Theorem cayhamlem4 20693

Description: Lemma for cayleyhamilton 20695. (Contributed by AV, 25-Nov-2019.) (Revised by AV, 15-Dec-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
chcoeffeq.a	|- A = ( N Mat R )
chcoeffeq.b	|- B = ( Base ` A )
chcoeffeq.p	|- P = (Poly1 ` R )
chcoeffeq.y	|- Y = ( N Mat P )
chcoeffeq.r	|- .X. = ( .r ` Y )
chcoeffeq.s	|- .- = ( -g ` Y )
chcoeffeq.0	|- .0. = ( 0g ` Y )
chcoeffeq.t	|- T = ( N matToPolyMat R )
chcoeffeq.c	|- C = ( N CharPlyMat R )
chcoeffeq.k	|- K = ( C ` M )
chcoeffeq.g	|- G = ( n e. NN0 |-> if ( n = 0 , ( .0. .- ( ( T ` M ) .X. ( T ` ( b ` 0 ) ) ) ) , if ( n = ( s + 1 ) , ( T ` ( b ` s ) ) , if ( ( s + 1 ) < n , .0. , ( ( T ` ( b ` ( n - 1 ) ) ) .- ( ( T ` M ) .X. ( T ` ( b ` n ) ) ) ) ) ) ) )
chcoeffeq.w	|- W = ( Base ` Y )
chcoeffeq.1	|- .1. = ( 1r ` A )
chcoeffeq.m	|- .* = ( .s ` A )
chcoeffeq.u	|- U = ( N cPolyMatToMat R )
cayhamlem.e1	|- .^ = (.g ` (mulGrp ` A ) )
cayhamlem.e2	|- E = (.g ` (mulGrp ` Y ) )

Assertion

Ref	Expression
cayhamlem4	|- ( ( N e. Fin /\ R e. CRing /\ M e. B ) -> E. s e. NN E. b e. ( B ^m ( 0 ... s ) ) ( A gsumg ( n e. NN0 |-> ( ( (coe1 ` K ) ` n ) .* ( n .^ M ) ) ) ) = ( U ` ( Y gsumg ( n e. NN0 |-> ( ( n E ( T ` M ) ) .X. ( G ` n ) ) ) ) ) )

Distinct variable groups:   A, n   B, n   n, G   n, K   n, M   n, N   R, n   U, n   n, Y   .1. , n   .* , n   n, b, s, A   B, b, s   M, b, s   N, b, s   P, b, n, s   R, b, s   T, b, n, s   n, W   Y, b, s   .0. , n   .X. , n   .- , b, n, s   .^ , n

Allowed substitution hints:   C( n, s, b)   .X. ( s, b)   U( s, b)   .1. ( s, b)   E( n, s, b)   .^ ( s, b)   G( s, b)   .* ( s, b)   K( s, b)   W( s, b)   .0. ( s, b)

Proof of Theorem cayhamlem4

Dummy variables w z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		id 22	. . 3 |- ( ( A gsumg ( n e. NN0 |-> ( ( (coe1 ` K ) ` n ) .* ( n .^ M ) ) ) ) = ( A gsumg ( n e. NN0 |-> ( ( n .^ M ) ( .r ` A ) ( U ` ( G ` n ) ) ) ) ) -> ( A gsumg ( n e. NN0 |-> ( ( (coe1 ` K ) ` n ) .* ( n .^ M ) ) ) ) = ( A gsumg ( n e. NN0 |-> ( ( n .^ M ) ( .r ` A ) ( U ` ( G ` n ) ) ) ) ) )
2		simp1 1061	. . . . . 6 |- ( ( N e. Fin /\ R e. CRing /\ M e. B ) -> N e. Fin )
3	2	ad2antrr 762	. . . . 5 |- ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. CRing /\ M e. B ) /\ s e. NN ) /\ b e. ( B ^m ( 0 ... s ) ) ) -> N e. Fin )
4		crngring 18558	. . . . . . 7 |- ( R e. CRing -> R e. Ring )
5	4	3ad2ant2 1083	. . . . . 6 |- ( ( N e. Fin /\ R e. CRing /\ M e. B ) -> R e. Ring )
6	5	ad2antrr 762	. . . . 5 |- ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. CRing /\ M e. B ) /\ s e. NN ) /\ b e. ( B ^m ( 0 ... s ) ) ) -> R e. Ring )
7		chcoeffeq.b	. . . . . 6 |- B = ( Base ` A )
8		eqid 2622	. . . . . 6 |- ( 0g ` A ) = ( 0g ` A )
9		chcoeffeq.a	. . . . . . . . . . 11 |- A = ( N Mat R )
10	9	matring 20249	. . . . . . . . . 10 |- ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) -> A e. Ring )
11	4, 10	sylan2 491	. . . . . . . . 9 |- ( ( N e. Fin /\ R e. CRing ) -> A e. Ring )
12		ringcmn 18581	. . . . . . . . 9 |- ( A e. Ring -> A e. CMnd )
13	11, 12	syl 17	. . . . . . . 8 |- ( ( N e. Fin /\ R e. CRing ) -> A e. CMnd )
14	13	3adant3 1081	. . . . . . 7 |- ( ( N e. Fin /\ R e. CRing /\ M e. B ) -> A e. CMnd )
15	14	ad2antrr 762	. . . . . 6 |- ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. CRing /\ M e. B ) /\ s e. NN ) /\ b e. ( B ^m ( 0 ... s ) ) ) -> A e. CMnd )
16		nn0ex 11298	. . . . . . 7 |- NN0 e. _V
17	16	a1i 11	. . . . . 6 |- ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. CRing /\ M e. B ) /\ s e. NN ) /\ b e. ( B ^m ( 0 ... s ) ) ) -> NN0 e. _V )
18	3, 6, 10	syl2anc 693	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. CRing /\ M e. B ) /\ s e. NN ) /\ b e. ( B ^m ( 0 ... s ) ) ) -> A e. Ring )
19	18	adantr 481	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. CRing /\ M e. B ) /\ s e. NN ) /\ b e. ( B ^m ( 0 ... s ) ) ) /\ n e. NN0 ) -> A e. Ring )
20	2, 5, 10	syl2anc 693	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( N e. Fin /\ R e. CRing /\ M e. B ) -> A e. Ring )
21		eqid 2622	. . . . . . . . . . . 12 |- (mulGrp ` A ) = (mulGrp ` A )
22	21	ringmgp 18553	. . . . . . . . . . 11 |- ( A e. Ring -> (mulGrp ` A ) e. Mnd )
23	20, 22	syl 17	. . . . . . . . . 10 |- ( ( N e. Fin /\ R e. CRing /\ M e. B ) -> (mulGrp ` A ) e. Mnd )
24	23	ad3antrrr 766	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. CRing /\ M e. B ) /\ s e. NN ) /\ b e. ( B ^m ( 0 ... s ) ) ) /\ n e. NN0 ) -> (mulGrp ` A ) e. Mnd )
25		simpr 477	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. CRing /\ M e. B ) /\ s e. NN ) /\ b e. ( B ^m ( 0 ... s ) ) ) /\ n e. NN0 ) -> n e. NN0 )
26		simpll3 1102	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. CRing /\ M e. B ) /\ s e. NN ) /\ b e. ( B ^m ( 0 ... s ) ) ) -> M e. B )
27	26	adantr 481	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. CRing /\ M e. B ) /\ s e. NN ) /\ b e. ( B ^m ( 0 ... s ) ) ) /\ n e. NN0 ) -> M e. B )
28	21, 7	mgpbas 18495	. . . . . . . . . 10 |- B = ( Base ` (mulGrp ` A ) )
29		cayhamlem.e1	. . . . . . . . . 10 |- .^ = (.g ` (mulGrp ` A ) )
30	28, 29	mulgnn0cl 17558	. . . . . . . . 9 |- ( ( (mulGrp ` A ) e. Mnd /\ n e. NN0 /\ M e. B ) -> ( n .^ M ) e. B )
31	24, 25, 27, 30	syl3anc 1326	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. CRing /\ M e. B ) /\ s e. NN ) /\ b e. ( B ^m ( 0 ... s ) ) ) /\ n e. NN0 ) -> ( n .^ M ) e. B )
32		eqid 2622	. . . . . . . . . . . 12 |- ( N ConstPolyMat R ) = ( N ConstPolyMat R )
33		chcoeffeq.u	. . . . . . . . . . . 12 |- U = ( N cPolyMatToMat R )
34	9, 7, 32, 33	cpm2mf 20557	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) -> U : ( N ConstPolyMat R ) --> B )
35	2, 5, 34	syl2anc 693	. . . . . . . . . 10 |- ( ( N e. Fin /\ R e. CRing /\ M e. B ) -> U : ( N ConstPolyMat R ) --> B )
36	35	ad3antrrr 766	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. CRing /\ M e. B ) /\ s e. NN ) /\ b e. ( B ^m ( 0 ... s ) ) ) /\ n e. NN0 ) -> U : ( N ConstPolyMat R ) --> B )
37		simplr 792	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. CRing /\ M e. B ) /\ s e. NN ) /\ b e. ( B ^m ( 0 ... s ) ) ) -> s e. NN )
38		simpr 477	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. CRing /\ M e. B ) /\ s e. NN ) /\ b e. ( B ^m ( 0 ... s ) ) ) -> b e. ( B ^m ( 0 ... s ) ) )
39		chcoeffeq.p	. . . . . . . . . . . 12 |- P = (Poly1 ` R )
40		chcoeffeq.y	. . . . . . . . . . . 12 |- Y = ( N Mat P )
41		chcoeffeq.r	. . . . . . . . . . . 12 |- .X. = ( .r ` Y )
42		chcoeffeq.s	. . . . . . . . . . . 12 |- .- = ( -g ` Y )
43		chcoeffeq.0	. . . . . . . . . . . 12 |- .0. = ( 0g ` Y )
44		chcoeffeq.t	. . . . . . . . . . . 12 |- T = ( N matToPolyMat R )
45		chcoeffeq.g	. . . . . . . . . . . 12 |- G = ( n e. NN0 |-> if ( n = 0 , ( .0. .- ( ( T ` M ) .X. ( T ` ( b ` 0 ) ) ) ) , if ( n = ( s + 1 ) , ( T ` ( b ` s ) ) , if ( ( s + 1 ) < n , .0. , ( ( T ` ( b ` ( n - 1 ) ) ) .- ( ( T ` M ) .X. ( T ` ( b ` n ) ) ) ) ) ) ) )
46	9, 7, 39, 40, 41, 42, 43, 44, 45, 32	chfacfisfcpmat 20660	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring /\ M e. B ) /\ ( s e. NN /\ b e. ( B ^m ( 0 ... s ) ) ) ) -> G : NN0 --> ( N ConstPolyMat R ) )
47	3, 6, 26, 37, 38, 46	syl32anc 1334	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. CRing /\ M e. B ) /\ s e. NN ) /\ b e. ( B ^m ( 0 ... s ) ) ) -> G : NN0 --> ( N ConstPolyMat R ) )
48	47	ffvelrnda 6359	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. CRing /\ M e. B ) /\ s e. NN ) /\ b e. ( B ^m ( 0 ... s ) ) ) /\ n e. NN0 ) -> ( G ` n ) e. ( N ConstPolyMat R ) )
49	36, 48	ffvelrnd 6360	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. CRing /\ M e. B ) /\ s e. NN ) /\ b e. ( B ^m ( 0 ... s ) ) ) /\ n e. NN0 ) -> ( U ` ( G ` n ) ) e. B )
50		eqid 2622	. . . . . . . . 9 |- ( .r ` A ) = ( .r ` A )
51	7, 50	ringcl 18561	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. Ring /\ ( n .^ M ) e. B /\ ( U ` ( G ` n ) ) e. B ) -> ( ( n .^ M ) ( .r ` A ) ( U ` ( G ` n ) ) ) e. B )
52	19, 31, 49, 51	syl3anc 1326	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. CRing /\ M e. B ) /\ s e. NN ) /\ b e. ( B ^m ( 0 ... s ) ) ) /\ n e. NN0 ) -> ( ( n .^ M ) ( .r ` A ) ( U ` ( G ` n ) ) ) e. B )
53		eqid 2622	. . . . . . 7 |- ( n e. NN0 |-> ( ( n .^ M ) ( .r ` A ) ( U ` ( G ` n ) ) ) ) = ( n e. NN0 |-> ( ( n .^ M ) ( .r ` A ) ( U ` ( G ` n ) ) ) )
54	52, 53	fmptd 6385	. . . . . 6 |- ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. CRing /\ M e. B ) /\ s e. NN ) /\ b e. ( B ^m ( 0 ... s ) ) ) -> ( n e. NN0 |-> ( ( n .^ M ) ( .r ` A ) ( U ` ( G ` n ) ) ) ) : NN0 --> B )
55		fvexd 6203	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. CRing /\ M e. B ) /\ s e. NN ) /\ b e. ( B ^m ( 0 ... s ) ) ) -> ( 0g ` A ) e. _V )
56		ovexd 6680	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. CRing /\ M e. B ) /\ s e. NN ) /\ b e. ( B ^m ( 0 ... s ) ) ) /\ n e. NN0 ) -> ( ( n .^ M ) ( .r ` A ) ( U ` ( G ` n ) ) ) e. _V )
57	9, 7, 39, 40, 41, 42, 43, 44, 45	chfacffsupp 20661	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( N e. Fin /\ R e. CRing /\ M e. B ) /\ ( s e. NN /\ b e. ( B ^m ( 0 ... s ) ) ) ) -> G finSupp ( 0g ` Y ) )
58	57	anassrs 680	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. CRing /\ M e. B ) /\ s e. NN ) /\ b e. ( B ^m ( 0 ... s ) ) ) -> G finSupp ( 0g ` Y ) )
59		ovex 6678	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( N ConstPolyMat R ) e. _V
60	59, 16	pm3.2i 471	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( N ConstPolyMat R ) e. _V /\ NN0 e. _V )
61		elmapg 7870	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( N ConstPolyMat R ) e. _V /\ NN0 e. _V ) -> ( G e. ( ( N ConstPolyMat R ) ^m NN0 ) <-> G : NN0 --> ( N ConstPolyMat R ) ) )
62	60, 61	mp1i 13	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. CRing /\ M e. B ) /\ s e. NN ) /\ b e. ( B ^m ( 0 ... s ) ) ) -> ( G e. ( ( N ConstPolyMat R ) ^m NN0 ) <-> G : NN0 --> ( N ConstPolyMat R ) ) )
63	47, 62	mpbird 247	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. CRing /\ M e. B ) /\ s e. NN ) /\ b e. ( B ^m ( 0 ... s ) ) ) -> G e. ( ( N ConstPolyMat R ) ^m NN0 ) )
64		fvex 6201	. . . . . . . . . 10 |- ( 0g ` Y ) e. _V
65		fsuppmapnn0ub 12795	. . . . . . . . . 10 |- ( ( G e. ( ( N ConstPolyMat R ) ^m NN0 ) /\ ( 0g ` Y ) e. _V ) -> ( G finSupp ( 0g ` Y ) -> E. w e. NN0 A. z e. NN0 ( w < z -> ( G ` z ) = ( 0g ` Y ) ) ) )
66	63, 64, 65	sylancl 694	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. CRing /\ M e. B ) /\ s e. NN ) /\ b e. ( B ^m ( 0 ... s ) ) ) -> ( G finSupp ( 0g ` Y ) -> E. w e. NN0 A. z e. NN0 ( w < z -> ( G ` z ) = ( 0g ` Y ) ) ) )
67		csbov12g 6689	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( z e. NN0 -> [_ z / n ]_ ( ( n .^ M ) ( .r ` A ) ( U ` ( G ` n ) ) ) = ( [_ z / n ]_ ( n .^ M ) ( .r ` A ) [_ z / n ]_ ( U ` ( G ` n ) ) ) )
68		csbov1g 6690	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( z e. NN0 -> [_ z / n ]_ ( n .^ M ) = ( [_ z / n ]_ n .^ M ) )
69		csbvarg 4003	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( z e. NN0 -> [_ z / n ]_ n = z )
70	69	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( z e. NN0 -> ( [_ z / n ]_ n .^ M ) = ( z .^ M ) )
71	68, 70	eqtrd 2656	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( z e. NN0 -> [_ z / n ]_ ( n .^ M ) = ( z .^ M ) )
72		csbfv2g 6232	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( z e. NN0 -> [_ z / n ]_ ( U ` ( G ` n ) ) = ( U ` [_ z / n ]_ ( G ` n ) ) )
73		csbfv 6233	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- [_ z / n ]_ ( G ` n ) = ( G ` z )
74	73	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( z e. NN0 -> [_ z / n ]_ ( G ` n ) = ( G ` z ) )
75	74	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( z e. NN0 -> ( U ` [_ z / n ]_ ( G ` n ) ) = ( U ` ( G ` z ) ) )
76	72, 75	eqtrd 2656	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( z e. NN0 -> [_ z / n ]_ ( U ` ( G ` n ) ) = ( U ` ( G ` z ) ) )
77	71, 76	oveq12d 6668	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( z e. NN0 -> ( [_ z / n ]_ ( n .^ M ) ( .r ` A ) [_ z / n ]_ ( U ` ( G ` n ) ) ) = ( ( z .^ M ) ( .r ` A ) ( U ` ( G ` z ) ) ) )
78	67, 77	eqtrd 2656	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( z e. NN0 -> [_ z / n ]_ ( ( n .^ M ) ( .r ` A ) ( U ` ( G ` n ) ) ) = ( ( z .^ M ) ( .r ` A ) ( U ` ( G ` z ) ) ) )
79	78	ad2antlr 763	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. CRing /\ M e. B ) /\ s e. NN ) /\ b e. ( B ^m ( 0 ... s ) ) ) /\ z e. NN0 ) /\ ( G ` z ) = ( 0g ` Y ) ) -> [_ z / n ]_ ( ( n .^ M ) ( .r ` A ) ( U ` ( G ` n ) ) ) = ( ( z .^ M ) ( .r ` A ) ( U ` ( G ` z ) ) ) )
80		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( G ` z ) = ( 0g ` Y ) -> ( U ` ( G ` z ) ) = ( U ` ( 0g ` Y ) ) )
81	2, 5	jca 554	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( N e. Fin /\ R e. CRing /\ M e. B ) -> ( N e. Fin /\ R e. Ring ) )
82	81	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( N e. Fin /\ R e. CRing /\ M e. B ) /\ s e. NN ) -> ( N e. Fin /\ R e. Ring ) )
83		eqid 2622	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( 0g ` Y ) = ( 0g ` Y )
84	9, 33, 39, 40, 8, 83	m2cpminv0 20566	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) -> ( U ` ( 0g ` Y ) ) = ( 0g ` A ) )
85	82, 84	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( N e. Fin /\ R e. CRing /\ M e. B ) /\ s e. NN ) -> ( U ` ( 0g ` Y ) ) = ( 0g ` A ) )
86	85	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. CRing /\ M e. B ) /\ s e. NN ) /\ b e. ( B ^m ( 0 ... s ) ) ) /\ z e. NN0 ) -> ( U ` ( 0g ` Y ) ) = ( 0g ` A ) )
87	80, 86	sylan9eqr 2678	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. CRing /\ M e. B ) /\ s e. NN ) /\ b e. ( B ^m ( 0 ... s ) ) ) /\ z e. NN0 ) /\ ( G ` z ) = ( 0g ` Y ) ) -> ( U ` ( G ` z ) ) = ( 0g ` A ) )
88	87	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. CRing /\ M e. B ) /\ s e. NN ) /\ b e. ( B ^m ( 0 ... s ) ) ) /\ z e. NN0 ) /\ ( G ` z ) = ( 0g ` Y ) ) -> ( ( z .^ M ) ( .r ` A ) ( U ` ( G ` z ) ) ) = ( ( z .^ M ) ( .r ` A ) ( 0g ` A ) ) )
89	18	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. CRing /\ M e. B ) /\ s e. NN ) /\ b e. ( B ^m ( 0 ... s ) ) ) /\ z e. NN0 ) -> A e. Ring )
90	23	ad3antrrr 766	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. CRing /\ M e. B ) /\ s e. NN ) /\ b e. ( B ^m ( 0 ... s ) ) ) /\ z e. NN0 ) -> (mulGrp ` A ) e. Mnd )
91		simpr 477	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. CRing /\ M e. B ) /\ s e. NN ) /\ b e. ( B ^m ( 0 ... s ) ) ) /\ z e. NN0 ) -> z e. NN0 )
92	26	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. CRing /\ M e. B ) /\ s e. NN ) /\ b e. ( B ^m ( 0 ... s ) ) ) /\ z e. NN0 ) -> M e. B )
93	28, 29	mulgnn0cl 17558	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( (mulGrp ` A ) e. Mnd /\ z e. NN0 /\ M e. B ) -> ( z .^ M ) e. B )
94	90, 91, 92, 93	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. CRing /\ M e. B ) /\ s e. NN ) /\ b e. ( B ^m ( 0 ... s ) ) ) /\ z e. NN0 ) -> ( z .^ M ) e. B )
95	89, 94	jca 554	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. CRing /\ M e. B ) /\ s e. NN ) /\ b e. ( B ^m ( 0 ... s ) ) ) /\ z e. NN0 ) -> ( A e. Ring /\ ( z .^ M ) e. B ) )
96	95	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. CRing /\ M e. B ) /\ s e. NN ) /\ b e. ( B ^m ( 0 ... s ) ) ) /\ z e. NN0 ) /\ ( G ` z ) = ( 0g ` Y ) ) -> ( A e. Ring /\ ( z .^ M ) e. B ) )
97	7, 50, 8	ringrz 18588	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( A e. Ring /\ ( z .^ M ) e. B ) -> ( ( z .^ M ) ( .r ` A ) ( 0g ` A ) ) = ( 0g ` A ) )
98	96, 97	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. CRing /\ M e. B ) /\ s e. NN ) /\ b e. ( B ^m ( 0 ... s ) ) ) /\ z e. NN0 ) /\ ( G ` z ) = ( 0g ` Y ) ) -> ( ( z .^ M ) ( .r ` A ) ( 0g ` A ) ) = ( 0g ` A ) )
99	79, 88, 98	3eqtrd 2660	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. CRing /\ M e. B ) /\ s e. NN ) /\ b e. ( B ^m ( 0 ... s ) ) ) /\ z e. NN0 ) /\ ( G ` z ) = ( 0g ` Y ) ) -> [_ z / n ]_ ( ( n .^ M ) ( .r ` A ) ( U ` ( G ` n ) ) ) = ( 0g ` A ) )
100	99	ex 450	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. CRing /\ M e. B ) /\ s e. NN ) /\ b e. ( B ^m ( 0 ... s ) ) ) /\ z e. NN0 ) -> ( ( G ` z ) = ( 0g ` Y ) -> [_ z / n ]_ ( ( n .^ M ) ( .r ` A ) ( U ` ( G ` n ) ) ) = ( 0g ` A ) ) )
101	100	adantlr 751	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. CRing /\ M e. B ) /\ s e. NN ) /\ b e. ( B ^m ( 0 ... s ) ) ) /\ w e. NN0 ) /\ z e. NN0 ) -> ( ( G ` z ) = ( 0g ` Y ) -> [_ z / n ]_ ( ( n .^ M ) ( .r ` A ) ( U ` ( G ` n ) ) ) = ( 0g ` A ) ) )
102	101	imim2d 57	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. CRing /\ M e. B ) /\ s e. NN ) /\ b e. ( B ^m ( 0 ... s ) ) ) /\ w e. NN0 ) /\ z e. NN0 ) -> ( ( w < z -> ( G ` z ) = ( 0g ` Y ) ) -> ( w < z -> [_ z / n ]_ ( ( n .^ M ) ( .r ` A ) ( U ` ( G ` n ) ) ) = ( 0g ` A ) ) ) )
103	102	ralimdva 2962	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. CRing /\ M e. B ) /\ s e. NN ) /\ b e. ( B ^m ( 0 ... s ) ) ) /\ w e. NN0 ) -> ( A. z e. NN0 ( w < z -> ( G ` z ) = ( 0g ` Y ) ) -> A. z e. NN0 ( w < z -> [_ z / n ]_ ( ( n .^ M ) ( .r ` A ) ( U ` ( G ` n ) ) ) = ( 0g ` A ) ) ) )
104	103	reximdva 3017	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. CRing /\ M e. B ) /\ s e. NN ) /\ b e. ( B ^m ( 0 ... s ) ) ) -> ( E. w e. NN0 A. z e. NN0 ( w < z -> ( G ` z ) = ( 0g ` Y ) ) -> E. w e. NN0 A. z e. NN0 ( w < z -> [_ z / n ]_ ( ( n .^ M ) ( .r ` A ) ( U ` ( G ` n ) ) ) = ( 0g ` A ) ) ) )
105	66, 104	syld 47	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. CRing /\ M e. B ) /\ s e. NN ) /\ b e. ( B ^m ( 0 ... s ) ) ) -> ( G finSupp ( 0g ` Y ) -> E. w e. NN0 A. z e. NN0 ( w < z -> [_ z / n ]_ ( ( n .^ M ) ( .r ` A ) ( U ` ( G ` n ) ) ) = ( 0g ` A ) ) ) )
106	58, 105	mpd 15	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. CRing /\ M e. B ) /\ s e. NN ) /\ b e. ( B ^m ( 0 ... s ) ) ) -> E. w e. NN0 A. z e. NN0 ( w < z -> [_ z / n ]_ ( ( n .^ M ) ( .r ` A ) ( U ` ( G ` n ) ) ) = ( 0g ` A ) ) )
107	55, 56, 106	mptnn0fsupp 12797	. . . . . 6 |- ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. CRing /\ M e. B ) /\ s e. NN ) /\ b e. ( B ^m ( 0 ... s ) ) ) -> ( n e. NN0 |-> ( ( n .^ M ) ( .r ` A ) ( U ` ( G ` n ) ) ) ) finSupp ( 0g ` A ) )
108	7, 8, 15, 17, 54, 107	gsumcl 18316	. . . . 5 |- ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. CRing /\ M e. B ) /\ s e. NN ) /\ b e. ( B ^m ( 0 ... s ) ) ) -> ( A gsumg ( n e. NN0 |-> ( ( n .^ M ) ( .r ` A ) ( U ` ( G ` n ) ) ) ) ) e. B )
109	33, 9, 7, 44	m2cpminvid 20558	. . . . 5 |- ( ( N e. Fin /\ R e. Ring /\ ( A gsumg ( n e. NN0 |-> ( ( n .^ M ) ( .r ` A ) ( U ` ( G ` n ) ) ) ) ) e. B ) -> ( U ` ( T ` ( A gsumg ( n e. NN0 |-> ( ( n .^ M ) ( .r ` A ) ( U ` ( G ` n ) ) ) ) ) ) ) = ( A gsumg ( n e. NN0 |-> ( ( n .^ M ) ( .r ` A ) ( U ` ( G ` n ) ) ) ) ) )
110	3, 6, 108, 109	syl3anc 1326	. . . 4 |- ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. CRing /\ M e. B ) /\ s e. NN ) /\ b e. ( B ^m ( 0 ... s ) ) ) -> ( U ` ( T ` ( A gsumg ( n e. NN0 |-> ( ( n .^ M ) ( .r ` A ) ( U ` ( G ` n ) ) ) ) ) ) ) = ( A gsumg ( n e. NN0 |-> ( ( n .^ M ) ( .r ` A ) ( U ` ( G ` n ) ) ) ) ) )
111	39, 40	pmatring 20498	. . . . . . . . . 10 |- ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) -> Y e. Ring )
112	2, 5, 111	syl2anc 693	. . . . . . . . 9 |- ( ( N e. Fin /\ R e. CRing /\ M e. B ) -> Y e. Ring )
113		ringmnd 18556	. . . . . . . . 9 |- ( Y e. Ring -> Y e. Mnd )
114	112, 113	syl 17	. . . . . . . 8 |- ( ( N e. Fin /\ R e. CRing /\ M e. B ) -> Y e. Mnd )
115	114	ad2antrr 762	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. CRing /\ M e. B ) /\ s e. NN ) /\ b e. ( B ^m ( 0 ... s ) ) ) -> Y e. Mnd )
116		chcoeffeq.w	. . . . . . . . . 10 |- W = ( Base ` Y )
117	44, 9, 7, 39, 40, 116	mat2pmatghm 20535	. . . . . . . . 9 |- ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) -> T e. ( A GrpHom Y ) )
118	3, 6, 117	syl2anc 693	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. CRing /\ M e. B ) /\ s e. NN ) /\ b e. ( B ^m ( 0 ... s ) ) ) -> T e. ( A GrpHom Y ) )
119		ghmmhm 17670	. . . . . . . 8 |- ( T e. ( A GrpHom Y ) -> T e. ( A MndHom Y ) )
120	118, 119	syl 17	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. CRing /\ M e. B ) /\ s e. NN ) /\ b e. ( B ^m ( 0 ... s ) ) ) -> T e. ( A MndHom Y ) )
121	20	ad3antrrr 766	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. CRing /\ M e. B ) /\ s e. NN ) /\ b e. ( B ^m ( 0 ... s ) ) ) /\ n e. NN0 ) -> A e. Ring )
122	4, 34	sylan2 491	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( N e. Fin /\ R e. CRing ) -> U : ( N ConstPolyMat R ) --> B )
123	122	3adant3 1081	. . . . . . . . . 10 |- ( ( N e. Fin /\ R e. CRing /\ M e. B ) -> U : ( N ConstPolyMat R ) --> B )
124	123	ad3antrrr 766	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. CRing /\ M e. B ) /\ s e. NN ) /\ b e. ( B ^m ( 0 ... s ) ) ) /\ n e. NN0 ) -> U : ( N ConstPolyMat R ) --> B )
125	124, 48	ffvelrnd 6360	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. CRing /\ M e. B ) /\ s e. NN ) /\ b e. ( B ^m ( 0 ... s ) ) ) /\ n e. NN0 ) -> ( U ` ( G ` n ) ) e. B )
126	121, 31, 125, 51	syl3anc 1326	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. CRing /\ M e. B ) /\ s e. NN ) /\ b e. ( B ^m ( 0 ... s ) ) ) /\ n e. NN0 ) -> ( ( n .^ M ) ( .r ` A ) ( U ` ( G ` n ) ) ) e. B )
127	7, 8, 15, 115, 17, 120, 126, 107	gsummptmhm 18340	. . . . . 6 |- ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. CRing /\ M e. B ) /\ s e. NN ) /\ b e. ( B ^m ( 0 ... s ) ) ) -> ( Y gsumg ( n e. NN0 |-> ( T ` ( ( n .^ M ) ( .r ` A ) ( U ` ( G ` n ) ) ) ) ) ) = ( T ` ( A gsumg ( n e. NN0 |-> ( ( n .^ M ) ( .r ` A ) ( U ` ( G ` n ) ) ) ) ) ) )
128	44, 9, 7, 39, 40, 116	mat2pmatrhm 20539	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( N e. Fin /\ R e. CRing ) -> T e. ( A RingHom Y ) )
129	128	3adant3 1081	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( N e. Fin /\ R e. CRing /\ M e. B ) -> T e. ( A RingHom Y ) )
130	129	ad3antrrr 766	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. CRing /\ M e. B ) /\ s e. NN ) /\ b e. ( B ^m ( 0 ... s ) ) ) /\ n e. NN0 ) -> T e. ( A RingHom Y ) )
131	7, 50, 41	rhmmul 18727	. . . . . . . . . 10 |- ( ( T e. ( A RingHom Y ) /\ ( n .^ M ) e. B /\ ( U ` ( G ` n ) ) e. B ) -> ( T ` ( ( n .^ M ) ( .r ` A ) ( U ` ( G ` n ) ) ) ) = ( ( T ` ( n .^ M ) ) .X. ( T ` ( U ` ( G ` n ) ) ) ) )
132	130, 31, 125, 131	syl3anc 1326	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. CRing /\ M e. B ) /\ s e. NN ) /\ b e. ( B ^m ( 0 ... s ) ) ) /\ n e. NN0 ) -> ( T ` ( ( n .^ M ) ( .r ` A ) ( U ` ( G ` n ) ) ) ) = ( ( T ` ( n .^ M ) ) .X. ( T ` ( U ` ( G ` n ) ) ) ) )
133	44, 9, 7, 39, 40, 116	mat2pmatmhm 20538	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( N e. Fin /\ R e. CRing ) -> T e. ( (mulGrp ` A ) MndHom (mulGrp ` Y ) ) )
134	133	3adant3 1081	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( N e. Fin /\ R e. CRing /\ M e. B ) -> T e. ( (mulGrp ` A ) MndHom (mulGrp ` Y ) ) )
135	134	ad3antrrr 766	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. CRing /\ M e. B ) /\ s e. NN ) /\ b e. ( B ^m ( 0 ... s ) ) ) /\ n e. NN0 ) -> T e. ( (mulGrp ` A ) MndHom (mulGrp ` Y ) ) )
136		cayhamlem.e2	. . . . . . . . . . . 12 |- E = (.g ` (mulGrp ` Y ) )
137	28, 29, 136	mhmmulg 17583	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( T e. ( (mulGrp ` A ) MndHom (mulGrp ` Y ) ) /\ n e. NN0 /\ M e. B ) -> ( T ` ( n .^ M ) ) = ( n E ( T ` M ) ) )
138	135, 25, 27, 137	syl3anc 1326	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. CRing /\ M e. B ) /\ s e. NN ) /\ b e. ( B ^m ( 0 ... s ) ) ) /\ n e. NN0 ) -> ( T ` ( n .^ M ) ) = ( n E ( T ` M ) ) )
139	2	ad3antrrr 766	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. CRing /\ M e. B ) /\ s e. NN ) /\ b e. ( B ^m ( 0 ... s ) ) ) /\ n e. NN0 ) -> N e. Fin )
140	5	ad3antrrr 766	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. CRing /\ M e. B ) /\ s e. NN ) /\ b e. ( B ^m ( 0 ... s ) ) ) /\ n e. NN0 ) -> R e. Ring )
141	32, 33, 44	m2cpminvid2 20560	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( N e. Fin /\ R e. Ring /\ ( G ` n ) e. ( N ConstPolyMat R ) ) -> ( T ` ( U ` ( G ` n ) ) ) = ( G ` n ) )
142	139, 140, 48, 141	syl3anc 1326	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. CRing /\ M e. B ) /\ s e. NN ) /\ b e. ( B ^m ( 0 ... s ) ) ) /\ n e. NN0 ) -> ( T ` ( U ` ( G ` n ) ) ) = ( G ` n ) )
143	138, 142	oveq12d 6668	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. CRing /\ M e. B ) /\ s e. NN ) /\ b e. ( B ^m ( 0 ... s ) ) ) /\ n e. NN0 ) -> ( ( T ` ( n .^ M ) ) .X. ( T ` ( U ` ( G ` n ) ) ) ) = ( ( n E ( T ` M ) ) .X. ( G ` n ) ) )
144	132, 143	eqtrd 2656	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. CRing /\ M e. B ) /\ s e. NN ) /\ b e. ( B ^m ( 0 ... s ) ) ) /\ n e. NN0 ) -> ( T ` ( ( n .^ M ) ( .r ` A ) ( U ` ( G ` n ) ) ) ) = ( ( n E ( T ` M ) ) .X. ( G ` n ) ) )
145	144	mpteq2dva 4744	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. CRing /\ M e. B ) /\ s e. NN ) /\ b e. ( B ^m ( 0 ... s ) ) ) -> ( n e. NN0 |-> ( T ` ( ( n .^ M ) ( .r ` A ) ( U ` ( G ` n ) ) ) ) ) = ( n e. NN0 |-> ( ( n E ( T ` M ) ) .X. ( G ` n ) ) ) )
146	145	oveq2d 6666	. . . . . 6 |- ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. CRing /\ M e. B ) /\ s e. NN ) /\ b e. ( B ^m ( 0 ... s ) ) ) -> ( Y gsumg ( n e. NN0 |-> ( T ` ( ( n .^ M ) ( .r ` A ) ( U ` ( G ` n ) ) ) ) ) ) = ( Y gsumg ( n e. NN0 |-> ( ( n E ( T ` M ) ) .X. ( G ` n ) ) ) ) )
147	127, 146	eqtr3d 2658	. . . . 5 |- ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. CRing /\ M e. B ) /\ s e. NN ) /\ b e. ( B ^m ( 0 ... s ) ) ) -> ( T ` ( A gsumg ( n e. NN0 |-> ( ( n .^ M ) ( .r ` A ) ( U ` ( G ` n ) ) ) ) ) ) = ( Y gsumg ( n e. NN0 |-> ( ( n E ( T ` M ) ) .X. ( G ` n ) ) ) ) )
148	147	fveq2d 6195	. . . 4 |- ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. CRing /\ M e. B ) /\ s e. NN ) /\ b e. ( B ^m ( 0 ... s ) ) ) -> ( U ` ( T ` ( A gsumg ( n e. NN0 |-> ( ( n .^ M ) ( .r ` A ) ( U ` ( G ` n ) ) ) ) ) ) ) = ( U ` ( Y gsumg ( n e. NN0 |-> ( ( n E ( T ` M ) ) .X. ( G ` n ) ) ) ) ) )
149	110, 148	eqtr3d 2658	. . 3 |- ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. CRing /\ M e. B ) /\ s e. NN ) /\ b e. ( B ^m ( 0 ... s ) ) ) -> ( A gsumg ( n e. NN0 |-> ( ( n .^ M ) ( .r ` A ) ( U ` ( G ` n ) ) ) ) ) = ( U ` ( Y gsumg ( n e. NN0 |-> ( ( n E ( T ` M ) ) .X. ( G ` n ) ) ) ) ) )
150	1, 149	sylan9eqr 2678	. 2 |- ( ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. CRing /\ M e. B ) /\ s e. NN ) /\ b e. ( B ^m ( 0 ... s ) ) ) /\ ( A gsumg ( n e. NN0 |-> ( ( (coe1 ` K ) ` n ) .* ( n .^ M ) ) ) ) = ( A gsumg ( n e. NN0 |-> ( ( n .^ M ) ( .r ` A ) ( U ` ( G ` n ) ) ) ) ) ) -> ( A gsumg ( n e. NN0 |-> ( ( (coe1 ` K ) ` n ) .* ( n .^ M ) ) ) ) = ( U ` ( Y gsumg ( n e. NN0 |-> ( ( n E ( T ` M ) ) .X. ( G ` n ) ) ) ) ) )
151		chcoeffeq.c	. . 3 |- C = ( N CharPlyMat R )
152		chcoeffeq.k	. . 3 |- K = ( C ` M )
153		chcoeffeq.1	. . 3 |- .1. = ( 1r ` A )
154		chcoeffeq.m	. . 3 |- .* = ( .s ` A )
155	9, 7, 39, 40, 41, 42, 43, 44, 151, 152, 45, 116, 153, 154, 33, 29, 50	cayhamlem3 20692	. 2 |- ( ( N e. Fin /\ R e. CRing /\ M e. B ) -> E. s e. NN E. b e. ( B ^m ( 0 ... s ) ) ( A gsumg ( n e. NN0 |-> ( ( (coe1 ` K ) ` n ) .* ( n .^ M ) ) ) ) = ( A gsumg ( n e. NN0 |-> ( ( n .^ M ) ( .r ` A ) ( U ` ( G ` n ) ) ) ) ) )
156	150, 155	reximddv2 3020	1 |- ( ( N e. Fin /\ R e. CRing /\ M e. B ) -> E. s e. NN E. b e. ( B ^m ( 0 ... s ) ) ( A gsumg ( n e. NN0 |-> ( ( (coe1 ` K ) ` n ) .* ( n .^ M ) ) ) ) = ( U ` ( Y gsumg ( n e. NN0 |-> ( ( n E ( T ` M ) ) .X. ( G ` n ) ) ) ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   A.wral 2912   E.wrex 2913   _Vcvv 3200   [_csb 3533   ifcif 4086   class class class wbr 4653   |-> cmpt 4729   -->wf 5884   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   ^m cmap 7857   Fincfn 7955   finSupp cfsupp 8275   0cc0 9936   1c1 9937   + caddc 9939   < clt 10074   - cmin 10266   NNcn 11020   NN0cn0 11292   ...cfz 12326   Basecbs 15857   .rcmulr 15942   .scvsca 15945   0gc0g 16100   gsum_g cgsu 16101   Mndcmnd 17294   MndHom cmhm 17333   -gcsg 17424  ._gcmg 17540   GrpHom cghm 17657  CMndccmn 18193  mulGrpcmgp 18489   1rcur 18501   Ringcrg 18547   CRingccrg 18548   RingHom crh 18712  Poly₁cpl1 19547  coe₁cco1 19548   Mat cmat 20213   ConstPolyMat ccpmat 20508   matToPolyMat cmat2pmat 20509   cPolyMatToMat ccpmat2mat 20510   CharPlyMat cchpmat 20631

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-addf 10015  ax-mulf 10016

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-xor 1465  df-tru 1486  df-fal 1489  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-ot 4186  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-iin 4523  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-of 6897  df-ofr 6898  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-supp 7296  df-tpos 7352  df-cur 7393  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-2o 7561  df-oadd 7564  df-er 7742  df-map 7859  df-pm 7860  df-ixp 7909  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-fsupp 8276  df-sup 8348  df-oi 8415  df-card 8765  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-4 11081  df-5 11082  df-6 11083  df-7 11084  df-8 11085  df-9 11086  df-n0 11293  df-xnn0 11364  df-z 11378  df-dec 11494  df-uz 11688  df-rp 11833  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-seq 12802  df-exp 12861  df-hash 13118  df-word 13299  df-lsw 13300  df-concat 13301  df-s1 13302  df-substr 13303  df-splice 13304  df-reverse 13305  df-s2 13593  df-struct 15859  df-ndx 15860  df-slot 15861  df-base 15863  df-sets 15864  df-ress 15865  df-plusg 15954  df-mulr 15955  df-starv 15956  df-sca 15957  df-vsca 15958  df-ip 15959  df-tset 15960  df-ple 15961  df-ds 15964  df-unif 15965  df-hom 15966  df-cco 15967  df-0g 16102  df-gsum 16103  df-prds 16108  df-pws 16110  df-mre 16246  df-mrc 16247  df-acs 16249  df-mgm 17242  df-sgrp 17284  df-mnd 17295  df-mhm 17335  df-submnd 17336  df-grp 17425  df-minusg 17426  df-sbg 17427  df-mulg 17541  df-subg 17591  df-ghm 17658  df-gim 17701  df-cntz 17750  df-oppg 17776  df-symg 17798  df-pmtr 17862  df-psgn 17911  df-evpm 17912  df-cmn 18195  df-abl 18196  df-mgp 18490  df-ur 18502  df-srg 18506  df-ring 18549  df-cring 18550  df-oppr 18623  df-dvdsr 18641  df-unit 18642  df-invr 18672  df-dvr 18683  df-rnghom 18715  df-drng 18749  df-subrg 18778  df-lmod 18865  df-lss 18933  df-sra 19172  df-rgmod 19173  df-assa 19312  df-ascl 19314  df-psr 19356  df-mvr 19357  df-mpl 19358  df-opsr 19360  df-psr1 19550  df-vr1 19551  df-ply1 19552  df-coe1 19553  df-cnfld 19747  df-zring 19819  df-zrh 19852  df-dsmm 20076  df-frlm 20091  df-mamu 20190  df-mat 20214  df-mdet 20391  df-madu 20440  df-cpmat 20511  df-mat2pmat 20512  df-cpmat2mat 20513  df-decpmat 20568  df-pm2mp 20598  df-chpmat 20632

This theorem is referenced by:  cayleyhamilton0  20694  cayleyhamiltonALT  20696