	60	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( N e. Fin /\ R e. CRing ) -> ( R GrpHom P ) = ( (Scalar ` P ) GrpHom P ) )
62	58, 61	eleqtrrd 2704	. . . . . . . . . 10 |- ( ( N e. Fin /\ R e. CRing ) -> (algSc ` P ) e. ( R GrpHom P ) )
63		ghmmhm 17670	. . . . . . . . . 10 |- ( (algSc ` P ) e. ( R GrpHom P ) -> (algSc ` P ) e. ( R MndHom P ) )
64	62, 63	syl 17	. . . . . . . . 9 |- ( ( N e. Fin /\ R e. CRing ) -> (algSc ` P ) e. ( R MndHom P ) )
65	64	adantr 481	. . . . . . . 8 |- ( ( ( N e. Fin /\ R e. CRing ) /\ ( x e. B /\ y e. B ) ) -> (algSc ` P ) e. ( R MndHom P ) )
66	65	3ad2ant1 1082	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. CRing ) /\ ( x e. B /\ y e. B ) ) /\ k e. N /\ l e. N ) -> (algSc ` P ) e. ( R MndHom P ) )
67	9	3ad2ant1 1082	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. CRing ) /\ ( x e. B /\ y e. B ) ) /\ k e. N /\ l e. N ) -> R e. Ring )
68	67	adantr 481	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. CRing ) /\ ( x e. B /\ y e. B ) ) /\ k e. N /\ l e. N ) /\ m e. N ) -> R e. Ring )
69	34	adantr 481	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. CRing ) /\ ( x e. B /\ y e. B ) ) /\ k e. N /\ l e. N ) /\ m e. N ) -> k e. N )
70		simpr 477	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. CRing ) /\ ( x e. B /\ y e. B ) ) /\ k e. N /\ l e. N ) /\ m e. N ) -> m e. N )
71	15	3ad2ant1 1082	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. CRing ) /\ ( x e. B /\ y e. B ) ) /\ k e. N /\ l e. N ) -> x e. ( Base ` A ) )
72	71	adantr 481	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. CRing ) /\ ( x e. B /\ y e. B ) ) /\ k e. N /\ l e. N ) /\ m e. N ) -> x e. ( Base ` A ) )
73	72, 12	sylibr 224	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. CRing ) /\ ( x e. B /\ y e. B ) ) /\ k e. N /\ l e. N ) /\ m e. N ) -> x e. B )
74	1, 6, 11, 69, 70, 73	matecld 20232	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. CRing ) /\ ( x e. B /\ y e. B ) ) /\ k e. N /\ l e. N ) /\ m e. N ) -> ( k x m ) e. ( Base ` R ) )
75	35	adantr 481	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. CRing ) /\ ( x e. B /\ y e. B ) ) /\ k e. N /\ l e. N ) /\ m e. N ) -> l e. N )
76	1	fveq2i 6194	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( Base ` A ) = ( Base ` ( N Mat R ) )
77	11, 76	eqtri 2644	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- B = ( Base ` ( N Mat R ) )
78	77	eleq2i 2693	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( y e. B <-> y e. ( Base ` ( N Mat R ) ) )
79	78	biimpi 206	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( y e. B -> y e. ( Base ` ( N Mat R ) ) )
80	79	ad2antll 765	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( N e. Fin /\ R e. CRing ) /\ ( x e. B /\ y e. B ) ) -> y e. ( Base ` ( N Mat R ) ) )
81	80	3ad2ant1 1082	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. CRing ) /\ ( x e. B /\ y e. B ) ) /\ k e. N /\ l e. N ) -> y e. ( Base ` ( N Mat R ) ) )
82	81	adantr 481	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. CRing ) /\ ( x e. B /\ y e. B ) ) /\ k e. N /\ l e. N ) /\ m e. N ) -> y e. ( Base ` ( N Mat R ) ) )
83	82, 78	sylibr 224	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. CRing ) /\ ( x e. B /\ y e. B ) ) /\ k e. N /\ l e. N ) /\ m e. N ) -> y e. B )
84	1, 6, 11, 70, 75, 83	matecld 20232	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. CRing ) /\ ( x e. B /\ y e. B ) ) /\ k e. N /\ l e. N ) /\ m e. N ) -> ( m y l ) e. ( Base ` R ) )
85	6, 7	ringcl 18561	. . . . . . . 8 |- ( ( R e. Ring /\ ( k x m ) e. ( Base ` R ) /\ ( m y l ) e. ( Base ` R ) ) -> ( ( k x m ) ( .r ` R ) ( m y l ) ) e. ( Base ` R ) )
86	68, 74, 84, 85	syl3anc 1326	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. CRing ) /\ ( x e. B /\ y e. B ) ) /\ k e. N /\ l e. N ) /\ m e. N ) -> ( ( k x m ) ( .r ` R ) ( m y l ) ) e. ( Base ` R ) )
87		eqid 2622	. . . . . . . 8 |- ( m e. N |-> ( ( k x m ) ( .r ` R ) ( m y l ) ) ) = ( m e. N |-> ( ( k x m ) ( .r ` R ) ( m y l ) ) )
88		ovexd 6680	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. CRing ) /\ ( x e. B /\ y e. B ) ) /\ k e. N /\ l e. N ) /\ m e. N ) -> ( ( k x m ) ( .r ` R ) ( m y l ) ) e. _V )
89		fvexd 6203	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. CRing ) /\ ( x e. B /\ y e. B ) ) /\ k e. N /\ l e. N ) -> ( 0g ` R ) e. _V )
90	87, 51, 88, 89	fsuppmptdm 8286	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. CRing ) /\ ( x e. B /\ y e. B ) ) /\ k e. N /\ l e. N ) -> ( m e. N |-> ( ( k x m ) ( .r ` R ) ( m y l ) ) ) finSupp ( 0g ` R ) )
91	6, 39, 43, 50, 51, 66, 86, 90	gsummptmhm 18340	. . . . . 6 |- ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. CRing ) /\ ( x e. B /\ y e. B ) ) /\ k e. N /\ l e. N ) -> ( P gsumg ( m e. N |-> ( (algSc ` P ) ` ( ( k x m ) ( .r ` R ) ( m y l ) ) ) ) ) = ( (algSc ` P ) ` ( R gsumg ( m e. N |-> ( ( k x m ) ( .r ` R ) ( m y l ) ) ) ) ) )
92	44	ply1assa 19569	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( R e. CRing -> P e. AssAlg )
93	92	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( N e. Fin /\ R e. CRing ) -> P e. AssAlg )
94	52, 53	asclrhm 19342	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( P e. AssAlg -> (algSc ` P ) e. ( (Scalar ` P ) RingHom P ) )
95	93, 94	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( N e. Fin /\ R e. CRing ) -> (algSc ` P ) e. ( (Scalar ` P ) RingHom P ) )
96	60	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( N e. Fin /\ R e. CRing ) -> ( R RingHom P ) = ( (Scalar ` P ) RingHom P ) )
97	95, 96	eleqtrrd 2704	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( N e. Fin /\ R e. CRing ) -> (algSc ` P ) e. ( R RingHom P ) )
98	97	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( N e. Fin /\ R e. CRing ) /\ ( x e. B /\ y e. B ) ) -> (algSc ` P ) e. ( R RingHom P ) )
99	98	3ad2ant1 1082	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. CRing ) /\ ( x e. B /\ y e. B ) ) /\ k e. N /\ l e. N ) -> (algSc ` P ) e. ( R RingHom P ) )
100	99	adantr 481	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. CRing ) /\ ( x e. B /\ y e. B ) ) /\ k e. N /\ l e. N ) /\ m e. N ) -> (algSc ` P ) e. ( R RingHom P ) )
101	21	3ad2ant1 1082	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. CRing ) /\ ( x e. B /\ y e. B ) ) /\ k e. N /\ l e. N ) -> y e. ( Base ` A ) )
102	101	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. CRing ) /\ ( x e. B /\ y e. B ) ) /\ k e. N /\ l e. N ) /\ m e. N ) -> y e. ( Base ` A ) )
103	102, 19	sylibr 224	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. CRing ) /\ ( x e. B /\ y e. B ) ) /\ k e. N /\ l e. N ) /\ m e. N ) -> y e. B )
104	1, 6, 11, 70, 75, 103	matecld 20232	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. CRing ) /\ ( x e. B /\ y e. B ) ) /\ k e. N /\ l e. N ) /\ m e. N ) -> ( m y l ) e. ( Base ` R ) )
105		eqid 2622	. . . . . . . . . 10 |- ( .r ` P ) = ( .r ` P )
106	6, 7, 105	rhmmul 18727	. . . . . . . . 9 |- ( ( (algSc ` P ) e. ( R RingHom P ) /\ ( k x m ) e. ( Base ` R ) /\ ( m y l ) e. ( Base ` R ) ) -> ( (algSc ` P ) ` ( ( k x m ) ( .r ` R ) ( m y l ) ) ) = ( ( (algSc ` P ) ` ( k x m ) ) ( .r ` P ) ( (algSc ` P ) ` ( m y l ) ) ) )
107	100, 74, 104, 106	syl3anc 1326	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. CRing ) /\ ( x e. B /\ y e. B ) ) /\ k e. N /\ l e. N ) /\ m e. N ) -> ( (algSc ` P ) ` ( ( k x m ) ( .r ` R ) ( m y l ) ) ) = ( ( (algSc ` P ) ` ( k x m ) ) ( .r ` P ) ( (algSc ` P ) ` ( m y l ) ) ) )
108	107	mpteq2dva 4744	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. CRing ) /\ ( x e. B /\ y e. B ) ) /\ k e. N /\ l e. N ) -> ( m e. N |-> ( (algSc ` P ) ` ( ( k x m ) ( .r ` R ) ( m y l ) ) ) ) = ( m e. N |-> ( ( (algSc ` P ) ` ( k x m ) ) ( .r ` P ) ( (algSc ` P ) ` ( m y l ) ) ) ) )
109	108	oveq2d 6666	. . . . . 6 |- ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. CRing ) /\ ( x e. B /\ y e. B ) ) /\ k e. N /\ l e. N ) -> ( P gsumg ( m e. N |-> ( (algSc ` P ) ` ( ( k x m ) ( .r ` R ) ( m y l ) ) ) ) ) = ( P gsumg ( m e. N |-> ( ( (algSc ` P ) ` ( k x m ) ) ( .r ` P ) ( (algSc ` P ) ` ( m y l ) ) ) ) ) )
110	38, 91, 109	3eqtr2d 2662	. . . . 5 |- ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. CRing ) /\ ( x e. B /\ y e. B ) ) /\ k e. N /\ l e. N ) -> ( (algSc ` P ) ` ( k ( x ( .r ` A ) y ) l ) ) = ( P gsumg ( m e. N |-> ( ( (algSc ` P ) ` ( k x m ) ) ( .r ` P ) ( (algSc ` P ) ` ( m y l ) ) ) ) ) )
111	110	mpt2eq3dva 6719	. . . 4 |- ( ( ( N e. Fin /\ R e. CRing ) /\ ( x e. B /\ y e. B ) ) -> ( k e. N , l e. N |-> ( (algSc ` P ) ` ( k ( x ( .r ` A ) y ) l ) ) ) = ( k e. N , l e. N |-> ( P gsumg ( m e. N |-> ( ( (algSc ` P ) ` ( k x m ) ) ( .r ` P ) ( (algSc ` P ) ` ( m y l ) ) ) ) ) ) )
112		mat2pmatbas.c	. . . . 5 |- C = ( N Mat P )
113		eqid 2622	. . . . 5 |- ( Base ` P ) = ( Base ` P )
114		eqid 2622	. . . . 5 |- ( .r ` C ) = ( .r ` C )
115	46	ad2antlr 763	. . . . 5 |- ( ( ( N e. Fin /\ R e. CRing ) /\ ( x e. B /\ y e. B ) ) -> P e. Ring )
116		eqid 2622	. . . . 5 |- ( i e. N , j e. N |-> ( (algSc ` P ) ` ( i x j ) ) ) = ( i e. N , j e. N |-> ( (algSc ` P ) ` ( i x j ) ) )
117		eqid 2622	. . . . 5 |- ( i e. N , j e. N |-> ( (algSc ` P ) ` ( i y j ) ) ) = ( i e. N , j e. N |-> ( (algSc ` P ) ` ( i y j ) ) )
118	9	3ad2ant1 1082	. . . . . 6 |- ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. CRing ) /\ ( x e. B /\ y e. B ) ) /\ i e. N /\ j e. N ) -> R e. Ring )
119		simp2 1062	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. CRing ) /\ ( x e. B /\ y e. B ) ) /\ i e. N /\ j e. N ) -> i e. N )
120		simp3 1063	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. CRing ) /\ ( x e. B /\ y e. B ) ) /\ i e. N /\ j e. N ) -> j e. N )
121		simp1rl 1126	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. CRing ) /\ ( x e. B /\ y e. B ) ) /\ i e. N /\ j e. N ) -> x e. B )
122	1, 6, 11, 119, 120, 121	matecld 20232	. . . . . 6 |- ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. CRing ) /\ ( x e. B /\ y e. B ) ) /\ i e. N /\ j e. N ) -> ( i x j ) e. ( Base ` R ) )
123	44, 52, 6, 113	ply1sclcl 19656	. . . . . 6 |- ( ( R e. Ring /\ ( i x j ) e. ( Base ` R ) ) -> ( (algSc ` P ) ` ( i x j ) ) e. ( Base ` P ) )
124	118, 122, 123	syl2anc 693	. . . . 5 |- ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. CRing ) /\ ( x e. B /\ y e. B ) ) /\ i e. N /\ j e. N ) -> ( (algSc ` P ) ` ( i x j ) ) e. ( Base ` P ) )
125		simp1rr 1127	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. CRing ) /\ ( x e. B /\ y e. B ) ) /\ i e. N /\ j e. N ) -> y e. B )
126	1, 6, 11, 119, 120, 125	matecld 20232	. . . . . 6 |- ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. CRing ) /\ ( x e. B /\ y e. B ) ) /\ i e. N /\ j e. N ) -> ( i y j ) e. ( Base ` R ) )
127	44, 52, 6, 113	ply1sclcl 19656	. . . . . 6 |- ( ( R e. Ring /\ ( i y j ) e. ( Base ` R ) ) -> ( (algSc ` P ) ` ( i y j ) ) e. ( Base ` P ) )
128	118, 126, 127	syl2anc 693	. . . . 5 |- ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. CRing ) /\ ( x e. B /\ y e. B ) ) /\ i e. N /\ j e. N ) -> ( (algSc ` P ) ` ( i y j ) ) e. ( Base ` P ) )
129		oveq12 6659	. . . . . . 7 |- ( ( k = i /\ m = j ) -> ( k x m ) = ( i x j ) )
130	129	fveq2d 6195	. . . . . 6 |- ( ( k = i /\ m = j ) -> ( (algSc ` P ) ` ( k x m ) ) = ( (algSc ` P ) ` ( i x j ) ) )
131	130	adantl 482	. . . . 5 |- ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. CRing ) /\ ( x e. B /\ y e. B ) ) /\ ( k = i /\ m = j ) ) -> ( (algSc ` P ) ` ( k x m ) ) = ( (algSc ` P ) ` ( i x j ) ) )
132		oveq12 6659	. . . . . . 7 |- ( ( m = i /\ l = j ) -> ( m y l ) = ( i y j ) )
133	132	fveq2d 6195	. . . . . 6 |- ( ( m = i /\ l = j ) -> ( (algSc ` P ) ` ( m y l ) ) = ( (algSc ` P ) ` ( i y j ) ) )
134	133	adantl 482	. . . . 5 |- ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. CRing ) /\ ( x e. B /\ y e. B ) ) /\ ( m = i /\ l = j ) ) -> ( (algSc ` P ) ` ( m y l ) ) = ( (algSc ` P ) ` ( i y j ) ) )
135		fvexd 6203	. . . . 5 |- ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. CRing ) /\ ( x e. B /\ y e. B ) ) /\ k e. N /\ m e. N ) -> ( (algSc ` P ) ` ( k x m ) ) e. _V )
136		fvexd 6203	. . . . 5 |- ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. CRing ) /\ ( x e. B /\ y e. B ) ) /\ m e. N /\ l e. N ) -> ( (algSc ` P ) ` ( m y l ) ) e. _V )
137	112, 113, 114, 105, 115, 10, 116, 117, 124, 128, 131, 134, 135, 136	mpt2matmul 20252	. . . 4 |- ( ( ( N e. Fin /\ R e. CRing ) /\ ( x e. B /\ y e. B ) ) -> ( ( i e. N , j e. N |-> ( (algSc ` P ) ` ( i x j ) ) ) ( .r ` C ) ( i e. N , j e. N |-> ( (algSc ` P ) ` ( i y j ) ) ) ) = ( k e. N , l e. N |-> ( P gsumg ( m e. N |-> ( ( (algSc ` P ) ` ( k x m ) ) ( .r ` P ) ( (algSc ` P ) ` ( m y l ) ) ) ) ) ) )
138	111, 137	eqtr4d 2659	. . 3 |- ( ( ( N e. Fin /\ R e. CRing ) /\ ( x e. B /\ y e. B ) ) -> ( k e. N , l e. N |-> ( (algSc ` P ) ` ( k ( x ( .r ` A ) y ) l ) ) ) = ( ( i e. N , j e. N |-> ( (algSc ` P ) ` ( i x j ) ) ) ( .r ` C ) ( i e. N , j e. N |-> ( (algSc ` P ) ` ( i y j ) ) ) ) )
139	1	matring 20249	. . . . . . . 8 |- ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) -> A e. Ring )
140	8, 139	sylan2 491	. . . . . . 7 |- ( ( N e. Fin /\ R e. CRing ) -> A e. Ring )
141	140	anim1i 592	. . . . . 6 |- ( ( ( N e. Fin /\ R e. CRing ) /\ ( x e. B /\ y e. B ) ) -> ( A e. Ring /\ ( x e. B /\ y e. B ) ) )
142		3anass 1042	. . . . . 6 |- ( ( A e. Ring /\ x e. B /\ y e. B ) <-> ( A e. Ring /\ ( x e. B /\ y e. B ) ) )
143	141, 142	sylibr 224	. . . . 5 |- ( ( ( N e. Fin /\ R e. CRing ) /\ ( x e. B /\ y e. B ) ) -> ( A e. Ring /\ x e. B /\ y e. B ) )
144		eqid 2622	. . . . . 6 |- ( .r ` A ) = ( .r ` A )
145	11, 144	ringcl 18561	. . . . 5 |- ( ( A e. Ring /\ x e. B /\ y e. B ) -> ( x ( .r ` A ) y ) e. B )
146	143, 145	syl 17	. . . 4 |- ( ( ( N e. Fin /\ R e. CRing ) /\ ( x e. B /\ y e. B ) ) -> ( x ( .r ` A ) y ) e. B )
147		mat2pmatbas.t	. . . . 5 |- T = ( N matToPolyMat R )
148	147, 1, 11, 44, 52	mat2pmatval 20529	. . . 4 |- ( ( N e. Fin /\ R e. Ring /\ ( x ( .r ` A ) y ) e. B ) -> ( T ` ( x ( .r ` A ) y ) ) = ( k e. N , l e. N |-> ( (algSc ` P ) ` ( k ( x ( .r ` A ) y ) l ) ) ) )
149	10, 9, 146, 148	syl3anc 1326	. . 3 |- ( ( ( N e. Fin /\ R e. CRing ) /\ ( x e. B /\ y e. B ) ) -> ( T ` ( x ( .r ` A ) y ) ) = ( k e. N , l e. N |-> ( (algSc ` P ) ` ( k ( x ( .r ` A ) y ) l ) ) ) )
150		simpl 473	. . . . . . 7 |- ( ( x e. B /\ y e. B ) -> x e. B )
151	150	anim2i 593	. . . . . 6 |- ( ( ( N e. Fin /\ R e. CRing ) /\ ( x e. B /\ y e. B ) ) -> ( ( N e. Fin /\ R e. CRing ) /\ x e. B ) )
152		df-3an 1039	. . . . . 6 |- ( ( N e. Fin /\ R e. CRing /\ x e. B ) <-> ( ( N e. Fin /\ R e. CRing ) /\ x e. B ) )
153	151, 152	sylibr 224	. . . . 5 |- ( ( ( N e. Fin /\ R e. CRing ) /\ ( x e. B /\ y e. B ) ) -> ( N e. Fin /\ R e. CRing /\ x e. B ) )
154	147, 1, 11, 44, 52	mat2pmatval 20529	. . . . 5 |- ( ( N e. Fin /\ R e. CRing /\ x e. B ) -> ( T ` x ) = ( i e. N , j e. N |-> ( (algSc ` P ) ` ( i x j ) ) ) )
155	153, 154	syl 17	. . . 4 |- ( ( ( N e. Fin /\ R e. CRing ) /\ ( x e. B /\ y e. B ) ) -> ( T ` x ) = ( i e. N , j e. N |-> ( (algSc ` P ) ` ( i x j ) ) ) )
156		simpr 477	. . . . . . 7 |- ( ( x e. B /\ y e. B ) -> y e. B )
157	156	anim2i 593	. . . . . 6 |- ( ( ( N e. Fin /\ R e. CRing ) /\ ( x e. B /\ y e. B ) ) -> ( ( N e. Fin /\ R e. CRing ) /\ y e. B ) )
158		df-3an 1039	. . . . . 6 |- ( ( N e. Fin /\ R e. CRing /\ y e. B ) <-> ( ( N e. Fin /\ R e. CRing ) /\ y e. B ) )
159	157, 158	sylibr 224	. . . . 5 |- ( ( ( N e. Fin /\ R e. CRing ) /\ ( x e. B /\ y e. B ) ) -> ( N e. Fin /\ R e. CRing /\ y e. B ) )
160	147, 1, 11, 44, 52	mat2pmatval 20529	. . . . 5 |- ( ( N e. Fin /\ R e. CRing /\ y e. B ) -> ( T ` y ) = ( i e. N , j e. N |-> ( (algSc ` P ) ` ( i y j ) ) ) )
161	159, 160	syl 17	. . . 4 |- ( ( ( N e. Fin /\ R e. CRing ) /\ ( x e. B /\ y e. B ) ) -> ( T ` y ) = ( i e. N , j e. N |-> ( (algSc ` P ) ` ( i y j ) ) ) )
162	155, 161	oveq12d 6668	. . 3 |- ( ( ( N e. Fin /\ R e. CRing ) /\ ( x e. B /\ y e. B ) ) -> ( ( T ` x ) ( .r ` C ) ( T ` y ) ) = ( ( i e. N , j e. N |-> ( (algSc ` P ) ` ( i x j ) ) ) ( .r ` C ) ( i e. N , j e. N |-> ( (algSc ` P ) ` ( i y j ) ) ) ) )
163	138, 149, 162	3eqtr4d 2666	. 2 |- ( ( ( N e. Fin /\ R e. CRing ) /\ ( x e. B /\ y e. B ) ) -> ( T ` ( x ( .r ` A ) y ) ) = ( ( T ` x ) ( .r ` C ) ( T ` y ) ) )
164	163	ralrimivva 2971	1 |- ( ( N e. Fin /\ R e. CRing ) -> A. x e. B A. y e. B ( T ` ( x ( .r ` A ) y ) ) = ( ( T ` x ) ( .r ` C ) ( T ` y ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   A.wral 2912   _Vcvv 3200   <.cotp 4185   |-> cmpt 4729   X. cxp 5112   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   |-> cmpt2 6652   ^m cmap 7857   Fincfn 7955   Basecbs 15857   .rcmulr 15942  Scalarcsca 15944   0gc0g 16100   gsum_g cgsu 16101   Mndcmnd 17294   MndHom cmhm 17333   GrpHom cghm 17657  CMndccmn 18193   Ringcrg 18547   CRingccrg 18548   RingHom crh 18712   LModclmod 18863  AssAlgcasa 19309  algSccascl 19311  Poly₁cpl1 19547   maMul cmmul 20189   Mat cmat 20213   matToPolyMat cmat2pmat 20509

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-ot 4186  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-iin 4523  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-of 6897  df-ofr 6898  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-supp 7296  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-2o 7561  df-oadd 7564  df-er 7742  df-map 7859  df-pm 7860  df-ixp 7909  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-fsupp 8276  df-sup 8348  df-oi 8415  df-card 8765  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-4 11081  df-5 11082  df-6 11083  df-7 11084  df-8 11085  df-9 11086  df-n0 11293  df-z 11378  df-dec 11494  df-uz 11688  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-seq 12802  df-hash 13118  df-struct 15859  df-ndx 15860  df-slot 15861  df-base 15863  df-sets 15864  df-ress 15865  df-plusg 15954  df-mulr 15955  df-sca 15957  df-vsca 15958  df-ip 15959  df-tset 15960  df-ple 15961  df-ds 15964  df-hom 15966  df-cco 15967  df-0g 16102  df-gsum 16103  df-prds 16108  df-pws 16110  df-mre 16246  df-mrc 16247  df-acs 16249  df-mgm 17242  df-sgrp 17284  df-mnd 17295  df-mhm 17335  df-submnd 17336  df-grp 17425  df-minusg 17426  df-sbg 17427  df-mulg 17541  df-subg 17591  df-ghm 17658  df-cntz 17750  df-cmn 18195  df-abl 18196  df-mgp 18490  df-ur 18502  df-ring 18549  df-cring 18550  df-rnghom 18715  df-subrg 18778  df-lmod 18865  df-lss 18933  df-sra 19172  df-rgmod 19173  df-assa 19312  df-ascl 19314  df-psr 19356  df-mpl 19358  df-opsr 19360  df-psr1 19550  df-ply1 19552  df-dsmm 20076  df-frlm 20091  df-mamu 20190  df-mat 20214  df-mat2pmat 20512

This theorem is referenced by:  mat2pmatmhm  20538